如果博弈中只有唯一纯策略纳什均衡，是否意味着不存在（完全）混合策略均衡？
问得好！这是博弈论里一个非常关键也容易让人困惑的地方。简单来说，如果一个博弈只有唯一一个纯策略纳什均衡，这不等于说它就不存在混合策略纳什均衡。恰恰相反，许多只有唯一纯策略纳什均衡的博弈，同时也拥有至少一个混合策略纳什均衡。
让我们来一点点拆解，把这个问题说得更透彻，就像我们平时聊天一样，不带机器的生硬感。
首先，咱们得明确几个基本概念：
纯策略 (Pure Strategy)： 这是最直观的理解。在博弈中，每个玩家从自己所有可行的行动（策略）中，选择一个固定的、确定的行动，并且在整个博弈过程中都遵守这个选择。比如，在石头剪刀布里，你决定“永远出石头”，这就是一个纯策略。
混合策略 (Mixed Strategy)： 这个就有点意思了。玩家不固定地选择某一个行动，而是以一定的概率分布去选择自己的行动。也就是说，玩家在每一步都“随机”地决定出什么，但这种随机不是随意的，而是根据一个事先设定的概率表来执行的。比如，在石头剪刀布里，你决定30%的时间出石头，40%的时间出剪刀，30%的时间出布。
纳什均衡 (Nash Equilibrium)： 这是博弈论的核心概念。一个纳什均衡是指一种策略组合，在这种组合下，任何一个玩家都无法通过单方面改变自己的策略来获得更好的收益（假设其他玩家的策略保持不变）。换句话说，在纳什均衡点上，每个玩家都在做“对其他玩家来说最好的选择”，而反过来也是一样。
那么，纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡有什么关系呢？
可以这么理解：纯策略纳什均衡是混合策略纳什均衡的一种特殊情况。
如果一个玩家采用纯策略，比如总是选择行动 A，那么他的混合策略就是“以100%的概率选择行动 A，以0%的概率选择其他行动”。
现在，咱们回到核心问题：
“如果博弈中只有唯一纯策略纳什均衡，是否意味着不存在（完全）混合策略均衡？”
答案是：绝对不是。 很多时候，情况恰恰相反。
为什么会这样呢？
关键在于“期望收益”和“无差异性原则”。
1. 纯策略纳什均衡的“独特性”：
当一个博弈只有一个纯策略纳什均衡时，这意味着在这个特定的策略组合下，每个玩家都选择了自己“最稳妥”或者“最有利”的那个单一行动，而且无论对方怎么做（在允许的范围内），换策略都会让自己吃亏。
2. 混合策略的出现，是为了“打破”对方的预期，或者在某些情况下“逼迫”对方无从选择：
想象一下，如果对方知道你永远出石头，他只需要永远出布就能赢你。但如果你开始随机出，他反而不好判断了。
在很多博弈中，尤其是非零和博弈（双方不一定此消彼长）或者像“石头剪刀布”这样的零和博弈，当不存在纯策略纳什均衡时（每个人都有一个“克制”他的策略），玩家就会倾向于使用混合策略。
而当存在唯一纯策略纳什均衡时，混合策略纳什均衡的出现，往往是因为这种唯一纯策略均衡，在某些“细微”的条件下，并不那么“绝对”最优，或者说，玩家可以通过引入一些随机性，使得对方也无法找到一个绝对优势的纯策略来对抗你。
更关键的是“无差异性原则” (Indifference Principle)。
在混合策略纳什均衡中，一个重要的条件是：对于混合策略玩家来说，他所混合的那些纯策略，都必须能给他带来相同的“期望收益”。
什么意思呢？假设你是一个玩家，你在一个博弈中可以用策略A、B、C。如果你选择了一个混合策略，比如以 p% 的概率出A，q% 的概率出B，r% 的概率出C（p+q+r=100%），那么在纳什均衡的要求下，这三者（A、B、C）在你混合策略下的期望收益必须是相等的。如果其中一个策略的期望收益明显更高，你就会把更多的概率分配到那个策略上，从而偏离了“混合”状态。
所以，即使存在唯一纯策略纳什均衡，它也可能不是唯一的均衡。 玩家可以通过引入概率，让对方无论选择哪个纯策略，或者选择某个混合策略，都无法获得比继续保持自己的混合策略更高的收益。
举个例子，一个经典的例子是“匹配支付” (Coordination Game) 的变种。
假设有一个博弈，有两个玩家，玩家1（行）和玩家2（列）。
| | 玩家2：策略L | 玩家2：策略R |
| : | : | : |
| 玩家1：策略U | (2, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略D | (0, 0) | (1, 2) |
这里括号里的数字代表 (玩家1的收益, 玩家2的收益)。
分析这个博弈：
纯策略分析：
如果玩家2选择L：玩家1选择U（得2）比D（得0）好。
如果玩家2选择R：玩家1选择D（得1）比U（得0）好。
如果玩家1选择U：玩家2选择L（得1）比R（得0）好。
如果玩家1选择D：玩家2选择R（得2）比L（得0）好。
我们发现，
(U, L) 是一个纯策略纳什均衡：玩家1选U，玩家2选L。玩家1不能从D获益，玩家2也不能从R获益。
(D, R) 也是一个纯策略纳什均衡：玩家1选D，玩家2选R。玩家1不能从U获益，玩家2也不能从L获益。
这个例子不是只有一个纯策略纳什均衡，所以不适合我们讨论的场景。
咱们换一个，一个只有唯一纯策略纳什均衡的例子：
想象一个“囚徒困境”的变种。
| | 玩家2：合作 (C) | 玩家2：背叛 (D) |
| : | : | : |
| 玩家1：合作 (C) | (3, 3) | (0, 5) |
| 玩家1：背叛 (D) | (5, 0) | (1, 1) |
纯策略分析：
如果玩家2合作(C)：玩家1选D（得5）比C（得3）好。
如果玩家2背叛(D)：玩家1选D（得1）比C（得0）好。
所以，无论玩家2做什么，玩家1的最优策略都是D。D是玩家1的优势策略。
同理，对玩家2来说，无论玩家1做什么，玩家2的最优策略都是D。D是玩家2的优势策略。
因此，(D, D) 是唯一的纯策略纳什均衡。在这个均衡点上，双方都背叛，收益是(1, 1)。
现在，我们来寻找可能的混合策略纳什均衡：
假设玩家1以概率 $p$ 选择C，以概率 $1p$ 选择D。
假设玩家2以概率 $q$ 选择C，以概率 $1q$ 选择D。
为了让玩家1进行混合（即 $0 < p < 1$），他选择C和D的期望收益必须相等。
玩家1选择C的期望收益：$q imes 3 + (1q) imes 0 = 3q$
玩家1选择D的期望收益：$q imes 5 + (1q) imes 1 = 5q + 1 q = 4q + 1$
令这两个期望收益相等：$3q = 4q + 1$
$q = 1 implies q = 1$
这意味着，不存在使得玩家1愿意混合的 $q$ 值（因为概率不能为负）。
那是不是就没有混合策略纳什均衡了呢？
仔细想想“唯一纯策略纳什均衡”的定义。 那个唯一的纯策略纳什均衡，通常是所有玩家都有优势策略（Dominant Strategy）或者占优策略（Iterated Elimination of Dominated Strategies 可以约简到）导出的结果。
在上述的囚徒困境例子中，D是玩家1的优势策略，D也是玩家2的优势策略。当每个玩家都有一个优势策略时，那个由优势策略组成的策略组合就是唯一的纯策略纳什均衡。在这种情况下，因为优势策略的存在，其他策略（C）在任何情况下都不如优势策略（D）好，所以玩家不会有动机去混合，因为混合C并不能带来任何好处，反而可能因为降低了D的概率而损失。
所以，对于“囚徒困境”这类存在唯一优势策略的博弈，确实不存在混合策略纳什均衡。
那么，什么类型的博弈，既有唯一纯策略纳什均衡，又存在混合策略纳什均衡呢？
这通常发生在，虽然存在一个纯策略纳什均衡，但它并不是由严格优势策略（Strictly Dominant Strategy）产生的，而是玩家在对手做出某种“特定”选择时，才选择那个纯策略，从而构成了均衡。
考虑一个稍微不同的例子，比如：
| | 玩家2：策略L | 玩家2：策略R |
| : | : | : |
| 玩家1：策略U | (1, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略D | (0, 0) | (0, 0) |
纯策略分析：
如果玩家2选L，玩家1选U (得1) 比 D (得0) 好。
如果玩家2选R，玩家1选U (得0) 和 D (得0) 一样好。
如果玩家1选U，玩家2选L (得1) 比 R (得0) 好。
如果玩家1选D，玩家2选L (得0) 和 R (得0) 一样好。
(U, L) 是唯一的纯策略纳什均衡。
现在，找混合策略纳什均衡：
让玩家1以概率 $p$ 选U， $1p$ 选D。
让玩家2以概率 $q$ 选L， $1q$ 选R。
玩家1为了混合 ($0 玩家1选U的期望收益：$q imes 1 + (1q) imes 0 = q$
玩家1选D的期望收益：$q imes 0 + (1q) imes 0 = 0$
令 $q = 0$。 这说明，只有当玩家2完全不选L（即玩家2总是选R）时，玩家1才会愿意混合（或者说，如果玩家2总选R，玩家1无论选U还是D收益都是0）。但是，如果玩家2总选R，玩家1选择U和D的收益都是0，这并不构成严格的混合。
玩家2为了混合 ($0 玩家2选L的期望收益：$p imes 1 + (1p) imes 0 = p$
玩家2选R的期望收益：$p imes 0 + (1p) imes 0 = 0$
令 $p = 0$。 这说明，只有当玩家1完全不选U（即玩家1总是选D）时，玩家2才会愿意混合（或者说，如果玩家1总选D，玩家2无论选L还是R收益都是0）。
这个例子，似乎也推导不出有意义的混合策略纳什均衡。
我们再回到“石头剪刀布”这个最典型的例子。
| | 玩家2：石头 (S) | 玩家2：剪刀 (P) | 玩家2：布 (R) |
| : | : | : | : |
| 玩家1：石头 (S) | (0, 0) | (1, 1) | (1, 1) |
| 玩家1：剪刀 (P) | (1, 1) | (0, 0) | (1, 1) |
| 玩家1：布 (R) | (1, 1) | (1, 1) | (0, 0) |
纯策略分析：
对于玩家1，如果玩家2出石头，他出剪刀最好。
如果玩家2出剪刀，他出布最好。
如果玩家2出布，他出石头最好。
没有玩家能单方面改变策略来获得更好的收益，因为对方总能找到一个反制策略。因此，石头剪刀布没有纯策略纳什均衡。
混合策略分析：
如果玩家1以 $(1/3, 1/3, 1/3)$ 的概率混合S, P, R。
那么玩家2选择S的期望收益是 $(1/3) imes 0 + (1/3) imes 1 + (1/3) imes (1) = 0$。
玩家2选择P的期望收益是 $(1/3) imes (1) + (1/3) imes 0 + (1/3) imes 1 = 0$。
玩家2选择R的期望收益是 $(1/3) imes 1 + (1/3) imes (1) + (1/3) imes 0 = 0$。
所有策略的期望收益都为0。这正是混合策略纳什均衡的体现！
所以，石头剪刀布有唯一的混合策略纳什均衡，但没有纯策略纳什均衡。
好了，现在我们绕回来的目标： 存在唯一纯策略纳什均衡，但不等于不存在混合策略纳什均衡。
这种情况是可能存在的，而且很多博弈都如此。
关键点在于：
纳什均衡的完备性： 任何有限博弈（策略有限、收益有限）都至少存在一个纳什均衡（可能是纯策略的，也可能是混合策略的）。
纯策略均衡的“脆弱性”： 即使存在一个纯策略纳什均衡，它也可能不是“鲁棒”的。也就是说，如果稍微改变一下其他玩家的策略（哪怕只是一点点概率上的变动），这个纯策略均衡就可能不再是均衡了。
混合策略的“保险”作用： 玩家通过混合策略，可以“混淆”对手的判断，使得对手无法找到一个最优的纯策略来针对自己。当一个纯策略纳什均衡不是由优势策略构成时，玩家就有可能通过混合来“稳定”局面。
我们回到前面“匹配支付”那个例子，稍作修改，看看能不能构造一个唯一纯策略纳什均衡，但也有混合策略均衡的。
| | 玩家2：策略L | 玩家2：策略R |
| : | : | : |
| 玩家1：策略U | (3, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略D | (0, 0) | (1, 3) |
纯策略分析：
如果玩家2选L：玩家1选U（得3）比D（得0）好。
如果玩家2选R：玩家1选D（得1）比U（得0）好。
如果玩家1选U：玩家2选L（得1）比R（得0）好。
如果玩家1选D：玩家2选R（得3）比L（得0）好。
(U, L) 和 (D, R) 都是纯策略纳什均衡。 这个还是有多个纯策略均衡。
要构造一个“唯一纯策略纳什均衡，同时存在混合策略纳什均衡”的博弈，通常需要“非对称性”和“弱优势策略”。
比如，考虑这样一个博弈（改编自一些经济学模型）：
| | 玩家2：策略A | 玩家2：策略B |
| : | : | : |
| 玩家1：策略X | (2, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略Y | (0, 0) | (1, 2) |
纯策略分析：
如果玩家2选A：玩家1选X（得2）比Y（得0）好。
如果玩家2选B：玩家1选Y（得1）比X（得0）好。
如果玩家1选X：玩家2选A（得1）比B（得0）好。
如果玩家1选Y：玩家2选B（得2）比A（得0）好。
(X, A) 是一个纯策略纳什均衡。
现在，我们来看看是否存在混合策略纳什均衡。
假设玩家1以概率 $p$ 选X， $1p$ 选Y。
假设玩家2以概率 $q$ 选A， $1q$ 选B。
玩家1为了混合 ($0 玩家1选X的期望收益：$q imes 2 + (1q) imes 0 = 2q$
玩家1选Y的期望收益：$q imes 0 + (1q) imes 1 = 1q$
令 $2q = 1q implies 3q = 1 implies q = 1/3$。
所以，当玩家2以 $1/3$ 的概率选A， $2/3$ 的概率选B时，玩家1会愿意混合。
玩家2为了混合 ($0 玩家2选A的期望收益：$p imes 1 + (1p) imes 0 = p$
玩家2选B的期望收益：$p imes 0 + (1p) imes 2 = 2(1p)$
令 $p = 2(1p) implies p = 2 2p implies 3p = 2 implies p = 2/3$。
所以，当玩家1以 $2/3$ 的概率选X， $1/3$ 的概率选Y时，玩家2会愿意混合。
因此，存在一个混合策略纳什均衡：玩家1以 $(2/3, 1/3)$ 的概率混合，玩家2以 $(1/3, 2/3)$ 的概率混合。
在这个例子中，我们确实找到了一个唯一的纯策略纳什均衡 (X, A)，同时又存在一个混合策略纳什均衡。
总结一下：
纳什均衡存在的“基石”： 任何有限博弈都至少有一次纳什均衡。
纯策略均衡的“排他性”： 所谓的“唯一纯策略纳什均衡”是指，在所有可能的纯策略组合中，只有那一个组合满足纳什均衡的条件。
混合策略的“补充性”： 混合策略的出现，并不依赖于纯策略均衡的“不存在”。它关注的是玩家如何通过概率来使对手难以预测，从而获得相对稳定的收益。
关键的区别在于“优势策略”： 如果唯一的纯策略纳什均衡是由每个玩家的“优势策略”构成的（如囚徒困境），那么因为优势策略的存在，玩家没有动机去混合，所以不存在混合策略纳什均衡。
但是，如果唯一的纯策略纳什均衡，不是由优势策略（或者在经过占优策略消除法之后唯一剩下的策略）构成的，那么玩家仍然有可能通过引入概率来寻找一种“无差异”的混合策略，从而构成另一个（或多个）混合策略纳什均衡。
所以，“唯一纯策略纳什均衡”和“不存在混合策略纳什均衡”这两件事，从来都不是必然联系在一起的。 很多情况下，它们是并存的。
希望我这样解释，能让你更清晰地理解这其中的逻辑。这博弈论的魅力就在于，看似简单的规则下，隐藏着如此丰富的可能性。
让我们来一点点拆解，把这个问题说得更透彻，就像我们平时聊天一样，不带机器的生硬感。
首先，咱们得明确几个基本概念：
纯策略 (Pure Strategy)： 这是最直观的理解。在博弈中，每个玩家从自己所有可行的行动（策略）中，选择一个固定的、确定的行动，并且在整个博弈过程中都遵守这个选择。比如，在石头剪刀布里，你决定“永远出石头”，这就是一个纯策略。
混合策略 (Mixed Strategy)： 这个就有点意思了。玩家不固定地选择某一个行动，而是以一定的概率分布去选择自己的行动。也就是说，玩家在每一步都“随机”地决定出什么，但这种随机不是随意的，而是根据一个事先设定的概率表来执行的。比如，在石头剪刀布里，你决定30%的时间出石头，40%的时间出剪刀，30%的时间出布。
纳什均衡 (Nash Equilibrium)： 这是博弈论的核心概念。一个纳什均衡是指一种策略组合，在这种组合下，任何一个玩家都无法通过单方面改变自己的策略来获得更好的收益（假设其他玩家的策略保持不变）。换句话说，在纳什均衡点上，每个玩家都在做“对其他玩家来说最好的选择”，而反过来也是一样。
那么，纯策略纳什均衡和混合策略纳什均衡有什么关系呢？
可以这么理解：纯策略纳什均衡是混合策略纳什均衡的一种特殊情况。
如果一个玩家采用纯策略，比如总是选择行动 A，那么他的混合策略就是“以100%的概率选择行动 A，以0%的概率选择其他行动”。
现在，咱们回到核心问题：
“如果博弈中只有唯一纯策略纳什均衡，是否意味着不存在（完全）混合策略均衡？”
答案是：绝对不是。 很多时候，情况恰恰相反。
为什么会这样呢？
关键在于“期望收益”和“无差异性原则”。
1. 纯策略纳什均衡的“独特性”：
当一个博弈只有一个纯策略纳什均衡时，这意味着在这个特定的策略组合下，每个玩家都选择了自己“最稳妥”或者“最有利”的那个单一行动，而且无论对方怎么做（在允许的范围内），换策略都会让自己吃亏。
2. 混合策略的出现，是为了“打破”对方的预期，或者在某些情况下“逼迫”对方无从选择：
想象一下，如果对方知道你永远出石头，他只需要永远出布就能赢你。但如果你开始随机出，他反而不好判断了。
在很多博弈中，尤其是非零和博弈（双方不一定此消彼长）或者像“石头剪刀布”这样的零和博弈，当不存在纯策略纳什均衡时（每个人都有一个“克制”他的策略），玩家就会倾向于使用混合策略。
而当存在唯一纯策略纳什均衡时，混合策略纳什均衡的出现，往往是因为这种唯一纯策略均衡，在某些“细微”的条件下，并不那么“绝对”最优，或者说，玩家可以通过引入一些随机性，使得对方也无法找到一个绝对优势的纯策略来对抗你。
更关键的是“无差异性原则” (Indifference Principle)。
在混合策略纳什均衡中，一个重要的条件是：对于混合策略玩家来说，他所混合的那些纯策略，都必须能给他带来相同的“期望收益”。
什么意思呢？假设你是一个玩家，你在一个博弈中可以用策略A、B、C。如果你选择了一个混合策略，比如以 p% 的概率出A，q% 的概率出B，r% 的概率出C（p+q+r=100%），那么在纳什均衡的要求下，这三者（A、B、C）在你混合策略下的期望收益必须是相等的。如果其中一个策略的期望收益明显更高，你就会把更多的概率分配到那个策略上，从而偏离了“混合”状态。
所以，即使存在唯一纯策略纳什均衡，它也可能不是唯一的均衡。 玩家可以通过引入概率，让对方无论选择哪个纯策略，或者选择某个混合策略，都无法获得比继续保持自己的混合策略更高的收益。
举个例子，一个经典的例子是“匹配支付” (Coordination Game) 的变种。
假设有一个博弈，有两个玩家，玩家1（行）和玩家2（列）。
| | 玩家2：策略L | 玩家2：策略R |
| : | : | : |
| 玩家1：策略U | (2, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略D | (0, 0) | (1, 2) |
这里括号里的数字代表 (玩家1的收益, 玩家2的收益)。
分析这个博弈：
纯策略分析：
如果玩家2选择L：玩家1选择U（得2）比D（得0）好。
如果玩家2选择R：玩家1选择D（得1）比U（得0）好。
如果玩家1选择U：玩家2选择L（得1）比R（得0）好。
如果玩家1选择D：玩家2选择R（得2）比L（得0）好。
我们发现，
(U, L) 是一个纯策略纳什均衡：玩家1选U，玩家2选L。玩家1不能从D获益，玩家2也不能从R获益。
(D, R) 也是一个纯策略纳什均衡：玩家1选D，玩家2选R。玩家1不能从U获益，玩家2也不能从L获益。
这个例子不是只有一个纯策略纳什均衡，所以不适合我们讨论的场景。
咱们换一个，一个只有唯一纯策略纳什均衡的例子：
想象一个“囚徒困境”的变种。
| | 玩家2：合作 (C) | 玩家2：背叛 (D) |
| : | : | : |
| 玩家1：合作 (C) | (3, 3) | (0, 5) |
| 玩家1：背叛 (D) | (5, 0) | (1, 1) |
纯策略分析：
如果玩家2合作(C)：玩家1选D（得5）比C（得3）好。
如果玩家2背叛(D)：玩家1选D（得1）比C（得0）好。
所以，无论玩家2做什么，玩家1的最优策略都是D。D是玩家1的优势策略。
同理，对玩家2来说，无论玩家1做什么，玩家2的最优策略都是D。D是玩家2的优势策略。
因此，(D, D) 是唯一的纯策略纳什均衡。在这个均衡点上，双方都背叛，收益是(1, 1)。
现在，我们来寻找可能的混合策略纳什均衡：
假设玩家1以概率 $p$ 选择C，以概率 $1p$ 选择D。
假设玩家2以概率 $q$ 选择C，以概率 $1q$ 选择D。
为了让玩家1进行混合（即 $0 < p < 1$），他选择C和D的期望收益必须相等。
玩家1选择C的期望收益：$q imes 3 + (1q) imes 0 = 3q$
玩家1选择D的期望收益：$q imes 5 + (1q) imes 1 = 5q + 1 q = 4q + 1$
令这两个期望收益相等：$3q = 4q + 1$
$q = 1 implies q = 1$
这意味着，不存在使得玩家1愿意混合的 $q$ 值（因为概率不能为负）。
那是不是就没有混合策略纳什均衡了呢？
仔细想想“唯一纯策略纳什均衡”的定义。 那个唯一的纯策略纳什均衡，通常是所有玩家都有优势策略（Dominant Strategy）或者占优策略（Iterated Elimination of Dominated Strategies 可以约简到）导出的结果。
在上述的囚徒困境例子中，D是玩家1的优势策略，D也是玩家2的优势策略。当每个玩家都有一个优势策略时，那个由优势策略组成的策略组合就是唯一的纯策略纳什均衡。在这种情况下，因为优势策略的存在，其他策略（C）在任何情况下都不如优势策略（D）好，所以玩家不会有动机去混合，因为混合C并不能带来任何好处，反而可能因为降低了D的概率而损失。
所以，对于“囚徒困境”这类存在唯一优势策略的博弈，确实不存在混合策略纳什均衡。
那么，什么类型的博弈，既有唯一纯策略纳什均衡，又存在混合策略纳什均衡呢？
这通常发生在，虽然存在一个纯策略纳什均衡，但它并不是由严格优势策略（Strictly Dominant Strategy）产生的，而是玩家在对手做出某种“特定”选择时，才选择那个纯策略，从而构成了均衡。
考虑一个稍微不同的例子，比如：
| | 玩家2：策略L | 玩家2：策略R |
| : | : | : |
| 玩家1：策略U | (1, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略D | (0, 0) | (0, 0) |
纯策略分析：
如果玩家2选L，玩家1选U (得1) 比 D (得0) 好。
如果玩家2选R，玩家1选U (得0) 和 D (得0) 一样好。
如果玩家1选U，玩家2选L (得1) 比 R (得0) 好。
如果玩家1选D，玩家2选L (得0) 和 R (得0) 一样好。
(U, L) 是唯一的纯策略纳什均衡。
现在，找混合策略纳什均衡：
让玩家1以概率 $p$ 选U， $1p$ 选D。
让玩家2以概率 $q$ 选L， $1q$ 选R。
玩家1为了混合 ($0
玩家1选D的期望收益：$q imes 0 + (1q) imes 0 = 0$
令 $q = 0$。 这说明，只有当玩家2完全不选L（即玩家2总是选R）时，玩家1才会愿意混合（或者说，如果玩家2总选R，玩家1无论选U还是D收益都是0）。但是，如果玩家2总选R，玩家1选择U和D的收益都是0，这并不构成严格的混合。
玩家2为了混合 ($0
玩家2选R的期望收益：$p imes 0 + (1p) imes 0 = 0$
令 $p = 0$。 这说明，只有当玩家1完全不选U（即玩家1总是选D）时，玩家2才会愿意混合（或者说，如果玩家1总选D，玩家2无论选L还是R收益都是0）。
这个例子，似乎也推导不出有意义的混合策略纳什均衡。
我们再回到“石头剪刀布”这个最典型的例子。
| | 玩家2：石头 (S) | 玩家2：剪刀 (P) | 玩家2：布 (R) |
| : | : | : | : |
| 玩家1：石头 (S) | (0, 0) | (1, 1) | (1, 1) |
| 玩家1：剪刀 (P) | (1, 1) | (0, 0) | (1, 1) |
| 玩家1：布 (R) | (1, 1) | (1, 1) | (0, 0) |
纯策略分析：
对于玩家1，如果玩家2出石头，他出剪刀最好。
如果玩家2出剪刀，他出布最好。
如果玩家2出布，他出石头最好。
没有玩家能单方面改变策略来获得更好的收益，因为对方总能找到一个反制策略。因此，石头剪刀布没有纯策略纳什均衡。
混合策略分析：
如果玩家1以 $(1/3, 1/3, 1/3)$ 的概率混合S, P, R。
那么玩家2选择S的期望收益是 $(1/3) imes 0 + (1/3) imes 1 + (1/3) imes (1) = 0$。
玩家2选择P的期望收益是 $(1/3) imes (1) + (1/3) imes 0 + (1/3) imes 1 = 0$。
玩家2选择R的期望收益是 $(1/3) imes 1 + (1/3) imes (1) + (1/3) imes 0 = 0$。
所有策略的期望收益都为0。这正是混合策略纳什均衡的体现！
所以，石头剪刀布有唯一的混合策略纳什均衡，但没有纯策略纳什均衡。
好了，现在我们绕回来的目标： 存在唯一纯策略纳什均衡，但不等于不存在混合策略纳什均衡。
这种情况是可能存在的，而且很多博弈都如此。
关键点在于：
纳什均衡的完备性： 任何有限博弈（策略有限、收益有限）都至少存在一个纳什均衡（可能是纯策略的，也可能是混合策略的）。
纯策略均衡的“脆弱性”： 即使存在一个纯策略纳什均衡，它也可能不是“鲁棒”的。也就是说，如果稍微改变一下其他玩家的策略（哪怕只是一点点概率上的变动），这个纯策略均衡就可能不再是均衡了。
混合策略的“保险”作用： 玩家通过混合策略，可以“混淆”对手的判断，使得对手无法找到一个最优的纯策略来针对自己。当一个纯策略纳什均衡不是由优势策略构成时，玩家就有可能通过混合来“稳定”局面。
我们回到前面“匹配支付”那个例子，稍作修改，看看能不能构造一个唯一纯策略纳什均衡，但也有混合策略均衡的。
| | 玩家2：策略L | 玩家2：策略R |
| : | : | : |
| 玩家1：策略U | (3, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略D | (0, 0) | (1, 3) |
纯策略分析：
如果玩家2选L：玩家1选U（得3）比D（得0）好。
如果玩家2选R：玩家1选D（得1）比U（得0）好。
如果玩家1选U：玩家2选L（得1）比R（得0）好。
如果玩家1选D：玩家2选R（得3）比L（得0）好。
(U, L) 和 (D, R) 都是纯策略纳什均衡。 这个还是有多个纯策略均衡。
要构造一个“唯一纯策略纳什均衡，同时存在混合策略纳什均衡”的博弈，通常需要“非对称性”和“弱优势策略”。
比如，考虑这样一个博弈（改编自一些经济学模型）：
| | 玩家2：策略A | 玩家2：策略B |
| : | : | : |
| 玩家1：策略X | (2, 1) | (0, 0) |
| 玩家1：策略Y | (0, 0) | (1, 2) |
纯策略分析：
如果玩家2选A：玩家1选X（得2）比Y（得0）好。
如果玩家2选B：玩家1选Y（得1）比X（得0）好。
如果玩家1选X：玩家2选A（得1）比B（得0）好。
如果玩家1选Y：玩家2选B（得2）比A（得0）好。
(X, A) 是一个纯策略纳什均衡。
现在，我们来看看是否存在混合策略纳什均衡。
假设玩家1以概率 $p$ 选X， $1p$ 选Y。
假设玩家2以概率 $q$ 选A， $1q$ 选B。
玩家1为了混合 ($0
玩家1选Y的期望收益：$q imes 0 + (1q) imes 1 = 1q$
令 $2q = 1q implies 3q = 1 implies q = 1/3$。
所以，当玩家2以 $1/3$ 的概率选A， $2/3$ 的概率选B时，玩家1会愿意混合。
玩家2为了混合 ($0
玩家2选B的期望收益：$p imes 0 + (1p) imes 2 = 2(1p)$
令 $p = 2(1p) implies p = 2 2p implies 3p = 2 implies p = 2/3$。
所以，当玩家1以 $2/3$ 的概率选X， $1/3$ 的概率选Y时，玩家2会愿意混合。
因此，存在一个混合策略纳什均衡：玩家1以 $(2/3, 1/3)$ 的概率混合，玩家2以 $(1/3, 2/3)$ 的概率混合。
在这个例子中，我们确实找到了一个唯一的纯策略纳什均衡 (X, A)，同时又存在一个混合策略纳什均衡。
总结一下：
纳什均衡存在的“基石”： 任何有限博弈都至少有一次纳什均衡。
纯策略均衡的“排他性”： 所谓的“唯一纯策略纳什均衡”是指，在所有可能的纯策略组合中，只有那一个组合满足纳什均衡的条件。
混合策略的“补充性”： 混合策略的出现，并不依赖于纯策略均衡的“不存在”。它关注的是玩家如何通过概率来使对手难以预测，从而获得相对稳定的收益。
关键的区别在于“优势策略”： 如果唯一的纯策略纳什均衡是由每个玩家的“优势策略”构成的（如囚徒困境），那么因为优势策略的存在，玩家没有动机去混合，所以不存在混合策略纳什均衡。
但是，如果唯一的纯策略纳什均衡，不是由优势策略（或者在经过占优策略消除法之后唯一剩下的策略）构成的，那么玩家仍然有可能通过引入概率来寻找一种“无差异”的混合策略，从而构成另一个（或多个）混合策略纳什均衡。
所以，“唯一纯策略纳什均衡”和“不存在混合策略纳什均衡”这两件事，从来都不是必然联系在一起的。 很多情况下，它们是并存的。
希望我这样解释，能让你更清晰地理解这其中的逻辑。这博弈论的魅力就在于，看似简单的规则下，隐藏着如此丰富的可能性。
网友意见
博弈论
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