理想凸透镜是什么形状？
理想凸透镜，听起来有些高高在上，但其实它就是我们日常生活中经常能见到的那种，比如放大镜、相机镜头、显微镜等等。只不过，我们说的“理想”是有个前提的，它是一种理论上的完美模型，用来简化分析问题。
那么，这个“理想”的凸透镜，究竟是什么形状呢？
最核心的形状：凸曲面
顾名思义，凸透镜最显著的特征就是它的表面是向外凸起的，就像一个向外鼓起的小山丘。但不是随便一个鼓起来的形状都可以。
两面凸： 最常见的理想凸透镜，是两面都向外凸起的。想象一下，就像两个勺子的内侧互相靠拢，但不是完全贴合，而是中间部分最厚，越往边缘越薄。这两个凸起的曲面，通常我们认为它们是球面。也就是说，构成透镜表面的点，到同一个固定点（这个点叫做球心）的距离是相等的。
平凸： 还有一个类型是平凸透镜，顾名思义，它的一面是平的，另一面是向外凸起的球面。就像一块玻璃，其中一面被打磨得像一个弧面。
凹凸（弯月形）： 还有一种是凹凸透镜，或者叫做弯月形透镜。它的一面是向内凹陷的曲面（凹面），另一面是向外凸起的曲面（凸面）。如果凸面比凹面更“鼓”，那么整体效果就和凸透镜一样，会聚光线。
为什么是球面？
你可能会问，为什么不是其他形状的曲面，比如抛物面或者椭球面呢？
主要是因为球面更容易制造，而且在很多情况下，它能提供相当不错的成像效果。
“理想”的特殊含义
说到“理想”的凸透镜，我们还得多聊几句它在光学里的一些“特权”，这些特权让它在理论分析中变得非常方便：
1. 薄透镜近似： 这是最重要的一点。在很多情况下，凸透镜的厚度相对于其焦距来说非常小。于是，我们就可以把它看作是一个“薄片”。这意味着，光线穿过透镜时，折射作用可以集中在透镜的中心平面上，而不需要考虑光线在透镜厚度上的传播过程。这大大简化了计算。
2. 光轴的绝对中心： 理想凸透镜有一个非常重要的概念叫做“光轴”。它是一条穿过透镜中心，并且垂直于透镜表面的直线。对于理想凸透镜，它被假定为一条精确的直线，并且透镜的光学中心（通常就是指上面提到的那个集中折射的平面上的点）就精确地在这个光轴上。
3. 焦点的精确性： 理想凸透镜的焦点是精确的。也就是说，平行于光轴射来的光线，经过透镜折射后，会准确地会聚于一点，这个点就是焦点。同样，从焦点发出的光线，经过透镜折射后，也会平行于光轴射出。而且，这所有的一切，都非常精准，没有“像差”这种实际透镜会遇到的问题。
4. 无像差： 这是“理想”的核心体现。在现实世界中，任何透镜都无法做到完美的成像，总会有各种各样的像差，比如球差（不同高度的光线汇聚点不同）、色差（不同颜色的光线折射角度不同）等等。而我们讨论的“理想凸透镜”，就像一个魔法师，它能让所有的光线都完美地汇聚到一点，成像清晰锐利，没有丝毫变形或模糊。
总结一下
所以，如果你要画一个理想凸透镜，通常会画成两边都是弧形向外凸起的形状，像一个扁扁的橄榄球或者一个放大镜。而它的“理想”之处，体现在它被简化成一个薄片，有着精确的光轴和焦点，并且完美地解决了所有成像中的“瑕疵”。
当我们说“理想凸透镜”时，我们其实是在用一个最简单、最干净的模型来理解光线是如何被它弯曲和汇聚的，这样才能更好地研究更复杂的光学系统，或者为设计更精密的实际透镜打下理论基础。
那么，这个“理想”的凸透镜，究竟是什么形状呢？
最核心的形状：凸曲面
顾名思义，凸透镜最显著的特征就是它的表面是向外凸起的，就像一个向外鼓起的小山丘。但不是随便一个鼓起来的形状都可以。
两面凸： 最常见的理想凸透镜，是两面都向外凸起的。想象一下，就像两个勺子的内侧互相靠拢，但不是完全贴合，而是中间部分最厚，越往边缘越薄。这两个凸起的曲面，通常我们认为它们是球面。也就是说，构成透镜表面的点，到同一个固定点（这个点叫做球心）的距离是相等的。
平凸： 还有一个类型是平凸透镜，顾名思义，它的一面是平的，另一面是向外凸起的球面。就像一块玻璃，其中一面被打磨得像一个弧面。
凹凸（弯月形）： 还有一种是凹凸透镜，或者叫做弯月形透镜。它的一面是向内凹陷的曲面（凹面），另一面是向外凸起的曲面（凸面）。如果凸面比凹面更“鼓”，那么整体效果就和凸透镜一样，会聚光线。
为什么是球面？
你可能会问，为什么不是其他形状的曲面，比如抛物面或者椭球面呢？
主要是因为球面更容易制造，而且在很多情况下，它能提供相当不错的成像效果。
“理想”的特殊含义
说到“理想”的凸透镜，我们还得多聊几句它在光学里的一些“特权”，这些特权让它在理论分析中变得非常方便：
1. 薄透镜近似： 这是最重要的一点。在很多情况下，凸透镜的厚度相对于其焦距来说非常小。于是，我们就可以把它看作是一个“薄片”。这意味着，光线穿过透镜时，折射作用可以集中在透镜的中心平面上，而不需要考虑光线在透镜厚度上的传播过程。这大大简化了计算。
2. 光轴的绝对中心： 理想凸透镜有一个非常重要的概念叫做“光轴”。它是一条穿过透镜中心，并且垂直于透镜表面的直线。对于理想凸透镜，它被假定为一条精确的直线，并且透镜的光学中心（通常就是指上面提到的那个集中折射的平面上的点）就精确地在这个光轴上。
3. 焦点的精确性： 理想凸透镜的焦点是精确的。也就是说，平行于光轴射来的光线，经过透镜折射后，会准确地会聚于一点，这个点就是焦点。同样，从焦点发出的光线，经过透镜折射后，也会平行于光轴射出。而且，这所有的一切，都非常精准，没有“像差”这种实际透镜会遇到的问题。
4. 无像差： 这是“理想”的核心体现。在现实世界中，任何透镜都无法做到完美的成像，总会有各种各样的像差，比如球差（不同高度的光线汇聚点不同）、色差（不同颜色的光线折射角度不同）等等。而我们讨论的“理想凸透镜”，就像一个魔法师，它能让所有的光线都完美地汇聚到一点，成像清晰锐利，没有丝毫变形或模糊。
总结一下
所以，如果你要画一个理想凸透镜，通常会画成两边都是弧形向外凸起的形状，像一个扁扁的橄榄球或者一个放大镜。而它的“理想”之处，体现在它被简化成一个薄片，有着精确的光轴和焦点，并且完美地解决了所有成像中的“瑕疵”。
当我们说“理想凸透镜”时，我们其实是在用一个最简单、最干净的模型来理解光线是如何被它弯曲和汇聚的，这样才能更好地研究更复杂的光学系统，或者为设计更精密的实际透镜打下理论基础。
网友意见
如果该透镜不考虑色散、反射和不平行于光轴的光线，只考虑让平行于光轴的光线的聚焦，而且材料折射率大于1，那么一个理想的形状是双叶双曲面（的其中一叶）和一平面的包围形状（不止这一种理想形状)。
下面简单推导一下：
以焦点为原点，透镜主光轴为x轴建立坐标系，透镜在x轴正方向到原点距离为d，厚度为t，折射率为n,透镜右侧为一平面，左侧为待求曲面的xoy平面截线。
根据费马原理，透镜曲线左侧上一点(x,y)有：
整理得：
这显然是一个双曲线方程，由透镜对光轴的旋转对称性，可知该透镜的左侧是一个双叶双曲面的一叶。
以上计算基于右侧为平面的假设，实际上两侧的曲面形状是相互约束的，有无数组满足条件的曲面，有兴趣的话可以根据左侧为平面来计算右侧曲面的形状，看看有什么发现。
另外值得注意的是，如果透镜材料的折射率小于1，那么透镜的形状就变成了椭球面凹透镜。
几何关系
如图，设
由几何关系（延长法线使用外角定理），
在 内，满足
变量关系
由光的折射定律
于是有
以及斜率的几何意义（法线斜率与切线斜率互为负倒数）
列方程
将数据代入到 式可列出方程：
设
化简并对该方程进行因式分解：
故
的解即为所求.
解方程
请教了大神 @Hcheng ，方程可以化为
令 代入上式，得
解得
于是
其中各常数为
结论
透镜曲线为双曲线的一支. 特别地，当 时为椭圆凹透镜的情况.
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