在与贝叶斯相关的马尔可夫链蒙特卡洛方法中，为什么可以最大化后验概率？
我们先来梳理一下背景，然后深入解释为什么 MCMC 和最大化后验概率之间存在关联，但又要区分开来。
1. 贝叶斯推断与后验概率
在贝叶斯统计中，我们关注的是在观测到数据 $D$ 后，参数 $ heta$ 的后验概率分布 $P( heta | D)$。根据贝叶斯定理，它由先验概率 $P( heta)$ 和似然函数 $P(D | heta)$ 决定：
$$P( heta | D) = frac{P(D | heta) P( heta)}{P(D)}$$
其中，$P(D) = int P(D | heta) P( heta) d heta$ 是边缘似然，它是一个归一化常数。在很多实际问题中，计算 $P(D)$ 是非常困难甚至不可能的。
后验概率 $P( heta | D)$ 包含了我们对参数 $ heta$ 的所有关于不确定性的认识。 我们的目标是理解这个分布，例如计算期望值、方差，或者得到参数的置信区间。
2. MAP 估计：后验概率的最大值点
最大后验概率（Maximum A Posteriori, MAP）估计 是一个点估计，它找到的是后验概率 $P( heta | D)$ 的最大值点。换句话说，MAP 估计器 $hat{ heta}_{MAP}$ 满足：
$$hat{ heta}_{MAP} = arg max_{ heta} P( heta | D)$$
由于 $P(D)$ 是一个常数（对于给定的数据 $D$），最大化 $P( heta | D)$ 等价于最大化 $P(D | heta) P( heta)$。
MAP 估计的意义在于，它找到了在给定数据和先验知识下，最有可能的参数值。 它提供了一个单一的、最具代表性的参数估计。
3. MCMC 的核心目标：对后验分布进行采样
MCMC 的核心目标不是找到后验概率的最大值点，而是从后验分布 $P( heta | D)$ 中抽取一系列的样本 ${ heta^{(1)}, heta^{(2)}, dots, heta^{(N)}}$。一旦我们有了这些样本，我们就可以近似地估计后验分布的各种性质。例如：
期望值： $E[ heta | D] approx frac{1}{N} sum_{i=1}^N heta^{(i)}$
方差： $Var[ heta | D] approx frac{1}{N1} sum_{i=1}^N ( heta^{(i)} E[ heta | D])^2$
分位数（例如中位数）： 对样本进行排序后取中间值。
后验密度： 可以通过核密度估计等方法从样本中重构。
MCMC 的优势在于它不需要计算 $P(D)$ 就可以工作。 它通过构造一个转移到平稳分布为目标后验分布的马尔可夫链，然后运行这个链足够长的时间，使其“收敛”到后验分布，并从稳定状态开始收集样本。
4. MCMC 与最大化后验概率的关联：为什么会产生“最大化”的理解？
尽管 MCMC 的目标是采样，但它与 MAP 估计确实存在一些深刻的联系，这可能是产生“MCMC 用于最大化后验概率”这种理解的原因：
MAP 估计作为后验分布的“最可能”区域： MAP 估计点通常位于后验概率密度较高的区域。如果后验分布是单峰的，那么 MAP 估计点就是这个峰值。MCMC 样本在收敛后，也确实会更频繁地出现在后验概率密度高的区域。
一些 MCMC 算法的“隐含”优化行为： 某些 MCMC 算法，例如 MetropolisHastings 算法，在接受提议的样本时，会根据当前样本和提议样本的后验概率比来决定。如果提议的样本具有更高的后验概率（或更优的似然与先验乘积），它更有可能被接受。从这个角度看，算法在“倾向于”移动到后验概率更高的区域。
Gibbs Sampling 的条件分布最大化： 在 Gibbs Sampling 中，我们逐个更新变量，每次更新一个变量 $ heta_i$ 时，我们都是从其条件后验分布 $P( heta_i | heta_{i}, D)$ 中抽取样本，其中 $ heta_{i}$ 是除了 $ heta_i$ 之外的所有参数。如果这个条件后验分布的形状允许（例如，如果我们知道这个分布的众数），我们可以想象一个更新步骤是找到这个条件后验分布的最大值。但请注意，这不是最大化整个后验概率。
MAP 估计作为 MCMC 的一个“特殊案例”或“简化”。 如果我们只需要一个点估计，并且假设后验分布足够“集中”在某个点附近，那么找到后验概率的最大值点（MAP 估计）可能就足够了。然而，MCMC 提供的是更丰富的信息，能够描述参数的不确定性。
5. 关键区别：目标与输出
虽然存在上述联系，但最根本的区别在于目标和输出：
MAP 估计的目标： 找到后验概率的最大值点。
MCMC 的目标： 从后验概率分布中抽取样本，以近似描述整个分布。
MCMC 实际上提供了一个更通用、更强大的工具。 如果我们运行 MCMC 并得到了大量的后验样本，我们可以从这些样本中计算出 MAP 估计（找到后验密度估算最高的点，或者对后验样本的某个统计量取最大值），但这并不是 MCMC 的主要目的。反过来，MAP 估计只能给你一个点，无法告诉你参数的不确定性。
举个例子：
假设我们要估计抛硬币的正面朝上的概率 $ heta$。我们先验假设 $ heta$ 服从 Beta(1,1)（均匀分布）。观测到 10 次抛硬币，其中 7 次正面。
后验分布： $ heta | D sim ext{Beta}(1+7, 1+3) = ext{Beta}(8, 4)$。
后验均值是 $8 / (8+4) = 8/12 = 2/3$。
后验众数（MAP 估计）是 $(81)/(8+42) = 7/10 = 0.7$。
MCMC： 可以使用 Beta 分布的采样器（例如，通过 Gamma 分布的变换）直接生成 Beta(8,4) 的样本。我们得到一大堆 $ heta$ 的值，例如 0.75, 0.68, 0.72, 0.65, 0.70, ...。通过这些样本，我们可以计算出后验均值（近似 2/3），后验中位数，以及 95% 的后验区间（例如，[0.45, 0.90]），这反映了我们对 $ heta$ 的不确定性。
在这个例子中，MAP 估计是 0.7，这是后验分布的峰值。MCMC 采样到的样本也会集中在 0.7 附近，但也会包含比 0.7 更大或更小的合理值，从而勾勒出整个分布的轮廓。
总结来说，MCMC 并非为了“最大化”后验概率而设计，而是为了“描绘”后验概率。 然而，由于 MAP 估计是后验分布的一个重要特征（它代表了最可能的参数值），并且 MCMC 算法在移动过程中确实会倾向于高概率区域，所以存在一种间接的联系。理解这一点至关重要：MCMC 的威力在于它提供了对整个后验分布的理解，而不仅仅是一个点估计。 即使我们想得到 MAP 估计，通常也有更直接、更高效的优化方法（例如，基于梯度的优化），而 MCMC 的成本更高，因为它需要生成大量样本来逼近一个分布。
网友意见
这篇回答节选自我在专栏《机器学习中的数学：概率统计》中的文章。在这篇文章中，我们通过全面细致的分析MCMC全过程的原理，帮助大家深入理解接受概率。
也欢迎关注我的知乎账号 @石溪 ，将持续发布机器学习数学基础及Python数据分析编程应用等方面的精彩内容。
1.问题的目标
这里我们要一举解决最核心的关键问题：对于任意给定的目标分布 ，我们如何找到以他为唯一平稳分布的马尔科夫链，并且基于马尔科夫链采样的方法，实现对其的近似采样。
找这么一个马尔科夫链，本质上就是要找到他的转移概率矩阵 ，那么首先先确立一个思考路径：有没有什么条件，使得只要我们的转移矩阵 满足了，就意味着目标分布 就是转移矩阵 对应的马尔科夫链的平稳分布呢？
还真有这么一个条件，这个条件就是马尔科夫链的细致平稳条件。
2.平稳分布判定：细致平稳条件
设有马尔科夫链 ，状态空间为 ，转移概率矩阵为 ，以及我们关注的状态分布 ，对于任意状态 ，任意时刻 都满足： ，则称状态分布 满足马尔科夫链的细致平衡条件，该状态分布 就是马尔科夫链 的平稳分布。
我们提前说一下，在这个过程中我们可以把马尔科夫链状态转移概率 按照需要简写成 或 ，表达的都是同一个意思。
看得出，细致平稳条件是一个充分条件，这个条件很强，只要满足了他，就相当于找到了我们要的马尔科夫链。我们来证明一下，很简单：
如果 ，
我们同时对两边的等式求和： ，显然也是成立的。
观察等式的右边， 的取值是独立于参数 的，可以提出来： ，同时依据马尔科夫状态转移矩阵的归一性，可知： ，因此归结起来就有：
到了这一步，其实已经证明结束了，不过可能还有同学没有明白，那我就最后画一张图来彻底点破：
从图中可以知道，对于每一个 的具体取值：
的计算过程实际上就是一次状态分布（行向量）与状态转移矩阵第 列（列向量）点乘的过程，得到的是一个数值，值恰好是状态分布（行向量）的第 个元素，那么如果让 取遍每一个索引值，那么最终得到的就是
， ， ，...，
用一个式子综合起来就是：
这不正是平稳分布的定义式嘛，这正说明了，满足细致平稳条件的目标分布 就是以矩阵 为状态转移矩阵的马尔科夫链的平稳分布。
并且如果此时这个转移概率矩阵对应的马尔科夫链满足不可约、非周期和正常返，那么进一步说明该状态分布 是马尔科夫链的唯一平稳分布。当然如果找到了这个转移矩阵 ，一般而言都是满足这个条件的。
因此，一旦找到了状态转移矩阵，就确定了马尔科夫链。
可是问题来了，感觉还是很难找到这个矩阵啊，例如，我们随便找一个状态转移矩阵 ，一般是无法满足细致平稳条件的，即： ，注意这里我们把 写作 ，是一个意思，这是为了我们后面公式中的写法统一。
同时也把离散型和连续型的马尔科夫链都统一了起来。对于 ，离散型马尔科夫链时，我们称之为转移概率，连续型马尔科夫链我们称之为转移概率密度，或称转移核，本质上是一回事儿，可以类比pmf和pdf的区别和联系。
为了让这个等式能够相等，满足细致平稳条件，我们给他加点料，不是 不相等吗？下面我们让他两边相等，我们来介绍Metropolis-Hastings采样方法具体是怎么做的。
3.Metropolis-Hastings采样方法
在这个采样方法中，针对每一个转移概率 ，我们再定义一个接受概率 ，使得每一个我们最终要构造的状态转移矩阵中的每一项 都是 和 相乘的结果：
即目标马尔科夫矩阵的状态转移矩阵中的每一项都满足：
在建议马尔科夫链中，从状态 转移到状态 的概率是 ，而在目标马尔科夫链中，从状态 到状态 的转移概率是 ，很显然， 表示一个接受概率，他满足 ，那么相比于建议马尔科夫链，在目标马尔科夫链中，从状态 到状态 的转移概率都减小了，但是同时我们知道，马尔科夫链的概率转移矩阵要满足 ，所有的 都减小了，那总有一个要增大？谁增大呢，显然是 增大了。
我们的目标也是借力打力，试想我们要找的目标是状态转移概率矩阵 ，他的唯一稳态是目标分布 ，我们参考上一节接受-拒绝采样方法的思想精髓：既然这个 矩阵难找，我们能不能也找一个所谓的“建议矩阵” ，这个 满足任意性，这样我们就能够利用一个明确的、便于随机游走的另一个马尔科夫链，基于转移概率的建议矩阵 中的每一个具体项 和接受概率 来共同决定最终从状态 到状态 的状态转移概率，以达到如下效果：
第一：最终的状态转移概率 就是我们目标马尔科夫链上状态 到状态 的状态转移概率？也就是说 ？
第二：通过上述方式得到的 满足细致平稳条件，使得目标分布 恰是矩阵 对应的唯一平稳分布？
换句话说，原本要找一个状态转移概率 ，满足细致平稳条件：
而现在则是在建议转移概率矩阵 可以任选的前提下，找到一个接受概率 ，替换掉 ，满足下面的等式成立：
对于任意给定的建议转移概率矩阵 ，这个接受概率 都一定存在吗？问题最终就卡在了这。然后幸运的是，这个答案是：一定存在。马尔科夫链蒙特卡洛方法中的Metropolis-Hastings采样中明确了接受概率 的表达式：
也就是说我们任选一个建议矩阵 ，那么由这个矩阵的每一项和对应的接受概率相乘：
，用这所有相乘得到的结果所对应构成的新矩阵，就是以目标分布 为唯一稳态分布的马尔科夫链的转移概率矩阵 。
4.M-H采样方法的严格证明
这听起来有点神乎其神啊，是这么回事儿吗？我们怎么证明这一点？很简单，只要证明细致平稳条件 成立即可
那么在实际采样操作中，这个如何体现？
显然，分两种情况：
当 ，即 时，有： ，
当 ，即 时，有：
，
归结起来就是：
当 时，
当 时，
有了这个等式，我们再来推导 是否满足细致平稳条件：
到了这里，回顾一下我们的初心，我们的目标是证明细致平稳条件 ，而此时，我们已经推导出了：
那么接下来，我们只要说明：
，再化简一点，就是证明：
这个等式成立
我们把之前的等式关系摆在这里，方便我们推导：
当 时，
当 时，
由于 和 是任意的参数，把 写作 ，把 写作 就有：
当 时，
当 时，
对于 这个待证明的等式，我们还是分情况讨论：
当 时，我们则需要证明 ，此时对上了第一种情况，即 成立。
当 时，我们则需要证明 ，此时对上了第二种情况， 也是成立的。
那么，这就说明了任选一个建议马尔科夫链概率转移矩阵 ，配合接受概率 ， 和目标分布 是满足细致平稳条件的。
5.如何理解随机游走叠加接受概率
那么接下来就是具体操作了，怎么理解，或者说怎么实现基于 矩阵的马尔科夫链随机游走同时再叠加一个接受概率 呢？
再说细致一点，我们就讨论从任意状态 向任意状态 进行状态转移的过程及状态转移概率，单纯基于 矩阵，状态 向每一个其他状态 的概率是 ，其中 ，如何叠加新的接受概率 ？
打个比方，比如有3个状态， ， ， ， ， ， ，依照随机游走的过程，当以 的概率选择往状态$2$转移时，还要最后面临一道考验：在此基础上，此时以0.8的概率真正选择转移到状态2，以1-0.8=0.2的概率选择“半途而废”回到原状态1，这两个动作叠加起来，就是在我们 进行随机游走的过程。如图所示，我们在途中只看状态1到状态2和状态3转移的局部过程：
在目标马尔科夫链的转移概率矩阵 中：
同时验证： ，满足归一性。
6.接受-拒绝过程的设计
那么在随机游走的过程中，怎么模拟这个接受-拒绝的过程呢？假设我们目前处于状态 ，那就当我们已经按照转移概率矩阵 ，依概率决定要转移到状态 时，增加最后一步：生成一个满足 之间均匀分布的随机数 ，如果 ，则决定随机游走的下一个状态是 ，否则下一个状态仍然是 。
还记得我们上一讲当中模拟概率的技巧吗？我们先生成一个 之间满足均匀分布的随机数 ，如果 ，则决定接受，否则就拒绝。
7.建议转移概率矩阵 的设计
最后一个问题就是我们应该构建一个怎么样的建议转移概率矩阵 ？其实这个矩阵 选取的原则很简单：
第一是：必须要满足马尔科夫概率转移矩阵的归一性，即 。
第二是：获取 时刻的采样点 后，依概率选取 时刻的采样点 的过程简单易行，方便用计算机模拟。
下面我们来解决这个问题：或者说当前处在某个特定的采样点 ，我们如何决定下一个随机游走的采样点 ?我们可以看做，状态空间 中的采样值 和 分别对应了状态 和状态 ，那么从 时刻的采样点 转移到 时刻的采样点 的概率值就是存放在矩阵 位置上，以此类推构造出整个矩阵 。
其中一种比较好的定义方法是：
这是什么意思？他指的是从 时刻的某个指定采样点 转移到 时刻的指定采样点 的概率等于在均值为 ，方差为1的整体分布中取得 的概率值，感觉其实应该写成pdf的，因为正态分布是一个连续型的分布，但是这里因为是计算机采样，实际上我们已经把包括目标分布以及这里的正态分布都给离散化了，所以写成pmf更符合实际操作的需要。
那么这么构造的转移概率矩阵 行不行，好不好呢？
首先：行不行？
，也就是整个正态分布概率密度曲线上（这里严格说是离散化后的分布列）所有的取值点的概率求和，显然等于1，满足归一化的要求，因此可行性满足了。如下图所示：
这幅图就是离散化的以 为均值，1为方差的正态分布图，红色的竖线就是 的取值，而黑色的竖线就是示意的几个 的概率取值，我们将建议转移概率矩阵 的 ，也就是 定义为了这个离散化的以 为均值，1为方差的正态分布中 的取值概率，那么由于所有的 的取值概率之和为1，因此就有了： ，这样就彻底说明了上面的观点。
第二：好不好？
如果当前处于采样点 ，依概率 决定下一个采样点 ，难不难？太容易了，这不就是基于 的正态分布模型进行一次采样吗？这样采出的点就是依概率 的新采样点。利用程序在一个正态分布中采样，想想我们都做过多少遍了？
第三：意外之喜。
如下图所示，我们发现，依据正态分布曲线关于均值 对称，因此对于任意两个 和 ，均值为 ，方差为1的正态分布在 处的概率值和均值为 ，方差为1的正态分布在 处的概率值显然是相等的，即：
，即相当于 ，那么接受概率的表达式 就可以化简为 。
8.步骤和演示
好的，最后我们来归纳一下马尔科夫链蒙特卡洛方法中metropolis-Hastings采样的步骤，并实际用python进行演示:
对于目标采样分布 ：
第一步：随机选定一个起始点 ，指定燃烧期 和稳定期 。
第二步：开始采样，每一轮采样都以上一轮的采样值 为均值，方差为1，生成一个正态分布，然后在这个正态分布中依概率随机选取一个值 。
第三步：在 的均匀分布中随机生成一个数 ，并指定接收概率 ，如果 ，则本轮新的采样值为 ，否则本轮新的采样值仍为上一轮的 。
重复第二步~第三步采样过程 次，结束后，保留后 次采样结果作为目标分布的近似采样。
我们还是对之前使用过的目标分布： 进行采样，燃烧期采样个数设定为 ，最终实际保留的有效采样点的个数为 。
代码片段：
import random from scipy.stats import norm import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np import seaborn seaborn.set() # 目标采样分布pi def pi(x): return (0.3 * np.exp(-(x - 0.3) ** 2) + 0.7 * np.exp(-(x - 2.) ** 2 / 0.3)) / 1.2113 m = 10000 # 燃烧期样本数 N = 100000 # 实际保留的有效样本数 sample = [0 for i in range(m + N)] # 采样数组 sample[0] = 2 # 任选一个起始点，选择默认的0也可以，效果一样 # 基于接受概率，在建议马尔科夫链上随机游走采样 for t in range(1, m + N): x = sample[t - 1] x_star = norm.rvs(loc=x, scale=1, size=1)[0] # 生成下一时刻随机游走的点x* alpha = min(1, (pi(x_star) / pi(x))) # 接受概率 u = random.uniform(0, 1) # 生成满足0~1之间均匀分布的随机数 if u < alpha: # 接受-拒绝的过程 sample[t] = x_star else: sample[t] = x x = np.arange(-2, 4, 0.01) plt.plot(x, pi(x), color='r') # 实际目标分布 plt.hist(sample[m:], bins=100, normed=True, color='b', edgecolor='k', alpha=0.6) # 实际分布的近似采样 plt.show() 运行结果：
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