如何反驳如下说法: 1不是无穷大，且若正整数n不是无穷大，则n+1不是无穷大，所以无穷大不存在？

这个说法确实有点绕，但它试图用一种类比的方式来否定无穷大的存在。要反驳它，我们得从它构建论证的根基——“无穷大”的含义——入手。

首先，我们要理解，我们谈论的“无穷大”不是一个具体的数字，它不是一个我们可以用手指点数或者放在天平上称量的东西。它是一种概念，一种描述一种“无止境”或者“超越任何有限数量”状态的数学语言。就像“空集”不是一个包含零个元素的集合，而是“什么都没有”这个概念本身的集合一样，无穷大也不是一个“非常非常大”的数字，而是“没有上界”这个概念的数学表达。

他们的论证“1不是无穷大，且若正整数n不是无穷大，则n+1不是无穷大”是基于我们对有限数和加法运算的直观理解。这部分逻辑没错，它说明了我们熟悉的有限数的性质。每一个有限的正整数，无论多大，都可以通过不断加一而得到下一个更大的数。这个过程确实永远不会“结束”，但“不会结束”和“是无穷大”是两回事。

这个说法试图通过“排除法”来证明无穷大的不存在。它把有限数的性质无限外推，然后说：“你看，无论怎么加一，都还是一个有限数，从来没有‘变成’无穷大，所以无穷大根本不存在。”

这里的误区在于，它把“无穷大”当成了一个可以被“达到”的终点，一个最终会通过加一过程得到的“巨大数”。但实际上，无穷大不是一个“到达点”，而是一种“状态”或者“特性”。

就好吧，就像我说“跑道永远没有尽头”，你反驳我说：“你跑到了任何一个点，那个点都不是‘没有尽头’这个点，所以‘没有尽头’根本不存在。” 这显然是偷换概念了。跑道“没有尽头”不是指一个具体的位置，而是说无论你跑多远，总有更远的地方可以跑。

同样，无穷大也不是我们通过“加一”这个有限的步骤能够“生成”出来的某个具体存在的“数”。它描述的是所有正整数集合的“大小”或者“基数”。当我们在谈论“无穷大”时，我们其实是在谈论像自然数集（1, 2, 3, ...）这样，它里面的元素数量是取之不尽、用之不竭的。

因此，他们的论证“n+1也不是无穷大”恰恰说明了，加一这个操作是定义在有限数上的，它本身就是产生一个比原来“更大”的有限数的过程。这个过程本身并没有“触及”到无穷大的概念。无穷大之所以存在，不是因为它能被加一过程“得到”，而是因为“没有上界”这个性质在数学上是成立的，并且我们用“无穷大”这个符号来描述这种性质。

就好比“无尽的沙漠”不是一个你站在那里就能说“我站在了无尽沙漠的尽头”的地理位置，而是说无论你朝着哪个方向走，你看到的都是更多的沙漠，你永远无法走到“尽头”。

所以，他们的论证就像是在说：“我手里没有无限多的沙子，所以无尽的沙漠不存在。” 这个推理是错误的，因为它混淆了“拥有的量”和“存在的性质”。无穷大就是这样一种数学存在的性质，它不是一个我们能通过有限步骤“创造”出来的具体事物。

网友意见

谢邀。

说法是不理解数学归纳法造成的。

数学归纳法对于f(n) 满足性质P的证明：

1 f(1) 满足性质P

2 对任何自然数k, 若f(k)满足P，则f(k+1)满足P.

注意，最后得出的结论是，对于任意自然数n,

有f(n) 满足P。

//

题中 f(n)=n, P是“不是无穷大”。

证明过程正确：

1 1不是无穷大，

2 若正整数k不是无穷大，则k+1不是无穷大;

得到结论：任意自然数n都不是无穷大。这是一个正确的结论。

（这里的“不是”，严格说，指不符合无穷大的定义）

不能得到“无穷大不存在”的结论。

以上。

//

PS 对于无穷大，数学上，工程上都有不同的定义，

对于绝大多数定义（我所知的所有定义），任意自然数n不是无穷大这个说法大体都是对的。

//

觉得好点个赞，谢谢：）

——————

感谢

@Xiaoming等43人 @Malloy 指出一处 typo, 已经修改。

20180209

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