如何理解「香农定理」，包含哪些内容，它的发现有什么意义？

理解香农定理：信息时代的基石

香农定理，一个听起来有些高深的名字，却是我们如今所处的数字信息时代的奠基石。它并非一个单一的定理，而是由信息论的奠基人克劳德·香农（Claude Shannon）提出的一系列深刻洞见，其中最核心的便是“信道容量定理”，也常被称为“香农哈特利定理”。要理解它，我们需要剥开那些复杂的数学公式，回归其本质思想。

香农定理包含哪些内容？

最核心的“信道容量定理”告诉我们一件事：在存在噪声的情况下，信息传输的极限速率是多少。

让我们拆解一下这个核心思想：

1. 信道（Channel）： 想象一个信息传输的通道，它可以是电话线、无线电波、光纤，甚至是我们说话时的空气。这个通道并不完美，总会受到各种干扰，我们称之为“噪声”。

2. 噪声（Noise）： 噪声是信息传输的大敌。它会扭曲、干扰我们想要传递的原始信息，导致接收端无法准确地还原发送端的信息。噪声可以是静电干扰、信号衰减、其他信号的混淆等等。

3. 信息速率（Information Rate / Data Rate）： 这是我们每秒传输多少信息单位（比如比特）的度量。我们总是希望传输得越快越好。

4. 信道容量（Channel Capacity）： 这就是香农定理的核心答案。它是一个理论上的最大值，表示在一个具有特定带宽和噪声水平的信道上，能够以任意低的错误率（或者说，可以无限接近于零的错误率）传输信息的最大速率。

香农定理用一个简洁而优雅的公式来表达了信道容量（C）：

$C = B log_2(1 + S/N)$

其中：

$C$ 是信道容量，单位是比特/秒 (bps)。
$B$ 是信道的带宽，单位是赫兹 (Hz)。带宽决定了信号可以存在的频率范围，就像一条信息高速公路的宽度。
$S/N$ 是信噪比（SignaltoNoise Ratio）。它衡量的是信号的强度相对于噪声强度的比例。信噪比越高，信号越清晰，越不容易被噪声干扰。
$log_2$ 是以2为底的对数。这里的“2”是关键，因为它与我们衡量信息的单位“比特”（bit）的二进制特性相对应。

这个公式的意义在于：

存在一个绝对的传输极限： 无论你使用多么精密的编码技术，无论你多么努力地优化信号，只要信道的带宽和信噪比是固定的，你传输信息的速率就永远不可能超过这个信道容量 $C$。
传输速率和错误率的关系： 香农定理还揭示了传输速率和错误率之间的深刻联系。只要你的传输速率低于信道容量，理论上就存在一种编码方法，可以让你几乎零错误率地传输信息。反之，如果你试图以高于信道容量的速度传输信息，那么无论多么好的编码，错误率都会迅速上升，最终变得无法容忍。

除了信道容量定理，香农的伟大之处还在于他为信息论建立了一整套理论框架，包括：

熵（Entropy）： 香农将“熵”引入信息论，用它来衡量信息的“不确定性”或“信息量”。一个事件发生的概率越低，它包含的信息量就越大。比如，“太阳明天会升起”的信息量就很小，因为它几乎是确定的。而“我中彩票头奖”的信息量就非常大。熵是衡量信息量的基本单位。
信源编码定理（Source Coding Theorem / Data Compression Theorem）： 这一定理回答了“如何最有效地压缩信息”的问题。它指出，对于一个信息源，其信息量（可以用熵来衡量）是它能被无损压缩到的极限。换句话说，你无法将一个信息压缩得比它本身的信息量还要小，否则就会丢失信息。这为数据压缩（如ZIP文件、MP3音频）提供了理论基础。
信道编码定理（Channel Coding Theorem）： 这一定理回答了“如何对抗噪声，可靠地传输信息”的问题。它告诉我们，如果传输速率低于信道容量，就一定存在某种编码（纠错码）方案，使得接收端可以以任意低的错误率恢复原始信息。这为纠错码（如在CD、DVD、卫星通信、手机通信中的应用）奠定了理论基础。

香农定理的发现有什么意义？

香农定理的发现，可以说彻底改变了我们对信息传输的认知，并直接催生了现代通信技术和数字信息产业。

1. 奠定了信息论的基础： 香农的工作将信息从一个模糊的概念，变成了一个可以量化、可以计算、可以优化的工程实体。他为通信工程、计算机科学、统计学、密码学等众多领域提供了坚实的理论支撑。

2. 指明了通信技术的方向： 在香农定理出现之前，人们更多地依赖于直觉和经验来设计通信系统。香农定理提供了一个精确的、可量化的目标——信道容量。通信工程师们不再是盲目地尝试，而是有了明确的“天花板”和“最优路径”来指导他们设计更高效、更可靠的通信系统。

3. 加速了数字时代的到来：
数据压缩： 信源编码定理直接推动了各种高效的数据压缩技术的发展，使得我们能够存储和传输海量数据，比如今天的互联网、高清视频、大型软件等，都离不开强大的压缩算法。
纠错编码： 信道编码定理的突破，使得在充满噪声的环境下进行可靠通信成为可能。我们今天能够享受手机通话、无线网络、卫星电视等服务，都离不开纠错码的功劳，它们帮助我们抵御信号衰减和干扰。
移动通信和互联网： 香农定理是设计现代高速移动通信系统（如4G、5G）和互联网基础设施不可或缺的理论基石。它指导着我们如何更有效地利用有限的频谱资源，如何在高噪声环境下实现高速率、低误码率的数据传输。

4. 拓展了信息科学的边界： 信息论的影响远不止通信。它对诸如机器学习（信息增益）、人工智能（模型复杂度）、生物学（DNA信息）、经济学（信息不对称）等领域都产生了深远的影响，帮助我们从信息的角度去理解和解决问题。

总结来说，香农定理不是一个简单的公式，而是一种全新的思维方式。它让我们认识到：

信息是可以被量化和管理的。
噪声是无法完全消除的，但可以通过技术手段来“管理”它。
存在一个“极限”，但只要我们策略得当，就可以接近甚至达到这个极限。

没有香农定理，我们今天所熟悉的数字世界，包括互联网、智能手机、高清电视、云存储等等，都可能是不存在的，或者至少会是效率低下、成本高昂的。它是信息时代真正的“宪法”，塑造了我们沟通、学习、工作和生活的方式。

网友意见

谢邀 @知识库。在开始讲解前，我先列举香农三大定理：

• 香农第一定理（可变长无失真信源编码定理)
• 香农第二定理（有噪信道编码定理）
• 香农第三定理（保失真度准则下的有失真信源编码定理）

一般语境下，「香农定理」主要指香农第二定理（有噪信道编码定理）。

看得一头雾水？没关系，听我慢慢道来。我不能保证讲得小白都能听懂，但可以保证的是，肯定比教科书讲得更通俗。

从一篇传奇硕士论文说起

1937年，一位22岁的年轻人从麻省理工学院跑到了华盛顿特区进行他的硕土论文答辩。在美国绝大部分硕士生其实不需要发表论文就可以获得学位，即使选择发表论文的那一小部分硕士生，其论文水平也远远无法和博士论文相比。而这位年轻人奔赴千里只为一场答辩就显得格外引人注目。

而这个年轻人，就是香农。

他在硕士论文《A symbolic analysis of relay and switching circuits》^[1]中将布尔代数应用于电子领域，能够构建并解决任何逻辑和数值关系，被誉为有史以来最具水平的硕士论文之一。这个论文开创了一个时代，香农因此被认为是数字计算机理论和数字电路设计理论的创始人。人类从此进入「数字化」时代，也为电子计算机的出现奠定了基础，现在的计算机是0和1的世界，其理论基础就可以追溯到香农这篇论文。当然，这篇论文并非讲香农定理，但将布尔代数应用在信息领域，为香农定理的出现铺了一条路。

毕业后，他在贝尔实验室从事加密通信研究。在那里，他发现了，密码学其实和通信在原理上是一回事，并提出了通信的数学原理，于是有了后面的香农三大定理。

香农第一定理（可变长无失真信源编码定理)

在1948年，他32 岁时，发表了划时代的论文——《A mathematical theory of communication》^[2]。他在论文中提出了比特单位，证明了信息是可以被量化的，奠定了现代信息论的基础。

在论文里，他阐述了如何在保证准确率的前提下用数字编码对信息进行压缩和传输。在说如何压缩前，我们看一个例子，来说说「信息冗余」这个概念。

我们都学过文言文，我们都有这种感觉：文言文很精简，但不好读懂。而白话文很啰嗦（信息冗余），但好懂。一个语言如果带有较多的冗余信息，会好理解。其他信息也是如此，那我们如果想对信息进行压缩，去掉冗余信息，是否存在一个压缩得不能再压缩的极限值？香农第一定理就回答了这个问题。香农第一定理给出了在无损情况下，数据压缩的临界值。

香农第一定理指出：

1. 一段信息的信息量是固定的，这称为这段信息的信息熵（H）
2. 无论怎么压缩，信息熵是无失真信源编码的极限值
3. 若编码的平均码长小于信息熵值，必然发生差错（也就是有损）

信息熵的这个极限值，就像光速至于物理学一样，无法逾越。如果想更深入了解信息熵，可以看看 @YJango 大佬的这个视频：信息熵是什么？。在本回答里就不详述了，直接给出信息熵公式：

那么怎么压缩才能得到极限值呢？香农第一定理指出，对于不同的符号要采用不同编码，经常出现的符号使用短的编码，出现频率低的使用更长的编码。如果做到每个符号的代码长度等于它出现概率的对数，则编码总长度就是信息熵。在吴军博士的《信息传》中，举了个例子。

顺便一说，这个编码方法是怎么得来的？可以通过大名鼎鼎的霍夫曼编码得到。霍夫曼编码也称为最佳编码，由Huffman1952年提出，就是根据是香农1948年发表的《A mathematical theory of communication》里的思想而构造的，是香农第一定理的延伸。如果你还想知道其他字符怎么编码，你可以研究霍夫曼编码原理，或者使用这个在线工具来做霍夫曼编码。Online calculator: Huffman coding

如果你细心观察，你会发现，在很多领域都有意识无意识的能香农第一定理的身影。

例如摩尔斯电报码也一定程度上接近香农第一定律的压缩极限值（虽然还不完美），例如经常出现的A、E、I特别短。而且发明摩尔斯电码时候，那时候香农还没出生呢。大家都冥冥中感受到这个规律，但只有香农把这个规律总结成定理。

除此之外，例如有的风险投资的风格是“广撒网，继而对好项目追加双倍投入”，是不是也和香农第一定理有异曲同工之妙？

香农第二定理（有噪信道编码定理）

一般业内讲到「香农定理」，主要指的是第二定理「有噪信道编码定理」。

在讲解这个原理之前，我想让大家思考一个问题，为啥你离路由器越远，网速越差？你可能会回答「信号发不到那么远」之类的回答。但有的时候，只是网速变差，并没有断线啊，甚至你看你wifi信号还是满格的呢，如果信号发不到那么远，那你应该直接掉线才对。你有没有想过，距离和网速有什么关系？香农第二定理就能帮你解答这个问题。（当然，香农那个年代没有wifi）

为了说明香农定理，这里就不得不提一个人了，傅里叶（Fourier）。提到傅里叶，大一学生会感到痛苦，想起学高数时被傅里叶支配的恐惧；但研究生会感到惊叹，竟然这么巧妙的一个公式就能改变世界。傅里叶和香农其实并不是一个时代的人，傅里叶比香农早出生148年。但1807年提出的傅里叶变换，确实为百年后的通信发展做出了「意外的贡献」。

通过傅里叶级数可以把似波的函数表示成简单正弦波的方式。在维基百科中^[3]，给出了这个一个动图，可以帮组理解。在这个图里，把一个方波分解成了几个正弦波（近似）。

应用到通讯领域，傅里叶公式能把时间信息变成频谱信息。（一个正弦波就是一个频率）

如果大家对傅里叶公式推导过程感兴趣，可以看看知乎相关讨论，这里就不展开讲了。例如：如何理解傅里叶变换公式？

大家记得用收音机的日子吗？那时候需要手动调频，每个频率对应不同的电台。例如中央人民广播 电台，就有以下这些频率。

而人说话声音频率范围是300HZ到3400HZ，远远低于这些频率。那么图中这些频率，指的是什么频率呢？ 收音机频道里的FM，指的是Frequency Modulation，频率调制。频率调制可以把信号（例如低频的人声）迁移到高频率的波段。例如一个信号，经过傅里叶分析，我们可以知道它是这么一个频谱段的信号。(图源^[4]）

通过调频后，可以把频谱段搬到高频的位置。

如果传输过程中有在这个频段的噪声，解调时就会出现预料之外的声音。例如以前开收音机经常听到两个电台的声音混在一起了。

就这就调制原理。好了，讲了这么多傅里叶的内容，这里要开始讲香农定理了。打起精神！！！

收音机的频道频率，就是对应上图的 ，加上左右的范围，就是带宽。这个时候，香农创造性的地提出公式（注意，香农定理主要内容来了）：

B为信道带宽；S/N为信噪比，通常用分贝（dB）表示。从这个公式中，我们也可以得知：

• 信噪比越大（也就是信号比例越大），容量也越大。
• 当噪声很大（例如极限情况，无限大），那么信噪比接近0，C的结果为0。也就是说，噪声太大没法传输任何信号。

同时香农指出，传输率永远都不可能超过信道容量C。

以上这些内容很好理解，和我们认知的一样是吧。

所以这时候你可以回答我前面提出来的问题：为啥你离路由器越远，网速越差？例如你网络频段带宽有10MHz，假设你离路由器3米时，信噪比S/N=63,那么这时候容量C为10*log(1+63) = 80Mbit/s。但如果你把距离增加到9米，这时候，信噪比S/N会减少到7，这时候容量C为100*log(1+7) =30Mbit/s。（以上计算底数为2）你就会明显感到网速下降了。(所以有时候你觉得你网速慢，并不一定是带宽被偷工减料了，而是噪声太多）

从香农第二定理我们可以看到，两个增加信道容量的路径为：

• 增加带宽
• 增加信噪比

总结下香农第二定理: 有噪信道编码定理指出，尽管噪声会干扰通信信道，但还是有可能在信息传输速率小于信道容量的前提下，以任意低的错误概率传送数据信息。

香农第三定理（保失真度准则下的有失真信源编码定理）

先允许我贴个百度百科的定义，再慢慢解释

保真度准则下的信源编码定理，或称有损信源编码定理。只要码长足够长，总可以找到一种信源编码，使编码后的信息传输率略大于率失真函数，而码的平均失真度不大于给定的允许失真度，即D'<=D.
设 为一离散无记忆信源的信息率失真函数，并且选定有限的失真函数，对于任意允许平均失真度 ，和任意小的 ，以及任意足够长的码长N，则一定存在一种信源编码W，其码字个数为M<=EXP{N[R(D)+a]}，而编码后码的平均失真度D'(W)<=D+a。

看不懂？没关系，如果你想深入研究，可以看看西安交通大学电信学院的这份课件^[5]。如果不想看太复杂的，也没关系，可以看看通俗点的结论，就是：总能找到一种有效的编码方法，让信息的传输率接近信道容量时而不出错。这里的「出错」并不是指「有损」，而是传不出去。就好像一个狭窄的通道只能容一人通过，一大堆人同时想挤出去，结果大家互相挤，谁都走不了。事实上，为了传输不出错，代价就是有损。事实上，实际生活中，人们并不要求获得完全无失真的消息，通常只要求近似地再现原消息，也就是允许一定的失真存在。比如jpeg图像编码，mp3音频编码，都是有损的编码，但只要别压太过，感觉差不多，我们都能接受。

香农同时也在这个定理指出，试图以超越信道容量的传输率来传输信息，那么无论如何编码，都必定出错。举个例子，你现在在某个party上，现场音乐声量非常大（噪声大），你想和同伴说话（传输信号），现场的声音让你说话难以听得清（信噪比高），信道容量非常小，你说得太快，直接「出错」。那么，你要怎么说才能听得清？没错，就是一个字一个字慢慢说（降低信息传输率，防止信道拥挤）。

香农第三定理，我个人认为是对第一定理和第二定理的扩展。既然第一定律定死了信息无损压缩的极限值，第二定律定死了最大容量，而第三定理，讲得是如何在这些限制下，让通信不出错。

香农定理的意义

如果我说，香农定理开创了一个时代，大家也觉得毫不为过吧？香农公式为信息通讯提供了理论基础，我们从1G、2G一直发展到5G，都离不开香农公式。香农因此被很多人誉为“信息论之父”。

参考

1. ^A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits http://www.ccapitalia.net/descarga/docs/1938-shannon-analysis-relay-switching-circuits.pdf
2. ^A Mathematical Theory of Communication https://dl.acm.org/doi/10.1145/584091.584093
3. ^傅里叶变换 https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%82%85%E9%87%8C%E5%8F%B6%E5%8F%98%E6%8D%A2
4. ^深入浅出通信原理 作者: 陈爱军  http://reader.epubee.com/books/mobile/69/691b1436a0ae2029baa6d4669096879a/text00013.html
5. ^西安交通大学电信学院张建国 《信息论与编码》--信息率失真理论 http://gr.xjtu.edu.cn/c/document_library/get_file?p_l_id=19199&folderId=1041774&name=DLFE-15601.pdf

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