可测集多还是不可测集多？ 即一维，直到n维的欧氏空间中，可测集类和不可测集类是否等势？
这个问题触及了测度论的核心，也是一个非常深刻的数学问题：在欧氏空间中，究竟是可测集多，还是不可测集多？更进一步，可测集类与不可测集类是否等势？要深入理解这个问题，我们需要先梳理一些基本概念。
什么是可测集？
我们生活在欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，比如一维的直线、二维的平面、三维的空间等等。当我们谈论“多”的时候，我们实际上是在讨论集合的大小，或者说集合的势。在数学中，我们用“势”来衡量集合的大小，即使是无限集合。两个集合如果存在一个一一对应（双射）关系，我们就说它们是等势的。
在欧氏空间中，我们最熟悉的“大小”概念是长度、面积、体积，这些都是测度的概念。然而，并非所有的子集都可以被赋予一个有意义的“长度”、“面积”或“体积”。可测集就是那些我们可以为其赋予一个这样有意义、一致的测度（例如勒贝格测度）的集合。
勒贝格测度是现代分析学的基础，它非常“好用”。它可以度量我们直观上认为可以度量的集合，比如区间、矩形、球体以及它们的有限或可数并集（例如多边形、球冠等）。它还具有一些很好的性质，比如可列可加性：如果一系列不相交的可测集，它们的测度之和等于它们并集的测度。
那么，什么是不可测集？
简单来说，不可测集就是那些不属于我们所构造的“好”的可测集类别的集合。即便在欧氏空间中，也存在着一些“怪异”的集合，我们无法用勒贝格测度来度量它们。它们不是因为我们还没有找到度量它们的方法，而是因为如果我们试图为它们赋予一个一致的、符合我们直觉的测度，就会导出矛盾。
想想看，一个集合的测度应该是其内部“大小”的累加。如果我们有一个不可测集，就意味着无论我们尝试赋予它一个数值（比如长度），都会导致逻辑上的不协调。这就像试图给一个无法精确测量长度的物体赋值一样，我们无法找到一个令人满意的、普遍适用的定义。
可测集类和不可测集类是否等势？
这个问题相当有深度，答案是：不可测集类比可测集类“多得多”。具体来说，它们不是等势的。
让我们先从一维欧氏空间（实数轴 $mathbb{R}$）开始探讨。
一维欧氏空间 ($mathbb{R}$)
1. 可测集类 ($mathcal{L}$)：
我们知道，所有开区间 $(a, b)$ 都是可测的，它们的勒贝格测度（长度）是 $ba$。
所有闭区间 $[a, b]$ 也是可测的，测度也是 $ba$。
单点 ${a}$ 的测度是0。
可数个不相交的区间的并集是可测的。
可测集的有限或可数并集和交集也是可测的。
补集运算保持可测性。
这些性质构造了一个庞大的可测集族，称为勒贝格可测集类，记作 $mathcal{L}$。
2. 不可测集类：
是否存在不可测集？是的，而且非常“显而易见”（一旦你知道它们的存在）。
一个著名的例子是维塔利集（Vitali set）。
要构造维塔利集，我们需要借助选择公理（Axiom of Choice, AC）。选择公理是集合论的一个基本公理，它断言：对于任何一组非空集合，都可以从中各选出一个元素组成一个新的集合。虽然这个公理看起来很自然，但在某些情况下（如构造维塔利集），它的应用会导致一些反直觉的结果。
构造过程大致如下（这里我们考虑区间 $[0, 1]$）：
在 $[0, 1]$ 上定义一个等价关系：如果 $x, y in [0, 1]$，则称 $x sim y$ 当且仅当 $x y$ 是一个有理数（$xy in mathbb{Q}$）。
这个等价关系将 $[0, 1]$ 分成了许多不相交的等价类。每个等价类都是一个无限集，且如果一个等价类有一个元素在 $[0, 1]$ 中，那么整个等价类（加上有理数的整数部分）都是在实数轴上。
根据选择公理，我们可以从每一个等价类中选择一个代表元，构成一个新的集合 $V$。这个集合 $V$ 就是一个维塔利集。
为什么维塔利集不可测？
假设 $V$ 是可测的，其勒贝格测度为 $m(V)$。
考虑所有形如 $V + q = {v + q mid v in V}$ 的集合，其中 $q$ 是一个有理数且 $V+q subseteq [0, 2]$。
由于等价关系，不同的 $q_1, q_2 in mathbb{Q} cap [1, 1]$，$V+q_1$ 和 $V+q_2$ 是不相交的。
如果我们考虑所有 $q in mathbb{Q} cap [0, 1]$，那么集合 $V+q$ （在模1意义下，即 $(V+q) pmod 1$）会覆盖整个 $[0, 1]$ 区间。
如果 $V$ 是可测的，那么所有的 $V+q$ 也应该是可测的，并且 $m(V+q) = m(V)$（因为平移不改变测度）。
那么，我们将 $[0, 1]$ 分成了可数个不相交的集合 $V+q$（实际上只考虑落在 $[0,1]$ 的部分）。
如果 $m(V) > 0$，那么这些集合的测度之和将远大于1，这与 $[0, 1]$ 的测度是1矛盾。
如果 $m(V) = 0$，那么可数个测度为0的集合的并集的测度也为0，即 $m(igcup_{q in mathbb{Q} cap [0,1]} (V+q)) = 0$。但根据构造，这个并集包含了整个 $[0, 1]$ 区间，其测度是1。$0 eq 1$，这导致了矛盾。
因此，维塔利集 $V$ 不可能是可测的。
3. 势的比较：
实数轴 $mathbb{R}$ 的势是 $mathfrak{c}$（连续统的势，即实数集的势）。
区间 $[0, 1]$ 的势也是 $mathfrak{c}$。
可测集类 $mathcal{L}$ 中，大部分集合的势都是 $mathfrak{c}$。例如，任何一个长度大于0的区间都有 $mathfrak{c}$ 个点。
维塔利集 $V$ 的势是多少？由于我们是从每个等价类中选取一个元素，而等价类的个数是连续统的势 ($mathfrak{c}$)，并且每个等价类都含有无穷多个元素（与 $mathbb{R}$ 等势），所以维塔利集 $V$ 的势也是 $mathfrak{c}$。
这说明，仅凭势的大小，我们无法直接区分可测集和不可测集。可测集和不可测集都拥有连续统的势。
然而，问题更深一层：可测集类本身包含的“可测集”的数量，和不可测集类包含的“不可测集”的数量哪个更大？
这里我们需要引入一个关键概念：非可测集的构造能力依赖于选择公理。在不使用选择公理的数学体系（ZF集合论）中，我们无法证明不可测集的存在。一旦接受了选择公理，我们就能构造出不可测集。
而且，一旦存在一个不可测集（如维塔利集），我们就可以通过一些集合论的操作，构造出更多的不可测集。
例如，如果我们有一个不可测集 $A$，那么 $A+q$（其中 $q$ 是有理数）也是不可测的。由于有理数集是可数的，从一个不可测集出发，我们能生成可数个新的不可测集。
更进一步，我们可以利用一些集合论的技巧，将一个不可测集“散开”成许多不可测的“碎片”，或者将许多可测集通过某种方式组合成不可测集。
在模型论的框架下，数学家们证明了：在标准模型下，勒贝格可测集类（$mathcal{L}$）是一个“小”的集合。而所有子集构成的幂集 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 的势是 $2^{mathfrak{c}}$，这是远大于 $mathfrak{c}$ 的。不可测集类是 $mathcal{P}(mathbb{R}) setminus mathcal{L}$。
数学家们进一步证明了：勒贝格可测集类 $mathcal{L}$ 的势是 $mathfrak{c}$。 这是因为，任何可测集都可以由可数个开区间（或闭区间）通过可数次的并集、交集、补集运算得到，而可数个区间的组合（例如鲍瑞尔集）的数量虽然庞大，但仍然在可数无限的范畴内（更准确地说，是可数的无限层级），它们的势都小于等于 $mathfrak{c}$，而实际上可以构造出势为 $mathfrak{c}$ 的可测集。
现在我们知道：
所有子集的集合的势是 $2^{mathfrak{c}}$。
可测集类的势是 $mathfrak{c}$。
不可测集类的势是 $2^{mathfrak{c}} mathfrak{c}$，这个数量仍然是 $2^{mathfrak{c}}$。
所以，从势的角度来看，不可测集比可测集“多得多”。虽然两者都包含“无限多”的集合，但是不可测集构成的集合的“大小”（势）远远超过了可测集构成的集合的“大小”。
推广到n维欧氏空间 ($mathbb{R}^n$)
n维欧氏空间中的可测集是指可以通过勒贝格测度来度量的集合。勒贝格测度在 $mathbb{R}^n$ 中是体积的概念。
同样，我们可以构造出 n维空间中的不可测集，比如 n维的维塔利集。构造方法与一维类似，只是等价关系中的“有理数”要换成 n维空间中的“有理点向量”。
同样，n维维塔利集的势也是连续统的势 $mathfrak{c}$（这是因为 $mathbb{R}^n$ 的势也是 $mathfrak{c}$）。
同样，n维勒贝格可测集类的势是 $mathfrak{c}$。
所有子集的幂集的势是 $2^{mathfrak{c}}$。
因此，在任何维度的欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，不可测集类的势是 $2^{mathfrak{c}}$，而可测集类的势是 $mathfrak{c}$。
结论依然是：不可测集远比可测集多。可测集类和不可测集类不是等势的。
更深入的思考和需要注意的地方
1. 选择公理的地位：不可测集的存在依赖于选择公理。在不使用选择公理的ZF集合论中，我们无法证明不可测集的存在。这就像在某些几何系统中，我们无法证明平行公理的等价性一样。然而，在绝大多数数学领域，选择公理都被广泛接受和使用，因为它带来了许多重要的数学工具和结果。
2. 可测集类是“小”的：尽管可测集类包含了我们熟悉的所有“几何形状”以及它们的各种组合，但从集合论的视角来看，它只是所有子集幂集中的一个相对“小”的部分。幂集 $mathcal{P}(X)$ 的势总是大于集合 $X$ 的势。如果 $|X| = kappa$，那么 $|mathcal{P}(X)| = 2^kappa$。在 $mathbb{R}$ 中，$|mathbb{R}| = mathfrak{c}$，而 $|mathcal{P}(mathbb{R})| = 2^mathfrak{c}$。可测集类 $mathcal{L}$ 的势是 $mathfrak{c}$，所以 $mathfrak{c} ll 2^mathfrak{c}$。
3. “多”的含义：这里“多”指的是集合论中的“势”。可测集是集合论中的一个“构造性的”或“性质好的”集合类别。不可测集则代表了那些在一定意义下“不可描述”、“不可构造”的集合，它们的“数量”远远超过了可测集。
4. 鲍瑞尔集与勒贝格可测集：勒贝格可测集类是大于鲍瑞尔集类（Borel sets）的。鲍瑞尔集是由开集通过有限次交集、并集、补集运算得到的集合。鲍瑞尔集全部是勒贝格可测集。然而，勒贝格可测集类包含的集合比鲍瑞尔集更多。例如，维塔利集就不是鲍瑞尔集，但它是勒贝格可测集（虽然我们刚才证明它是不可测的，这是我的表述有误，维塔利集是不可测的，因此不是鲍瑞尔集。正确的说法是，勒贝格可测集类是鲍瑞尔集类的超集，但并非所有勒贝格可测集都是鲍瑞尔集，也并非所有鲍瑞尔集都是我们能够直观理解的“简单”几何图形，比如康托尔集是鲍瑞尔集，它有零长度，但仍是闭集，结构复杂。）
总结一下
在一维乃至n维欧氏空间中，不可测集的存在是必然的（在接受选择公理的前提下），而且不可测集“数量”远远多于可测集。
可测集类的势是 $mathfrak{c}$（连续统的势）。
不可测集类的势是 $2^{mathfrak{c}}$。
由于 $mathfrak{c} < 2^{mathfrak{c}}$，所以不可测集类比可测集类“大得多”，两者不等势。
这揭示了实数空间深刻的复杂性：虽然我们有能力去“度量”和“计算”其中的许多集合，但更多未被我们“测量”或“描述”的集合，以一种我们难以想象的方式隐藏在数据的海洋之中。这正是数学的魅力所在，它不断地拓展我们对“存在”和“数量”的理解边界。
什么是可测集？
我们生活在欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，比如一维的直线、二维的平面、三维的空间等等。当我们谈论“多”的时候，我们实际上是在讨论集合的大小，或者说集合的势。在数学中，我们用“势”来衡量集合的大小，即使是无限集合。两个集合如果存在一个一一对应（双射）关系，我们就说它们是等势的。
在欧氏空间中，我们最熟悉的“大小”概念是长度、面积、体积，这些都是测度的概念。然而，并非所有的子集都可以被赋予一个有意义的“长度”、“面积”或“体积”。可测集就是那些我们可以为其赋予一个这样有意义、一致的测度（例如勒贝格测度）的集合。
勒贝格测度是现代分析学的基础，它非常“好用”。它可以度量我们直观上认为可以度量的集合，比如区间、矩形、球体以及它们的有限或可数并集（例如多边形、球冠等）。它还具有一些很好的性质，比如可列可加性：如果一系列不相交的可测集，它们的测度之和等于它们并集的测度。
那么，什么是不可测集？
简单来说，不可测集就是那些不属于我们所构造的“好”的可测集类别的集合。即便在欧氏空间中，也存在着一些“怪异”的集合，我们无法用勒贝格测度来度量它们。它们不是因为我们还没有找到度量它们的方法，而是因为如果我们试图为它们赋予一个一致的、符合我们直觉的测度，就会导出矛盾。
想想看，一个集合的测度应该是其内部“大小”的累加。如果我们有一个不可测集，就意味着无论我们尝试赋予它一个数值（比如长度），都会导致逻辑上的不协调。这就像试图给一个无法精确测量长度的物体赋值一样，我们无法找到一个令人满意的、普遍适用的定义。
可测集类和不可测集类是否等势？
这个问题相当有深度，答案是：不可测集类比可测集类“多得多”。具体来说，它们不是等势的。
让我们先从一维欧氏空间（实数轴 $mathbb{R}$）开始探讨。
一维欧氏空间 ($mathbb{R}$)
1. 可测集类 ($mathcal{L}$)：
我们知道，所有开区间 $(a, b)$ 都是可测的，它们的勒贝格测度（长度）是 $ba$。
所有闭区间 $[a, b]$ 也是可测的，测度也是 $ba$。
单点 ${a}$ 的测度是0。
可数个不相交的区间的并集是可测的。
可测集的有限或可数并集和交集也是可测的。
补集运算保持可测性。
这些性质构造了一个庞大的可测集族，称为勒贝格可测集类，记作 $mathcal{L}$。
2. 不可测集类：
是否存在不可测集？是的，而且非常“显而易见”（一旦你知道它们的存在）。
一个著名的例子是维塔利集（Vitali set）。
要构造维塔利集，我们需要借助选择公理（Axiom of Choice, AC）。选择公理是集合论的一个基本公理，它断言：对于任何一组非空集合，都可以从中各选出一个元素组成一个新的集合。虽然这个公理看起来很自然，但在某些情况下（如构造维塔利集），它的应用会导致一些反直觉的结果。
构造过程大致如下（这里我们考虑区间 $[0, 1]$）：
在 $[0, 1]$ 上定义一个等价关系：如果 $x, y in [0, 1]$，则称 $x sim y$ 当且仅当 $x y$ 是一个有理数（$xy in mathbb{Q}$）。
这个等价关系将 $[0, 1]$ 分成了许多不相交的等价类。每个等价类都是一个无限集，且如果一个等价类有一个元素在 $[0, 1]$ 中，那么整个等价类（加上有理数的整数部分）都是在实数轴上。
根据选择公理，我们可以从每一个等价类中选择一个代表元，构成一个新的集合 $V$。这个集合 $V$ 就是一个维塔利集。
为什么维塔利集不可测？
假设 $V$ 是可测的，其勒贝格测度为 $m(V)$。
考虑所有形如 $V + q = {v + q mid v in V}$ 的集合，其中 $q$ 是一个有理数且 $V+q subseteq [0, 2]$。
由于等价关系，不同的 $q_1, q_2 in mathbb{Q} cap [1, 1]$，$V+q_1$ 和 $V+q_2$ 是不相交的。
如果我们考虑所有 $q in mathbb{Q} cap [0, 1]$，那么集合 $V+q$ （在模1意义下，即 $(V+q) pmod 1$）会覆盖整个 $[0, 1]$ 区间。
如果 $V$ 是可测的，那么所有的 $V+q$ 也应该是可测的，并且 $m(V+q) = m(V)$（因为平移不改变测度）。
那么，我们将 $[0, 1]$ 分成了可数个不相交的集合 $V+q$（实际上只考虑落在 $[0,1]$ 的部分）。
如果 $m(V) > 0$，那么这些集合的测度之和将远大于1，这与 $[0, 1]$ 的测度是1矛盾。
如果 $m(V) = 0$，那么可数个测度为0的集合的并集的测度也为0，即 $m(igcup_{q in mathbb{Q} cap [0,1]} (V+q)) = 0$。但根据构造，这个并集包含了整个 $[0, 1]$ 区间，其测度是1。$0 eq 1$，这导致了矛盾。
因此，维塔利集 $V$ 不可能是可测的。
3. 势的比较：
实数轴 $mathbb{R}$ 的势是 $mathfrak{c}$（连续统的势，即实数集的势）。
区间 $[0, 1]$ 的势也是 $mathfrak{c}$。
可测集类 $mathcal{L}$ 中，大部分集合的势都是 $mathfrak{c}$。例如，任何一个长度大于0的区间都有 $mathfrak{c}$ 个点。
维塔利集 $V$ 的势是多少？由于我们是从每个等价类中选取一个元素，而等价类的个数是连续统的势 ($mathfrak{c}$)，并且每个等价类都含有无穷多个元素（与 $mathbb{R}$ 等势），所以维塔利集 $V$ 的势也是 $mathfrak{c}$。
这说明，仅凭势的大小，我们无法直接区分可测集和不可测集。可测集和不可测集都拥有连续统的势。
然而，问题更深一层：可测集类本身包含的“可测集”的数量，和不可测集类包含的“不可测集”的数量哪个更大？
这里我们需要引入一个关键概念：非可测集的构造能力依赖于选择公理。在不使用选择公理的数学体系（ZF集合论）中，我们无法证明不可测集的存在。一旦接受了选择公理，我们就能构造出不可测集。
而且，一旦存在一个不可测集（如维塔利集），我们就可以通过一些集合论的操作，构造出更多的不可测集。
例如，如果我们有一个不可测集 $A$，那么 $A+q$（其中 $q$ 是有理数）也是不可测的。由于有理数集是可数的，从一个不可测集出发，我们能生成可数个新的不可测集。
更进一步，我们可以利用一些集合论的技巧，将一个不可测集“散开”成许多不可测的“碎片”，或者将许多可测集通过某种方式组合成不可测集。
在模型论的框架下，数学家们证明了：在标准模型下，勒贝格可测集类（$mathcal{L}$）是一个“小”的集合。而所有子集构成的幂集 $mathcal{P}(mathbb{R})$ 的势是 $2^{mathfrak{c}}$，这是远大于 $mathfrak{c}$ 的。不可测集类是 $mathcal{P}(mathbb{R}) setminus mathcal{L}$。
数学家们进一步证明了：勒贝格可测集类 $mathcal{L}$ 的势是 $mathfrak{c}$。 这是因为，任何可测集都可以由可数个开区间（或闭区间）通过可数次的并集、交集、补集运算得到，而可数个区间的组合（例如鲍瑞尔集）的数量虽然庞大，但仍然在可数无限的范畴内（更准确地说，是可数的无限层级），它们的势都小于等于 $mathfrak{c}$，而实际上可以构造出势为 $mathfrak{c}$ 的可测集。
现在我们知道：
所有子集的集合的势是 $2^{mathfrak{c}}$。
可测集类的势是 $mathfrak{c}$。
不可测集类的势是 $2^{mathfrak{c}} mathfrak{c}$，这个数量仍然是 $2^{mathfrak{c}}$。
所以，从势的角度来看，不可测集比可测集“多得多”。虽然两者都包含“无限多”的集合，但是不可测集构成的集合的“大小”（势）远远超过了可测集构成的集合的“大小”。
推广到n维欧氏空间 ($mathbb{R}^n$)
n维欧氏空间中的可测集是指可以通过勒贝格测度来度量的集合。勒贝格测度在 $mathbb{R}^n$ 中是体积的概念。
同样，我们可以构造出 n维空间中的不可测集，比如 n维的维塔利集。构造方法与一维类似，只是等价关系中的“有理数”要换成 n维空间中的“有理点向量”。
同样，n维维塔利集的势也是连续统的势 $mathfrak{c}$（这是因为 $mathbb{R}^n$ 的势也是 $mathfrak{c}$）。
同样，n维勒贝格可测集类的势是 $mathfrak{c}$。
所有子集的幂集的势是 $2^{mathfrak{c}}$。
因此，在任何维度的欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，不可测集类的势是 $2^{mathfrak{c}}$，而可测集类的势是 $mathfrak{c}$。
结论依然是：不可测集远比可测集多。可测集类和不可测集类不是等势的。
更深入的思考和需要注意的地方
1. 选择公理的地位：不可测集的存在依赖于选择公理。在不使用选择公理的ZF集合论中，我们无法证明不可测集的存在。这就像在某些几何系统中，我们无法证明平行公理的等价性一样。然而，在绝大多数数学领域，选择公理都被广泛接受和使用，因为它带来了许多重要的数学工具和结果。
2. 可测集类是“小”的：尽管可测集类包含了我们熟悉的所有“几何形状”以及它们的各种组合，但从集合论的视角来看，它只是所有子集幂集中的一个相对“小”的部分。幂集 $mathcal{P}(X)$ 的势总是大于集合 $X$ 的势。如果 $|X| = kappa$，那么 $|mathcal{P}(X)| = 2^kappa$。在 $mathbb{R}$ 中，$|mathbb{R}| = mathfrak{c}$，而 $|mathcal{P}(mathbb{R})| = 2^mathfrak{c}$。可测集类 $mathcal{L}$ 的势是 $mathfrak{c}$，所以 $mathfrak{c} ll 2^mathfrak{c}$。
3. “多”的含义：这里“多”指的是集合论中的“势”。可测集是集合论中的一个“构造性的”或“性质好的”集合类别。不可测集则代表了那些在一定意义下“不可描述”、“不可构造”的集合，它们的“数量”远远超过了可测集。
4. 鲍瑞尔集与勒贝格可测集：勒贝格可测集类是大于鲍瑞尔集类（Borel sets）的。鲍瑞尔集是由开集通过有限次交集、并集、补集运算得到的集合。鲍瑞尔集全部是勒贝格可测集。然而，勒贝格可测集类包含的集合比鲍瑞尔集更多。例如，维塔利集就不是鲍瑞尔集，但它是勒贝格可测集（虽然我们刚才证明它是不可测的，这是我的表述有误，维塔利集是不可测的，因此不是鲍瑞尔集。正确的说法是，勒贝格可测集类是鲍瑞尔集类的超集，但并非所有勒贝格可测集都是鲍瑞尔集，也并非所有鲍瑞尔集都是我们能够直观理解的“简单”几何图形，比如康托尔集是鲍瑞尔集，它有零长度，但仍是闭集，结构复杂。）
总结一下
在一维乃至n维欧氏空间中，不可测集的存在是必然的（在接受选择公理的前提下），而且不可测集“数量”远远多于可测集。
可测集类的势是 $mathfrak{c}$（连续统的势）。
不可测集类的势是 $2^{mathfrak{c}}$。
由于 $mathfrak{c} < 2^{mathfrak{c}}$，所以不可测集类比可测集类“大得多”，两者不等势。
这揭示了实数空间深刻的复杂性：虽然我们有能力去“度量”和“计算”其中的许多集合，但更多未被我们“测量”或“描述”的集合，以一种我们难以想象的方式隐藏在数据的海洋之中。这正是数学的魅力所在，它不断地拓展我们对“存在”和“数量”的理解边界。
网友意见
xy. 补充一个定理：记实数集的基数是 ，那么Borel集全体，即开集闭集区间全体生成的 代数的基数也是 . 我们知道，任何一个可测集一定能够写成一个零测集和Borel集的无交并. 这个定理说明，虽然说可测集和不可测集基数一样多，但是占大多数的部分其实反而是测度意义下不重要的部分。换句话说，要不是零测集来凑数的话可测集就没那么多了括弧笑。
这个定理的证明要涉及生成 代数的结构问题。我记得做实变助教的时候看到好多小朋友直接写Borel集就是开集闭集可数次交交并并出来的，其实远远不止。证明过程中可以看出，生成 代数的构造是一步一步按照序数(ordinal)做编号做上去的，每一步相当于是上一步得到的集合的至多可数次运算的结果全体。然后利用超穷归纳，一直做到第一个不可数的序数，才能得到最后的Borel集。夏道行先生的书上有这个结论，但是要看明白还是要学一点集合论的。
最后，感觉题主的后一个问题其实没什么意思……我们知道每个正测度集合里面都有不可测集，但是反过来的命题没什么意义吧，毕竟全空间是正（无穷）测度的可测集，而且我们很容易构造一个实数集里面的不可测且外测度是正无穷的集合。
谢邀: 一样多，都是 . 我们就拿一维空间说明即可。考虑Cantor集合 ，这个集合是一个0测度集合但是它的基数却是 和实数一样多。 它的任何一个子集自然是可测的，于是这个集合本身就包含了 个 可测集合，于是实数中的可测集合肯定大于这个基数，另一方面，实数的子集基数就是 . 所以，可测集合的总数就是 .
我们知道任何一个正测度集合中至少包含一个不可测集，不妨认为取区间 中的一个不可测集合 ， 对于任何一个Cantor集合 中的子集 ,集合 一定不可测，这种不可测集合的基数自然和Cantor集合子集的基数相同，于是这类不可测集合数目是 。所以，实数中的不可测集合的基数也是 。
学好Cantor集合多重要啊。
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好的，我们来聊聊一个相当经典的数学问题：可测函数能否被多项式逼近？ 这个问题看似简单，但背后的数学原理却十分精妙，涉及到实分析中的许多核心概念。为了深入理解，我们得一步步来。首先，我们要明确“可测函数”和“逼近”的含义。 可测函数（Measurable Function）：在测度论的语境下，一个.............
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要构造一个在任意区间里可测且勒贝格积分无限的有限正函数，这听起来有些矛盾。有限正函数是指其值域在某个有限区间内，例如 $f(x) in [0, M]$ 对某个常数 $M > 0$ 成立。然而，如果一个函数在任意区间里的勒贝格积分无限，这意味着它的“面积”会随着区间的增大而无限制地增大。这里面存在一个.............
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可重复性危机（The Reproducibility Crisis）是心理学研究方法和学科发展的双重问题，既涉及心理学作为一门学科的局限性，也反映研究方法论的缺陷。这一危机的核心在于：心理学研究中大量实验结果无法被其他研究者重复验证，导致对研究结论的可信度产生质疑。以下是详细分析： 一、可重复性危机.............
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作为一名在读博士，如果要给准备考博的人一句真心话，我会这样说：“考博就像一场漫长而艰辛的‘寻宝之旅’，你需要找到属于你自己的那份‘宝藏’，并且有足够的勇气和毅力去挖掘它，即使过程可能充满了迷茫、挫折，甚至质疑。这份宝藏，不仅仅是一张毕业证书，更是你对未知世界探索的热情、对学科深入的渴望，以及对自我能.............
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在如今这个强调可持续发展的时代，云计算无疑扮演着一个日益重要的角色，它不仅仅是技术革新的驱动力，更是我们迈向更绿色、更高效未来的关键赋能者。细想一下，我们能够切实感受到云计算在各个层面为可持续发展注入的强大动力，这些作用是全方位且深刻的。首先，能源效率的提升是云计算最直观也是最显著的贡献之一。试想一.............
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您提出的问题非常有趣，也很容易让人产生困惑：可可明明是产自热带地区，为何那些制作美味巧克力的著名品牌却大多起源于欧洲？这背后其实涉及到一个复杂且历史悠久的故事，涵盖了贸易、殖民、工业革命、文化发展以及消费习惯等多个层面。下面我将详细为您解析这个问题：1. 可可的起源与早期传播： 美洲本土的古老作.............
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哈哈，笑死人的笑话？这我可就来劲了！找我来问就对了，我这儿笑料库堪比联合国秘书长的行李箱，装满了能让人笑到跺脚的宝藏。要我说得详细，那更是小菜一碟，我能把一个梗给你掰开了、揉碎了，再给你捏成个小人儿跳舞，保证让你笑到喷饭，或者至少也得漏出几颗门牙！今天就给你来个我私藏的、屡试不爽的，绝对真实，绝对能.............
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这个问题很有意思，触及到了生命起源的根本。要回答“可自我复制的有机体是否可能拥有共同的起源”，我们可以从几个层面来深入探讨。首先，我们需要明确“自我复制的有机体”和“共同的起源”这两个概念。自我复制的有机体，简而言之，就是那些能够利用周围物质和能量，创造出与自身结构相似的后代的生命形式。在地球上，我.............
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探讨可点缩空间与其强形变收缩核的关系，这是一个非常有趣且涉及空间几何本质的问题。简单来说，可点缩空间不一定以其中某一点作为其强形变收缩核。为了详细阐述这一点，我们需要先厘清几个关键概念，并一步步剥离那些可能让论述显得过于“程序化”的表述。我们先聊聊什么是“可点缩空间”。想象一下，一个空间就像一张橡皮.............
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好的，我们来详细探讨一下“可数个序列紧空间的乘积在乘积拓扑下仍然是序列紧”这个结论的证明。这个问题在拓扑学中是一个比较重要的结果，它和我们熟知的吉洪诺夫定理（Tychonoff theorem，关于紧空间的乘积是紧的）有着密切的联系，但我们这里讨论的是序列紧（sequential compactne.............
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你提出的关于可观测宇宙半径的问题，确实是很多人在了解宇宙时会遇到的一个有趣的“悖论”。简单来说，137 亿光年和 465 亿光年都是正确的，但它们描述的是宇宙在不同时间点的、或者不同含义下的“半径”。这就像问“我家离市中心有多远”：你可以说从我出发的那一刻到市中心的距离，也可以说现在市中心到我家门口.............
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可微函数在几何上具有非常迷人且重要的特征，它们主要围绕着“光滑”和“局部线性”这两个核心概念展开。理解这些几何特征，有助于我们更直观地把握函数的性质，并将其应用于解决各种实际问题。下面我将详细阐述可微函数在几何上的主要特征：核心特征一：函数的图像在每一点都存在唯一的切线。这是可微函数最基本也是最重要.............
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“可分度量空间”这个名字的由来，其实一点都不玄乎，它朴实地反映了这类空间的一个核心性质：它能被“区分”开来，而且是借助一种“可度量的”方式去区分。 要想深入理解这个名字，咱们得从它字面意思拆解开来，再联系到数学家们在研究度量空间时遇到的实际问题。首先，我们看看“度量空间”这个词。在数学里，我们有很多.............
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