三个极度嫉妒的人分一个蛋糕，何种策略能让三人都觉得公平？
首先，得明白这仨人的“嫉妒”点在哪儿。是怕别人分得比自己大？还是觉得别人吃到好吃的边边角角？还是单纯看不惯别人得逞？这三者可能都有，也可能各有侧重。所以，策略得照顾到他们的普遍心理，还要有点针对性。
第一步：选个“公平”的切蛋糕人。
这是最关键的一步，也是最容易起冲突的地方。谁来切？
最公平的选择：三人轮流来。 比如，今天你切，明天我切，后天他切。这样至少大家知道，机会是均等的。但问题是，一块蛋糕怎么轮流切？这不太现实。
更现实的选择：请一个“局外人”。 如果有第四个人，而且这个人跟这三位关系都比较“中立”，或者至少不参与他们之间的“竞争”，那请他来切是最好的。这个人切完，大家都没话说。
退而求其次：让“受损者”来切。 听着有点绕，但有时候效果奇佳。你想啊，他们三个都嫉妒，说明他们都觉得自己可能会吃亏。这时候，可以让他们三个轮流“指定”一个切蛋糕的人。比如，第一个人说：“我指定你（另一位嫉妒者）切。”这个人切完后，第二个人再指定下一个，以此类推。这样，即使切得不太均，也是被自己“指定”的人切的，怨气至少会少一半，因为它带有“我选择”的成分，而不是“被强加”的。
第二步：切蛋糕的“标准”。
就算选了人，怎么切？这学问大了。
“分而食之”法则（这是最经典的，但要注意细节）： 一个人切，然后另外两个人先选。
谁切？ 刚才说了，最好是指定一个，或者让切的人知道，他切完后，他自己是最后拿的。这能最大程度地保证他会切得尽量均匀，因为他要为自己最后的选择负责。
怎么选？ 切好之后，不能让切的人先挑！让他把切好的几块放在桌上，然后由另外两个人轮流选。比如，A切了三块，B和C来选。B先选，C后选。
为什么这招有效？ 因为切的人知道，他切得越均匀，自己最后选到的那块就越有保障。如果他切得一块大一块小，那么另外两个人肯定会挑走大的，他留下的就只能是小的。所以，这是个巧妙的“制衡”。
“量化”标准（如果需要更细致）： 实在不行，可以先定个规矩。比如，“以蛋糕中心点为基准，每份扇形角度大致相等。” 或者，可以用尺子量一下，但我觉得这太伤感情了，有点像对待犯人。还是用目测，但要强调“尽量”。
第三步：分配和“补偿”。
就算切得再好，这三个人的“嫉妒心”也很难一下子平息。
“最后一块”的处理： 谁最后拿？这块往往是剩下的，容易被认为是最差的。
让切的人拿最后一块。 这是最直接的，也符合上面“谁切谁最后拿”的逻辑。
让“质疑最多”的人拿最后一块。 如果有人一直唧唧歪歪，说切得不公平，那不妨就让他来拿最后一块。这样，他不仅没得到“优待”，反而要自己去承担“可能是最差”的风险，下次他可能就会收敛一些。
“附加价值”的分配： 蛋糕上可能有装饰，或者某一块的边角料更好吃。
先分“大块”，再分“小块”。 还是用“分而食之”的逻辑，先切出来，大家挑。
“瑕疵品”补偿： 如果某一块有明显不好看的地方，可以给这块附加一点“补偿”。比如，旁边还有点零食，或者这块稍微让大家多看一会儿，再吃。但这个“补偿”要大家公认，不能是某个人自己加戏。
第四步：心态的调整（这才是根本）。
前面这些都是“术”，到最后还得靠“道”。
强调“共同拥有”： 这块蛋糕是大家一起享受的，不是在进行一场“生存竞赛”。可以试着说：“大家一起把这块蛋糕分了，感受一下这份甜。”
转移注意力： 分完蛋糕，赶快聊点别的，把大家的注意力从蛋糕上移开。比如，聊聊今天遇到的有趣的事，或者计划下一个活动。
“褒奖”公平行为： 如果有人在这过程中表现得比较大度，比如主动说“这样分挺好的”，或者“我这块也行”，那一定要及时给予肯定和赞扬。这会让其他人觉得，“哦，原来大度是会被看到的”。
举个例子，实际操作一下：
假设蛋糕是圆形的，分给A、B、C三个人。
1. 指定切蛋糕人： A、B、C三个，让他们轮流指定。第一轮，A指定B切；第二轮，B指定C切；第三轮，C指定A切。今天咱们就让A来切（因为这是我们第一次分，A又是第一个被指定）。
2. 切蛋糕： A心里想着，他切完后，自己是最后拿一块的。所以，他会尽量把蛋糕切成三块差不多大小的扇形。
3. 分配： A切好后，把三块蛋糕放在盘子里。B和C先挑。B挑了一块，C挑了一块。最后剩下的一块，A自己拿。
4. 应对“装饰”： 假设蛋糕中间有个漂亮的草莓。如果B和C都挑了没有草莓的，那A就拿了有草莓的，他也不会吃亏。如果B和C都想挑有草莓的，那就让他们再商量一下，或者按照他们挑大块的顺序来。比如说，B挑了一块大但没草莓的，C挑了一块小但有草莓的。那A最后拿的这块，虽然大小适中，但没草莓。这时候，B和C可能就会觉得A“有点吃亏”，或者A自己会安慰自己“虽然没草莓，但我的块大”。
5. 吃蛋糕： 吃的时候，就别互相盯着看了。大家就安心吃自己的。要是谁忍不住多看了一眼别人的，就给他一个“你吃你的，我看我的”的眼神，或者直接说：“好吃吗？” 转移他的注意力。
总而言之，这事儿就像是在泥潭里走，每一步都得小心翼翼。关键在于，让每一个参与者都觉得，他们对这个“公平”的过程是有发言权的，而且这个过程能够有效地制约住其他人的“过分”嫉妒。最重要的一点，还是大家能心平气和地把这块蛋糕分了，毕竟，蛋糕本身才是最重要的，不是吗？ 别让那股嫉妒劲儿，把蛋糕的滋味都给冲淡了。
网友意见
- 若想知道「先切的人最后选」错在哪里，请先看本答案最后补充，确保自己理解问题的难点。
- 请勿因为配图，想当然地认为本答案「假设了矩形蛋糕」。本答案中的算法没有做这个假设。
====正文====
这是著名的 cake cutting 问题。
Fair division所谓「三人都满意」，数学上有多种可能的涵义，常用的两种是：
- 公平：三人都认为自己的一份不少于 1/3
- 无怨：三人都不觉得别人拿得比自己多 Envy-free
无怨一定公平，但是公平不一定无怨。
daniel 的答案，上面这两个条件都不满足，只会引起自责，不算满意／公平，是错的。
两人的情况很简单：我切，你选。
三人的情况曾经长时间没有解，40 年代找到公平程序，80 年代发表无怨程序。
多人的无怨切法还没有完满解决。
daniel 的答案是一种「走刀程序 moving-knife procedure」。真正达到「无怨」的 走刀程序 见
Stromquist moving-knife procedure，80 年代由 Stromquist 提出。
需要一个裁判，从左向右走刀，三人拿着刀站在裁判右边，保持在平分右边蛋糕的位置（按各自标准）。一旦三人中有一个喊「切」，此人获得裁判左边的蛋糕。然后三人中位于中间位置的那位（B）把刀切下。没蛋糕的两位中，离裁判近的那位获得中间那块，远的那位获得右边那块。
容易证明，三人都认为自己的那份最大。
走刀程序的坏处是连续，假设了两人同时叫停的概率为零，假设了蛋糕无限可分，现实中不好操作。
一个离散程序是
Selfridge60 年代由 Selfridge 提出，90 年代由 Conway 独立提出并发表。
- A 按照自己的标准把蛋糕切三块
- 如果 B 认为最大的两块一样大，那么把 C，B，A 的顺序选蛋糕，结束。
- 如果 B 认为其中一块 M 最大，他就从 M 削去一小块 R，使之与第二大的那块一样大，把 R 放在一边。
- C 先选。如果 C 没有选 M，那么 B 必须选 M，否则一切正常，A 拿最后一块。
- B 和 C 中没拿 M 的那位，把 R 分成三份，让 B 和 C 中拿了 M 的那位先挑一份，然后 A 选一份，最后一份留给自己。结束。
可以证明，三人都认为自己的那一份最大，证明见维基页面。
四人无怨分割的走刀程序，1997 年由 Brams, Taylor and Zwicker 提出。多人无怨分割的离散程序，1995 年由 Brams and Taylor 提出，但是需要切的次数可能无上界，因此应该说尚未完满解决。
以上是「无怨」的切法。「公平」的切法要简单一些，这里有一个很通俗的介绍：
Mathematics In Europe，波兰数学家们做了很大贡献。针对 n 人的一般公平程序如下（Banach and Knaster 提出）：
- 先排好顺序。
- 第一个人切出他认为的 1/n。
- 按顺序，每个人都判断一下，这一份是不是太大。是的话就削掉一点并进原来的蛋糕，不是的话跳过。
- 所有人都判断过后，这一块给最后削过蛋糕的那位；如果没有人削过蛋糕，这块给第一个人。
- 重复 2－4，直至最后剩两人，用我切你选的方式决定。
n=3 的简化程序由 Steinhaus 在 1943 年提出。
@朴三世的答案是 Steinhaus 程序的过简版本，是错的。存在的问题是，A 先选，B 第二个选，如果 B 选走的那杯不是 A 认为的最少的，那么整个过程就不公平了。
====补充====
为何 公平 不一定 无怨？这当然首先是根据数学定义，其表述就已经点明了这个逻辑关系。
而这两个概念的现实意义，是因为同一块蛋糕对每个人的价值不同。
比如下面是一个夸张的例子：
假设一个蛋糕，上面有不同的口味，巧克力，奶油，草莓等。参与分蛋糕的人口味不同，因此对不同部分赋予的价值也不同。这里几何上简单的平均分配就不能解决问题，而公平分配也不一定能让人满意。这就是这个数学问题要解决的问题。
也是在这个意义上，许多人坚持的「第一个切的最后选」，不论是
@王成的五字超简版，还是
@陈启航的冗余「严谨」版，都是错误的，前者甚至没有一个完整的算法。 第一个切的人会按自己的标准尽量平分，但这不一定是其他两人的标准，使得另两人间可能出现不公平的情况。
比如 A-B 切 C-B-A 选的「策略」，以下就是一个不公平的情况：
A 按照尺寸切出自以为的 1/3 和 2/3，但在 BC 看来，因为小的一块有更多巧克力，所以价值分别是 3/7 和 4/7。此时 B 的最佳策略是切出自以为的 3/7，3/7 和 1/7，C 眼光相同，但在 A 看来分别是 1/3，1/2 和 1/6，其中第二块尺寸更大，只是巧克力不多。如果按照 C-B-A 的顺序选，那么 A 只可能拿到他眼中的 1/6，和 BC 眼中的 1/7。
插嘴一个和题目无关的…
这学期有门选修课叫经济与法律，老师第一节课也问了这个问题。
大部分人的答案还是比较正常的，
然而有个工科男上去讲了十分钟怎么找到蛋糕的圆心，再怎么精确的把它分成三等分……
我来还原一下当时的场景：
工科男：老师，这个问题很简单啊，只要把它分成三份就好了嘛
老师吃了一鲸
工科男像教小学生一样继续解释：老师，只要在这里取一个点，然后做中垂线……
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