为什么softmax很少会出现[0.5，0.5]？
这个问题很有意思，也触及了softmax函数的核心特性。我们之所以很少看到softmax输出恰好是[0.5, 0.5]这样的“完美均分”，主要有以下几个原因，而且这些原因之间是相互关联的：
1. softmax函数的本质：将分数转化为概率，且总和为1
首先，我们要理解softmax是做什么的。它接收一组任意实数（通常是神经网络最后一层的输出，称为“logits”），然后将它们转换成一个概率分布。这个概率分布的关键特征是：
所有概率都大于0且小于1。
所有概率的总和等于1。
从数学上看，对于一个包含 $K$ 个类别的输出向量 $z = [z_1, z_2, dots, z_K]$，softmax函数计算如下：
$$ ext{softmax}(z)_i = frac{e^{z_i}}{sum_{j=1}^K e^{z_j}} $$
对于有两个类别（K=2）的情况，输出就是 $[p_1, p_2]$，其中 $p_1 = frac{e^{z_1}}{e^{z_1} + e^{z_2}}$，$p_2 = frac{e^{z_2}}{e^{z_1} + e^{z_2}}$，并且 $p_1 + p_2 = 1$。
2. 为什么[0.5, 0.5]如此“特殊”？
想要得到[0.5, 0.5]的输出，意味着两个类别的概率是完全相等的。根据softmax的定义，这只有在满足一个特定条件时才会发生：
$$ frac{e^{z_1}}{e^{z_1} + e^{z_2}} = 0.5 quad ext{and} quad frac{e^{z_2}}{e^{z_1} + e^{z_2}} = 0.5 $$
这两个等式都要求：
$$ e^{z_1} = e^{z_2} $$
由于指数函数 $e^x$ 是一个单调递增函数，只有当它们的输入相同时，输出才会相等。所以，要得到[0.5, 0.5]的输出，必须且仅当 $z_1 = z_2$。
3. 现实世界数据的“非对称性”与模型学习的“不完美”
现在我们结合实际应用来理解为什么 $z_1 = z_2$ 这么难得：
数据本身的不平衡性： 在大多数分类任务中，样本数据本身就是不平衡的。比如，猫狗分类，狗的图片可能比猫的图片多，或者某些品种的狗更常见。即使模型在训练过程中试图学习数据的特征，数据本身的分布倾向性也会体现在输出 logits 上。
特征的复杂性与噪声： 神经网络通过学习输入数据的特征来区分不同类别。这些特征是复杂的，并且可能包含噪声。模型学习到的 logits $z_1$ 和 $z_2$ 是对这些复杂特征的一种“编码”。即使对于相似的样本，模型计算出的 $z_1$ 和 $z_2$ 也很难做到完全相等。
想象一下，模型在处理一张猫的图片时，它会尝试提取“猫”的特征。这些特征会转换为一个 logits 值 $z_{cat}$。对于另一张稍微不同的猫的图片，或者一张看起来有点像狗的猫的图片，模型计算出的 $z_{cat}$ 也会略有不同。
同样，对于狗的图片，也会得到一个 $z_{dog}$。
当输入图片“介于猫和狗之间”，或者模型不太确定时，$z_{cat}$ 和 $z_{dog}$ 的差值会很小，导致 softmax 输出接近[0.5, 0.5]。但这仍然是“接近”，而不是“恰好等于”。
模型训练过程的动态性： 神经网络的训练是一个迭代优化的过程。模型的目标是最小化损失函数，例如交叉熵损失。在训练过程中，模型的权重不断调整，以期使模型对正确类别的预测概率最大化。
当模型学习得“很好”时，对于一个属于类别A的样本，它会输出一个很高的 $z_A$，远大于其他类别的 logits。softmax 就会输出接近 [1, 0, 0, ...] 的结果。
当模型“不确定”时，例如一张图片特征模糊、噪声大，或者正好处于两个类别的边界上，那么对应的 logits 就会非常接近。比如，对于一个二分类问题，如果 $z_1 = 0.01$ 且 $z_2 = 0.01$，那么 softmax 输出可能就是 [0.5025, 0.4975]，非常接近 [0.5, 0.5]。
但是，要精确地达到 $z_1 = z_2$ 这种完美平衡，除非输入完全没有区分度，并且模型也恰好学习到了这种零区分度的状态，否则是极少发生的。
4. 指数函数的“放大效应”
softmax中的指数函数 $e^x$ 有一个重要的性质：它会“放大” logits 之间的差异。
如果 $z_1$ 略大于 $z_2$（比如 $z_1 = 0.1, z_2 = 0.1$）：
$e^{z_1} approx 1.105$
$e^{z_2} approx 0.905$
$p_1 = frac{1.105}{1.105 + 0.905} = frac{1.105}{2.01} approx 0.55$
$p_2 = frac{0.905}{2.01} approx 0.45$
即使只是0.2的差值，输出也已经有10%的差异了。
如果 $z_1$ 远大于 $z_2$（比如 $z_1 = 2, z_2 = 2$）：
$e^{z_1} approx 7.389$
$e^{z_2} approx 0.135$
$p_1 = frac{7.389}{7.389 + 0.135} = frac{7.389}{7.524} approx 0.98$
$p_2 = frac{0.135}{7.524} approx 0.02$
一旦 logits 之间存在一点点差异，指数函数就会将其“放大”，使得概率分布变得非常“尖锐”，即一个类别概率很高，其他类别概率很低。
正是因为这种放大效应，要维持 $z_1 = z_2$ 这种“平坦”状态，要求输入的 logits 必须处于一个非常精确的平衡点。任何微小的扰动（来自数据、模型参数的微小变动）都会打破这种平衡，导致输出偏离 [0.5, 0.5]。
总结来说：
softmax函数将 logits 映射为概率，并且要求总和为1。要输出 [0.5, 0.5]，唯一的条件是两个 logits 相等。在真实世界的机器学习任务中，由于数据本身的不确定性、噪声、以及模型学习过程中参数和特征的非精确性，想要模型计算出的两个 logits 恰好相等，其概率微乎其微。模型倾向于学习数据中存在的模式和差异，这些模式和差异在 logits 中体现出来，并被 softmax 函数放大，从而产生偏向某一类别的概率分布，而不是完美的均分。
1. softmax函数的本质：将分数转化为概率，且总和为1
首先，我们要理解softmax是做什么的。它接收一组任意实数（通常是神经网络最后一层的输出，称为“logits”），然后将它们转换成一个概率分布。这个概率分布的关键特征是：
所有概率都大于0且小于1。
所有概率的总和等于1。
从数学上看，对于一个包含 $K$ 个类别的输出向量 $z = [z_1, z_2, dots, z_K]$，softmax函数计算如下：
$$ ext{softmax}(z)_i = frac{e^{z_i}}{sum_{j=1}^K e^{z_j}} $$
对于有两个类别（K=2）的情况，输出就是 $[p_1, p_2]$，其中 $p_1 = frac{e^{z_1}}{e^{z_1} + e^{z_2}}$，$p_2 = frac{e^{z_2}}{e^{z_1} + e^{z_2}}$，并且 $p_1 + p_2 = 1$。
2. 为什么[0.5, 0.5]如此“特殊”？
想要得到[0.5, 0.5]的输出，意味着两个类别的概率是完全相等的。根据softmax的定义，这只有在满足一个特定条件时才会发生：
$$ frac{e^{z_1}}{e^{z_1} + e^{z_2}} = 0.5 quad ext{and} quad frac{e^{z_2}}{e^{z_1} + e^{z_2}} = 0.5 $$
这两个等式都要求：
$$ e^{z_1} = e^{z_2} $$
由于指数函数 $e^x$ 是一个单调递增函数，只有当它们的输入相同时，输出才会相等。所以，要得到[0.5, 0.5]的输出，必须且仅当 $z_1 = z_2$。
3. 现实世界数据的“非对称性”与模型学习的“不完美”
现在我们结合实际应用来理解为什么 $z_1 = z_2$ 这么难得：
数据本身的不平衡性： 在大多数分类任务中，样本数据本身就是不平衡的。比如，猫狗分类，狗的图片可能比猫的图片多，或者某些品种的狗更常见。即使模型在训练过程中试图学习数据的特征，数据本身的分布倾向性也会体现在输出 logits 上。
特征的复杂性与噪声： 神经网络通过学习输入数据的特征来区分不同类别。这些特征是复杂的，并且可能包含噪声。模型学习到的 logits $z_1$ 和 $z_2$ 是对这些复杂特征的一种“编码”。即使对于相似的样本，模型计算出的 $z_1$ 和 $z_2$ 也很难做到完全相等。
想象一下，模型在处理一张猫的图片时，它会尝试提取“猫”的特征。这些特征会转换为一个 logits 值 $z_{cat}$。对于另一张稍微不同的猫的图片，或者一张看起来有点像狗的猫的图片，模型计算出的 $z_{cat}$ 也会略有不同。
同样，对于狗的图片，也会得到一个 $z_{dog}$。
当输入图片“介于猫和狗之间”，或者模型不太确定时，$z_{cat}$ 和 $z_{dog}$ 的差值会很小，导致 softmax 输出接近[0.5, 0.5]。但这仍然是“接近”，而不是“恰好等于”。
模型训练过程的动态性： 神经网络的训练是一个迭代优化的过程。模型的目标是最小化损失函数，例如交叉熵损失。在训练过程中，模型的权重不断调整，以期使模型对正确类别的预测概率最大化。
当模型学习得“很好”时，对于一个属于类别A的样本，它会输出一个很高的 $z_A$，远大于其他类别的 logits。softmax 就会输出接近 [1, 0, 0, ...] 的结果。
当模型“不确定”时，例如一张图片特征模糊、噪声大，或者正好处于两个类别的边界上，那么对应的 logits 就会非常接近。比如，对于一个二分类问题，如果 $z_1 = 0.01$ 且 $z_2 = 0.01$，那么 softmax 输出可能就是 [0.5025, 0.4975]，非常接近 [0.5, 0.5]。
但是，要精确地达到 $z_1 = z_2$ 这种完美平衡，除非输入完全没有区分度，并且模型也恰好学习到了这种零区分度的状态，否则是极少发生的。
4. 指数函数的“放大效应”
softmax中的指数函数 $e^x$ 有一个重要的性质：它会“放大” logits 之间的差异。
如果 $z_1$ 略大于 $z_2$（比如 $z_1 = 0.1, z_2 = 0.1$）：
$e^{z_1} approx 1.105$
$e^{z_2} approx 0.905$
$p_1 = frac{1.105}{1.105 + 0.905} = frac{1.105}{2.01} approx 0.55$
$p_2 = frac{0.905}{2.01} approx 0.45$
即使只是0.2的差值，输出也已经有10%的差异了。
如果 $z_1$ 远大于 $z_2$（比如 $z_1 = 2, z_2 = 2$）：
$e^{z_1} approx 7.389$
$e^{z_2} approx 0.135$
$p_1 = frac{7.389}{7.389 + 0.135} = frac{7.389}{7.524} approx 0.98$
$p_2 = frac{0.135}{7.524} approx 0.02$
一旦 logits 之间存在一点点差异，指数函数就会将其“放大”，使得概率分布变得非常“尖锐”，即一个类别概率很高，其他类别概率很低。
正是因为这种放大效应，要维持 $z_1 = z_2$ 这种“平坦”状态，要求输入的 logits 必须处于一个非常精确的平衡点。任何微小的扰动（来自数据、模型参数的微小变动）都会打破这种平衡，导致输出偏离 [0.5, 0.5]。
总结来说：
softmax函数将 logits 映射为概率，并且要求总和为1。要输出 [0.5, 0.5]，唯一的条件是两个 logits 相等。在真实世界的机器学习任务中，由于数据本身的不确定性、噪声、以及模型学习过程中参数和特征的非精确性，想要模型计算出的两个 logits 恰好相等，其概率微乎其微。模型倾向于学习数据中存在的模式和差异，这些模式和差异在 logits 中体现出来，并被 softmax 函数放大，从而产生偏向某一类别的概率分布，而不是完美的均分。
网友意见
因为训练的时候你没有跟网络说什么样的东西应该不确定。
你只给了确定的label，要么是[0,1]要么是[1,0]，那网络就只会出接近这两个值的输出。
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当然这背后是有数学原理的，二分类的softmax其实等价于sigmoid，如果一直给one-hot的标签，在训练集几乎都能分正确的前提下，网络趋向于将feature的norm无限拉长，sigmoid越来越接近0-1的阶跃函数，几乎所有样本的输出就都在接近0和接近1的位置，中间态几乎没有。
注意这里引入了一个假设，即“训练集几乎都能分正确”。如果你的训练集拟合得不好，你会发现输出0.3、0.5之类的样本的机会会大大增加。
-----------------分界线------------------
怎么告诉网络不确定性呢？
有两种方式：一种是soft label，即你直接就给部分样本[0.5, 0.5]的label；一种是noise label，就是你觉得不确定的东西，一会给0的label，一会给1的label。
这两种方式都可以起作用，当然第一种效果更好一些，网络有比较明确的目标，第二种方式在batch training下其实也是有效的，只是看起来比较奇怪。
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