设点集B满足，对任给ε>0，都存在可测集A，使得m*(AΔB)<ε，证明B是可测集，还有什么解法？
好的，我们来仔细探讨一下这个问题，并且给出详细的证明过程以及其他的解法。
问题陈述：
设点集 $B$ 是实数集 $mathbb{R}$ 的一个子集。已知条件是：对任意给定的 $varepsilon > 0$，都存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。我们要证明的是，$B$ 也是一个可测集。
其中，$m^$ 表示外测度，$A Delta B$ 表示对称差，即 $A Delta B = (A setminus B) cup (B setminus A)$。
证明：
我们的目标是证明 $B$ 是一个可测集。根据勒贝格可测集的定义，一个集合 $E$ 是可测集当且仅当对于任意的集合 $K$，都有 $m^(K) ge m^(K cap E) + m^(K setminus E)$。这个定义看起来不太直接与我们已知的条件联系起来。
一个更方便的定义是：一个集合 $B$ 是可测集当且仅当对于任意的 $varepsilon > 0$，存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。
等等，你提供的条件 本身 就是一个可测集的定义（或等价条件）。这使得问题变得有些特别。通常情况下，我们会从一些更基本的性质出发来证明一个集合是可测集。
但是，如果我们将题目理解为“给定点集 $B$ 满足 某个性质，并且这个性质是：对任给 $varepsilon > 0$，都存在可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。证明 $B$ 是可测集。” 那么，这个性质 就是 可测集的定义。这意味着，我们只需要直接引用这个定义作为证明。
解法一：直接应用可测集的定义
根据勒贝格测度论中关于可测集的等价定义之一，一个集合 $B$ 是可测集当且仅当对于任意的 $varepsilon > 0$，存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。
题目中给定的条件正是这个等价定义本身。因此，直接根据这个定义，我们可以得出结论：点集 $B$ 是可测集。
重要说明： 这看起来可能有点“偷懒”，但这是最直接也是最符合逻辑的证明。如果我们接受“存在可测集 $A$ 使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$”是可测集的定义，那么题目给出的条件就等同于定义，证明自然就完成了。
然而，这可能不是出题者想要看到的答案，因为这没有展示出任何推导过程。出题者可能希望我们从更基础的方面来证明，或者使用一个不同的等价定义来推导。
我们尝试从另一个角度来思考，假设我们不知道“存在可测集 $A$ 使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$”是可测集的定义，而是知道另一个定义，然后利用题目中的条件来证明它。
其他常用的可测集定义或等价条件：
1. Carathéodory 可测集定义： 对于任意集合 $K subseteq mathbb{R}$，满足 $m^(K) = m^(K cap B) + m^(K setminus B)$。
2. 与开集或闭集的距离： $B$ 是可测集当且仅当对任意 $varepsilon > 0$，存在一个开集 $G$ 和一个闭集 $F$，使得 $F subseteq B subseteq G$ 且 $m^(G setminus F) < varepsilon$。（这个条件通常是可测集的一个重要性质，也可以用来定义可测集）。
3. 与紧集的距离： $B$ 是可测集当且仅当对任意 $varepsilon > 0$，存在一个紧集 $K$，使得 $m^(B setminus K) < varepsilon$。（这是可测集在 $mathbb{R}$ 上特有的性质，基于开集与闭集的关系）。
考虑到题目已经给了我们关于“与可测集的对称差小于 $varepsilon$”的信息，我们最自然的“其他解法”就是尝试利用它来证明 Carathéodory 定义。
解法二：利用对称差条件证明 Carathéodory 定义
我们需要证明：对于任意集合 $K subseteq mathbb{R}$，都有 $m^(K) = m^(K cap B) + m^(K setminus B)$。
已知条件：对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$，使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$。
我们知道外测度具有单调性和次可加性：
如果 $X subseteq Y$，则 $m^(X) le m^(Y)$。
对于任意集合序列 ${E_i}_{i=1}^infty$，有 $m^(cup_{i=1}^infty E_i) le sum_{i=1}^infty m^(E_i)$。
同时，对于可测集 $A$，有 $m^(K) = m^(K cap A) + m^(K setminus A)$。这是因为 $A$ 本身是可测的，我们可以直接应用 Carathéodory 定义在 $A$ 上。
现在我们来处理 $m^(K cap B) + m^(K setminus B)$。
我们有：
$K cap B = K cap B cap A_delta cup K cap B cap A_delta^c$
$K setminus B = K setminus B cap A_delta cup K setminus B cap A_delta^c$
并且，
$K cap A_delta = K cap A_delta cap B cup K cap A_delta cap B^c = K cap A_delta cap B cup K cap A_delta setminus B$
$K setminus A_delta = K setminus A_delta cap B cup K setminus A_delta cap B^c = K setminus A_delta cap B cup K setminus A_delta setminus B$
让我们先聚焦在 $K$ 和 $A_delta$ 的关系上。由于 $A_delta$ 是可测集，我们有：
$m^(K) = m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)$
现在我们需要将这里的 $A_delta$ 与 $B$ 联系起来。
考虑集合 $K cap B$ 和 $K setminus B$。
我们有：
$K cap B = (K cap B) cap A_delta cup (K cap B) cap A_delta^c$
$K setminus B = (K setminus B) cap A_delta cup (K setminus B) cap A_delta^c$
由于 $A_delta Delta B = (A_delta setminus B) cup (B setminus A_delta)$，我们知道：
$m^(A_delta setminus B) le m^(A_delta Delta B) < delta$
$m^(B setminus A_delta) le m^(A_delta Delta B) < delta$
现在我们来估计 $m^(K cap B)$ 和 $m^(K setminus B)$。
利用 $A_delta$ 的可测性：
$m^(K cap B) = m^(K cap B cap A_delta) + m^(K cap B cap A_delta^c)$
$m^(K setminus B) = m^(K setminus B cap A_delta) + m^(K setminus B cap A_delta^c)$
对第一式进行分析：
$K cap B cap A_delta subseteq K cap A_delta$
$K cap A_delta setminus B = K cap (A_delta setminus B)$
由于 $A_delta$ 是可测集，我们有：
$m^(K cap A_delta) = m^(K cap A_delta cap B) + m^(K cap A_delta cap B^c)$
所以，$m^(K cap A_delta cap B) = m^(K cap A_delta) m^(K cap A_delta cap B^c)$
$K cap A_delta cap B^c = K cap (A_delta setminus B)$
所以，$m^(K cap A_delta cap B^c) = m^(K cap (A_delta setminus B))$
利用单调性：
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$
因此，$m^(K cap A_delta cap B) = m^(K cap A_delta) m^(K cap (A_delta setminus B)) ge m^(K cap A_delta) delta$
现在考虑 $m^(K cap B cap A_delta^c)$：
$K cap B cap A_delta^c subseteq K cap A_delta^c$
$K cap A_delta^c setminus B = K cap (A_delta^c setminus B) = K cap (B setminus A_delta)$
由于 $A_delta$ 是可测集，有 $m^(K cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c cap B) + m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
所以，$m^(K cap B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
我们关注 $K cap A_delta^c cap B^c = K cap (B setminus A_delta)$。
$m^(K cap (B setminus A_delta)) le m^(B setminus A_delta) < delta$
因此，$m^(K cap B cap A_delta^c) ge m^(K cap A_delta^c) delta$
将上面两个结果加起来：
$m^(K cap B) = m^(K cap B cap A_delta) + m^(K cap B cap A_delta^c) ge (m^(K cap A_delta) delta) + (m^(K cap A_delta^c) delta)$
$m^(K cap B) ge m^(K cap A_delta) + m^(K cap A_delta^c) 2delta$
由于 $m^(K) = m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)$，并且 $K cap A_delta^c = K setminus A_delta$，所以：
$m^(K cap B) ge m^(K) 2delta$
现在我们来估计 $m^(K setminus B)$。
$K setminus B = (K setminus B) cap A_delta cup (K setminus B) cap A_delta^c$
$K setminus B cap A_delta = K cap (A_delta setminus B)$
$K cap (A_delta setminus B) subseteq A_delta setminus B$.
所以，$m^(K setminus B cap A_delta) le m^(A_delta setminus B) < delta$
$K setminus B cap A_delta^c subseteq K cap A_delta^c$
$K cap A_delta^c setminus B = K cap (A_delta^c setminus B) = K cap (B setminus A_delta)$
$m^(K setminus B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B)$
$K cap A_delta^c cap B = K cap B cap A_delta^c$
我们知道 $m^(K cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c cap B) + m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
所以，$m^(K cap B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
我们有 $K cap B cap A_delta^c subseteq B cap A_delta^c = B setminus A_delta$
所以 $m^(K cap B cap A_delta^c) le m^(B setminus A_delta) < delta$.
现在看 $m^(K setminus B cap A_delta) = m^(K cap (A_delta setminus B))$
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$
所以，$m^(K setminus B) = m^(K cap (A_delta setminus B)) + m^(K cap A_delta^c setminus B)$
$m^(K setminus B) = m^(K cap (A_delta setminus B)) + m^(K cap (B setminus A_delta))$
利用单调性：
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$
$m^(K cap (B setminus A_delta)) le m^(B setminus A_delta) < delta$
这是在 $K$ 的约束下的。
我们知道 $m^(K setminus B) = m^(K setminus B cap A_delta) + m^(K setminus B cap A_delta^c)$
$K setminus B cap A_delta = K cap (A_delta setminus B)$.
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$.
$K setminus B cap A_delta^c subseteq K cap A_delta^c$.
$m^(K setminus B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B)$
让我们换个思路，直接估计 $K cap B$ 和 $K setminus B$ 与 $K cap A_delta$ 和 $K setminus A_delta$ 的关系。
我们知道：
$K cap B subseteq K cap A_delta cup K cap (B setminus A_delta)$
$K setminus B subseteq K setminus A_delta cup K cap (A_delta setminus B)$
利用次可加性：
$m^(K cap B) le m^(K cap A_delta) + m^(K cap (B setminus A_delta))$
由于 $K cap (B setminus A_delta) subseteq B setminus A_delta$，所以 $m^(K cap (B setminus A_delta)) le m^(B setminus A_delta) < delta$.
所以，$m^(K cap B) le m^(K cap A_delta) + delta$.
同样地：
$m^(K setminus B) le m^(K setminus A_delta) + m^(K cap (A_delta setminus B))$
由于 $K cap (A_delta setminus B) subseteq A_delta setminus B$，所以 $m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$.
所以，$m^(K setminus B) le m^(K setminus A_delta) + delta$.
将这两个不等式相加：
$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le m^(K cap A_delta) + delta + m^(K setminus A_delta) + delta$
$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le (m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)) + 2delta$
由于 $A_delta$ 是可测集，我们有 $m^(K) = m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)$。
所以，$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le m^(K) + 2delta$.
由于这是对任意 $delta > 0$ 都成立的，我们可以令 $delta o 0$，得到：
$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le m^(K)$.
另一方面，我们也有：
$K = (K cap B) cup (K setminus B)$.
所以 $m^(K) le m^(K cap B) + m^(K setminus B)$ （这是外测度的次可加性）。
结合两个不等式，我们得出：
$m^(K) = m^(K cap B) + m^(K setminus B)$.
这就证明了 $B$ 满足 Carathéodory 可测集定义。因此，$B$ 是一个可测集。
解法三：利用开集和紧集近似（针对实数集 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{R}^n$ 的情况）
我们知道，一个集合 $B$ 是勒贝格可测的，当且仅当对于任意 $varepsilon > 0$，存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。
我们也可以利用这个定义去逼近一个开集或闭集。
题目给出：对任意 $varepsilon > 0$，存在可测集 $A_varepsilon$，使得 $m^(A_epsilon Delta B) < varepsilon$。
根据勒贝格测度论的一个基本性质，对于任意可测集 $A$，存在一个开集 $G$ 和一个闭集 $F$，使得 $F subseteq A subseteq G$ 且 $m^(G setminus F) < eta$ 对于任意 $eta > 0$。
我们知道可测集 $A_varepsilon$ 可以被一个开集 $G_varepsilon$ 和一个闭集 $F_varepsilon$ 近似。
让我们来考虑 $B$ 与开集和闭集的关系。
我们希望证明，对于任意 $varepsilon > 0$，存在开集 $G$ 和闭集 $F$，使得 $F subseteq B subseteq G$ 且 $m^(G setminus F) < varepsilon$。
根据已知条件，对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$。
我们知道，对于任何可测集 $A_delta$，存在一个开集 $G_delta$ 使得 $A_delta subseteq G_delta$ 且 $m^(G_delta setminus A_delta) < delta$。
现在我们构建一个包含 $B$ 的开集。
我们有 $B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$，所以 $m^(B setminus A_delta) le m^(A_delta Delta B) < delta$。
我们也有 $A_delta setminus B subseteq A_delta Delta B$，所以 $m^(A_delta setminus B) < delta$。
考虑集合 $G = G_delta cup (B setminus A_delta)$。
由于 $A_delta subseteq G_delta$，那么 $B cap A_delta subseteq G_delta$.
我们有 $B = (B cap A_delta) cup (B setminus A_delta)$.
所以 $B subseteq G_delta cup (B setminus A_delta) = G$.
因此，$G$ 是一个包含 $B$ 的开集。
我们来估计 $m^(G setminus B)$:
$G setminus B = (G_delta cup (B setminus A_delta)) setminus B = (G_delta setminus B) cup ((B setminus A_delta) setminus B)$
$(B setminus A_delta) setminus B = emptyset$ (因为 $B setminus A_delta$ 的元素都不在 $B$ 中)。
所以 $G setminus B = G_delta setminus B$.
$G_delta setminus B = (G_delta setminus A_delta) cup (A_delta setminus B)$
$m^(G_delta setminus B) le m^(G_delta setminus A_delta) + m^(A_delta setminus B)$
$m^(G_delta setminus B) < delta + delta = 2delta$.
这意味着，对于任意 $delta > 0$，存在一个开集 $G_delta$，使得 $B subseteq G_delta$ 且 $m^(G_delta setminus B) < 2delta$.
如果我们令 $varepsilon = 2delta$，那么对于任意 $varepsilon > 0$，存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
同理，我们可以证明存在一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
我们从 $A_delta$ 开始。存在一个闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
考虑集合 $F = F_delta cap (B setminus A_delta)^c = F_delta cap (A_delta setminus B)^c$
我们有 $A_delta setminus B subseteq A_delta Delta B$.
$B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$.
考虑 $F = F_delta cap (B setminus A_delta)^c$ 这似乎不太对。
让我们换个思路，直接利用 $A_delta$ 去构造包含 $B$ 的开集和包含于 $B$ 的闭集。
我们已经证明了：对于任意 $varepsilon > 0$，存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
现在需要证明存在闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
已知：对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
我们知道，对于任何可测集 $A_delta$，存在一个闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
考虑集合 $F = F_delta cap (B setminus A_delta)^c$ ? 不对。
考虑集合 $F = F_delta cap B$ ? 不够好。
考虑 $A_delta$. 我们知道 $A_delta setminus B subseteq A_delta Delta B$, 故 $m^(A_delta setminus B) < delta$.
$B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$, 故 $m^(B setminus A_delta) < delta$.
现在，我们考虑 $B$ 的补集 $B^c$.
对任意 $varepsilon > 0$，存在可测集 $A_varepsilon'$ 使得 $m^(A_varepsilon' Delta B^c) < varepsilon$.
$A_varepsilon' Delta B^c = (A_varepsilon' setminus B^c) cup (B^c setminus A_varepsilon') = (A_varepsilon' cap B) cup (B^c cap A_varepsilon'^c)$.
$m^(A_varepsilon' cap B) < varepsilon$ 且 $m^(B^c cap A_varepsilon'^c) < varepsilon$.
令 $A_varepsilon'^c = A_varepsilon$. 那么 $A_varepsilon$ 是可测集。
$m^(A_varepsilon Delta (B^c)^c) < varepsilon$, 即 $m^(A_varepsilon Delta B) < varepsilon$.
这个回到原点。
让我们回到 $B subseteq G$ 和 $F subseteq B$ 的思路。
我们已经证明了存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
为了证明 $B$ 是可测集，我们需要找到一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
已知条件：对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$，使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
这意味着，$m^(B setminus A_delta) < delta$.
考虑集合 $B cap A_delta$.
$B cap A_delta subseteq A_delta$, 并且 $A_delta$ 是可测集。
因此，$B cap A_delta$ 是一个“接近” $B$ 的集合。
我们知道 $B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$.
所以 $m^(B setminus A_delta) < delta$.
现在我们来构建一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F)$ 很小。
考虑集合 $B cap A_delta$. 我们想从 $B cap A_delta$ 中提取一个闭集。
对于可测集 $A_delta$，存在一个闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
考虑集合 $F = F_delta cap B$.
由于 $F_delta subseteq A_delta$, 那么 $F_delta cap B subseteq A_delta cap B$.
而 $A_delta cap B subseteq B$, 所以 $F_delta cap B subseteq B$.
同时，$F_delta cap B$ 是闭集与集合的交集，它是闭集。
所以 $F = F_delta cap B$ 是一个闭集，且 $F subseteq B$.
现在我们估计 $m^(B setminus F)$:
$B setminus F = B setminus (F_delta cap B) = B cap (F_delta cap B)^c = B cap (F_delta^c cup B^c) = (B cap F_delta^c) cup (B cap B^c) = B cap F_delta^c$.
所以 $B setminus F = B setminus F_delta$.
$B setminus F_delta = (B setminus A_delta) cup (A_delta setminus F_delta)$
利用次可加性：
$m^(B setminus F_delta) le m^(B setminus A_delta) + m^(A_delta setminus F_delta)$
已知 $m^(B setminus A_delta) < delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
所以，$m^(B setminus F_delta) < delta + delta = 2delta$.
这意味着，对于任意 $delta > 0$，我们都可以找到一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < 2delta$.
如果我们令 $varepsilon = 2delta$，那么对于任意 $varepsilon > 0$，存在一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
结合我们之前对开集的逼近，我们证明了 $B$ 是一个可测集。
总结一下这个思路（解法三）：
1. 利用题目条件“对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$”。
2. 证明存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
取一个可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
存在开集 $G_delta$ 使得 $A_delta subseteq G_delta$ 且 $m^(G_delta setminus A_delta) < delta$.
构造 $G = G_delta cup (B setminus A_delta)$. $G$ 是开集，$B subseteq G$.
估计 $m^(G setminus B) = m^(G_delta setminus B) le m^(G_delta setminus A_delta) + m^(A_delta setminus B) < delta + delta = 2delta$.
3. 证明存在闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
取一个可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
存在闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
构造 $F = F_delta cap B$. $F$ 是闭集，$F subseteq B$.
估计 $m^(B setminus F) = m^(B setminus F_delta) le m^(B setminus A_delta) + m^(A_delta setminus F_delta) < delta + delta = 2delta$.
4. 由于 $B$ 可以被任意小的开集包含，同时 $B$ 可以包含任意小的闭集，且它们之间的测度差很小，根据可测集的性质， $B$ 是可测集。
关于“还有什么解法？”的补充说明：
最直接的解法 就是引用定义本身，如解法一。
证明 Carathéodory 定义 是一个非常标准的证明方式，因为它将一个“与可测集的距离”的条件，转化为了“对所有集合的测度性质”的定义，这是一个更普适和强大的工具，如解法二。
利用开集和闭集逼近 是勒贝格测度论中另一个核心的性质，它将一个集合的可测性与其在拓扑结构上的“可逼近性”联系起来，如解法三。这是在 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{R}^n$ 上证明可测性的常用方法。
选择哪种“其他解法”取决于你想要展示的是哪个核心概念。在教学或考试中，通常希望看到的是解法二或解法三，因为它们展示了更深层次的数学推导和概念应用。而解法一虽然逻辑正确，但可能显得过于简单。
希望这些详细的解释能帮助你理解这个问题。
问题陈述：
设点集 $B$ 是实数集 $mathbb{R}$ 的一个子集。已知条件是：对任意给定的 $varepsilon > 0$，都存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。我们要证明的是，$B$ 也是一个可测集。
其中，$m^$ 表示外测度，$A Delta B$ 表示对称差，即 $A Delta B = (A setminus B) cup (B setminus A)$。
证明：
我们的目标是证明 $B$ 是一个可测集。根据勒贝格可测集的定义，一个集合 $E$ 是可测集当且仅当对于任意的集合 $K$，都有 $m^(K) ge m^(K cap E) + m^(K setminus E)$。这个定义看起来不太直接与我们已知的条件联系起来。
一个更方便的定义是：一个集合 $B$ 是可测集当且仅当对于任意的 $varepsilon > 0$，存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。
等等，你提供的条件 本身 就是一个可测集的定义（或等价条件）。这使得问题变得有些特别。通常情况下，我们会从一些更基本的性质出发来证明一个集合是可测集。
但是，如果我们将题目理解为“给定点集 $B$ 满足 某个性质，并且这个性质是：对任给 $varepsilon > 0$，都存在可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。证明 $B$ 是可测集。” 那么，这个性质 就是 可测集的定义。这意味着，我们只需要直接引用这个定义作为证明。
解法一：直接应用可测集的定义
根据勒贝格测度论中关于可测集的等价定义之一，一个集合 $B$ 是可测集当且仅当对于任意的 $varepsilon > 0$，存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。
题目中给定的条件正是这个等价定义本身。因此，直接根据这个定义，我们可以得出结论：点集 $B$ 是可测集。
重要说明： 这看起来可能有点“偷懒”，但这是最直接也是最符合逻辑的证明。如果我们接受“存在可测集 $A$ 使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$”是可测集的定义，那么题目给出的条件就等同于定义，证明自然就完成了。
然而，这可能不是出题者想要看到的答案，因为这没有展示出任何推导过程。出题者可能希望我们从更基础的方面来证明，或者使用一个不同的等价定义来推导。
我们尝试从另一个角度来思考，假设我们不知道“存在可测集 $A$ 使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$”是可测集的定义，而是知道另一个定义，然后利用题目中的条件来证明它。
其他常用的可测集定义或等价条件：
1. Carathéodory 可测集定义： 对于任意集合 $K subseteq mathbb{R}$，满足 $m^(K) = m^(K cap B) + m^(K setminus B)$。
2. 与开集或闭集的距离： $B$ 是可测集当且仅当对任意 $varepsilon > 0$，存在一个开集 $G$ 和一个闭集 $F$，使得 $F subseteq B subseteq G$ 且 $m^(G setminus F) < varepsilon$。（这个条件通常是可测集的一个重要性质，也可以用来定义可测集）。
3. 与紧集的距离： $B$ 是可测集当且仅当对任意 $varepsilon > 0$，存在一个紧集 $K$，使得 $m^(B setminus K) < varepsilon$。（这是可测集在 $mathbb{R}$ 上特有的性质，基于开集与闭集的关系）。
考虑到题目已经给了我们关于“与可测集的对称差小于 $varepsilon$”的信息，我们最自然的“其他解法”就是尝试利用它来证明 Carathéodory 定义。
解法二：利用对称差条件证明 Carathéodory 定义
我们需要证明：对于任意集合 $K subseteq mathbb{R}$，都有 $m^(K) = m^(K cap B) + m^(K setminus B)$。
已知条件：对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$，使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$。
我们知道外测度具有单调性和次可加性：
如果 $X subseteq Y$，则 $m^(X) le m^(Y)$。
对于任意集合序列 ${E_i}_{i=1}^infty$，有 $m^(cup_{i=1}^infty E_i) le sum_{i=1}^infty m^(E_i)$。
同时，对于可测集 $A$，有 $m^(K) = m^(K cap A) + m^(K setminus A)$。这是因为 $A$ 本身是可测的，我们可以直接应用 Carathéodory 定义在 $A$ 上。
现在我们来处理 $m^(K cap B) + m^(K setminus B)$。
我们有：
$K cap B = K cap B cap A_delta cup K cap B cap A_delta^c$
$K setminus B = K setminus B cap A_delta cup K setminus B cap A_delta^c$
并且，
$K cap A_delta = K cap A_delta cap B cup K cap A_delta cap B^c = K cap A_delta cap B cup K cap A_delta setminus B$
$K setminus A_delta = K setminus A_delta cap B cup K setminus A_delta cap B^c = K setminus A_delta cap B cup K setminus A_delta setminus B$
让我们先聚焦在 $K$ 和 $A_delta$ 的关系上。由于 $A_delta$ 是可测集，我们有：
$m^(K) = m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)$
现在我们需要将这里的 $A_delta$ 与 $B$ 联系起来。
考虑集合 $K cap B$ 和 $K setminus B$。
我们有：
$K cap B = (K cap B) cap A_delta cup (K cap B) cap A_delta^c$
$K setminus B = (K setminus B) cap A_delta cup (K setminus B) cap A_delta^c$
由于 $A_delta Delta B = (A_delta setminus B) cup (B setminus A_delta)$，我们知道：
$m^(A_delta setminus B) le m^(A_delta Delta B) < delta$
$m^(B setminus A_delta) le m^(A_delta Delta B) < delta$
现在我们来估计 $m^(K cap B)$ 和 $m^(K setminus B)$。
利用 $A_delta$ 的可测性：
$m^(K cap B) = m^(K cap B cap A_delta) + m^(K cap B cap A_delta^c)$
$m^(K setminus B) = m^(K setminus B cap A_delta) + m^(K setminus B cap A_delta^c)$
对第一式进行分析：
$K cap B cap A_delta subseteq K cap A_delta$
$K cap A_delta setminus B = K cap (A_delta setminus B)$
由于 $A_delta$ 是可测集，我们有：
$m^(K cap A_delta) = m^(K cap A_delta cap B) + m^(K cap A_delta cap B^c)$
所以，$m^(K cap A_delta cap B) = m^(K cap A_delta) m^(K cap A_delta cap B^c)$
$K cap A_delta cap B^c = K cap (A_delta setminus B)$
所以，$m^(K cap A_delta cap B^c) = m^(K cap (A_delta setminus B))$
利用单调性：
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$
因此，$m^(K cap A_delta cap B) = m^(K cap A_delta) m^(K cap (A_delta setminus B)) ge m^(K cap A_delta) delta$
现在考虑 $m^(K cap B cap A_delta^c)$：
$K cap B cap A_delta^c subseteq K cap A_delta^c$
$K cap A_delta^c setminus B = K cap (A_delta^c setminus B) = K cap (B setminus A_delta)$
由于 $A_delta$ 是可测集，有 $m^(K cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c cap B) + m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
所以，$m^(K cap B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
我们关注 $K cap A_delta^c cap B^c = K cap (B setminus A_delta)$。
$m^(K cap (B setminus A_delta)) le m^(B setminus A_delta) < delta$
因此，$m^(K cap B cap A_delta^c) ge m^(K cap A_delta^c) delta$
将上面两个结果加起来：
$m^(K cap B) = m^(K cap B cap A_delta) + m^(K cap B cap A_delta^c) ge (m^(K cap A_delta) delta) + (m^(K cap A_delta^c) delta)$
$m^(K cap B) ge m^(K cap A_delta) + m^(K cap A_delta^c) 2delta$
由于 $m^(K) = m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)$，并且 $K cap A_delta^c = K setminus A_delta$，所以：
$m^(K cap B) ge m^(K) 2delta$
现在我们来估计 $m^(K setminus B)$。
$K setminus B = (K setminus B) cap A_delta cup (K setminus B) cap A_delta^c$
$K setminus B cap A_delta = K cap (A_delta setminus B)$
$K cap (A_delta setminus B) subseteq A_delta setminus B$.
所以，$m^(K setminus B cap A_delta) le m^(A_delta setminus B) < delta$
$K setminus B cap A_delta^c subseteq K cap A_delta^c$
$K cap A_delta^c setminus B = K cap (A_delta^c setminus B) = K cap (B setminus A_delta)$
$m^(K setminus B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B)$
$K cap A_delta^c cap B = K cap B cap A_delta^c$
我们知道 $m^(K cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c cap B) + m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
所以，$m^(K cap B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B^c)$
我们有 $K cap B cap A_delta^c subseteq B cap A_delta^c = B setminus A_delta$
所以 $m^(K cap B cap A_delta^c) le m^(B setminus A_delta) < delta$.
现在看 $m^(K setminus B cap A_delta) = m^(K cap (A_delta setminus B))$
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$
所以，$m^(K setminus B) = m^(K cap (A_delta setminus B)) + m^(K cap A_delta^c setminus B)$
$m^(K setminus B) = m^(K cap (A_delta setminus B)) + m^(K cap (B setminus A_delta))$
利用单调性：
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$
$m^(K cap (B setminus A_delta)) le m^(B setminus A_delta) < delta$
这是在 $K$ 的约束下的。
我们知道 $m^(K setminus B) = m^(K setminus B cap A_delta) + m^(K setminus B cap A_delta^c)$
$K setminus B cap A_delta = K cap (A_delta setminus B)$.
$m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$.
$K setminus B cap A_delta^c subseteq K cap A_delta^c$.
$m^(K setminus B cap A_delta^c) = m^(K cap A_delta^c) m^(K cap A_delta^c cap B)$
让我们换个思路，直接估计 $K cap B$ 和 $K setminus B$ 与 $K cap A_delta$ 和 $K setminus A_delta$ 的关系。
我们知道：
$K cap B subseteq K cap A_delta cup K cap (B setminus A_delta)$
$K setminus B subseteq K setminus A_delta cup K cap (A_delta setminus B)$
利用次可加性：
$m^(K cap B) le m^(K cap A_delta) + m^(K cap (B setminus A_delta))$
由于 $K cap (B setminus A_delta) subseteq B setminus A_delta$，所以 $m^(K cap (B setminus A_delta)) le m^(B setminus A_delta) < delta$.
所以，$m^(K cap B) le m^(K cap A_delta) + delta$.
同样地：
$m^(K setminus B) le m^(K setminus A_delta) + m^(K cap (A_delta setminus B))$
由于 $K cap (A_delta setminus B) subseteq A_delta setminus B$，所以 $m^(K cap (A_delta setminus B)) le m^(A_delta setminus B) < delta$.
所以，$m^(K setminus B) le m^(K setminus A_delta) + delta$.
将这两个不等式相加：
$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le m^(K cap A_delta) + delta + m^(K setminus A_delta) + delta$
$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le (m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)) + 2delta$
由于 $A_delta$ 是可测集，我们有 $m^(K) = m^(K cap A_delta) + m^(K setminus A_delta)$。
所以，$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le m^(K) + 2delta$.
由于这是对任意 $delta > 0$ 都成立的，我们可以令 $delta o 0$，得到：
$m^(K cap B) + m^(K setminus B) le m^(K)$.
另一方面，我们也有：
$K = (K cap B) cup (K setminus B)$.
所以 $m^(K) le m^(K cap B) + m^(K setminus B)$ （这是外测度的次可加性）。
结合两个不等式，我们得出：
$m^(K) = m^(K cap B) + m^(K setminus B)$.
这就证明了 $B$ 满足 Carathéodory 可测集定义。因此，$B$ 是一个可测集。
解法三：利用开集和紧集近似（针对实数集 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{R}^n$ 的情况）
我们知道，一个集合 $B$ 是勒贝格可测的，当且仅当对于任意 $varepsilon > 0$，存在一个可测集 $A$，使得 $m^(A Delta B) < varepsilon$。
我们也可以利用这个定义去逼近一个开集或闭集。
题目给出：对任意 $varepsilon > 0$，存在可测集 $A_varepsilon$，使得 $m^(A_epsilon Delta B) < varepsilon$。
根据勒贝格测度论的一个基本性质，对于任意可测集 $A$，存在一个开集 $G$ 和一个闭集 $F$，使得 $F subseteq A subseteq G$ 且 $m^(G setminus F) < eta$ 对于任意 $eta > 0$。
我们知道可测集 $A_varepsilon$ 可以被一个开集 $G_varepsilon$ 和一个闭集 $F_varepsilon$ 近似。
让我们来考虑 $B$ 与开集和闭集的关系。
我们希望证明，对于任意 $varepsilon > 0$，存在开集 $G$ 和闭集 $F$，使得 $F subseteq B subseteq G$ 且 $m^(G setminus F) < varepsilon$。
根据已知条件，对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$。
我们知道，对于任何可测集 $A_delta$，存在一个开集 $G_delta$ 使得 $A_delta subseteq G_delta$ 且 $m^(G_delta setminus A_delta) < delta$。
现在我们构建一个包含 $B$ 的开集。
我们有 $B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$，所以 $m^(B setminus A_delta) le m^(A_delta Delta B) < delta$。
我们也有 $A_delta setminus B subseteq A_delta Delta B$，所以 $m^(A_delta setminus B) < delta$。
考虑集合 $G = G_delta cup (B setminus A_delta)$。
由于 $A_delta subseteq G_delta$，那么 $B cap A_delta subseteq G_delta$.
我们有 $B = (B cap A_delta) cup (B setminus A_delta)$.
所以 $B subseteq G_delta cup (B setminus A_delta) = G$.
因此，$G$ 是一个包含 $B$ 的开集。
我们来估计 $m^(G setminus B)$:
$G setminus B = (G_delta cup (B setminus A_delta)) setminus B = (G_delta setminus B) cup ((B setminus A_delta) setminus B)$
$(B setminus A_delta) setminus B = emptyset$ (因为 $B setminus A_delta$ 的元素都不在 $B$ 中)。
所以 $G setminus B = G_delta setminus B$.
$G_delta setminus B = (G_delta setminus A_delta) cup (A_delta setminus B)$
$m^(G_delta setminus B) le m^(G_delta setminus A_delta) + m^(A_delta setminus B)$
$m^(G_delta setminus B) < delta + delta = 2delta$.
这意味着，对于任意 $delta > 0$，存在一个开集 $G_delta$，使得 $B subseteq G_delta$ 且 $m^(G_delta setminus B) < 2delta$.
如果我们令 $varepsilon = 2delta$，那么对于任意 $varepsilon > 0$，存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
同理，我们可以证明存在一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
我们从 $A_delta$ 开始。存在一个闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
考虑集合 $F = F_delta cap (B setminus A_delta)^c = F_delta cap (A_delta setminus B)^c$
我们有 $A_delta setminus B subseteq A_delta Delta B$.
$B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$.
考虑 $F = F_delta cap (B setminus A_delta)^c$ 这似乎不太对。
让我们换个思路，直接利用 $A_delta$ 去构造包含 $B$ 的开集和包含于 $B$ 的闭集。
我们已经证明了：对于任意 $varepsilon > 0$，存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
现在需要证明存在闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
已知：对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
我们知道，对于任何可测集 $A_delta$，存在一个闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
考虑集合 $F = F_delta cap (B setminus A_delta)^c$ ? 不对。
考虑集合 $F = F_delta cap B$ ? 不够好。
考虑 $A_delta$. 我们知道 $A_delta setminus B subseteq A_delta Delta B$, 故 $m^(A_delta setminus B) < delta$.
$B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$, 故 $m^(B setminus A_delta) < delta$.
现在，我们考虑 $B$ 的补集 $B^c$.
对任意 $varepsilon > 0$，存在可测集 $A_varepsilon'$ 使得 $m^(A_varepsilon' Delta B^c) < varepsilon$.
$A_varepsilon' Delta B^c = (A_varepsilon' setminus B^c) cup (B^c setminus A_varepsilon') = (A_varepsilon' cap B) cup (B^c cap A_varepsilon'^c)$.
$m^(A_varepsilon' cap B) < varepsilon$ 且 $m^(B^c cap A_varepsilon'^c) < varepsilon$.
令 $A_varepsilon'^c = A_varepsilon$. 那么 $A_varepsilon$ 是可测集。
$m^(A_varepsilon Delta (B^c)^c) < varepsilon$, 即 $m^(A_varepsilon Delta B) < varepsilon$.
这个回到原点。
让我们回到 $B subseteq G$ 和 $F subseteq B$ 的思路。
我们已经证明了存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
为了证明 $B$ 是可测集，我们需要找到一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
已知条件：对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$，使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
这意味着，$m^(B setminus A_delta) < delta$.
考虑集合 $B cap A_delta$.
$B cap A_delta subseteq A_delta$, 并且 $A_delta$ 是可测集。
因此，$B cap A_delta$ 是一个“接近” $B$ 的集合。
我们知道 $B setminus A_delta subseteq A_delta Delta B$.
所以 $m^(B setminus A_delta) < delta$.
现在我们来构建一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F)$ 很小。
考虑集合 $B cap A_delta$. 我们想从 $B cap A_delta$ 中提取一个闭集。
对于可测集 $A_delta$，存在一个闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
考虑集合 $F = F_delta cap B$.
由于 $F_delta subseteq A_delta$, 那么 $F_delta cap B subseteq A_delta cap B$.
而 $A_delta cap B subseteq B$, 所以 $F_delta cap B subseteq B$.
同时，$F_delta cap B$ 是闭集与集合的交集，它是闭集。
所以 $F = F_delta cap B$ 是一个闭集，且 $F subseteq B$.
现在我们估计 $m^(B setminus F)$:
$B setminus F = B setminus (F_delta cap B) = B cap (F_delta cap B)^c = B cap (F_delta^c cup B^c) = (B cap F_delta^c) cup (B cap B^c) = B cap F_delta^c$.
所以 $B setminus F = B setminus F_delta$.
$B setminus F_delta = (B setminus A_delta) cup (A_delta setminus F_delta)$
利用次可加性：
$m^(B setminus F_delta) le m^(B setminus A_delta) + m^(A_delta setminus F_delta)$
已知 $m^(B setminus A_delta) < delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
所以，$m^(B setminus F_delta) < delta + delta = 2delta$.
这意味着，对于任意 $delta > 0$，我们都可以找到一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < 2delta$.
如果我们令 $varepsilon = 2delta$，那么对于任意 $varepsilon > 0$，存在一个闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
结合我们之前对开集的逼近，我们证明了 $B$ 是一个可测集。
总结一下这个思路（解法三）：
1. 利用题目条件“对任意 $delta > 0$，存在可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$”。
2. 证明存在开集 $G$ 使得 $B subseteq G$ 且 $m^(G setminus B) < varepsilon$.
取一个可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
存在开集 $G_delta$ 使得 $A_delta subseteq G_delta$ 且 $m^(G_delta setminus A_delta) < delta$.
构造 $G = G_delta cup (B setminus A_delta)$. $G$ 是开集，$B subseteq G$.
估计 $m^(G setminus B) = m^(G_delta setminus B) le m^(G_delta setminus A_delta) + m^(A_delta setminus B) < delta + delta = 2delta$.
3. 证明存在闭集 $F$ 使得 $F subseteq B$ 且 $m^(B setminus F) < varepsilon$.
取一个可测集 $A_delta$ 使得 $m^(A_delta Delta B) < delta$.
存在闭集 $F_delta$ 使得 $F_delta subseteq A_delta$ 且 $m^(A_delta setminus F_delta) < delta$.
构造 $F = F_delta cap B$. $F$ 是闭集，$F subseteq B$.
估计 $m^(B setminus F) = m^(B setminus F_delta) le m^(B setminus A_delta) + m^(A_delta setminus F_delta) < delta + delta = 2delta$.
4. 由于 $B$ 可以被任意小的开集包含，同时 $B$ 可以包含任意小的闭集，且它们之间的测度差很小，根据可测集的性质， $B$ 是可测集。
关于“还有什么解法？”的补充说明：
最直接的解法 就是引用定义本身，如解法一。
证明 Carathéodory 定义 是一个非常标准的证明方式，因为它将一个“与可测集的距离”的条件，转化为了“对所有集合的测度性质”的定义，这是一个更普适和强大的工具，如解法二。
利用开集和闭集逼近 是勒贝格测度论中另一个核心的性质，它将一个集合的可测性与其在拓扑结构上的“可逼近性”联系起来，如解法三。这是在 $mathbb{R}$ 或 $mathbb{R}^n$ 上证明可测性的常用方法。
选择哪种“其他解法”取决于你想要展示的是哪个核心概念。在教学或考试中，通常希望看到的是解法二或解法三，因为它们展示了更深层次的数学推导和概念应用。而解法一虽然逻辑正确，但可能显得过于简单。
希望这些详细的解释能帮助你理解这个问题。
网友意见
很好的观察！我同意你说这个证明有问题的理由。
这个命题中，如果把条件换成 是有限个有界闭区间的并，那么这个命题就是所谓的Littlewood第一原则，也是baby rudin对于勒贝格测度的定义。当然题主这个命题还是要强一些，不过没有本质的区别。下面我来提供这种证明。
（你这个符号上面用 ，下面用 ，我就统一用 了）
这里使用可测的一个等价条件： 可测，等价于对任何 ，存在开集 使得 。现在对任何 ，看看能不能找到这样的开集 。
首先由条件，会存在可测集 使得 。由 可测，存在开集 使得 ，此时
故
同时由外测度的定义，存在开集 使得 。令 ，则 是开集，并且有
故 。
这样，我们就证明了 是可测集。
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