有没有讲纤维丛和示性类比较不错的书或notes？
当然！关于纤维丛和示性类，这绝对是一个非常迷人且深刻的数学领域。要深入理解它们，需要一定的代数拓扑和微分几何基础。我为你整理了一些非常不错的学习资源，并尝试用一种更加自然、更具个人见解的方式来介绍它们，希望能帮助你在这条道路上走得更远。
为什么我们要关注纤维丛和示性类？
简单来说，纤维丛就像是给一个“基空间”上的每一个点都绑上了一个“纤维”，而这个绑定方式需要满足一定的“局部平凡性”条件。你可以想象一个圆柱面：它的基空间是一个圆，而在这个圆上的每一点，我们都“粘”上了一段直线（这就是纤维）。当我们绕着圆走一圈时，这条线可能会发生扭转。这种扭转的性质，就是纤维丛的核心魅力之一。
示性类则是从纤维丛中提取出来的拓扑不变量。它们就像是纤维丛的“指纹”，即使纤维丛在不同地方看起来很不一样，如果它们的示性类相同，那它们在某种意义上就是“等价”的。示性类最出名的地方在于，它们能够描述几何对象（比如曲面、流形）的弯曲程度以及如何“扭曲”。
推荐的学习路径与资源
理解纤维丛和示性类，往往需要循序渐进。我建议你先打好基础，然后再深入到这两个核心概念。
第一阶段：扎实的基础
在开始纤维丛和示性类之前，你需要对以下领域有一定了解：
1. 点集拓扑 (Pointset Topology): 理解开集、闭集、紧集、连通集、同胚等基本概念至关重要。你需要知道什么是一个“空间”，以及空间之间的映射有什么性质。
推荐材料：
Munkres 的《Topology》：这本书可以说是拓扑学的“圣经”之一。它从最基本的集合论和逻辑开始，逐步建立起整个拓扑学的框架。对于理解开集、邻域、连续性、紧致性、连通性这些概念，它提供了非常清晰的解释和大量的例子。虽然它不是专门讲纤维丛，但你对“空间”的直觉和严谨性正是从这里培养起来的。读这本书时，你可以特别关注关于局部性质与全局性质的关系的部分，这为理解纤维丛的局部平凡性埋下伏笔。
2. 代数拓扑 (Algebraic Topology): 这一部分主要关注如何用代数工具（比如群）来研究拓扑空间。同调论（Homology Theory）和同伦论（Homotopy Theory）是核心。
推荐材料：
Hatcher 的《Algebraic Topology》：这是另一本广受推崇的经典教材。它以一种非常现代且易于理解的方式介绍了代数拓扑。关于同伦群、同调群、纤维丛序列（Fibration Sequence）的章节，是你必须精读的部分。Hatcher 书中对 CW 复形（CW Complex）的阐述也非常清晰，这对于理解许多抽象的拓扑构造很有帮助。他的写作风格更注重几何直觉，这对于我们理解示性类这种“几何不变量”非常有益。你可以把这本书看作是通往纤维丛和示性类世界的大门钥匙。
Spanier 的《Algebraic Topology》：这本书更为经典和全面，但可能对初学者来说有些抽象。不过，如果你想深入研究，它的概念会更加严谨和广泛。
第二阶段：进入纤维丛的世界
有了拓扑基础，我们就可以正式开始接触纤维丛了。
1. 纤维丛的定义和性质: 核心在于理解局部平凡性（Local Triviality）、纤维丛映射（Fiber Bundle Map）以及其伴随的长正合序列（Long Exact Sequence）。
推荐材料：
Hatcher 的《Algebraic Topology》：如前所述，这本书中的“Fiber Bundles”章节是绝佳的入门。它详细介绍了主丛（Principal Bundle）和向量丛（Vector Bundle）的区别与联系，以及庞加莱群（Poincaré Group）和盖尔法德费恩伯格（GelfandFuks）的同调等更进阶的内容。Hatcher 在此强调了全纯化（Fibrations）和全纯化丛（Fibration Bundles）的联系，并介绍了如何构造塞雷纤维丛（Serre Fibration），这对于理解复杂的几何构造非常重要。
Steenrod 的《The Topology of Fiber Bundles》：这本书是纤维丛领域的奠基之作。虽然它写于较早的年代，但其深度和清晰度至今仍令人钦佩。Steenrod 在书中首次引入了拓扑上的纤维丛的严格定义，并详细讨论了斯特灵数的纤维丛和庞加莱群的纤维丛。他的写作风格可能需要你多花些时间去消化，但一旦理解了，你会发现其中蕴含的深刻洞察。他对于局部平凡性的构建和解释，以及如何从局部到全局推广性质的思路，是学习纤维丛的精髓。
2. 向量丛与主丛: 理解向量丛是理解示性类的关键，而主丛则是更一般的框架。你需要了解丛空间（Total Space）、基空间（Base Space）、纤维（Fiber）、投影映射（Projection Map）等基本术语。
学习建议： 在阅读 Hatcher 或 Steenrod 的书时，务必关注他们如何通过局部平凡化覆盖来定义和研究纤维丛。理解斯特林分类定理（Steenrod Classification Theorem），它告诉我们如何用映射到凯伯格空间（Ktheory spaces）的映射来分类纤维丛。
第三阶段：深入示性类的世界
一旦你对纤维丛有了扎实的理解，示性类就会变得更加清晰。
1. 示性类的定义与性质: 示性类是示性类群（Characteristic Classes）的元素，它们是从纤维丛映射到示性类空间（Characteristic Class Spaces）的映射。它们本质上是上同调类（Cohomology Classes）。
推荐材料：
Milnor & Stasheff 的《Characteristic Classes》：这是另一本关于示性类的经典著作。它以一种非常直观和几何的方式介绍了示性类。书中详细讲解了吴类（Wu Classes）、陈类（Chern Classes）（对于复向量丛非常重要）、斯蒂弗尔惠特尼类（StiefelWhitney Classes）（对于实向量丛）、庞特里亚金类（Pontryagin Classes）等。Milnor 和 Stasheff 在书中非常注重几何解释，比如他们如何用曲率（Curvature）和测地线（Geodesics）来理解示性类，这会给你极大的启发。他们还会介绍陈高斯博内定理（ChernGaussBonnet Theorem），这个定理将示性类与流形的几何性质（如曲率）联系起来，是示性类最著名的应用之一。
Atiyah 的《KTheory》：这本书虽然主要讲 Ktheory，但其中关于示性类的章节，特别是拓扑示性类（Topological Characteristic Classes）和可微示性类（Differential Characteristic Classes）的联系，非常深刻。Atiyah 在书中从更为抽象的代数几何角度来理解示性类，特别是通过反射（Reflections）和连接子（Connection）的概念，这会让你对示性类的本质有更深的认识。
2. 主要的示性类:
斯蒂弗尔惠特尼类 (StiefelWhitney Classes): 它们是实向量丛的示性类，在研究嵌入式和定向性方面非常有用。你可以把它们想象成描述一个流形如何“扭曲”和“翻转”的工具。
庞特里亚金类 (Pontryagin Classes): 它们也是实向量丛的示性类，与流形的第一基本形式（First Fundamental Form）的曲率有关，在研究微分同胚的分类上有重要作用。
陈类 (Chern Classes): 它们是复向量丛的示性类，在复几何和代数几何中至关重要。它们与复流形的凯勒度量（Kähler Metric）的曲率密切相关，并且与黎曼流形上的 홀모폴로지（Holomorphy）结构紧密相连。
3. 示性类的计算与应用:
学习如何使用示性类公式（Characteristic Class Formulas）来计算示性类。
理解示性类在不可能性定理（Impossibility Theorems）中的应用，比如证明某些向量丛不可能存在于某些流形上。
了解示性类在微分几何中的应用，比如通过陈高斯博内定理连接几何与拓扑。
学习建议与思考
从例子入手: 纤维丛和示性类是很抽象的概念，但它们可以通过许多具体的例子来理解，比如：
圆柱面 (Cylinder over a circle): 这是最简单的纤维丛例子。
莫比乌斯带 (Möbius Strip): 它是一个有趣的非平凡纤维丛（ Twisted Bundle）。
球面上的切丛 (Tangent Bundle of a Sphere): 理解它的示性类（例如，关于球面上的非零切向量场的存在性问题）非常有启发性。
复向量丛 (Complex Vector Bundles): 比如复射影空间上的丛 (Bundles over Complex Projective Spaces)，它们的陈类有明确的计算公式。
多画图，多想象: 尽量在脑海中构建纤维丛的几何图景，想象纤维如何连接，以及这种连接的“扭曲”程度。示性类正是对这种“扭曲”的量化。
关注代数拓扑与微分几何的联系: 示性类是连接这两门学科的桥梁。从代数拓扑的角度，它们是上同调类；从微分几何的角度，它们与曲率、联络等概念紧密相关。理解这种联系是关键。
循序渐进，不要急于求成: 这确实是一个需要时间和耐心去钻研的领域。建议你先专注于一个特定类型的示性类（比如斯蒂弗尔惠特尼类或陈类），理解透彻后再转向其他。
多做练习: 书中的习题往往是理解概念的最佳途径。尝试自己推导一些公式，证明一些定理。
掌握了纤维丛和示性类，你将能够更深刻地理解流形的结构，以及它们如何在拓扑和几何上相互作用。这是一个充满挑战但也极具回报的旅程，祝你学习愉快！
为什么我们要关注纤维丛和示性类？
简单来说，纤维丛就像是给一个“基空间”上的每一个点都绑上了一个“纤维”，而这个绑定方式需要满足一定的“局部平凡性”条件。你可以想象一个圆柱面：它的基空间是一个圆，而在这个圆上的每一点，我们都“粘”上了一段直线（这就是纤维）。当我们绕着圆走一圈时，这条线可能会发生扭转。这种扭转的性质，就是纤维丛的核心魅力之一。
示性类则是从纤维丛中提取出来的拓扑不变量。它们就像是纤维丛的“指纹”，即使纤维丛在不同地方看起来很不一样，如果它们的示性类相同，那它们在某种意义上就是“等价”的。示性类最出名的地方在于，它们能够描述几何对象（比如曲面、流形）的弯曲程度以及如何“扭曲”。
推荐的学习路径与资源
理解纤维丛和示性类，往往需要循序渐进。我建议你先打好基础，然后再深入到这两个核心概念。
第一阶段：扎实的基础
在开始纤维丛和示性类之前，你需要对以下领域有一定了解：
1. 点集拓扑 (Pointset Topology): 理解开集、闭集、紧集、连通集、同胚等基本概念至关重要。你需要知道什么是一个“空间”，以及空间之间的映射有什么性质。
推荐材料：
Munkres 的《Topology》：这本书可以说是拓扑学的“圣经”之一。它从最基本的集合论和逻辑开始，逐步建立起整个拓扑学的框架。对于理解开集、邻域、连续性、紧致性、连通性这些概念，它提供了非常清晰的解释和大量的例子。虽然它不是专门讲纤维丛，但你对“空间”的直觉和严谨性正是从这里培养起来的。读这本书时，你可以特别关注关于局部性质与全局性质的关系的部分，这为理解纤维丛的局部平凡性埋下伏笔。
2. 代数拓扑 (Algebraic Topology): 这一部分主要关注如何用代数工具（比如群）来研究拓扑空间。同调论（Homology Theory）和同伦论（Homotopy Theory）是核心。
推荐材料：
Hatcher 的《Algebraic Topology》：这是另一本广受推崇的经典教材。它以一种非常现代且易于理解的方式介绍了代数拓扑。关于同伦群、同调群、纤维丛序列（Fibration Sequence）的章节，是你必须精读的部分。Hatcher 书中对 CW 复形（CW Complex）的阐述也非常清晰，这对于理解许多抽象的拓扑构造很有帮助。他的写作风格更注重几何直觉，这对于我们理解示性类这种“几何不变量”非常有益。你可以把这本书看作是通往纤维丛和示性类世界的大门钥匙。
Spanier 的《Algebraic Topology》：这本书更为经典和全面，但可能对初学者来说有些抽象。不过，如果你想深入研究，它的概念会更加严谨和广泛。
第二阶段：进入纤维丛的世界
有了拓扑基础，我们就可以正式开始接触纤维丛了。
1. 纤维丛的定义和性质: 核心在于理解局部平凡性（Local Triviality）、纤维丛映射（Fiber Bundle Map）以及其伴随的长正合序列（Long Exact Sequence）。
推荐材料：
Hatcher 的《Algebraic Topology》：如前所述，这本书中的“Fiber Bundles”章节是绝佳的入门。它详细介绍了主丛（Principal Bundle）和向量丛（Vector Bundle）的区别与联系，以及庞加莱群（Poincaré Group）和盖尔法德费恩伯格（GelfandFuks）的同调等更进阶的内容。Hatcher 在此强调了全纯化（Fibrations）和全纯化丛（Fibration Bundles）的联系，并介绍了如何构造塞雷纤维丛（Serre Fibration），这对于理解复杂的几何构造非常重要。
Steenrod 的《The Topology of Fiber Bundles》：这本书是纤维丛领域的奠基之作。虽然它写于较早的年代，但其深度和清晰度至今仍令人钦佩。Steenrod 在书中首次引入了拓扑上的纤维丛的严格定义，并详细讨论了斯特灵数的纤维丛和庞加莱群的纤维丛。他的写作风格可能需要你多花些时间去消化，但一旦理解了，你会发现其中蕴含的深刻洞察。他对于局部平凡性的构建和解释，以及如何从局部到全局推广性质的思路，是学习纤维丛的精髓。
2. 向量丛与主丛: 理解向量丛是理解示性类的关键，而主丛则是更一般的框架。你需要了解丛空间（Total Space）、基空间（Base Space）、纤维（Fiber）、投影映射（Projection Map）等基本术语。
学习建议： 在阅读 Hatcher 或 Steenrod 的书时，务必关注他们如何通过局部平凡化覆盖来定义和研究纤维丛。理解斯特林分类定理（Steenrod Classification Theorem），它告诉我们如何用映射到凯伯格空间（Ktheory spaces）的映射来分类纤维丛。
第三阶段：深入示性类的世界
一旦你对纤维丛有了扎实的理解，示性类就会变得更加清晰。
1. 示性类的定义与性质: 示性类是示性类群（Characteristic Classes）的元素，它们是从纤维丛映射到示性类空间（Characteristic Class Spaces）的映射。它们本质上是上同调类（Cohomology Classes）。
推荐材料：
Milnor & Stasheff 的《Characteristic Classes》：这是另一本关于示性类的经典著作。它以一种非常直观和几何的方式介绍了示性类。书中详细讲解了吴类（Wu Classes）、陈类（Chern Classes）（对于复向量丛非常重要）、斯蒂弗尔惠特尼类（StiefelWhitney Classes）（对于实向量丛）、庞特里亚金类（Pontryagin Classes）等。Milnor 和 Stasheff 在书中非常注重几何解释，比如他们如何用曲率（Curvature）和测地线（Geodesics）来理解示性类，这会给你极大的启发。他们还会介绍陈高斯博内定理（ChernGaussBonnet Theorem），这个定理将示性类与流形的几何性质（如曲率）联系起来，是示性类最著名的应用之一。
Atiyah 的《KTheory》：这本书虽然主要讲 Ktheory，但其中关于示性类的章节，特别是拓扑示性类（Topological Characteristic Classes）和可微示性类（Differential Characteristic Classes）的联系，非常深刻。Atiyah 在书中从更为抽象的代数几何角度来理解示性类，特别是通过反射（Reflections）和连接子（Connection）的概念，这会让你对示性类的本质有更深的认识。
2. 主要的示性类:
斯蒂弗尔惠特尼类 (StiefelWhitney Classes): 它们是实向量丛的示性类，在研究嵌入式和定向性方面非常有用。你可以把它们想象成描述一个流形如何“扭曲”和“翻转”的工具。
庞特里亚金类 (Pontryagin Classes): 它们也是实向量丛的示性类，与流形的第一基本形式（First Fundamental Form）的曲率有关，在研究微分同胚的分类上有重要作用。
陈类 (Chern Classes): 它们是复向量丛的示性类，在复几何和代数几何中至关重要。它们与复流形的凯勒度量（Kähler Metric）的曲率密切相关，并且与黎曼流形上的 홀모폴로지（Holomorphy）结构紧密相连。
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球面上的切丛 (Tangent Bundle of a Sphere): 理解它的示性类（例如，关于球面上的非零切向量场的存在性问题）非常有启发性。
复向量丛 (Complex Vector Bundles): 比如复射影空间上的丛 (Bundles over Complex Projective Spaces)，它们的陈类有明确的计算公式。
多画图，多想象: 尽量在脑海中构建纤维丛的几何图景，想象纤维如何连接，以及这种连接的“扭曲”程度。示性类正是对这种“扭曲”的量化。
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网友意见
Shigeyuki Morita的微分形式的几何和示性类的几何两本书，以及Mishchenko的纤维丛及其应用，libgen上面均能找到英文版。
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