函数可导，则其导函数可积？
这是一个非常有意思的问题，关乎函数的可导性与导函数的可积性之间的联系。简单来说，函数可导，其导函数未必可积。这并不是一个简单的“是”或“否”就能概括的，背后隐藏着一些重要的数学概念。
让我们一点点地来剖析这个问题，尽量用更贴近思考过程的方式来解释。
先明确几个概念：
可导（Differentiable）：一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 可导，意味着在该点存在一个唯一的极限 $lim_{h o 0} frac{f(x_0+h) f(x_0)}{h}$。这个极限就是导数 $f'(x_0)$。如果函数在区间内每一点都可导，我们就说函数在该区间可导。可导性比连续性要求更高，可导的函数一定是连续的。
导函数（Derivative Function）：如果函数 $f(x)$ 在一个区间内处处可导，那么我们就可以得到一个关于 $x$ 的新函数，记作 $f'(x)$，它表示 $f(x)$ 在每一点的变化率。
可积（Integrable）：这是指一个函数能否找到一个原函数（antiderivative），或者说，能否用黎曼积分或勒贝格积分来计算其“面积”。更通俗地说，如果一个函数是“良性的”，比如连续函数，它通常是可积的。
为什么直觉上可能觉得“可导就一定可积”？
我们日常接触到的很多函数，比如多项式、三角函数、指数函数等，它们的导函数通常也是这类性质良好的函数，比如 $x^2$ 的导数是 $2x$， $ sin(x) $ 的导数是 $ cos(x) $。这些导函数我们都知道是可以积的。这种经验让我们很容易产生“可导必可积”的直觉。
但是，数学的严谨性在于“即使是很小的例外也要考虑”。
在分析学中，我们常常会构造一些“不那么友好”的函数来测试定理的边界。这里的问题也是一样。我们需要找到一个可导但其导函数不可积的例子。
关键在于导函数的“行为”
导函数不仅仅是“变化率”，它还有一个非常重要的性质：有界性（Boundedness）。
如果一个函数 $f(x)$ 在一个闭区间上可导，并且其导函数 $f'(x)$ 在这个闭区间上有界，那么根据牛顿莱布尼茨公式（也被称为微积分基本定理的第一个部分），这个函数 $f(x)$ 在这个闭区间上是可积的，而且它的积分就是 $f(b) f(a)$。
但是，如果导函数 $f'(x)$ 在某个区间上无界呢？那么即使 $f(x)$ 在该区间上处处可导，它的导函数 $f'(x)$ 也可能无法用我们熟悉的黎曼积分来计算（或者说，它没有一个能够被积分所处理的“面积”）。
寻找那个“不那么友好”的例子
我们需要一个函数，它在某个地方可导，但它的导函数在该地方“跳跃”或者“振荡”得非常厉害，导致导函数变得不可积。
一个经典的例子是这样的：
考虑函数 $f(x)$ 定义如下：
$$ f(x) = egin{cases} x^2 sinleft(frac{1}{x} ight) & x eq 0 \ 0 & x = 0 end{cases} $$
我们来分析一下这个函数：
1. 在 $x eq 0$ 的地方：
$f(x)$ 是 $x^2$ 和 $ sin(frac{1}{x}) $ 的乘积。$x^2$ 在 $x eq 0$ 时是可导的，而 $ sin(frac{1}{x}) $ 是一个复合函数。虽然 $ frac{1}{x} $ 在 $x=0$ 点不可导（或者说趋于无穷），但是对于任何 $x eq 0$，$f(x)$ 的导数是存在的。我们可以用乘法法则和链式法则来计算它：
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) + x^2 cosleft(frac{1}{x} ight) cdot left(frac{1}{x^2} ight)$
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight)$
2. 在 $x = 0$ 的地方：
我们需要用导数的定义来计算 $f'(0)$：
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{f(0+h) f(0)}{h} = lim_{h o 0} frac{h^2 sinleft(frac{1}{h} ight) 0}{h}$
$f'(0) = lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight)$
我们知道，当 $h o 0$ 时，$h o 0$，$ sinleft(frac{1}{h} ight) $ 的值在 1 和 1 之间振荡。根据夹逼定理（Squeeze Theorem），由于 $|h sin(frac{1}{h})| le |h|$ 并且 $lim_{h o 0} |h| = 0$，所以 $lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight) = 0$。
因此，$f'(0) = 0$。
结论： 这个函数 $f(x)$ 在所有的点（包括 $x=0$）都是可导的，其导函数是：
$$ f'(x) = egin{cases} 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight) & x eq 0 \ 0 & x = 0 end{cases} $$
现在来看这个导函数 $f'(x)$ 是否可积？
我们发现，当 $x$ 接近于 0 时，导函数 $f'(x)$ 的行为会变得非常“混乱”。
具体来说，考虑 $f'(x)$ 在 $x o 0$ 的情况：
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight)$
第一项 $2x sinleft(frac{1}{x} ight)$：当 $x o 0$ 时，这一项是 $0 cdot ( ext{有界数})$，所以趋向于 0。
第二项 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $：当 $x o 0$ 时，参数 $ frac{1}{x} $ 趋于无穷。这意味着 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $ 会在 1 和 1 之间无限地振荡。
因此，在 $x=0$ 的附近，尽管 $f'(x)$ 的第一项趋于 0，但第二项 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $ 导致整个 $f'(x)$ 在 $x o 0$ 时并不趋于一个确定的值，它只是在 1 和 1 之间振荡（实际上，它会加上一个越来越小的量 $2x sin(frac{1}{x})$）。
最关键的是，这个 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $ 项使得 $f'(x)$ 在 $x=0$ 点附近无界（虽然它不是无穷大，但它的“振荡幅度”没有收敛）。更重要的是，在任意小的区间内，例如 $(0, epsilon)$，函数 $ cos(frac{1}{x}) $ 会振荡无穷多次。
对于黎曼积分而言，要使一个函数可积，它必须在某个程度上“接近于”连续或者至少不包含那种“病态的振荡”。像 $ cos(frac{1}{x}) $ 这样的振荡行为，使得我们无法通过有限的子区间来逼近它的积分。
所以，函数 $f'(x)$ 在包含 $x=0$ 的任何区间上，都无法被黎曼积分。
总结一下：
可导是函数在某一点的“局部性质”，它要求极限存在。
可积是函数在某个区间上的“整体性质”，它要求函数在整个区间上“行为良好”到可以被积分。
当一个函数 $f(x)$ 可导时，我们得到了它的导函数 $f'(x)$。
如果这个导函数 $f'(x)$ 在考虑的区间上有界，那么根据微积分基本定理，它一定是可积的。
然而，我们构造的例子 $f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$ (当 $x eq 0$)，它的导函数 $f'(x) = 2x sin(frac{1}{x}) cos(frac{1}{x})$ 在 $x=0$ 附近是无界的（或者说有“病态的振荡”），因此它不是黎曼可积的。
重要的补充说明：
虽然我们说这个导函数“不可积”，这里通常指的是黎曼可积性。在更广义的积分理论（如勒贝格积分或更高级的积分理论）下，有些函数可能是可积的。例如，根据勒贝格积分的理论，处处可导函数的导函数是勒贝格可积的（但通常不满足可积的必要条件，即被积函数在某可测集上，乘以该集合的测度后，积分为有限值。这里导函数在某点附近的振荡导致了问题）。不过，一旦导函数没有原始函数那样好的性质，就不能直接套用 $int_a^b f'(x) dx = f(b) f(a)$ 这个公式了。
回到我们最初的例子 $f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$。我们计算了它的导数 $f'(x)$。如果你尝试用黎曼积分来计算 $int_{1}^1 f'(x) dx$，你会发现这个积分无法计算，因为它在 $x=0$ 处“坏了”。但实际上，根据微积分基本定理的更一般形式，如果一个函数 $f$ 是处处可导的，并且它的导函数 $f'$ 是勒贝格可积的，那么 $int_a^b f'(x) dx = f(b) f(a)$。我们的例子 $f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$，虽然 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近是黎曼不可积的，但它是勒贝格可积的。所以，$int_{1}^1 f'(x) dx = f(1) f(1) = sin(1) sin(1) = 2sin(1)$ 是成立的（只是我们不能用黎曼积分的直接计算方法得到它）。
因此，最准确的回答是：如果函数可导，其导函数不一定是黎曼可积的，但如果是勒贝格可积的，则微积分基本定理仍然适用。 这个问题暴露了微积分中从局部（可导）到整体（可积）的转换的复杂性，以及不同积分定义下的细微差别。
让我们一点点地来剖析这个问题，尽量用更贴近思考过程的方式来解释。
先明确几个概念：
可导（Differentiable）：一个函数 $f(x)$ 在某一点 $x_0$ 可导，意味着在该点存在一个唯一的极限 $lim_{h o 0} frac{f(x_0+h) f(x_0)}{h}$。这个极限就是导数 $f'(x_0)$。如果函数在区间内每一点都可导，我们就说函数在该区间可导。可导性比连续性要求更高，可导的函数一定是连续的。
导函数（Derivative Function）：如果函数 $f(x)$ 在一个区间内处处可导，那么我们就可以得到一个关于 $x$ 的新函数，记作 $f'(x)$，它表示 $f(x)$ 在每一点的变化率。
可积（Integrable）：这是指一个函数能否找到一个原函数（antiderivative），或者说，能否用黎曼积分或勒贝格积分来计算其“面积”。更通俗地说，如果一个函数是“良性的”，比如连续函数，它通常是可积的。
为什么直觉上可能觉得“可导就一定可积”？
我们日常接触到的很多函数，比如多项式、三角函数、指数函数等，它们的导函数通常也是这类性质良好的函数，比如 $x^2$ 的导数是 $2x$， $ sin(x) $ 的导数是 $ cos(x) $。这些导函数我们都知道是可以积的。这种经验让我们很容易产生“可导必可积”的直觉。
但是，数学的严谨性在于“即使是很小的例外也要考虑”。
在分析学中，我们常常会构造一些“不那么友好”的函数来测试定理的边界。这里的问题也是一样。我们需要找到一个可导但其导函数不可积的例子。
关键在于导函数的“行为”
导函数不仅仅是“变化率”，它还有一个非常重要的性质：有界性（Boundedness）。
如果一个函数 $f(x)$ 在一个闭区间上可导，并且其导函数 $f'(x)$ 在这个闭区间上有界，那么根据牛顿莱布尼茨公式（也被称为微积分基本定理的第一个部分），这个函数 $f(x)$ 在这个闭区间上是可积的，而且它的积分就是 $f(b) f(a)$。
但是，如果导函数 $f'(x)$ 在某个区间上无界呢？那么即使 $f(x)$ 在该区间上处处可导，它的导函数 $f'(x)$ 也可能无法用我们熟悉的黎曼积分来计算（或者说，它没有一个能够被积分所处理的“面积”）。
寻找那个“不那么友好”的例子
我们需要一个函数，它在某个地方可导，但它的导函数在该地方“跳跃”或者“振荡”得非常厉害，导致导函数变得不可积。
一个经典的例子是这样的：
考虑函数 $f(x)$ 定义如下：
$$ f(x) = egin{cases} x^2 sinleft(frac{1}{x} ight) & x eq 0 \ 0 & x = 0 end{cases} $$
我们来分析一下这个函数：
1. 在 $x eq 0$ 的地方：
$f(x)$ 是 $x^2$ 和 $ sin(frac{1}{x}) $ 的乘积。$x^2$ 在 $x eq 0$ 时是可导的，而 $ sin(frac{1}{x}) $ 是一个复合函数。虽然 $ frac{1}{x} $ 在 $x=0$ 点不可导（或者说趋于无穷），但是对于任何 $x eq 0$，$f(x)$ 的导数是存在的。我们可以用乘法法则和链式法则来计算它：
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) + x^2 cosleft(frac{1}{x} ight) cdot left(frac{1}{x^2} ight)$
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight)$
2. 在 $x = 0$ 的地方：
我们需要用导数的定义来计算 $f'(0)$：
$f'(0) = lim_{h o 0} frac{f(0+h) f(0)}{h} = lim_{h o 0} frac{h^2 sinleft(frac{1}{h} ight) 0}{h}$
$f'(0) = lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight)$
我们知道，当 $h o 0$ 时，$h o 0$，$ sinleft(frac{1}{h} ight) $ 的值在 1 和 1 之间振荡。根据夹逼定理（Squeeze Theorem），由于 $|h sin(frac{1}{h})| le |h|$ 并且 $lim_{h o 0} |h| = 0$，所以 $lim_{h o 0} h sinleft(frac{1}{h} ight) = 0$。
因此，$f'(0) = 0$。
结论： 这个函数 $f(x)$ 在所有的点（包括 $x=0$）都是可导的，其导函数是：
$$ f'(x) = egin{cases} 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight) & x eq 0 \ 0 & x = 0 end{cases} $$
现在来看这个导函数 $f'(x)$ 是否可积？
我们发现，当 $x$ 接近于 0 时，导函数 $f'(x)$ 的行为会变得非常“混乱”。
具体来说，考虑 $f'(x)$ 在 $x o 0$ 的情况：
$f'(x) = 2x sinleft(frac{1}{x} ight) cosleft(frac{1}{x} ight)$
第一项 $2x sinleft(frac{1}{x} ight)$：当 $x o 0$ 时，这一项是 $0 cdot ( ext{有界数})$，所以趋向于 0。
第二项 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $：当 $x o 0$ 时，参数 $ frac{1}{x} $ 趋于无穷。这意味着 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $ 会在 1 和 1 之间无限地振荡。
因此，在 $x=0$ 的附近，尽管 $f'(x)$ 的第一项趋于 0，但第二项 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $ 导致整个 $f'(x)$ 在 $x o 0$ 时并不趋于一个确定的值，它只是在 1 和 1 之间振荡（实际上，它会加上一个越来越小的量 $2x sin(frac{1}{x})$）。
最关键的是，这个 $ cosleft(frac{1}{x} ight) $ 项使得 $f'(x)$ 在 $x=0$ 点附近无界（虽然它不是无穷大，但它的“振荡幅度”没有收敛）。更重要的是，在任意小的区间内，例如 $(0, epsilon)$，函数 $ cos(frac{1}{x}) $ 会振荡无穷多次。
对于黎曼积分而言，要使一个函数可积，它必须在某个程度上“接近于”连续或者至少不包含那种“病态的振荡”。像 $ cos(frac{1}{x}) $ 这样的振荡行为，使得我们无法通过有限的子区间来逼近它的积分。
所以，函数 $f'(x)$ 在包含 $x=0$ 的任何区间上，都无法被黎曼积分。
总结一下：
可导是函数在某一点的“局部性质”，它要求极限存在。
可积是函数在某个区间上的“整体性质”，它要求函数在整个区间上“行为良好”到可以被积分。
当一个函数 $f(x)$ 可导时，我们得到了它的导函数 $f'(x)$。
如果这个导函数 $f'(x)$ 在考虑的区间上有界，那么根据微积分基本定理，它一定是可积的。
然而，我们构造的例子 $f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$ (当 $x eq 0$)，它的导函数 $f'(x) = 2x sin(frac{1}{x}) cos(frac{1}{x})$ 在 $x=0$ 附近是无界的（或者说有“病态的振荡”），因此它不是黎曼可积的。
重要的补充说明：
虽然我们说这个导函数“不可积”，这里通常指的是黎曼可积性。在更广义的积分理论（如勒贝格积分或更高级的积分理论）下，有些函数可能是可积的。例如，根据勒贝格积分的理论，处处可导函数的导函数是勒贝格可积的（但通常不满足可积的必要条件，即被积函数在某可测集上，乘以该集合的测度后，积分为有限值。这里导函数在某点附近的振荡导致了问题）。不过，一旦导函数没有原始函数那样好的性质，就不能直接套用 $int_a^b f'(x) dx = f(b) f(a)$ 这个公式了。
回到我们最初的例子 $f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$。我们计算了它的导数 $f'(x)$。如果你尝试用黎曼积分来计算 $int_{1}^1 f'(x) dx$，你会发现这个积分无法计算，因为它在 $x=0$ 处“坏了”。但实际上，根据微积分基本定理的更一般形式，如果一个函数 $f$ 是处处可导的，并且它的导函数 $f'$ 是勒贝格可积的，那么 $int_a^b f'(x) dx = f(b) f(a)$。我们的例子 $f(x) = x^2 sin(frac{1}{x})$，虽然 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近是黎曼不可积的，但它是勒贝格可积的。所以，$int_{1}^1 f'(x) dx = f(1) f(1) = sin(1) sin(1) = 2sin(1)$ 是成立的（只是我们不能用黎曼积分的直接计算方法得到它）。
因此，最准确的回答是：如果函数可导，其导函数不一定是黎曼可积的，但如果是勒贝格可积的，则微积分基本定理仍然适用。 这个问题暴露了微积分中从局部（可导）到整体（可积）的转换的复杂性，以及不同积分定义下的细微差别。
网友意见
如题，在本科高等数学范畴内，这个命题是否成立？
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