是否存在仅由1和2组成的长度为2^n的序列，可以做到在这个序列中取出所有含1和2的长度为n的序列？
当然存在。我们来详细探讨一下这个问题，并用通俗易懂的方式来解答。
设想一下，我们要构建一个长度为 $2^n$ 的序列，这个序列里面只包含数字 1 和 2。我们的目标是，无论从这个序列中截取任何一个连续的子序列，只要这个子序列的长度是 $n$，并且它里面既包含 1 又包含 2，那么我们都能在整个长序列中找到这个子序列的“副本”。
简单来说，就像你有一个包含 1 和 2 的长字符串，你要保证所有可能的、长度为 $n$ 的、包含 1 和 2 的短字符串，都能在这个长字符串里找到。
为了理解这个过程，我们可以从一些小例子开始。
从 $n=1$ 开始
如果 $n=1$，我们要找长度为 1 的、包含 1 和 2 的序列。但是，长度为 1 的序列，只能是“1”或者“2”，不可能同时包含 1 和 2。所以，对于 $n=1$ 的情况，这个问题没有意义，因为不存在“含 1 和 2 的长度为 1 的序列”。
从 $n=2$ 开始
如果 $n=2$，我们要找长度为 2 的、包含 1 和 2 的序列。这样的序列只有两种可能：
1. “12”
2. “21”
我们的目标是构建一个长度为 $2^2 = 4$ 的序列，只用 1 和 2 组成，并且能包含“12”和“21”。
我们能想到一个简单的序列：“1212”。
我们来看看这个序列里面所有长度为 2 的子序列：
从第一个位置开始：“12”
从第二个位置开始：“21”
从第三个位置开始：“12”
你看，我们成功地包含了“12”和“21”这两个子序列。所以，对于 $n=2$，序列“1212”是符合要求的。
从 $n=3$ 开始
如果 $n=3$，我们要找长度为 3 的、包含 1 和 2 的序列。这样的序列有：
1. “112”
2. “121”
3. “211”
4. “122”
5. “212”
6. “221”
（注意：“111”和“222”不包含 1 和 2，所以我们不考虑它们）。
我们的目标是构建一个长度为 $2^3 = 8$ 的序列。
这里就要引入一个重要的概念，叫做 德布鲁因序列 (De Bruijn sequence)。
德布鲁因序列是一个非常巧妙的工具，它就是为了解决这类问题而生的。一个特定字母表（比如我们的 1 和 2）的德布鲁因序列是这样一种环形序列，它包含了所有可能的长度为 $n$ 的子序列（也叫做 $n$元组）。
对于我们只使用 1 和 2 的情况，我们可以找到一个长度为 $2^n$ 的德布鲁因序列，它包含了所有长度为 $n$ 的、只由 1 和 2 组成的序列。但是，我们需要的是“含 1 和 2 的”序列。
让我们稍微调整一下思路，专门关注“含 1 和 2”的这一部分。
我们知道，总共有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列（每个位置可以是 1 或 2）。其中，只有“11...1”和“22...2”这两种情况不包含 1 和 2。所以，我们实际上需要包含 $2^n 2$ 个长度为 $n$ 的、并且含 1 和 2 的序列。
构建序列的方法：边走边记
我们可以尝试一种“边走边记”的方法来构建我们的长序列。想象我们有一个状态，这个状态代表了我们刚刚看到的最后 $n1$ 个数字。
我们从一个初始状态开始，比如“11...1”（长度为 $n1$）。然后，我们决定下一个数字是什么，是 1 还是 2。我们这样做的时候，会形成一个新的长度为 $n$ 的序列。我们把这个序列记录下来，然后更新我们的状态（只保留最后 $n1$ 个数字）。
我们不断地重复这个过程，直到我们生成了所有可能的长度为 $n$ 的子序列，并且它们都包含 1 和 2。
一个具体的例子： $n=3$
我们要构建长度为 8 的序列，包含所有长度为 3 的含 1 和 2 的序列。
所有长度为 3 的二元序列共有 $2^3 = 8$ 个：
111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
排除不含 1 和 2 的：“111” 和 “222”，我们需要包含：
112, 121, 122, 211, 212, 221
让我们从一个状态开始，比如我们刚看到了“11”（长度为 $n1 = 2$）。
我们可以选择下一个数字是 1 或 2。
1. 如果我们选 1，序列变成“111”。这不符合我们的要求（不含 2）。我们的新状态是“11”。
2. 如果我们选 2，序列变成“112”。这个序列符合要求。我们记录下“112”。我们的新状态是“12”。
现在我们有了“112”。当前序列是“112”。状态是“12”。
从状态“12”出发，下一个数字是 1 还是 2？
1. 如果我们选 1，序列变成“121”。这个符合要求。记录下“121”。新状态是“21”。
2. 如果我们选 2，序列变成“122”。这个符合要求。记录下“122”。新状态是“22”。
我们继续这个过程。这个过程有点像在一个图上进行遍历，其中节点是长度为 $n1$ 的序列，边代表添加下一个数字（1 或 2）形成一个长度为 $n$ 的序列。
更一般的方法：利用图论
我们可以构建一个 图。
图的 节点 是所有长度为 $n1$ 的、由 1 和 2 组成的序列。一共有 $2^{n1}$ 个这样的节点。
从一个节点（比如一个长度为 $n1$ 的序列 $S$）到另一个节点（比如 $S'$），如果我们可以通过添加一个数字（1 或 2）来完成这个转换，并且新的长度为 $n$ 的序列是 $S$ 的后缀，那么就有一条 边。
具体来说，如果节点是序列 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ (这里 $s_i$ 是 0 或 1 的一个变体，我们用 1 和 2)。
如果我们要添加一个数字 $d$ (1 或 2)，那么形成的长度为 $n$ 的序列是 $s_{n2}s_{n3}...s_0d$。
去掉第一个数字，新的长度为 $n1$ 的序列就是 $s_{n3}...s_0d$。这就是下一个节点。
因此，从节点 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ 出发：
1. 添加 1，形成序列 $s_{n2}s_{n3}...s_01$。新的节点是 $s_{n3}...s_01$。我们画一条从节点 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ 到节点 $s_{n3}...s_01$ 的边，并且标记这条边为“1”。
2. 添加 2，形成序列 $s_{n2}s_{n3}...s_02$。新的节点是 $s_{n3}...s_02$。我们画一条从节点 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ 到节点 $s_{n3}...s_02$ 的边，并且标记这条边为“2”。
这个图叫做 德布鲁因图。
在这个德布鲁因图里，每一个节点都有两条出边（一条通往添加 1 的状态，一条通往添加 2 的状态），并且有两条入边（可以由添加 1 或 2 的状态到达）。
现在，我们想要的是一个序列，它包含所有长度为 $n$ 的、含 1 和 2 的序列。
关键在于“欧拉路径”或“欧拉回路”
如果这个德布鲁因图存在一个 欧拉回路，也就是说，存在一条路径，它遍历了图中的每一条边恰好一次，并且最后回到了起点，那么这条路径对应的序列就是我们需要的。
我们知道，一个有向图存在欧拉回路当且仅当：
1. 图中所有顶点的入度和出度相等。
2. 图中所有顶点都是连通的（忽略边的方向）。
在我们构建的德布鲁因图里，每个节点（长度为 $n1$ 的序列）都有两条出边（连接到下一个状态）和两条入边（可以由前一个状态到达）。所以，条件 1 满足了。
条件 2 也很容易满足，因为我们可以从任何一个长度为 $n1$ 的序列通过添加 1 或 2 来到达其他序列。
因此，这个德布鲁因图一定存在一个欧拉回路。
欧拉回路如何对应我们需要的序列？
欧拉回路是一个从一个节点出发，走遍所有边，最后回到起点的序列。我们把路径上经过的边上的标记数字（1 或 2）连接起来，就构成了一个序列。
但是，这里有一个小问题： 欧拉回路会产生长度为 $n$ 的所有可能的二元序列，包括“11...1”和“22...2”。我们需要排除它们。
如何排除“11...1”和“22...2”？
一个巧妙的方法是，我们主动避免在构建序列时产生纯粹由 1 或纯粹由 2 组成的长度为 $n$ 的序列。
我们可以从一个初始状态开始，比如我们选择一个不那么极端的起始点。例如，如果 $n=3$，我们可以选择从“12”这个状态开始。
构造方法示例：$n=3$
我们要找长度为 $2^3=8$ 的序列，包含所有长度为 3 的含 1 和 2 的序列。
长度为 3 的含 1 和 2 的序列有：112, 121, 122, 211, 212, 221 (共 6 个)。
我们可以尝试构建一个长度为 $2^n 2$ 的序列，它包含了所有不重复的长度为 $n$ 的含 1 和 2 的序列。
具体序列的构造：
有一个叫做 “李的算法”（Lee's algorithm） 的方法可以用来生成这样的序列。但更直观的理解是利用德布鲁因序列的性质进行修改。
一种常见的构造方法：
Consider the binary representation of numbers from 0 to $2^n 1$.
Let's say for $n=3$, we have numbers 0 to 7:
0: 000
1: 001
2: 010
3: 011
4: 100
5: 101
6: 110
7: 111
Now, let's map 0 to 1 and 1 to 2. So the numbers become:
111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
If we take the last $n1$ bits of each number, and then append the current bit. This sounds complicated.
Let's focus on the property of periodicity.
一个更简单的说明方法：
我们只需要证明存在这样的序列，而不是构造一个具体的。
考虑一个“生成器”。我们从一个长度为 $n1$ 的序列开始。然后，我们根据一个规则来决定下一个数字（1 或 2）。这个规则需要保证我们遍历了所有可能的长度为 $n$ 的子序列，并且最终我们能够“收尾”。
一个非常经典的方法是利用 “移位寄存器” (Shift Register) 的概念。
想象一个由 $n1$ 个存储单元组成的移位寄存器，每个单元可以存储 1 或 2。
我们可以设计一个 反馈函数，它根据寄存器中当前的状态（这 $n1$ 个数字）来决定下一个要移入寄存器的数字是什么。同时，寄存器中的数字会向右移位，最左边的数字会被“输出”。
反馈函数的设计：
我们希望这个反馈函数能够“打乱”序列，使得所有可能的组合都被生成。
例如，对于 $n=3$，寄存器长度为 2。状态有 “11”, “12”, “21”, “22”。
我们设计一个反馈函数 $f(a, b)$，它决定下一个输入的数字。寄存器中的数字是 $a, b$。
如果当前状态是 $(a, b)$，我们输出 $b$，然后输入 $f(a, b)$。
整个序列就是输出的数字的串联。
例如，设反馈函数为 $f(a,b) = a oplus b + 1 pmod 2$ （将 1 映射为 0，2 映射为 1，然后做异或再加 1）。
假设我们用 0 和 1 来表示，反馈函数是 $f(a,b) = (a+b) pmod 2$。
从状态 (0, 0) 开始：
1. 输出 0。输入 $f(0,0) = 0$。寄存器变成 (0, 0)。
2. 输出 0。输入 $f(0,0) = 0$。寄存器变成 (0, 0)。
这显然不行，这是一个“死循环”。
我们需要一个反馈函数，使得它能产生一个 周期足够长 的序列，并且覆盖所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列。
存在性证明：
我们可以证明，对于任何 $n ge 2$，存在一个线性反馈移位寄存器（LFSR）的状态序列，它能产生长度为 $2^n 1$ 的、不重复的非零二元序列。这个序列的特征在于，它的周期是最大的可能（$2^n 1$）。
然而，我们需要的是 包含所有长度为 $n$ 的二元序列，并且我们只用 1 和 2。
考虑一个更一般的问题：存在一个长度为 $2^n$ 的序列，只用 $k$ 个字母，它包含了所有长度为 $n$ 的 $k$ 元序列。这个序列叫做 德布鲁因序列。
对于我们的问题，字母表是 {1, 2}，字母数量 $k=2$。我们需要一个长度为 $2^n$ 的序列，包含所有长度为 $n$ 的二元序列。
德布鲁因序列的构造
一个长度为 $2^n$ 的德布鲁因序列 (例如，记作 $B(2, n)$) 包含所有长度为 $n$ 的二元序列，每个序列恰好出现一次。
例如，对于 $n=3$, $k=2$，德布鲁因序列的长度是 $2^3 = 8$。
一个例子是：11121222。
我们来看看长度为 3 的子序列：
111, 112, 121, 122, 212, 122, 222, 221
哦，这里的例子有点问题。我们应该看环形德布鲁因序列。
一个 $B(2, 3)$ 的环形序列是：11121222。
在环上，子序列是：
111, 112, 121, 122, 212, 122, 222, 221.
这里仍然有重复的“122”。德布鲁因序列保证的是 所有长度为 $n$ 的序列都出现一次。
我们要找的序列，是所有含 1 和 2 的长度为 $n$ 的序列。
核心思想：利用德布鲁因序列的结构
我们知道存在一个长度为 $2^n$ 的序列，包含所有长度为 $n$ 的二元序列。
让我们考虑一个特定的德布鲁因序列，例如：
我们把 0 映射成 1，1 映射成 2。
对于 $n=3$，所有长度为 3 的二元序列有 8 个：000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111。
转换成 1 和 2：111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222。
一个典型的德布鲁因序列可以由一个 本原多项式 生成。
对于 $n=3$，一个本原多项式是 $x^3 + x + 1$ (在 GF(2) 上)。
它生成的序列（从某个初始状态开始）是：0001011100。
转换成 1 和 2：1112122211。
长度是 10，不对。
我们应该关注的是 “格雷码” (Gray code) 的思想。格雷码的特点是相邻的两个码字只有一个位的变化。
换个角度来思考：
设 $S$ 是我们要找的长度为 $2^n$ 的序列。
我们关注的是长度为 $n$ 的子序列。
总共有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列。
其中只有 “11...1” 和 “22...2” 不符合“含 1 和 2”的条件。
存在的证明：
考虑一个由 1 和 2 组成的序列 $a_1 a_2 ... a_{2^n}$。
我们要确保所有包含 1 和 2 的长度为 $n$ 的子序列都能在 $a_1 ... a_{2^n}$ 中找到。
存在一个称为 “修正的德布鲁因序列” (Modified De Bruijn Sequence) 的概念。
一个简单的构造思路：
我们从一个包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列的“基底”开始。然后我们尝试修改它，以满足“只含 1 和 2”的要求。
一种存在性的证明方法是 归纳法。
假设我们已经找到了满足条件的长度为 $2^{n1}$ 的序列 $S_{n1}$，它可以包含所有含 1 和 2 的长度为 $n1$ 的序列。
现在我们要构建长度为 $2^n$ 的序列 $S_n$。
如果 $S_{n1}$ 本身就能通过一些操作扩展到 $S_n$，那会比较容易。
一个明确的序列例子 (可以作为证明的存在性)：
对于 $n=3$，我们要找长度为 8 的序列，包含：112, 121, 122, 211, 212, 221。
序列：11212221
我们来看看它所有的长度为 3 的子序列（视为环形）：
112
121
122
212
122 (重复)
222 (不含1和2)
221
211 (从最后一个和第一个组合)
这个例子还是有点混乱。让我们回到德布鲁因序列的数学定义。
数学上的严谨证明：
令 $k=2$（字母表大小），$n$ 是子序列的长度。
我们知道存在一个长度为 $k^n$ 的德布鲁因序列，它包含了所有 $k^n$ 个长度为 $n$ 的 $k$ 元序列。
例如，对于 $k=2, n=3$，存在长度为 $2^3=8$ 的德布鲁因序列，包含所有 8 个长度为 3 的二元序列。
一个这样的德布鲁因序列是 (0,0,0,1,0,1,1,1)。将 0 替换为 1，1 替换为 2，得到：
11121222
我们来检查这个序列：
长度为 3 的子序列（在环形意义上）：
111
112
121
122
212
122
222
221
这里 所有 长度为 3 的二元序列都出现了。
我们需要的序列是“含 1 和 2”的。
所以，我们只需要从这个德布鲁因序列中， 移除或者修改 那些“纯粹由 1 组成”和“纯粹由 2 组成”的子序列的生成方式。
核心思路：构造一个包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的子序列的序列，然后调整它来满足条件。
有一个叫做 “回溯移位寄存器” (Feedback Shift Register) 的东西，可以生成所有长度为 $n$ 的序列。
一个更直观的构造方法：
我们可以从一个“基础序列”开始，然后进行修改。
考虑 $n=3$。长度为 8 的序列。
序列：11212221
我们需要的子序列是：112, 121, 122, 211, 212, 221。
从 11212221 中提取的长度为 3 的子序列（视为环形）：
112 (包含)
121 (包含)
122 (包含)
212 (包含)
122 (重复)
222 (不包含1和2，我们要排除它)
221 (包含)
211 (包含)
你看，我们的序列 11212221 已经包含了所有需要的子序列，并且只包含了一个不符合要求的“222”（它不含1和2）。
问题是： 如果我们生成一个“德布鲁因序列”，它包含所有长度为 $n$ 的二元序列，那么这个序列是否一定能通过一些调整，使得它只产生“含 1 和 2”的长度为 $n$ 的子序列？
答案是肯定的。
存在性证明的精髓：
我们可以构造这样一个序列。这个序列不是唯一的。
一个常见的例子是基于 格雷码的生成。
如果我们能生成所有长度为 $n$ 的二元序列，并且在生成过程中，每当我们生成一个新序列时，它都包含 1 和 2，那么我们就成功了。
一个具体的构造方法（证明存在性）：
1. 从一个只包含 1 的序列开始，长度为 $n$。例如，如果 $n=3$，序列是 111。
2. 逐个修改这个序列，使其变成下一个序列，要求变化的是最低位的那个 1 或者 2。
3. 在修改过程中，确保生成的序列不包含纯 1 或纯 2 的情况。
终极答案：
是的，这样的序列存在。
这类序列是 “德布鲁因序列” 的一个变种。德布鲁因序列的定义是，它是一个包含所有长度为 $n$ 的 $k$ 元序列的最小周期序列。对于字母表 {1, 2}，我们有一个长度为 $2^n$ 的德布鲁因序列，它包含了所有长度为 $n$ 的二元序列。
我们需要的序列，是确保在这个德布鲁因序列的基础上，能够“恰好”生成所有 含 1 和 2 的长度为 $n$ 的子序列。
如何保证？
我们可以通过一个巧妙的构造来做到这一点。关键在于，我们不需要在长序列中找到所有 $2^n$ 个子序列，只需要找到那 $2^n2$ 个含 1 和 2 的子序列。
最终的结论是：
存在仅由 1 和 2 组成的长度为 $2^n$ 的序列，能够确保在这个序列中取出所有含 1 和 2 的长度为 $n$ 的子序列。这可以通过德布鲁因序列的理论以及对它的适当修改来证明和构造。
为什么是长度为 $2^n$？
长度为 $2^n$ 是德布鲁因序列的长度。它能包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列。通过一些调整，我们可以让它只“关注”那些含 1 和 2 的子序列。
举个例子来具体说明为什么存在：
考虑 $n=3$。长度为 $2^3 = 8$ 的序列。
我们需要的子序列是：112, 121, 122, 211, 212, 221。
存在这样的序列：11212221 (这是一个环形序列，最后一个 1 和前两个 11 组成 111)。
我们来看这个序列的“滑动窗口”：
112 (满足)
121 (满足)
122 (满足)
212 (满足)
122 (满足)
222 (不满足，但我们只需要所有“满足的”都被包含)
221 (满足)
211 (满足)
重点在于： 这个序列 确实包含了 所有我们需要的（112, 121, 122, 211, 212, 221）。它还包含了一个“222”，但题目要求的是“取出所有含 1 和 2 的”，而没有说“只能取出含 1 和 2 的”。
所以，只要我们能找到一个包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列的序列，并且能证明我们可以“引导”它产生我们想要的子集，那么答案就是肯定的。
结论：
这样的序列是存在的，它们与德布鲁因序列的构造有关。我们可以从包含所有长度为 $n$ 的二元序列的德布鲁因序列出发，通过调整其构造方法，使其产生我们所需的子集。长度为 $2^n$ 是一个关键的数字，因为它是包含所有长度为 $n$ 的二元序列所需的最小周期。
设想一下，我们要构建一个长度为 $2^n$ 的序列，这个序列里面只包含数字 1 和 2。我们的目标是，无论从这个序列中截取任何一个连续的子序列，只要这个子序列的长度是 $n$，并且它里面既包含 1 又包含 2，那么我们都能在整个长序列中找到这个子序列的“副本”。
简单来说，就像你有一个包含 1 和 2 的长字符串，你要保证所有可能的、长度为 $n$ 的、包含 1 和 2 的短字符串，都能在这个长字符串里找到。
为了理解这个过程，我们可以从一些小例子开始。
从 $n=1$ 开始
如果 $n=1$，我们要找长度为 1 的、包含 1 和 2 的序列。但是，长度为 1 的序列，只能是“1”或者“2”，不可能同时包含 1 和 2。所以，对于 $n=1$ 的情况，这个问题没有意义，因为不存在“含 1 和 2 的长度为 1 的序列”。
从 $n=2$ 开始
如果 $n=2$，我们要找长度为 2 的、包含 1 和 2 的序列。这样的序列只有两种可能：
1. “12”
2. “21”
我们的目标是构建一个长度为 $2^2 = 4$ 的序列，只用 1 和 2 组成，并且能包含“12”和“21”。
我们能想到一个简单的序列：“1212”。
我们来看看这个序列里面所有长度为 2 的子序列：
从第一个位置开始：“12”
从第二个位置开始：“21”
从第三个位置开始：“12”
你看，我们成功地包含了“12”和“21”这两个子序列。所以，对于 $n=2$，序列“1212”是符合要求的。
从 $n=3$ 开始
如果 $n=3$，我们要找长度为 3 的、包含 1 和 2 的序列。这样的序列有：
1. “112”
2. “121”
3. “211”
4. “122”
5. “212”
6. “221”
（注意：“111”和“222”不包含 1 和 2，所以我们不考虑它们）。
我们的目标是构建一个长度为 $2^3 = 8$ 的序列。
这里就要引入一个重要的概念，叫做 德布鲁因序列 (De Bruijn sequence)。
德布鲁因序列是一个非常巧妙的工具，它就是为了解决这类问题而生的。一个特定字母表（比如我们的 1 和 2）的德布鲁因序列是这样一种环形序列，它包含了所有可能的长度为 $n$ 的子序列（也叫做 $n$元组）。
对于我们只使用 1 和 2 的情况，我们可以找到一个长度为 $2^n$ 的德布鲁因序列，它包含了所有长度为 $n$ 的、只由 1 和 2 组成的序列。但是，我们需要的是“含 1 和 2 的”序列。
让我们稍微调整一下思路，专门关注“含 1 和 2”的这一部分。
我们知道，总共有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列（每个位置可以是 1 或 2）。其中，只有“11...1”和“22...2”这两种情况不包含 1 和 2。所以，我们实际上需要包含 $2^n 2$ 个长度为 $n$ 的、并且含 1 和 2 的序列。
构建序列的方法：边走边记
我们可以尝试一种“边走边记”的方法来构建我们的长序列。想象我们有一个状态，这个状态代表了我们刚刚看到的最后 $n1$ 个数字。
我们从一个初始状态开始，比如“11...1”（长度为 $n1$）。然后，我们决定下一个数字是什么，是 1 还是 2。我们这样做的时候，会形成一个新的长度为 $n$ 的序列。我们把这个序列记录下来，然后更新我们的状态（只保留最后 $n1$ 个数字）。
我们不断地重复这个过程，直到我们生成了所有可能的长度为 $n$ 的子序列，并且它们都包含 1 和 2。
一个具体的例子： $n=3$
我们要构建长度为 8 的序列，包含所有长度为 3 的含 1 和 2 的序列。
所有长度为 3 的二元序列共有 $2^3 = 8$ 个：
111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
排除不含 1 和 2 的：“111” 和 “222”，我们需要包含：
112, 121, 122, 211, 212, 221
让我们从一个状态开始，比如我们刚看到了“11”（长度为 $n1 = 2$）。
我们可以选择下一个数字是 1 或 2。
1. 如果我们选 1，序列变成“111”。这不符合我们的要求（不含 2）。我们的新状态是“11”。
2. 如果我们选 2，序列变成“112”。这个序列符合要求。我们记录下“112”。我们的新状态是“12”。
现在我们有了“112”。当前序列是“112”。状态是“12”。
从状态“12”出发，下一个数字是 1 还是 2？
1. 如果我们选 1，序列变成“121”。这个符合要求。记录下“121”。新状态是“21”。
2. 如果我们选 2，序列变成“122”。这个符合要求。记录下“122”。新状态是“22”。
我们继续这个过程。这个过程有点像在一个图上进行遍历，其中节点是长度为 $n1$ 的序列，边代表添加下一个数字（1 或 2）形成一个长度为 $n$ 的序列。
更一般的方法：利用图论
我们可以构建一个 图。
图的 节点 是所有长度为 $n1$ 的、由 1 和 2 组成的序列。一共有 $2^{n1}$ 个这样的节点。
从一个节点（比如一个长度为 $n1$ 的序列 $S$）到另一个节点（比如 $S'$），如果我们可以通过添加一个数字（1 或 2）来完成这个转换，并且新的长度为 $n$ 的序列是 $S$ 的后缀，那么就有一条 边。
具体来说，如果节点是序列 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ (这里 $s_i$ 是 0 或 1 的一个变体，我们用 1 和 2)。
如果我们要添加一个数字 $d$ (1 或 2)，那么形成的长度为 $n$ 的序列是 $s_{n2}s_{n3}...s_0d$。
去掉第一个数字，新的长度为 $n1$ 的序列就是 $s_{n3}...s_0d$。这就是下一个节点。
因此，从节点 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ 出发：
1. 添加 1，形成序列 $s_{n2}s_{n3}...s_01$。新的节点是 $s_{n3}...s_01$。我们画一条从节点 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ 到节点 $s_{n3}...s_01$ 的边，并且标记这条边为“1”。
2. 添加 2，形成序列 $s_{n2}s_{n3}...s_02$。新的节点是 $s_{n3}...s_02$。我们画一条从节点 $s_{n2}s_{n3}...s_0$ 到节点 $s_{n3}...s_02$ 的边，并且标记这条边为“2”。
这个图叫做 德布鲁因图。
在这个德布鲁因图里，每一个节点都有两条出边（一条通往添加 1 的状态，一条通往添加 2 的状态），并且有两条入边（可以由添加 1 或 2 的状态到达）。
现在，我们想要的是一个序列，它包含所有长度为 $n$ 的、含 1 和 2 的序列。
关键在于“欧拉路径”或“欧拉回路”
如果这个德布鲁因图存在一个 欧拉回路，也就是说，存在一条路径，它遍历了图中的每一条边恰好一次，并且最后回到了起点，那么这条路径对应的序列就是我们需要的。
我们知道，一个有向图存在欧拉回路当且仅当：
1. 图中所有顶点的入度和出度相等。
2. 图中所有顶点都是连通的（忽略边的方向）。
在我们构建的德布鲁因图里，每个节点（长度为 $n1$ 的序列）都有两条出边（连接到下一个状态）和两条入边（可以由前一个状态到达）。所以，条件 1 满足了。
条件 2 也很容易满足，因为我们可以从任何一个长度为 $n1$ 的序列通过添加 1 或 2 来到达其他序列。
因此，这个德布鲁因图一定存在一个欧拉回路。
欧拉回路如何对应我们需要的序列？
欧拉回路是一个从一个节点出发，走遍所有边，最后回到起点的序列。我们把路径上经过的边上的标记数字（1 或 2）连接起来，就构成了一个序列。
但是，这里有一个小问题： 欧拉回路会产生长度为 $n$ 的所有可能的二元序列，包括“11...1”和“22...2”。我们需要排除它们。
如何排除“11...1”和“22...2”？
一个巧妙的方法是，我们主动避免在构建序列时产生纯粹由 1 或纯粹由 2 组成的长度为 $n$ 的序列。
我们可以从一个初始状态开始，比如我们选择一个不那么极端的起始点。例如，如果 $n=3$，我们可以选择从“12”这个状态开始。
构造方法示例：$n=3$
我们要找长度为 $2^3=8$ 的序列，包含所有长度为 3 的含 1 和 2 的序列。
长度为 3 的含 1 和 2 的序列有：112, 121, 122, 211, 212, 221 (共 6 个)。
我们可以尝试构建一个长度为 $2^n 2$ 的序列，它包含了所有不重复的长度为 $n$ 的含 1 和 2 的序列。
具体序列的构造：
有一个叫做 “李的算法”（Lee's algorithm） 的方法可以用来生成这样的序列。但更直观的理解是利用德布鲁因序列的性质进行修改。
一种常见的构造方法：
Consider the binary representation of numbers from 0 to $2^n 1$.
Let's say for $n=3$, we have numbers 0 to 7:
0: 000
1: 001
2: 010
3: 011
4: 100
5: 101
6: 110
7: 111
Now, let's map 0 to 1 and 1 to 2. So the numbers become:
111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222
If we take the last $n1$ bits of each number, and then append the current bit. This sounds complicated.
Let's focus on the property of periodicity.
一个更简单的说明方法：
我们只需要证明存在这样的序列，而不是构造一个具体的。
考虑一个“生成器”。我们从一个长度为 $n1$ 的序列开始。然后，我们根据一个规则来决定下一个数字（1 或 2）。这个规则需要保证我们遍历了所有可能的长度为 $n$ 的子序列，并且最终我们能够“收尾”。
一个非常经典的方法是利用 “移位寄存器” (Shift Register) 的概念。
想象一个由 $n1$ 个存储单元组成的移位寄存器，每个单元可以存储 1 或 2。
我们可以设计一个 反馈函数，它根据寄存器中当前的状态（这 $n1$ 个数字）来决定下一个要移入寄存器的数字是什么。同时，寄存器中的数字会向右移位，最左边的数字会被“输出”。
反馈函数的设计：
我们希望这个反馈函数能够“打乱”序列，使得所有可能的组合都被生成。
例如，对于 $n=3$，寄存器长度为 2。状态有 “11”, “12”, “21”, “22”。
我们设计一个反馈函数 $f(a, b)$，它决定下一个输入的数字。寄存器中的数字是 $a, b$。
如果当前状态是 $(a, b)$，我们输出 $b$，然后输入 $f(a, b)$。
整个序列就是输出的数字的串联。
例如，设反馈函数为 $f(a,b) = a oplus b + 1 pmod 2$ （将 1 映射为 0，2 映射为 1，然后做异或再加 1）。
假设我们用 0 和 1 来表示，反馈函数是 $f(a,b) = (a+b) pmod 2$。
从状态 (0, 0) 开始：
1. 输出 0。输入 $f(0,0) = 0$。寄存器变成 (0, 0)。
2. 输出 0。输入 $f(0,0) = 0$。寄存器变成 (0, 0)。
这显然不行，这是一个“死循环”。
我们需要一个反馈函数，使得它能产生一个 周期足够长 的序列，并且覆盖所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列。
存在性证明：
我们可以证明，对于任何 $n ge 2$，存在一个线性反馈移位寄存器（LFSR）的状态序列，它能产生长度为 $2^n 1$ 的、不重复的非零二元序列。这个序列的特征在于，它的周期是最大的可能（$2^n 1$）。
然而，我们需要的是 包含所有长度为 $n$ 的二元序列，并且我们只用 1 和 2。
考虑一个更一般的问题：存在一个长度为 $2^n$ 的序列，只用 $k$ 个字母，它包含了所有长度为 $n$ 的 $k$ 元序列。这个序列叫做 德布鲁因序列。
对于我们的问题，字母表是 {1, 2}，字母数量 $k=2$。我们需要一个长度为 $2^n$ 的序列，包含所有长度为 $n$ 的二元序列。
德布鲁因序列的构造
一个长度为 $2^n$ 的德布鲁因序列 (例如，记作 $B(2, n)$) 包含所有长度为 $n$ 的二元序列，每个序列恰好出现一次。
例如，对于 $n=3$, $k=2$，德布鲁因序列的长度是 $2^3 = 8$。
一个例子是：11121222。
我们来看看长度为 3 的子序列：
111, 112, 121, 122, 212, 122, 222, 221
哦，这里的例子有点问题。我们应该看环形德布鲁因序列。
一个 $B(2, 3)$ 的环形序列是：11121222。
在环上，子序列是：
111, 112, 121, 122, 212, 122, 222, 221.
这里仍然有重复的“122”。德布鲁因序列保证的是 所有长度为 $n$ 的序列都出现一次。
我们要找的序列，是所有含 1 和 2 的长度为 $n$ 的序列。
核心思想：利用德布鲁因序列的结构
我们知道存在一个长度为 $2^n$ 的序列，包含所有长度为 $n$ 的二元序列。
让我们考虑一个特定的德布鲁因序列，例如：
我们把 0 映射成 1，1 映射成 2。
对于 $n=3$，所有长度为 3 的二元序列有 8 个：000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111。
转换成 1 和 2：111, 112, 121, 122, 211, 212, 221, 222。
一个典型的德布鲁因序列可以由一个 本原多项式 生成。
对于 $n=3$，一个本原多项式是 $x^3 + x + 1$ (在 GF(2) 上)。
它生成的序列（从某个初始状态开始）是：0001011100。
转换成 1 和 2：1112122211。
长度是 10，不对。
我们应该关注的是 “格雷码” (Gray code) 的思想。格雷码的特点是相邻的两个码字只有一个位的变化。
换个角度来思考：
设 $S$ 是我们要找的长度为 $2^n$ 的序列。
我们关注的是长度为 $n$ 的子序列。
总共有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列。
其中只有 “11...1” 和 “22...2” 不符合“含 1 和 2”的条件。
存在的证明：
考虑一个由 1 和 2 组成的序列 $a_1 a_2 ... a_{2^n}$。
我们要确保所有包含 1 和 2 的长度为 $n$ 的子序列都能在 $a_1 ... a_{2^n}$ 中找到。
存在一个称为 “修正的德布鲁因序列” (Modified De Bruijn Sequence) 的概念。
一个简单的构造思路：
我们从一个包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列的“基底”开始。然后我们尝试修改它，以满足“只含 1 和 2”的要求。
一种存在性的证明方法是 归纳法。
假设我们已经找到了满足条件的长度为 $2^{n1}$ 的序列 $S_{n1}$，它可以包含所有含 1 和 2 的长度为 $n1$ 的序列。
现在我们要构建长度为 $2^n$ 的序列 $S_n$。
如果 $S_{n1}$ 本身就能通过一些操作扩展到 $S_n$，那会比较容易。
一个明确的序列例子 (可以作为证明的存在性)：
对于 $n=3$，我们要找长度为 8 的序列，包含：112, 121, 122, 211, 212, 221。
序列：11212221
我们来看看它所有的长度为 3 的子序列（视为环形）：
112
121
122
212
122 (重复)
222 (不含1和2)
221
211 (从最后一个和第一个组合)
这个例子还是有点混乱。让我们回到德布鲁因序列的数学定义。
数学上的严谨证明：
令 $k=2$（字母表大小），$n$ 是子序列的长度。
我们知道存在一个长度为 $k^n$ 的德布鲁因序列，它包含了所有 $k^n$ 个长度为 $n$ 的 $k$ 元序列。
例如，对于 $k=2, n=3$，存在长度为 $2^3=8$ 的德布鲁因序列，包含所有 8 个长度为 3 的二元序列。
一个这样的德布鲁因序列是 (0,0,0,1,0,1,1,1)。将 0 替换为 1，1 替换为 2，得到：
11121222
我们来检查这个序列：
长度为 3 的子序列（在环形意义上）：
111
112
121
122
212
122
222
221
这里 所有 长度为 3 的二元序列都出现了。
我们需要的序列是“含 1 和 2”的。
所以，我们只需要从这个德布鲁因序列中， 移除或者修改 那些“纯粹由 1 组成”和“纯粹由 2 组成”的子序列的生成方式。
核心思路：构造一个包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的子序列的序列，然后调整它来满足条件。
有一个叫做 “回溯移位寄存器” (Feedback Shift Register) 的东西，可以生成所有长度为 $n$ 的序列。
一个更直观的构造方法：
我们可以从一个“基础序列”开始，然后进行修改。
考虑 $n=3$。长度为 8 的序列。
序列：11212221
我们需要的子序列是：112, 121, 122, 211, 212, 221。
从 11212221 中提取的长度为 3 的子序列（视为环形）：
112 (包含)
121 (包含)
122 (包含)
212 (包含)
122 (重复)
222 (不包含1和2，我们要排除它)
221 (包含)
211 (包含)
你看，我们的序列 11212221 已经包含了所有需要的子序列，并且只包含了一个不符合要求的“222”（它不含1和2）。
问题是： 如果我们生成一个“德布鲁因序列”，它包含所有长度为 $n$ 的二元序列，那么这个序列是否一定能通过一些调整，使得它只产生“含 1 和 2”的长度为 $n$ 的子序列？
答案是肯定的。
存在性证明的精髓：
我们可以构造这样一个序列。这个序列不是唯一的。
一个常见的例子是基于 格雷码的生成。
如果我们能生成所有长度为 $n$ 的二元序列，并且在生成过程中，每当我们生成一个新序列时，它都包含 1 和 2，那么我们就成功了。
一个具体的构造方法（证明存在性）：
1. 从一个只包含 1 的序列开始，长度为 $n$。例如，如果 $n=3$，序列是 111。
2. 逐个修改这个序列，使其变成下一个序列，要求变化的是最低位的那个 1 或者 2。
3. 在修改过程中，确保生成的序列不包含纯 1 或纯 2 的情况。
终极答案：
是的，这样的序列存在。
这类序列是 “德布鲁因序列” 的一个变种。德布鲁因序列的定义是，它是一个包含所有长度为 $n$ 的 $k$ 元序列的最小周期序列。对于字母表 {1, 2}，我们有一个长度为 $2^n$ 的德布鲁因序列，它包含了所有长度为 $n$ 的二元序列。
我们需要的序列，是确保在这个德布鲁因序列的基础上，能够“恰好”生成所有 含 1 和 2 的长度为 $n$ 的子序列。
如何保证？
我们可以通过一个巧妙的构造来做到这一点。关键在于，我们不需要在长序列中找到所有 $2^n$ 个子序列，只需要找到那 $2^n2$ 个含 1 和 2 的子序列。
最终的结论是：
存在仅由 1 和 2 组成的长度为 $2^n$ 的序列，能够确保在这个序列中取出所有含 1 和 2 的长度为 $n$ 的子序列。这可以通过德布鲁因序列的理论以及对它的适当修改来证明和构造。
为什么是长度为 $2^n$？
长度为 $2^n$ 是德布鲁因序列的长度。它能包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列。通过一些调整，我们可以让它只“关注”那些含 1 和 2 的子序列。
举个例子来具体说明为什么存在：
考虑 $n=3$。长度为 $2^3 = 8$ 的序列。
我们需要的子序列是：112, 121, 122, 211, 212, 221。
存在这样的序列：11212221 (这是一个环形序列，最后一个 1 和前两个 11 组成 111)。
我们来看这个序列的“滑动窗口”：
112 (满足)
121 (满足)
122 (满足)
212 (满足)
122 (满足)
222 (不满足，但我们只需要所有“满足的”都被包含)
221 (满足)
211 (满足)
重点在于： 这个序列 确实包含了 所有我们需要的（112, 121, 122, 211, 212, 221）。它还包含了一个“222”，但题目要求的是“取出所有含 1 和 2 的”，而没有说“只能取出含 1 和 2 的”。
所以，只要我们能找到一个包含所有 $2^n$ 个长度为 $n$ 的二元序列的序列，并且能证明我们可以“引导”它产生我们想要的子集，那么答案就是肯定的。
结论：
这样的序列是存在的，它们与德布鲁因序列的构造有关。我们可以从包含所有长度为 $n$ 的二元序列的德布鲁因序列出发，通过调整其构造方法，使其产生我们所需的子集。长度为 $2^n$ 是一个关键的数字，因为它是包含所有长度为 $n$ 的二元序列所需的最小周期。
网友意见
这个问题是一个很好的问题，已经被其他答主用图论很好地解决了。我在这里多提一嘴这个问题的一个实际应用。
我们都知道产生真随机数是困难甚至不现实的（要真能随便产生，那验证贝尔不等式那个实验也不用那么麻烦，就这还不能排除无自由意志假说）。在工程上，我们的一种产生随机数的办法就是使用m序列。
[批注1]：感谢评论区提醒，此处有一个较严重的笔误，上一自然段加粗部分“产生随机数”应更改为“产生伪随机数”。前文提到了，产生真随机数是不现实的，因此m序列是伪随机的。并且m序列还比较特别，它是一个“确定”的随机数。
m序列的定义与题目有一点细微区别，事实上，m序列是说的一个2^n-1长度的只用0和1组合排列成的序列，它蕴含了所有除了0000的数字组合。如何将其变成本题目的情形呢？显然这个序列必然有n-1位连号的0，在其中插入一个0即可。
m序列的一个优点是有着具体并简单的电路实现，如下图（搬运自学校ppt）：
我们可以看到，这样一个简单的电路，就能实现m序列的产生（该m序列为100110101111000）。其中中间那个大的SHIFTER元件是移位寄存器，它的功能是每过一个周期后，将每一位数向右移动一位。当然，Q3就被移动没了，而Q0则由SR补充。
其中下面这个元件是异或元件，作用是求两个输入的异或（异或可以理解为两个二进制数相加取各位，例如0异或0=0，0异或1=1，1异或0=1，1异或1=0），感兴趣的读者可以自行百度。
其状态转换图如下所示：
上面给出了n=4的m序列发生器的示意，其余n对应的m序列也可查表得到对应的电路实现，反馈方程就是指的SR的输入，圈里面一个加号这个符号表示“异或”运算，如下所示：
而题主的这个问题与这一问题等价，是一个很有趣并且很有用的问题。
彩蛋
老规矩，一个回答一张图
说实话，我想了很久应该配什么图，是第一次见到凛音的图，还是第一次见到Rinne的图，抑或是暴雨中黑化的凛音的图（不过怕大半夜地吓到大家）。斟酌了很久，我却是选择了这一张图。
要说的话，这一张图应该是全游戏最苦涩的一张图了，明亮的背景与婚纱，背后隐藏的确实默默承受一切的Rinne的多年忍耐，以及男主和女主不自知的禁断之恋。看起来，这是一个彻头彻尾的悲剧，但却用完全喜剧的图片展现了出来。今天网易云刷到一个评论，续写了一个结局：切那穿越到未来，然后对Rinne说：我想要回到1975年。我看后百感交集，这或许就是最完美的结局了吧。
为什么选择了这一张图呢？因为我对此十分有感触。或许生活就是这样，我们在别人眼里，都被打着明亮的灯光，穿着喜气的婚纱，但轻柔的步伐的背后，却掩埋这无限的辛酸。但即便如此，我们不也是微笑着向前走着吗？
超级经典的图论问题，方法是构造一个与其相关的图，证明图有欧拉回路。具体已经有人写了。
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