大一数学分析学习是偏证明还是偏计算？
这个问题问得很好，也很关键。作为一名大一的数学分析新生，你很可能会在“证明”和“计算”之间感到一些困惑，不知道课程的重点究竟在哪里。实话告诉你，数学分析这门课，总体来说，是偏向证明的，而且是“非常偏重”证明。
我这么说，并不是说计算不重要，而是说计算在数学分析中的作用和你在高等数学（微积分）中遇到的计算，在性质上是有区别的。
我们先从高等数学（通常你们在高中或者大一上学期会接触到的微积分）来对比一下，这样你可能更容易理解。
在高等数学（微积分）里：
计算是绝对的主角。 你学习导数是为了计算函数在某一点的瞬时变化率，计算极限是为了知道函数趋向的值，计算积分是为了求解面积、体积等。所有的公式、法则（链式法则、积分公式、泰勒展开）都是为了服务于计算出结果。
直觉和可视化也很重要。 你会看到各种函数的图像，理解导数是斜率，积分是面积。这些直观的理解帮助你进行计算，并且在某些情况下，甚至可以跳过一些严谨的推导直接用“套路”来解决问题。
证明相对较少，且多为对计算工具的背书。 比如证明洛必达法则，或者证明积分的某些性质，但这些证明往往是作为计算工具的“理论依据”，不要求学生自己从零开始构建。
然而，到了数学分析（通常是大一下学期或大二开始）：
证明才是核心。 数学分析的精髓在于严谨的逻辑推理和概念的精确定义。你不再满足于“函数图像看起来是这样”，而是要用数学语言去证明它确实是这样，并且证明过程中不能有任何含糊不清的地方。
极限的定义： 在高等数学里，你可能只是模糊地知道当x趋近于a时，f(x)趋近于L。但在数学分析里，你会学习到“εδ语言”。也就是说，要证明lim f(x) = L，你需要证明：对于任意给定的ε > 0，都存在一个δ > 0，使得当 |x a| < δ 时，有 |f(x) L| < ε。这个定义看似复杂，但它为整个极限理论打下了坚实的基础，也正是这种严谨性，才能处理各种复杂的情况。
连续性的定义： 同样的，连续也不是凭眼睛看，而是用εδ语言来定义：如果函数f在点a处连续，则对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得当 |x a| < δ 时，有 |f(x) f(a)| < ε。
导数和积分的严谨定义： 这些概念也都需要从极限的角度去重新审视和定义，并推导出它们的性质。比如，你可能需要证明一个函数的导数在某区间上是单调的，或者证明两个连续函数相加仍然是连续的。
计算是证明的工具，而不是目的。 数学分析中的计算，更多的是服务于证明。你可能会计算一些用来佐证某个猜想的例子，或者用来验证某个定理的应用条件是否满足。但核心在于，你是如何证明这个结果是正确的，而不是直接算出那个数值。
举个例子，在高等数学里，你可能直接计算某个函数在某点的值。但在数学分析里，你可能需要证明这个函数在该点存在一个值，并且这个值满足某个性质。计算可能只是证明过程中的一个环节，比如计算出某个表达式的界，用来满足εδ定义中的条件。
你也会学习到各种积分技巧，但这些技巧的出现，往往是因为需要通过这些计算来证明积分的存在性或者积分的某些性质，而不是仅仅为了算出结果。
“反例”是证明的重要组成部分。 在数学分析中，为了证明一个命题不成立，或者为了说明某个定理的条件是不可或缺的，你常常需要构造反例。这同样是一种证明的手段，而且需要非常严谨的数学推理来构造。
所以，总结一下：
大一的数学分析学习，绝对是偏向证明的。 课程的核心目标是让你建立起一套严谨的数学思维方式，学会如何用精确的数学语言去定义概念、论证命题、证明定理。计算固然是数学的一部分，但在这里，它更多的是作为证明的辅助工具，而不是最终的目的。
你可能会遇到的一些挑战：
1. 语言障碍： 数学分析会引入很多新的数学符号和术语，特别是“εδ语言”，需要花时间去理解和适应。
2. 思维方式的转变： 从“会算”到“会证”，这是一个巨大的思维模式的转变。你不能再依赖直觉或者经验性的“套路”，必须一步步地、逻辑严谨地推导。
3. 抽象程度的提高： 很多概念会变得更加抽象，比如序列的收敛性、函数的单调性、一致收敛等，这些都需要通过严格的定义和证明来把握。
给你的建议：
抓住定义： 数学分析的每一个概念都有其精确的定义，务必把定义吃透。很多证明题都可以从定义出发。
多看例题，更要多练证明题： 不要只看例题的解法，要理解每一步推理的依据。然后自己动手去写证明，即使写错了也没关系，重要的是思考过程。
理解逻辑结构： 很多证明题都有其固定的逻辑结构（比如反证法、数学归纳法、直接证明）。学会识别和运用这些结构。
不要害怕犯错： 刚开始接触证明可能会觉得很困难，这是正常的。多思考，多提问，你会逐渐找到感觉的。
把计算看作是论证的一部分： 当你遇到需要计算的地方时，思考一下这个计算是为了证明什么，它的目的是服务于哪个逻辑环节。
所以，准备好拥抱一个更加严谨、更加抽象的数学世界吧！数学分析的挑战与乐趣并存，一旦你掌握了严谨的证明方法，你会发现数学的美妙之处远不止于计算结果。
我这么说，并不是说计算不重要，而是说计算在数学分析中的作用和你在高等数学（微积分）中遇到的计算，在性质上是有区别的。
我们先从高等数学（通常你们在高中或者大一上学期会接触到的微积分）来对比一下，这样你可能更容易理解。
在高等数学（微积分）里：
计算是绝对的主角。 你学习导数是为了计算函数在某一点的瞬时变化率，计算极限是为了知道函数趋向的值，计算积分是为了求解面积、体积等。所有的公式、法则（链式法则、积分公式、泰勒展开）都是为了服务于计算出结果。
直觉和可视化也很重要。 你会看到各种函数的图像，理解导数是斜率，积分是面积。这些直观的理解帮助你进行计算，并且在某些情况下，甚至可以跳过一些严谨的推导直接用“套路”来解决问题。
证明相对较少，且多为对计算工具的背书。 比如证明洛必达法则，或者证明积分的某些性质，但这些证明往往是作为计算工具的“理论依据”，不要求学生自己从零开始构建。
然而，到了数学分析（通常是大一下学期或大二开始）：
证明才是核心。 数学分析的精髓在于严谨的逻辑推理和概念的精确定义。你不再满足于“函数图像看起来是这样”，而是要用数学语言去证明它确实是这样，并且证明过程中不能有任何含糊不清的地方。
极限的定义： 在高等数学里，你可能只是模糊地知道当x趋近于a时，f(x)趋近于L。但在数学分析里，你会学习到“εδ语言”。也就是说，要证明lim f(x) = L，你需要证明：对于任意给定的ε > 0，都存在一个δ > 0，使得当 |x a| < δ 时，有 |f(x) L| < ε。这个定义看似复杂，但它为整个极限理论打下了坚实的基础，也正是这种严谨性，才能处理各种复杂的情况。
连续性的定义： 同样的，连续也不是凭眼睛看，而是用εδ语言来定义：如果函数f在点a处连续，则对于任意ε > 0，存在δ > 0，使得当 |x a| < δ 时，有 |f(x) f(a)| < ε。
导数和积分的严谨定义： 这些概念也都需要从极限的角度去重新审视和定义，并推导出它们的性质。比如，你可能需要证明一个函数的导数在某区间上是单调的，或者证明两个连续函数相加仍然是连续的。
计算是证明的工具，而不是目的。 数学分析中的计算，更多的是服务于证明。你可能会计算一些用来佐证某个猜想的例子，或者用来验证某个定理的应用条件是否满足。但核心在于，你是如何证明这个结果是正确的，而不是直接算出那个数值。
举个例子，在高等数学里，你可能直接计算某个函数在某点的值。但在数学分析里，你可能需要证明这个函数在该点存在一个值，并且这个值满足某个性质。计算可能只是证明过程中的一个环节，比如计算出某个表达式的界，用来满足εδ定义中的条件。
你也会学习到各种积分技巧，但这些技巧的出现，往往是因为需要通过这些计算来证明积分的存在性或者积分的某些性质，而不是仅仅为了算出结果。
“反例”是证明的重要组成部分。 在数学分析中，为了证明一个命题不成立，或者为了说明某个定理的条件是不可或缺的，你常常需要构造反例。这同样是一种证明的手段，而且需要非常严谨的数学推理来构造。
所以，总结一下：
大一的数学分析学习，绝对是偏向证明的。 课程的核心目标是让你建立起一套严谨的数学思维方式，学会如何用精确的数学语言去定义概念、论证命题、证明定理。计算固然是数学的一部分，但在这里，它更多的是作为证明的辅助工具，而不是最终的目的。
你可能会遇到的一些挑战：
1. 语言障碍： 数学分析会引入很多新的数学符号和术语，特别是“εδ语言”，需要花时间去理解和适应。
2. 思维方式的转变： 从“会算”到“会证”，这是一个巨大的思维模式的转变。你不能再依赖直觉或者经验性的“套路”，必须一步步地、逻辑严谨地推导。
3. 抽象程度的提高： 很多概念会变得更加抽象，比如序列的收敛性、函数的单调性、一致收敛等，这些都需要通过严格的定义和证明来把握。
给你的建议：
抓住定义： 数学分析的每一个概念都有其精确的定义，务必把定义吃透。很多证明题都可以从定义出发。
多看例题，更要多练证明题： 不要只看例题的解法，要理解每一步推理的依据。然后自己动手去写证明，即使写错了也没关系，重要的是思考过程。
理解逻辑结构： 很多证明题都有其固定的逻辑结构（比如反证法、数学归纳法、直接证明）。学会识别和运用这些结构。
不要害怕犯错： 刚开始接触证明可能会觉得很困难，这是正常的。多思考，多提问，你会逐渐找到感觉的。
把计算看作是论证的一部分： 当你遇到需要计算的地方时，思考一下这个计算是为了证明什么，它的目的是服务于哪个逻辑环节。
所以，准备好拥抱一个更加严谨、更加抽象的数学世界吧！数学分析的挑战与乐趣并存，一旦你掌握了严谨的证明方法，你会发现数学的美妙之处远不止于计算结果。
网友意见
首先，我不是很认同数学系的同学把「计算」和「证明」这两件事割裂开来。
记得我读本科时跟随学校的彭双阶老师学习《泛函分析》的时候，彭老师在课堂上讲过一句话让我记忆至今：“我判断一个学生数学功底扎不扎实，简而言之、就是你拿到一个问题，提起笔来能先算两步，看看这个问题能不能被转化成什么你知道的东西。”
事实上，细看数学上的很多问题——无论是后来我在学习过程中碰到的新困难，还是回顾自己以前学习时的旧疑惑——都没有跳出彭老师对我们说的这句话。题主今年是大一，我来举个你知识范围里能理解的例子吧：
正常的教材编写体例，《数学分析》前面几章讲的应该是：
1、「数列极限」（这个地方讲收敛和发散的含义）；
2、「函数极限」（这个地方讲函数的连续性）；
3、「微分学」（这里讲函数的求导）.....
——在微分学里，一般讲完导数的定义和含义之后，接下来谈的是「可导」和「连续」之间的强弱关系：这都是函数的局部性质，但是前者要比后者更强；谈完这一点后要讲几个简单函数的导数公式、导数的四则运算法则、复合函数的链式法则，以及反函数的导数公式。
我们就来谈谈反函数的导数公式这件事儿。
我们先来看看这个定理是怎么说的：
一般来说，假设函数 在包含 的区间上是连续而且严格单调、 在 处可导并且 ，那么函数 的反函数 在 处是可导的，这个结果是。
——我告诉你了结果，这就是一道证明题，我把最后一个结果拿掉，这就是一道计算题，其实本质上没有差别。好吧，关键的问题是：未来你科研过程中，面对的很多问题是没有答案的，你最好的方法，是用不严谨的方法估出一个可能的结果，然后再从严谨性的角度去证明它。
比如这个反函数的导数公式，我把答案拿掉，问你结果，你怎么办呢？
——如果你「链式法则」学得好，你大概可以考虑一下： ，两侧求导之后算一下，就是 ，这个结果是： ；
当然，这么做是很不严谨的，因为链式法则要求你用的时候必须事先知道 这个内层函数也是可导的，而这里我们实际上不知道，所以你还得用定义去证明，但是你如果在这儿能大概算一下，接下来证明的时候：
（P.S. 知乎的TeX实在是太难用了，这个等号到底是怎么对齐啊啊好气...希望有高人能指点一下。）
这个公式是不是就好理解一点了？至少、第二个等号处为什么把 这个分子换成它在原函数中 这个形式拿下去做分母，这一步的操作就显得显然了很多——因为我的目的是为了在分母上凑出一个 啊！
——至此，你看出来「计算」和「证明」这两件事儿在数学中的作用了吗？
仔细再看数学中的所有问题，其实证明读不下去，我个人的原因都在于：“我没有办法理解作者在这里为什么这么搞”；或者“他这一步改写的很好啊，怎么想到的！”
这个中原因，我想很可能是因为我自己算的不够溜。
我想我很有必要把文章最初的那句话在这里再repeat一下：
判断一个学生数学功底扎不扎实，简而言之、就是你拿到一个问题，提起笔来能先算两步，看看这个问题能不能被转化成什么你知道的东西。
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