可导函数的导函数一定连续吗?
这个问题很有意思，我们来好好聊聊。
答案是：不一定。
一个函数可导，并不意味着它的导函数就一定连续。
为了说清楚这个问题，我们先回顾一下几个基本概念：
可导： 一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处可导，意味着它的导数 $f'(x_0)$ 存在。导数存在的几何意义是函数在该点处的切线斜率存在，也就是说函数在该点附近“光滑”地变化，没有尖角或垂直的突变。
导函数： 函数 $f(x)$ 的导函数，记作 $f'(x)$，是另一个函数，它描述了原函数 $f(x)$ 在每一点的瞬时变化率。
连续： 一个函数 $g(x)$ 在某一点 $x_0$ 处连续，意味着 $g(x_0)$ 有定义，$lim_{x o x_0} g(x)$ 存在，并且 $lim_{x o x_0} g(x) = g(x_0)$。简单来说，就是函数图像在该点没有断开、跳跃或缺失。
现在我们来分析为什么可导不一定意味着导函数连续。
核心矛盾点在于：
可导性是关于函数在“一点”的性质。 它只关心函数在该点的“局部”行为，即是否存在一个有限的斜率。
连续性是关于函数在“一点”周围的行为的性质。 它要求函数在这一点的值与其趋近于该点的极限值相等，反映的是函数在局部上“连贯性”。
虽然导数存在意味着函数在一点附近是“光滑”的，但这种光滑性在所有点上都保持“稳定”和“平滑”地变化，这就需要导函数本身是连续的。
举个例子来“戳破”这个想法：
我们构造一个函数，它在某一点可导，但它的导函数在这一点不连续。
考虑函数 $f(x)$：
$$ f(x) = egin{cases} x^2 sinleft(frac{1}{x} ight), & x eq 0 \ 0, & x = 0 end{cases} $$
我们来分析一下：
1. 在 $x eq 0$ 的地方：
$f(x)$ 是由 $x^2$ 和 $sin(1/x)$ 两个函数相乘得到的。$x^2$ 在任何地方都可导且连续，$1/x$ 在 $x eq 0$ 时可导且连续，$sin(u)$ 也是连续可导的。所以，对于 $x eq 0$，我们可以直接求导：
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) + x^2 cosleft(frac{1}{x} ight) cdot left(frac{1}{x^2} ight)$
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight)$
2. 在 $x = 0$ 的地方：
我们要用导数的定义来计算 $f'(0)$：
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{f(0+h) f(0)}{h}$
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{h^2 sinleft(frac{1}{h} ight) 0}{h}$
$f'(0) = lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight)$
我们知道，$1 le sinleft(frac{1}{h} ight) le 1$。
所以，$|h| le h sinleft(frac{1}{h} ight) le |h|$。
当 $h o 0$ 时，$|h| o 0$ 且 $|h| o 0$。
根据夹逼定理，$lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight) = 0$。
所以，$f'(0) = 0$。
这意味着函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是可导的，并且 $f'(0) = 0$。
3. 现在来看导函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性：
我们要比较 $lim_{x o 0} f'(x)$ 和 $f'(0)$。
我们已经知道 $f'(0) = 0$。
现在看 $lim_{x o 0} f'(x)$：
$lim_{x o 0} f'(x) = lim_{x o 0} left( 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight) ight)$
我们来分析这个极限：
第一项：$lim_{x o 0} 2x sinleft(frac{1}{x} ight)$。这和我们计算 $f'(0)$ 时用到的夹逼定理非常相似。由于 $1 le sinleft(frac{1}{x} ight) le 1$，所以 $2|x| le 2x sinleft(frac{1}{x} ight) le 2|x|$。当 $x o 0$ 时，这一项的极限是 0。
第二项：$lim_{x o 0} cosleft(frac{1}{x} ight)$。当 $x o 0$ 时，$frac{1}{x}$ 的值会趋向于正无穷或负无穷，$cosleft(frac{1}{x} ight)$ 的值会在 1 和 1 之间不断震荡，不会收敛到一个确定的值。因此，这个极限不存在。
因为极限 $lim_{x o 0} f'(x)$ 不存在，所以函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是不连续的。
总结一下这个例子：
函数 $f(x) = x^2 sin(1/x)$ (当 $x=0$ 时为 0) 在 $x=0$ 处是可导的，并且 $f'(0)=0$。
但是，它的导函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是不连续的，因为当 $x o 0$ 时，$f'(x)$ 的值会因为 $cos(1/x)$ 这一项而无限震荡，无法趋近于 $f'(0)$ 的值。
那么什么情况下导函数会连续呢？
如果一个函数不仅可导，而且它的导函数连续，那么我们称这个函数为“一阶可微”（或 $C^1$ 函数）。很多我们日常接触到的函数，比如多项式函数、指数函数、三角函数等等，它们不仅可导，而且导函数也是连续的。
反过来呢？导函数连续是否一定可导？
不一定。比如说，函数 $g(x) = |x|$。它在 $x=0$ 处是连续的，但不可导（在 $x=0$ 有一个尖角）。它的导函数是：
$$ g'(x) = egin{cases} 1, & x > 0 \ 1, & x < 0 end{cases} $$
这个导函数在 $x=0$ 处不存在。如果我们要谈论导函数的连续性，首先导函数本身必须存在。
再进一步说：
一个函数可导，其导函数不一定连续。
一个函数可导，其导函数一定是这个函数（原函数）在一个区间上的“局部变化率”，并且导函数在它存在的点上才可能是连续的。
如果一个函数是二阶可导的（即它的导函数本身也存在），那么它的导函数就不一定连续。直到我们讨论到二阶连续可微（$C^2$ 函数），那才是说导函数和导函数的导函数（即二阶导数）都连续。
为什么会有这样的“怪函数”？
这种构造“怪函数”的方法，往往是利用了三角函数（如 $sin(1/x)$ 或 $cos(1/x)$）在趋近于零时会产生无限震荡的特性。通过乘以一个趋于零的速度足够快的项（比如 $x^2$），可以使得函数在零点“强制性地”变得可导，但这种“强制”并没有“平滑”到导函数本身也保持连续。
总结一下：
可导性描述的是函数在一点的“斜率”是否存在，是一个点的性质。导函数的连续性描述的是这个“斜率”在一点附近的变化是否平滑，是一个关于导函数（即斜率函数）的性质。两者是递进但又不互相包含的关系。能保证导函数连续的，往往需要函数本身有更强的光滑性要求，而不仅仅是可导。
希望我的解释够详细，并且没有那种“教科书式”的生硬感。就像我们平常聊天一样，从概念出发，用例子来验证，这样理解起来会更透彻。
答案是：不一定。
一个函数可导，并不意味着它的导函数就一定连续。
为了说清楚这个问题，我们先回顾一下几个基本概念：
可导： 一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处可导，意味着它的导数 $f'(x_0)$ 存在。导数存在的几何意义是函数在该点处的切线斜率存在，也就是说函数在该点附近“光滑”地变化，没有尖角或垂直的突变。
导函数： 函数 $f(x)$ 的导函数，记作 $f'(x)$，是另一个函数，它描述了原函数 $f(x)$ 在每一点的瞬时变化率。
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现在我们来分析为什么可导不一定意味着导函数连续。
核心矛盾点在于：
可导性是关于函数在“一点”的性质。 它只关心函数在该点的“局部”行为，即是否存在一个有限的斜率。
连续性是关于函数在“一点”周围的行为的性质。 它要求函数在这一点的值与其趋近于该点的极限值相等，反映的是函数在局部上“连贯性”。
虽然导数存在意味着函数在一点附近是“光滑”的，但这种光滑性在所有点上都保持“稳定”和“平滑”地变化，这就需要导函数本身是连续的。
举个例子来“戳破”这个想法：
我们构造一个函数，它在某一点可导，但它的导函数在这一点不连续。
考虑函数 $f(x)$：
$$ f(x) = egin{cases} x^2 sinleft(frac{1}{x} ight), & x eq 0 \ 0, & x = 0 end{cases} $$
我们来分析一下：
1. 在 $x eq 0$ 的地方：
$f(x)$ 是由 $x^2$ 和 $sin(1/x)$ 两个函数相乘得到的。$x^2$ 在任何地方都可导且连续，$1/x$ 在 $x eq 0$ 时可导且连续，$sin(u)$ 也是连续可导的。所以，对于 $x eq 0$，我们可以直接求导：
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) + x^2 cosleft(frac{1}{x} ight) cdot left(frac{1}{x^2} ight)$
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight)$
2. 在 $x = 0$ 的地方：
我们要用导数的定义来计算 $f'(0)$：
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{f(0+h) f(0)}{h}$
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{h^2 sinleft(frac{1}{h} ight) 0}{h}$
$f'(0) = lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight)$
我们知道，$1 le sinleft(frac{1}{h} ight) le 1$。
所以，$|h| le h sinleft(frac{1}{h} ight) le |h|$。
当 $h o 0$ 时，$|h| o 0$ 且 $|h| o 0$。
根据夹逼定理，$lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight) = 0$。
所以，$f'(0) = 0$。
这意味着函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处是可导的，并且 $f'(0) = 0$。
3. 现在来看导函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性：
我们要比较 $lim_{x o 0} f'(x)$ 和 $f'(0)$。
我们已经知道 $f'(0) = 0$。
现在看 $lim_{x o 0} f'(x)$：
$lim_{x o 0} f'(x) = lim_{x o 0} left( 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight) ight)$
我们来分析这个极限：
第一项：$lim_{x o 0} 2x sinleft(frac{1}{x} ight)$。这和我们计算 $f'(0)$ 时用到的夹逼定理非常相似。由于 $1 le sinleft(frac{1}{x} ight) le 1$，所以 $2|x| le 2x sinleft(frac{1}{x} ight) le 2|x|$。当 $x o 0$ 时，这一项的极限是 0。
第二项：$lim_{x o 0} cosleft(frac{1}{x} ight)$。当 $x o 0$ 时，$frac{1}{x}$ 的值会趋向于正无穷或负无穷，$cosleft(frac{1}{x} ight)$ 的值会在 1 和 1 之间不断震荡，不会收敛到一个确定的值。因此，这个极限不存在。
因为极限 $lim_{x o 0} f'(x)$ 不存在，所以函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是不连续的。
总结一下这个例子：
函数 $f(x) = x^2 sin(1/x)$ (当 $x=0$ 时为 0) 在 $x=0$ 处是可导的，并且 $f'(0)=0$。
但是，它的导函数 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处是不连续的，因为当 $x o 0$ 时，$f'(x)$ 的值会因为 $cos(1/x)$ 这一项而无限震荡，无法趋近于 $f'(0)$ 的值。
那么什么情况下导函数会连续呢？
如果一个函数不仅可导，而且它的导函数连续，那么我们称这个函数为“一阶可微”（或 $C^1$ 函数）。很多我们日常接触到的函数，比如多项式函数、指数函数、三角函数等等，它们不仅可导，而且导函数也是连续的。
反过来呢？导函数连续是否一定可导？
不一定。比如说，函数 $g(x) = |x|$。它在 $x=0$ 处是连续的，但不可导（在 $x=0$ 有一个尖角）。它的导函数是：
$$ g'(x) = egin{cases} 1, & x > 0 \ 1, & x < 0 end{cases} $$
这个导函数在 $x=0$ 处不存在。如果我们要谈论导函数的连续性，首先导函数本身必须存在。
再进一步说：
一个函数可导，其导函数不一定连续。
一个函数可导，其导函数一定是这个函数（原函数）在一个区间上的“局部变化率”，并且导函数在它存在的点上才可能是连续的。
如果一个函数是二阶可导的（即它的导函数本身也存在），那么它的导函数就不一定连续。直到我们讨论到二阶连续可微（$C^2$ 函数），那才是说导函数和导函数的导函数（即二阶导数）都连续。
为什么会有这样的“怪函数”？
这种构造“怪函数”的方法，往往是利用了三角函数（如 $sin(1/x)$ 或 $cos(1/x)$）在趋近于零时会产生无限震荡的特性。通过乘以一个趋于零的速度足够快的项（比如 $x^2$），可以使得函数在零点“强制性地”变得可导，但这种“强制”并没有“平滑”到导函数本身也保持连续。
总结一下：
可导性描述的是函数在一点的“斜率”是否存在，是一个点的性质。导函数的连续性描述的是这个“斜率”在一点附近的变化是否平滑，是一个关于导函数（即斜率函数）的性质。两者是递进但又不互相包含的关系。能保证导函数连续的，往往需要函数本身有更强的光滑性要求，而不仅仅是可导。
希望我的解释够详细，并且没有那种“教科书式”的生硬感。就像我们平常聊天一样，从概念出发，用例子来验证，这样理解起来会更透彻。
网友意见
你洛的时候，就已经默认了两边都是存在的了。但是导函数的极限未必是存在的。
进一步说，你实际上了证明如果在某点处导函数存在极限，那么导函数在这点连续
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这个问题很有意思，我们来好好聊聊。答案是：不一定。一个函数可导，并不意味着它的导函数就一定连续。为了说清楚这个问题，我们先回顾一下几个基本概念： 可导： 一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 处可导，意味着它的导数 $f'(x_0)$ 存在。导数存在的几何意义是函数在该点处的切线斜率存在............. -
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