你所在的科研领域有哪些做不动的问题？

Finsler几何里几乎所有有价值的问题好像都做不动，毕竟Finsler几何看着就复杂，而且关心的人也少。。。

比如我之前提到过的，klam：有哪些经典的反直觉数学结论？

在Finsler几何里，S^{2} 上存在一个Finsler度量 F ，使得 (S^{2},F) 上只有两条闭测地线。

这个例子的构造来自于Katok。实际上Katok的例子可以推广到S^{n}上，对于S^{n}，可以构造出来刚好有2[(n+1)/2]条相异的闭测地线的Finsler度量。

对于S^{2}，已经证明了这个数字是一个下确界。但是对于一般维度的球面，这一点还不知道。更进一步的，猜测是对于reversible的Finsler度量，S^{n}上有无穷多条相异的闭测地线，而对于irreversible的Finsler度量，S^{n}上要么有无穷多条相异的闭测地线，要么有刚好2[(n+1)/2]条相异的闭测地线。

这东西完全没人知道怎么做。

更进一步地，由于S^{2}的证明过程是用辛道路指标理论这套东西来证明的。所以它和R^{n}上超曲面的闭特征，以及Hamilton系统的解的个数似乎是有相同的地方。实际上，这两个问题里也各自有猜想是说会有差不多n个闭特征或者n个解（具体形式可能差个一条半条的，好长时间没看这方面的内容了，记不清了。）而这方面目前最好的结果。仍然是龙老师02年Ann上的那篇文章，能够得出差不多这个数字的一半那么多。随后有一系列的文章做了一些小修小补或者讨论特殊情况以及低维的情况的。但是对于一般性的结论，目前还是差不多差着一半，完全不知道怎么做。

对于 @Yuhang Liu 说的截面曲率，在Finsler几何里对应的概念叫做flag curvature。对于常数的flag curvature，Akbar-Zadeh在很早的时候就有一个定理说的是对于紧的Finsler流形，如果它上面有负常数的flag curvature，那么它一定是黎曼流形，如果它的flag curvature恒为零，那么它要么是黎曼的，要么是local Minkowskian的。而对于正常数的情况呢？没人知道。这还仅仅是常曲率的情况，如果考虑一般的负曲率或者正曲率空间，就更没人知道了。

再比如我现在做的这个问题。一开始做的时候查资料，只找到了沈忠民提出这个问题的那篇文章，往后的进展或者讨论呢？一篇都没有。

所以我相当于是从头开始，先明确问题到底应该怎么表述，然后建立方程。由于Finsler度量本身蛋疼的性质，在那上面根本就不知道应该怎么做分析。所以我又想了好长时间，终于对带着一种特色度量的曲面，把方程划到了和那个特殊的Finsler度量相关的黎曼度量下，毕竟黎曼几何里怎么做分析，怎么解方程是有一套完整的理论的。但是蛋疼的事情这才开始，由于是由Finsler度量划过来的，所以方程里会带上Finsler度量里的变量，只能把它当成是参数来看，于是乎方程变成了一个带着一堆参数的完全非线性方程。我现在就在想怎么解这个方程，已经卡了好几个月了，完全不知道从哪儿下手。。。

最后，给你们看看我折腾出来的方程长什么样吧。

哈哈，几乎所有问题都做不动啊！现在年轻数学家们已经沦落到很难找到能做的问题了。我最近觉得数学对我而言越来越难了，经常失眠。简单说几个我暂时做不动，但未来可能可以解决的问题。这些猜想有不少个人观点，并非众所周知。所以你要是有幸解决了其中之一，写paper的时候不要忘记提及猜想来源。我个人不太喜欢去追着别人提的所谓著名猜想来做，我想用我自己的方式来理解数学。

1.证明对于一个“足够复杂”的smooth affine variety 而言，其symplectic cohomology locally finite。

例如取任意一个general type smooth projective variety ，divisor 的每个irreducible component是 和generic hyperplane的intersection，则 应该具有locally finite symplectic cohomology。当 中的degree 5或degree 6的hypersurface时，McLean用spectral sequence计算了 :

结果表明，上述猜想成立。这也是此猜想的motivation之一。我想假如仔细研究一下McLean的spectral sequence，这个猜想是最有希望被证明的。

2.证明假如smooth affine variety 具有locally finite symplectic cohomology，则 的compact Fukaya category 和wrapped Fukaya category 是Koszul dual的。

这个问题更困难，原因在于不知道怎么在不用具体计算Fukaya category的情况下证明Koszul duality。值得注意的是Ballard做了代数几何版本的counterpart：

就像对于一个Liouville manifold，我们可以定义两种版本的Fukaya category一样，对于singular scheme ，我们也可以用coherent sheaves定义两个完全不同的triangulated category，分别是 和 。假如 是 的mirror，那么有相应的homological mirror symmetry猜想：

Ballard本质上证明了 和 之间Koszul dual的充分条件是 的properness，这也是上述猜想的motivation之一。然而据我所知，一个Liouville manifold mirror to一个singular variety的例子是很少的，基本上就是punctured Riemann surface和stacky curve之间的mirror symmetry。而对于punctured Riemann surface而言，有非常简单的spectral sequence可以计算symplectic cohomology，所以没有什么意思。后来Ben-Zvi-Nadler-Preygel在代数几何上证明了更general的结果：

然并卵，我不知道怎么用他们的结果。

3.把smooth general type或Calabi-Yau variety的Fukaya category embed到Fano manifold的Fukaya category的nilpotent summand里。

这个问题来自于Kapustin-Katzarkov-Orlov-Yotov的猜想3.3：

具体说来，假如 是smooth general type或Calabi-Yau variety， 是Fano manifold，且存在fully faithful embedding

那么相应的derived Fukaya categories之间也存在fully faithful embedding

当 是hyperelliptic curve，而 是 中的complete intersection of quadrics时，Smith证明了上述猜想：

但还有一些其他有趣的情形可以研究，例如 和Fano 3-fold of genus 9 ：

4.辛拓扑的稳定性

猜想 假如 是方程 定义的affine hypersurface，且wrapped Fukaya category 可以被identify成Calabi-Yau completion of some homologically smooth dg algebra ，那么方程 定义的affine hypersurface 的wrapped Fukaya category 可以被identify成 。

我心目中上述猜想应该有更强的形式，也就是说对任何smooth affine variety，都存在相应的stabilization操作，只要执行这种操作有限多次，任何smooth affine variety的辛拓扑都会稳定下来，表现为其wrapped Fukaya category呈现出某种pattern。比如在上述猜想中，在defining equation中adding quadratic term就是在对affine hypersurface做stabilization，并且只要add有限多个quadratic term，所得到的affine variety的辛拓扑就会稳定下来，具体表现是其wrapped Fukaya category，无论再做多少次stabilizatiton，都可以realize成同一个dg algebra的CY completion。也就是说，只是在grading上有变化，代数结构的复杂度已经不会再增加了。这个猜想有点像Bott periodicity在辛拓扑上的类比，是我个人最有志于证明的。我认为这个猜想的证明，应该建立在对Seidel的工作：

的充分理解上。这篇文章的主要内容在之前的回答里已经介绍过，不再赘述。

5.对于任何 Legendrian torus knot ， attach 2-handle along 后得到的Weinstein流形都symplectomorphic to smooth affine surface。

此问题和在exact symplectic 4-manifold中构造higer genus exact Lagrangian surface有关。当 时，已知得到的Weinstein 4-manifold symplectomorphic to

当 时，相应的Weinstein流形是

当 时，问题open。这个问题上我最近已经有了一些想法，因此不打算再描述细节。

人工固氮（包括催化剂）

换一种方式说：工业合成氨催化剂

N2+H2---NH3

这个反应非常简单，但由于N2三键的高稳定性，活化N2分子所需要的能量非常高，因此催化剂是这一反应必须得。热力学上来说，这个反应需要高压低温，但N物种的解离需要高温（在金属催化剂表面）才行，所以人工合成氨大约消耗了全世界1-2%的电力。（见Ammonia synthesis catalyst 100 years: Practice, enlightenment and challenge）

道理很简单，如同室温超导一样，谁能够发现可以在常温常压下活化N2分子并产生NH3的催化剂，等着载入史册吧。

但是现实是如此的绝望，自从工业上Haber和Bosch发现铁催化剂（1903年）在高温高压下可以稳定催化合成氨气，时间已经过去了100多年，这一个多世纪以来，工业合成氨的催化剂几乎没怎么变过（中间英国的公司尝试过Ru的催化剂），这是极不寻常的现象。

图片来自https://www.slideshare.net/wavalaniket/new-catalyst-materials-for-ammonia-synthesis-by-aniket

合成氨这个非常简单的反应为什么这么重要：

1）事关全球几乎一半人的吃饭问题；

2）这个反应是如此的特殊，以至于催化剂研究中许多基础的理论需要其来定义（如RDS)。

其实目前世界上有三个课题组依然在坚持，并不时可以做出令人眼前一亮的成果：

1）斯坦福的Norskov（见Center for Interface Science and Catalysis）

Norskov是绝对的催化剂理论大师，提出了催化剂的d-band center理论，当然在合成氨领域也有很多开拓性的成果。

图片来自Lithium could hold key to sustainable ammonia synthesis

2）东京工业大学Hosono-Kitano（见http://www.mces.titech.ac.jp/authors/kitano/recent_publications.html）

电子化合物，电子的back donation效应（2012年的Nature chemistry Ammonia synthesis using a stable electride as an electron donor and reversible hydrogen store），最近看新闻他们还跟日本味之素公司合伙开了一家生产氨气的新公司。

3）大连化物所Chen Ping 课题组

LiH, BaH2系列，提出了双功能催化剂效应。