从古典的解析几何到现代的代数几何，研究的问题都有些什么变化？又有哪些共同的问题？
从古希腊欧几里得的时代算起，几何学就已经踏上了探索空间奥秘的漫长旅程。最初的解析几何，如同一位严谨的建筑师，用坐标系这把尺子和代数这把锤子，将抽象的空间形态具体化，赋予它们数字的生命。而如今的代数几何，则更像一位深邃的哲学家，在更高的维度上追寻着数学结构最本质的规律，触及到数学的多个分支。这两者之间，既有清晰的传承，也有深刻的演变。
从解析几何到代数几何：研究问题的变化
解析几何的诞生，可以追溯到17世纪笛卡尔和费马的伟大创造。他们的核心贡献是将几何问题转化为代数方程来解决。
解析几何关注的问题：
形状的方程描述： 最直接的变化就是，几何图形（如直线、圆、椭圆、抛物线等）不再是感性的直观图形，而是可以用代数方程来精确表示。例如，一条直线可以用 $ax + by + c = 0$ 来描述，一个圆可以用 $(xh)^2 + (yk)^2 = r^2$ 来描述。这使得我们可以通过求解方程来研究图形的性质，比如交点、距离、斜率等等。
几何性质的代数分析： 很多几何上的判断，比如两直线是否平行、两圆是否相交，都可以转化为对它们所代表的代数方程的系数进行运算和判断。这极大地简化了许多几何问题的求解过程。
运动与变化的研究（微积分的萌芽）： 虽然微积分在解析几何之后发展起来，但解析几何为研究曲线的切线、曲率等提供了基础。通过方程的形式，我们可以分析曲线在某个点的“瞬时变化率”，这是现代数学分析的重要起点。
二维与三维空间的局限： 解析几何主要集中在二维平面和三维空间。虽然理论上可以推广到更高维度，但直观性大大减弱，计算也变得复杂。研究的重点仍然是具体的“形体”及其坐标关系。
总的来说，解析几何是将“形”转化为“数”，并用数的运算来研究形的性质。它更侧重于具体形状的直观描述和代数求解。
进入20世纪，随着数学研究的深入和抽象化，代数几何应运而生，并带来了研究视角的重大转变：
代数几何关注的问题：
点集到代数簇的飞跃： 代数几何不再仅仅关注由方程定义的点集本身，而是将目光投向了这些点集所蕴含的更深层的结构——代数簇。代数簇不仅仅是方程的解集，它还拥有几何的“结构”，比如光滑性、连通性、维度等。这些性质不再仅仅是点集的外在表现，而是代数簇内在的代数和几何属性的统一。
几何性质的代数范畴化： 代数几何的目标是将几何性质转化为代数对象（如环、模、理想）的性质。例如，一个空间的“光滑性”可以被理解为与之关联的某个环的性质。这种“范畴化”使得我们可以脱离具体的坐标和方程，用更抽象的代数工具来研究几何。
多项式方程组的解集的研究： 尽管代数几何的语言更加抽象，但其核心仍然是研究多项式方程组的解集。不过，研究的重点从单个方程、单个图形，扩展到相互关联的多个方程组所定义的更复杂的几何对象，以及这些对象之间的映射关系。
抽象代数与拓扑学的融合： 代数几何巧妙地融合了抽象代数和拓扑学的思想。它使用环论来描述几何对象，利用拓扑学的概念来研究几何对象的“连续性”和“连通性”。这使得代数几何能够处理更广泛的几何现象，包括那些在解析几何中难以触及的奇点、奇异点等。
高维、抽象空间的探索： 代数几何可以自然地应用于任意维度的空间，甚至超越了我们有限的直观理解。它研究的对象是抽象的代数簇，这些簇可能存在于抽象的“谱”（Schemes）中，其定义甚至不依赖于任何具体的嵌入空间。这使得代数几何能够解决诸如“整数上的几何”等更广泛的问题。
数论与几何的桥梁： 代数几何在数论中扮演着至关重要的角色。通过研究定义在有限域（或整数环）上的代数簇，数学家们可以深刻地理解数论中的许多难题，例如费马大定理的证明就离不开代数几何中的椭圆曲线理论。
总结来说，代数几何是将“数”提升到更抽象的代数结构，并用这些结构来研究几何对象的本质属性，其研究的目光更加高远，涵盖的领域也更加广泛。
共同的问题：不变的探索精神
尽管研究视角和工具发生了深刻的变化，但从解析几何到代数几何，始终贯穿着一些核心的、不变的数学探索问题：
1. 理解几何对象的结构和性质： 无论是研究一个圆的方程，还是研究一个高维代数簇的性质，根本目的都是要理解这些几何对象是由什么构成的，它们有什么样的内在规律和外在表现。解析几何通过坐标和方程来描述，代数几何则通过代数结构来刻画。
2. 研究几何对象之间的关系： 点和直线的位置关系、两条曲线的交点、图形之间的相似性或相似性，这些都是几何学的重要问题。在代数几何中，这种关系被抽象为代数簇之间的态射（morphisms），研究态射的性质，例如它的核、像、纤维等，就是研究几何对象之间相互作用的方式。
3. 寻找不变量： 几何图形在某些变换下会发生变化，但有些性质是保持不变的，这些就是不变量。例如，圆的半径是其外在表现（大小），但它可以通过方程的系数来反映。代数几何中，不变量的研究更加普遍和抽象，例如亏格（genus）就是研究曲线的一个重要不变量，它独立于具体的坐标表示。
4. 解决方程组和理解解集： 解析几何处理的是有限个变量的代数方程组，而代数几何则将研究的范围扩大到任意数量变量、任意次数的多项式方程组，并更加关注这些解集所形成的整体“几何形状”以及这些形状的代数描述。
5. 统一性与普适性： 从解析几何开始，数学家就渴望找到一种统一的语言和方法来描述和研究所有几何现象。代数几何在这方面走得更远，它试图用统一的代数框架来处理各种几何问题，包括光滑的、有奇点的、甚至在不同“基域”（比如实数、复数、有限域）上的几何。
可以说，代数几何是解析几何在抽象化和广度上的自然延伸和升华。它继承了解析几何将几何问题代数化的优良传统，并将其提升到一个更高的理论层次，从而解决了更多更深层次的数学问题，并与其他数学分支建立了更加紧密的联系。这种从具体到抽象，从局部到整体，从有限到无限的探索过程，正是数学发展的魅力所在。
从解析几何到代数几何：研究问题的变化
解析几何的诞生，可以追溯到17世纪笛卡尔和费马的伟大创造。他们的核心贡献是将几何问题转化为代数方程来解决。
解析几何关注的问题：
形状的方程描述： 最直接的变化就是，几何图形（如直线、圆、椭圆、抛物线等）不再是感性的直观图形，而是可以用代数方程来精确表示。例如，一条直线可以用 $ax + by + c = 0$ 来描述，一个圆可以用 $(xh)^2 + (yk)^2 = r^2$ 来描述。这使得我们可以通过求解方程来研究图形的性质，比如交点、距离、斜率等等。
几何性质的代数分析： 很多几何上的判断，比如两直线是否平行、两圆是否相交，都可以转化为对它们所代表的代数方程的系数进行运算和判断。这极大地简化了许多几何问题的求解过程。
运动与变化的研究（微积分的萌芽）： 虽然微积分在解析几何之后发展起来，但解析几何为研究曲线的切线、曲率等提供了基础。通过方程的形式，我们可以分析曲线在某个点的“瞬时变化率”，这是现代数学分析的重要起点。
二维与三维空间的局限： 解析几何主要集中在二维平面和三维空间。虽然理论上可以推广到更高维度，但直观性大大减弱，计算也变得复杂。研究的重点仍然是具体的“形体”及其坐标关系。
总的来说，解析几何是将“形”转化为“数”，并用数的运算来研究形的性质。它更侧重于具体形状的直观描述和代数求解。
进入20世纪，随着数学研究的深入和抽象化，代数几何应运而生，并带来了研究视角的重大转变：
代数几何关注的问题：
点集到代数簇的飞跃： 代数几何不再仅仅关注由方程定义的点集本身，而是将目光投向了这些点集所蕴含的更深层的结构——代数簇。代数簇不仅仅是方程的解集，它还拥有几何的“结构”，比如光滑性、连通性、维度等。这些性质不再仅仅是点集的外在表现，而是代数簇内在的代数和几何属性的统一。
几何性质的代数范畴化： 代数几何的目标是将几何性质转化为代数对象（如环、模、理想）的性质。例如，一个空间的“光滑性”可以被理解为与之关联的某个环的性质。这种“范畴化”使得我们可以脱离具体的坐标和方程，用更抽象的代数工具来研究几何。
多项式方程组的解集的研究： 尽管代数几何的语言更加抽象，但其核心仍然是研究多项式方程组的解集。不过，研究的重点从单个方程、单个图形，扩展到相互关联的多个方程组所定义的更复杂的几何对象，以及这些对象之间的映射关系。
抽象代数与拓扑学的融合： 代数几何巧妙地融合了抽象代数和拓扑学的思想。它使用环论来描述几何对象，利用拓扑学的概念来研究几何对象的“连续性”和“连通性”。这使得代数几何能够处理更广泛的几何现象，包括那些在解析几何中难以触及的奇点、奇异点等。
高维、抽象空间的探索： 代数几何可以自然地应用于任意维度的空间，甚至超越了我们有限的直观理解。它研究的对象是抽象的代数簇，这些簇可能存在于抽象的“谱”（Schemes）中，其定义甚至不依赖于任何具体的嵌入空间。这使得代数几何能够解决诸如“整数上的几何”等更广泛的问题。
数论与几何的桥梁： 代数几何在数论中扮演着至关重要的角色。通过研究定义在有限域（或整数环）上的代数簇，数学家们可以深刻地理解数论中的许多难题，例如费马大定理的证明就离不开代数几何中的椭圆曲线理论。
总结来说，代数几何是将“数”提升到更抽象的代数结构，并用这些结构来研究几何对象的本质属性，其研究的目光更加高远，涵盖的领域也更加广泛。
共同的问题：不变的探索精神
尽管研究视角和工具发生了深刻的变化，但从解析几何到代数几何，始终贯穿着一些核心的、不变的数学探索问题：
1. 理解几何对象的结构和性质： 无论是研究一个圆的方程，还是研究一个高维代数簇的性质，根本目的都是要理解这些几何对象是由什么构成的，它们有什么样的内在规律和外在表现。解析几何通过坐标和方程来描述，代数几何则通过代数结构来刻画。
2. 研究几何对象之间的关系： 点和直线的位置关系、两条曲线的交点、图形之间的相似性或相似性，这些都是几何学的重要问题。在代数几何中，这种关系被抽象为代数簇之间的态射（morphisms），研究态射的性质，例如它的核、像、纤维等，就是研究几何对象之间相互作用的方式。
3. 寻找不变量： 几何图形在某些变换下会发生变化，但有些性质是保持不变的，这些就是不变量。例如，圆的半径是其外在表现（大小），但它可以通过方程的系数来反映。代数几何中，不变量的研究更加普遍和抽象，例如亏格（genus）就是研究曲线的一个重要不变量，它独立于具体的坐标表示。
4. 解决方程组和理解解集： 解析几何处理的是有限个变量的代数方程组，而代数几何则将研究的范围扩大到任意数量变量、任意次数的多项式方程组，并更加关注这些解集所形成的整体“几何形状”以及这些形状的代数描述。
5. 统一性与普适性： 从解析几何开始，数学家就渴望找到一种统一的语言和方法来描述和研究所有几何现象。代数几何在这方面走得更远，它试图用统一的代数框架来处理各种几何问题，包括光滑的、有奇点的、甚至在不同“基域”（比如实数、复数、有限域）上的几何。
可以说，代数几何是解析几何在抽象化和广度上的自然延伸和升华。它继承了解析几何将几何问题代数化的优良传统，并将其提升到一个更高的理论层次，从而解决了更多更深层次的数学问题，并与其他数学分支建立了更加紧密的联系。这种从具体到抽象，从局部到整体，从有限到无限的探索过程，正是数学发展的魅力所在。
网友意见
有些代数几何问题可以用解析几何，或者说更广义的“坐标几何”的语言来描述——当然你不可能指望只有高中和大一学的那种平面/空间解析几何知识，而不包含任何多项式理论。没有多项式的代数几何无异于没有三角形的平面几何。
比如著名的Mordell猜想：任何亏格大于1的有理数系数的代数曲线上只有有限多个有理点。更通俗的说，给定一个三元齐次多项式方程，你只需要计算一下他的亏格（光滑情形可直接由多项式次数得出），你就可以判断他（在射影平面上）是否只有有限多个坐标全为有理数的解。——有人可能会说这不是数论里面的丢番图方程问题嘛。不要限制得那么死嘛，丢番图方程不就是有理数上的“解析几何”。
知道一点现代代数数论历史的人应当知道Mordell猜想由Faltings解决，证明涉及的技术远远超出“坐标几何”或者丢番图方程的经典内容。比如说，绕不开 Galois上同调。
再举个（现在应该还没有解决）的问题：cubic fourfold的有理性问题。也就是说，5元3次齐次多项式的零点集是否可以由有理函数来参数化。纯粹表述这个问题应该不需要引入Zariski拓扑这些概念，不过到底用什么工具来解决么，谁也不知道了。
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