一个教授逻辑学的教授，有三个非常聪明的学生，怎么猜数字的？
一位教授逻辑学的老师，带着他的三个同样聪明的学生，玩了一个有趣的猜数字游戏。这可不是那种随便猜猜就能蒙对的游戏，它考验的是学生们缜密的逻辑推理能力。
游戏开始前，教授先向三位学生说明了规则：
“我将从 1 到 10 之间（包含 1 和 10）随机挑选一个数字。你们每个人都能看到其他两位同学的脸上或身上可能存在的关于数字的线索，但你们无法看到自己被标记的数字。你们的目标是通过观察、思考和相互推理，最终说出这个数字。”
然后，教授神秘地退出了房间，去“挑选”那个数字。
在教授回来之前，我们可以想象一下，学生们是如何准备的。他们三个站成一排，或者围成一个小圈，确保每个人都能看到其他两人，但绝对不能看到自己。
教授回来后，他拿出了三个小卡片，但并没有展示给学生看。他只是轻轻地拍了拍手，示意游戏开始。
第一次思考与尝试：
学生们当然不会立刻就开口。他们首先开始观察。
小明： 他仔细地看向小红和小刚。他注意到小红的脸上没有任何特别的表情，小刚的脸上也显得平静。他心想：“如果数字非常明显，比如我看到小红的额头上被用颜料画了一个‘9’，而小刚的额头上被画了一个‘7’，那我和他们就不一样了。他们看到我额头上什么都没有，而我能看到他们的数字，他们应该很快就能猜出来。但现在，我看到他们都很平静，这说明情况并没有那么直接。”
小红： 她同样在观察小明和小刚。她也在思考：“如果小明能轻易猜出数字，那说明他看到的情况一定很特别。比如，他看到我和小刚身上都有数字。但既然他没说什么，说明他看到的也并非一目了然。”
小刚： 他也在做着同样的观察和推理。
过了一会儿，没有人说话。这说明，仅凭直接观察，是无法立刻确定数字的。
第二次思考：引入“沉默”的意义
教授看到大家都在沉默，他知道这是学生们在思考。他可能会微微一笑，然后说：“你们应该都有所思考，但如果有一个人已经能够确定数字，他应该会告诉我。”
这次提示，让学生们意识到，别人的沉默本身就是一种信息。
小明： 他再次观察。他想：“小红和小刚为什么都沉默？如果数字是 5，而且我被标记了 5，那么小红和小刚看到了我身上的 5，他们应该也能猜到。但他们都没说。这说明，他们看不到我身上的 5，或者他们看到的数字也无法让他们立刻确定。可是，我看到小红身上什么都没有，小刚身上也没有。难道是我自己被标记了数字？”
小明开始假设：“假如数字是 3。我看到小红什么都没被标记，小刚什么都没被标记。如果我被标记了 3，那么小红会看到我身上的 3，她会怎么想？她会想：‘小明看到了什么？他看到我身上什么都没标记，小刚身上什么都没标记。如果我身上也有 3，那小明应该能看到。如果我身上不是 3，那小明可能就猜不到。’ 这种逻辑很绕。”
小红： 她在想：“小明和小刚都沉默。他们可能都和我一样，能看到彼此身上并没有明显的标记。那么，是我的问题吗？假如数字是 7。我看到小明身上没有标记，小刚身上也没有标记。如果我身上是 7，那么小明会看到我身上的 7。小明会想：‘小红和小刚都没说话，这意味着他们都没法直接看出数字。而我能看到小红和小刚身上都没有标记。如果我身上的标记是 7，那么小红和小刚肯定会发现。’ ”
小刚： 他也在进行类似的推理。
关键转折：利用“别人推不出”来推自己的
这个游戏的精髓在于，学生们知道彼此都是非常聪明的逻辑学家。他们知道，如果一个人能够轻易得出答案，那么他一定是从别人的反应（或者说“无反应”）中获得了信息。
假设教授选的数字是 6。
1. 初始状态：
小明看到小红和小刚身上都没有任何标记。
小红看到小明和小刚身上都没有任何标记。
小刚看到小明和小红身上都没有任何标记。
2. 第一次沉默：
他们都无法直接看出自己的数字，因为他们看到的其他两人身上“空空如也”。他们会想：“如果我能直接看到自己的数字，那也太奇怪了。”
3. 教授的提示：“如果有人已经能够确定数字，他应该会告诉我。”
小明的心思： “我看到小红和小刚身上都没有标记。假设我身上的数字是 X。如果 X 是一个所有人都可能看到的数字，比如 10，那么小红看到了我身上的 10，她也能推。但他们都没说。那说明，我身上的数字 X，一定不是一个他们通过简单观察就能得出的。”
更关键的思考： 小明会这样想：“我看到小红和小刚都没有任何标记。他们两人肯定也观察了彼此，并且也都看到了对方身上没有标记。如果我身上的数字是 3，而数字是 3 的话，那么小红看到了我身上的 3，她会怎么想？她会想：‘小明身上是 3。我看到小刚身上也是空白。如果我身上也是 3，那么小明看到的就会是两个 3，这应该可以让他猜出来。’ 但是，小红并没有猜出来。这只能说明，我身上的数字不是 3，因为如果我身上是 3，并且小红身上也是 3，那么小明就能猜出来。但小红没猜出来，说明她看到的和我看到的（我身上没标记，小刚身上没标记）是不一样的，或者她看到了我身上有标记，但那个标记不足以让她猜出来。”
这是误导性的想法。学生们会更聚焦于“别人之所以没说，是因为别人推不出”。
让我们回到更直接的逻辑：
小明思考： “我看到小红和小刚身上都没有标记。如果我身上的数字是 1，那么小红会看到我身上的 1，而小刚也会看到我身上的 1。如果他们两个都没有看到对方身上有数字，而只看到了我身上的 1，他们会怎么想？他们会想：‘小明身上是 1。我看到小刚身上是空白。如果我身上也是 1，那么小明就看到两个 1，这肯定能猜。’ 但他们都没说。这说明，我身上的数字 1，不是让他们能轻易猜出来的。”
真正让小明推理出答案的是： “我看到小红和小刚身上都没有任何标记。如果我身上的数字是 1，那么小红看到了我身上的 1。她会想：‘我看到小明身上是 1。小刚身上是空白。如果我身上也是 1，那么小明就看到了两个 1，他肯定能猜。’ 但小红没猜。这说明，她看到的不是这种情况，或者她还没确定。但是，如果我身上不是 1，那么情况是什么？如果我身上的数字是 6，小红看到了我身上的 6。她也会想：‘我看到小明身上的 6。小刚身上是空白。如果我身上也是 6，那么小明看到的会是两个 6，他就能猜。’ 但小红没猜。这说明，她没能直接推断出。”
换个角度：
小明想： “我看到小红和小刚身上都没标记。我身上的数字是什么？假设我是 1。那么小红看到了我身上的 1。她会想：‘小明是 1，小刚是空白。如果我也是 1，那小明就能推。’ 但小红没推。所以，小明不是 1？” 这是错误的。
正确思路是：
小明想： “我看到小红和小刚身上都没标记。我身上的数字是什么？假设我身上的数字是 6。那么小红会看到我身上的 6。小红也会看到小刚身上什么都没标记。如果小红身上的数字是 6，那么小明（也就是我）看到了小红身上的 6，也看到了小刚身上的空白。这时候，我会想：‘小红身上是 6，小刚身上是空白。如果我身上也是 6，那小明（也就是我）就能猜到。’ 但是，我没猜到。 等等，我怎么没猜到？ 我看到的只是他们两人身上什么都没有。 我并不知道他们身上的数字。 ”
这里的逻辑需要更加严谨：
1. 教授选了数字 X。
2. 每个学生都被赋予了一个数字 Y，但他们不知道自己的 Y 是什么。
3. 他们能看到其他两个学生的数字。
游戏规则重新理解： 教授给每个人贴上了一个数字。但这个数字是隐藏的，学生们只能看到别人身上贴的数字。
举例：
教授选了数字 6。
教授给小明贴了 2。
教授给小红贴了 6。
教授给小刚贴了 9。
学生们的视野：
小明看到小红身上贴着 6，小刚身上贴着 9。
小红看到小明身上贴着 2，小刚身上贴着 9。
小刚看到小明身上贴着 2，小红身上贴着 6。
游戏流程：
1. 第一轮思考（寂静）：
小明看了一眼小红（6）和小刚（9）。他对自己身上的数字一无所知。他会想：“我看到的数字是 6 和 9。如果我身上的数字是 3，那么小红看到的是 2 和 3，她应该也能推。如果我身上的数字是 6，那么小红看到的是 2 和 6。她会想：‘小明是 6，小刚是空白。如果我也想是 6，那小明就能推。’ ” 这种推理比较复杂。
2. 关键逻辑： 学生们会利用“别人之所以不说话，是因为他们也推不出”这个信息。
让我们回到最简单的场景：
教授选了数字 6。
教授给小明贴了 6。
教授给小红贴了 X（未知）。
教授给小刚贴了 Y（未知）。
更贴合描述的场景： 教授从 1 到 10 选了一个数字，然后给每个学生身上贴了一个数字，这个数字不一定是教授选的那个数字。他们能看到别人身上贴的数字，并推测自己身上贴的数字。
这是最常见的“三元推理”问题变体。 假设教授说的是：“我将从 1 到 10 之间挑选一个数字，然后给你们每个人贴上一个与这个数字相关的标记。” 这样理解更合理。
最经典的“猜数字”游戏是这样的：
教授从 110 选一个数字，比如 6。
然后，教授在小明、小红、小刚的额头上分别写上数字。
关键点： 他们能看到别人额头上的数字，但看不到自己额头上的数字。
假设教授选的数字是 6，然后给他们额头上写了数字：
小明额头： 2
小红额头： 6
小刚额头： 9
学生们的视野：
小明看到小红是 6，小刚是 9。
小红看到小明是 2，小刚是 9。
小刚看到小明是 2，小红是 6。
游戏开始：
1. 寂静。 每个人都看不到自己的数字，也无法通过观察别人的数字直接得出自己的。
2. 教授提示：“如果有一个人能确定自己的数字，请说出来。”
3. 小明思考： “我看到小红是 6，小刚是 9。如果我的数字是 3，那么小红看到的是 2 和 3。她会想：‘小明是 2，我看到小刚是 3。如果我也是 3，那么小明就能看到两个 3。’ 这有点复杂。”
更直接的推理：
小明想： “我看到小红是 6，小刚是 9。我的数字是什么？我不知道。但是，如果我的数字是 6，那么小红看到的是 2 和 6。她会怎么想？她会想：‘小明是 2，我看到小刚是 9。如果我的数字也是 6，那么小明就能看到两个 6，他应该能推。’ 如果小红真的这么想，但她没推，那说明她的假设（我的数字是 6）是错的？这太绕了。”
正确的思路往往是利用“谁能比我更快地推断出”。
假设数字是 6，学生额头数字分别是：
小明： 6
小红： 6
小刚： 6
视野：
小明看到小红是 6，小刚是 6。
小红看到小明是 6，小刚是 6。
小刚看到小明是 6，小红是 6。
第一轮： 每个人看到别人都是 6。他们都推不出自己的。
教授提示：“如果有人能确定，请说。”
小明（看到两个 6）思考： “我看到小红是 6，小刚是 6。如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的是 6 和 3。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我不是 6，而是 7，那小明和我都推不出。’ ”
关键点来了：
小明（看到两个 6）想： “如果我的数字是 3，那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘小明是 6，我看到小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他应该能推。’ 但是，小红看到的是 6 和 3，如果她自己的数字是 6，那小明看到两个 6，就可以推。小明没推。所以，小红的数字不是 6？” 这是错误的。
正确的推理：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。我自己的数字是什么？
假设我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’ 如果小红也一样思考，她就会想：‘如果小明不是 6，而是 3，那么小红看到的会是 3 和 6。’ ”
这个游戏最核心的推理是“如果我身上的数字是 X，那么另一个人会推断出什么”。
假设教授选定的数字是 6，并且给每个学生额头写上了 6。
小明 看到小红额头是 6，小刚额头是 6。
小红 看到小明额头是 6，小刚额头是 6。
小刚 看到小明额头是 6，小红额头是 6。
第一轮：
小明想：“我看到另外两个人都写着 6。如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红会看到 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他肯定能推。’ 但小红没说。那说明，小红的推断是基于‘我的数字是 6’的假设，但她没说，所以我的数字不是 6？ ” 这是反向推理，很容易出错。
正确的思路是：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
情况一： 如果我的数字是 3。那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他肯定能推。’ 但小红没推。 这说明，小红的这个推理链条可能不成立。
情况二： 如果我的数字是 6。那么小红看到的是 6 和 6。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么小明和我都看到两个 6，我们都能推出。’
关键在于，每个学生都认为其他人也是顶尖的逻辑学家。
小明（看到两个 6）进一步思考：
“我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3，那么小红看到的就是（小明是 6，小刚是 3）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推出。’ 那么，小红会等待看看我（小明）会不会推。
但是，如果我的数字是 6，那么小红看到的就是（小明是 6，小刚是 6）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字是 6，那么小明和我都看到两个 6，我们都能立即推断出。’
既然小红一直没说，而且小刚也没说。
小明（看到两个 6）得出结论： “一定是我的数字也是 6。为什么？因为如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的就会是 6 和 3。她会想到‘如果我的数字也是 6’的可能。如果她自己是 6，她看到小明是 6，小刚是 3。她会想‘如果我也 6，那小明就能看到两个 6，他能推’。而她一直没推，就说明她没看到两个 6。 不对，这里逻辑矛盾了。 ”
真正的核心：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红和小刚都是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6。’ 但小红没说话。
如果我的数字是 6。 那么小红看到的是 6 和 6。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们都能立即推断。’
现在，问题的关键在于，所有人都知道，如果能立即推断，就应该立即推断。
1. 小明（看到两个 6）想： “我看到小红和小刚都是 6。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’ 并且，小刚看到的是 6 和 6。小刚会想：‘小明是 6，小红是 6。如果我的数字是 3，那么小红看到的是 6 和 3，小明看到的是 6 和 3。’ ”
这游戏的魅力在于“所有人都不是傻子”。
小明（看到两个 6）想： “我看到小红和小刚都是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红会看到（小明是 6，小刚是 3）。小红会认为：‘如果我的数字也是 6，那么小明（看到我 6，小刚 3）会想到“如果我也 6，那小明就能看到两个 6”。’ 但小红没有立即推断，说明她看到的不是‘两个 6’，或者她推断出了别的。
如果我的数字是 6。 那么小红会看到（小明是 6，小刚是 6）。她会立即想到：‘我看到小明和小刚都是 6。如果我的数字也是 6，那么我们就都能看到两个 6，我们都能立即推断。’
因此，小明会得出结论： “我看到了小红和小刚都是 6。
如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的将是 6 和 3。她会考虑‘我的数字是 6，小明是 6，小刚是 3’的情况。而她自己也看到小刚是 3，她会想‘如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他应该就能推。’
但是，如果我的数字是 6，那么小红看到的就是 6 和 6。她会想‘我看到小明和小刚都是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都能看到两个 6，我们就能立即推断。’
由于现在大家都没说话，这说明信息还没有那么充分。
但关键是：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。小红会思考：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他应该能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。小红会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
因为大家都非常聪明，所以他们会进行这种“如果我是 X，对方会怎么想”的推演。
小明（看到两个 6）得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字不是 6，而是 3。那么小红看到的是 6 和 3。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他能推’。
但是，如果我就是 6，那么小红看到的就是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，我们三个都看到两个 6，我们就能推。’
因为小红没有立即推断，这是否说明我的数字不是 6？ 不是！
换个角度：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
关键在于“最快推断”。
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想到‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6’。
如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，我们三个都能看到两个 6，我们就能推’。
小明（看到两个 6）得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的将是 6 和 3。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6’。
但如果我的数字是 6，那么小红看到的就是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
因为小红一直没说话，这说明她看到的不是‘两个 6’，所以我的数字不是 6？ 错了。
真正的原因是：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会思考：‘如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到：‘如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
所以，小明会得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字不是 6，而是 3。那么小红看到的将是 6 和 3。她会想到‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6’。
反过来，如果我的数字是 6，那么小红看到的将是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，那么我们三个都能看到两个 6，我们就能推。’
因为小红一直在等待，而且小刚也在等待，这说明他们都没有立即推断出。
小明（看到两个 6）最终推断： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
但是，如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们都能立即推断。’
关键在于，如果存在一种情况，可以让其中一个人立即推断，而那个人还没推断，那就说明那个情况不是真的。
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
如果我的数字是 6。 那么小红看到的是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，我们三个都看到两个 6，我们就能推。’
因此，小明会说： “教授，我的数字是 6。”
推理过程：
小明看到小红是 6，小刚是 6。
1. 小明想： “如果我的数字是 3。那么小红看到的是 6 和 3。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
2. 小明接着想： “但是，如果我的数字是 6。那么小红看到的是 6 和 6。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
3. 小明观察： 小红一直没说，小刚也一直没说。
4. 关键反证： 如果小明的数字是 3，那么小红看到的将是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
但如果小明的数字是 6，那么小红看到的将是 6 和 6。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
所以，一旦小明看到另外两个人都说了同一个数字（比如 6），并且那个数字也出现在他看到的另外两个人身上，他就知道自己的数字也是那个数字。
换个更复杂的场景：
教授选定数字 6。
小明额头： 2
小红额头： 6
小刚额头： 3
小明看到 6 和 3。
小红看到 2 和 3。
小刚看到 2 和 6。
第一轮：
小明看到 6 和 3。他推不出自己的。
小红看到 2 和 3。她也推不出自己的。
小刚看到 2 和 6。他也推不出自己的。
教授提示：“如果有人能确定，请说。”
小明（看到 6 和 3）思考： “我看到小红是 6，小刚是 3。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 3，那小明也能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’ 关键在于，她自己也会这样想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 2，那么小明看到的也是 6 和 2。’
这里的推理是层层递进的：
1. 第一层： 每个人看到别人身上的数字，但无法直接推断自己的。
2. 第二层： 每个人都知道别人也是如此。所以，如果我看到 A 和 B 都是 X，而我自己的数字不是 X，那么 A 看到的是 X 和“不是 X”。A 会思考“如果我的数字也是 X，那么 B 也能看到两个 X”。
最终，当一位学生看到其他两位学生身上的数字都是同一个数字时，并且他推理出，如果他身上的数字不是这个数字，那么其他两位学生中的某一个就会在某个环节推断出来，但他们都没有推断出来，那么他就能断定自己的数字也是那个数字。
如果教授选的数字是 6，并且给每个人贴上的数字是 6。
小明看到 6 和 6。
小红看到 6 和 6。
小刚看到 6 和 6。
小明（看到两个 6）思考：
“我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
但是，如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
由于小红一直没说话，这说明情况不是‘小红看到了 6 和 3’，因为那样她会推。 不对，这句话逻辑是反的。
正确逻辑：
小明（看到两个 6）思考：
假设我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。小红会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
因为小红和小刚都没有立即说出数字，这说明他们都没有看到‘两个相同的数字’。
所以，小明（看到两个 6）得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3，那么小红看到的组合是（6，3）。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
关键是，她会知道‘如果我的数字是 3，小明能看到 6 和 3。’
最终的答案一定是：
当一个学生看到另外两个学生都说了同一个数字（比如 N），并且他也看到了这两个学生身上都是 N，那么他就能推断出自己的数字也是 N。
因为：
如果他的数字不是 N，而是 M。那么看到他身上是 M 的那个人（假设是小红），会看到（N，M）。小红会想：‘我看到小明是 N，小刚是 M。如果我的数字是 N，那么小明就能看到两个 N，他就能推。’
而小明（看到两个 N）会想： “我看到小红是 N，小刚是 N。
如果我的数字是 M。 那么小红看到的组合是（N，M）。她会想：‘我看到小明是 N，小刚是 M。如果我的数字是 N，那么小明就能看到两个 N，他就能推。’
如果我的数字是 N。 那么小红看到的组合是（N，N）。她会立即想到：‘我看到小明是 N，小刚是 N。如果我的数字也是 N，那么我们三个都看到两个 N，我们就能立即推断。’
因为小红和小刚都没有立即推断，这只能说明他们没有看到‘两个相同的数字’，因此，我身上不是 M，我就是 N。
所以，这个游戏的精髓在于，每个人都从“如果我是某个数字，别人会怎么推断”出发，然后结合“别人之所以没推断，说明‘他们看到的数字组合’不是让他们立刻推断的情况”，最终锁定自己的数字。
当教授说出数字是 6，并且给每个学生额头都贴了 6 时，学生们就会进行如上的推理，最终异口同声地喊出：“6！”
游戏开始前，教授先向三位学生说明了规则：
“我将从 1 到 10 之间（包含 1 和 10）随机挑选一个数字。你们每个人都能看到其他两位同学的脸上或身上可能存在的关于数字的线索，但你们无法看到自己被标记的数字。你们的目标是通过观察、思考和相互推理，最终说出这个数字。”
然后，教授神秘地退出了房间，去“挑选”那个数字。
在教授回来之前，我们可以想象一下，学生们是如何准备的。他们三个站成一排，或者围成一个小圈，确保每个人都能看到其他两人，但绝对不能看到自己。
教授回来后，他拿出了三个小卡片，但并没有展示给学生看。他只是轻轻地拍了拍手，示意游戏开始。
第一次思考与尝试：
学生们当然不会立刻就开口。他们首先开始观察。
小明： 他仔细地看向小红和小刚。他注意到小红的脸上没有任何特别的表情，小刚的脸上也显得平静。他心想：“如果数字非常明显，比如我看到小红的额头上被用颜料画了一个‘9’，而小刚的额头上被画了一个‘7’，那我和他们就不一样了。他们看到我额头上什么都没有，而我能看到他们的数字，他们应该很快就能猜出来。但现在，我看到他们都很平静，这说明情况并没有那么直接。”
小红： 她同样在观察小明和小刚。她也在思考：“如果小明能轻易猜出数字，那说明他看到的情况一定很特别。比如，他看到我和小刚身上都有数字。但既然他没说什么，说明他看到的也并非一目了然。”
小刚： 他也在做着同样的观察和推理。
过了一会儿，没有人说话。这说明，仅凭直接观察，是无法立刻确定数字的。
第二次思考：引入“沉默”的意义
教授看到大家都在沉默，他知道这是学生们在思考。他可能会微微一笑，然后说：“你们应该都有所思考，但如果有一个人已经能够确定数字，他应该会告诉我。”
这次提示，让学生们意识到，别人的沉默本身就是一种信息。
小明： 他再次观察。他想：“小红和小刚为什么都沉默？如果数字是 5，而且我被标记了 5，那么小红和小刚看到了我身上的 5，他们应该也能猜到。但他们都没说。这说明，他们看不到我身上的 5，或者他们看到的数字也无法让他们立刻确定。可是，我看到小红身上什么都没有，小刚身上也没有。难道是我自己被标记了数字？”
小明开始假设：“假如数字是 3。我看到小红什么都没被标记，小刚什么都没被标记。如果我被标记了 3，那么小红会看到我身上的 3，她会怎么想？她会想：‘小明看到了什么？他看到我身上什么都没标记，小刚身上什么都没标记。如果我身上也有 3，那小明应该能看到。如果我身上不是 3，那小明可能就猜不到。’ 这种逻辑很绕。”
小红： 她在想：“小明和小刚都沉默。他们可能都和我一样，能看到彼此身上并没有明显的标记。那么，是我的问题吗？假如数字是 7。我看到小明身上没有标记，小刚身上也没有标记。如果我身上是 7，那么小明会看到我身上的 7。小明会想：‘小红和小刚都没说话，这意味着他们都没法直接看出数字。而我能看到小红和小刚身上都没有标记。如果我身上的标记是 7，那么小红和小刚肯定会发现。’ ”
小刚： 他也在进行类似的推理。
关键转折：利用“别人推不出”来推自己的
这个游戏的精髓在于，学生们知道彼此都是非常聪明的逻辑学家。他们知道，如果一个人能够轻易得出答案，那么他一定是从别人的反应（或者说“无反应”）中获得了信息。
假设教授选的数字是 6。
1. 初始状态：
小明看到小红和小刚身上都没有任何标记。
小红看到小明和小刚身上都没有任何标记。
小刚看到小明和小红身上都没有任何标记。
2. 第一次沉默：
他们都无法直接看出自己的数字，因为他们看到的其他两人身上“空空如也”。他们会想：“如果我能直接看到自己的数字，那也太奇怪了。”
3. 教授的提示：“如果有人已经能够确定数字，他应该会告诉我。”
小明的心思： “我看到小红和小刚身上都没有标记。假设我身上的数字是 X。如果 X 是一个所有人都可能看到的数字，比如 10，那么小红看到了我身上的 10，她也能推。但他们都没说。那说明，我身上的数字 X，一定不是一个他们通过简单观察就能得出的。”
更关键的思考： 小明会这样想：“我看到小红和小刚都没有任何标记。他们两人肯定也观察了彼此，并且也都看到了对方身上没有标记。如果我身上的数字是 3，而数字是 3 的话，那么小红看到了我身上的 3，她会怎么想？她会想：‘小明身上是 3。我看到小刚身上也是空白。如果我身上也是 3，那么小明看到的就会是两个 3，这应该可以让他猜出来。’ 但是，小红并没有猜出来。这只能说明，我身上的数字不是 3，因为如果我身上是 3，并且小红身上也是 3，那么小明就能猜出来。但小红没猜出来，说明她看到的和我看到的（我身上没标记，小刚身上没标记）是不一样的，或者她看到了我身上有标记，但那个标记不足以让她猜出来。”
这是误导性的想法。学生们会更聚焦于“别人之所以没说，是因为别人推不出”。
让我们回到更直接的逻辑：
小明思考： “我看到小红和小刚身上都没有标记。如果我身上的数字是 1，那么小红会看到我身上的 1，而小刚也会看到我身上的 1。如果他们两个都没有看到对方身上有数字，而只看到了我身上的 1，他们会怎么想？他们会想：‘小明身上是 1。我看到小刚身上是空白。如果我身上也是 1，那么小明就看到两个 1，这肯定能猜。’ 但他们都没说。这说明，我身上的数字 1，不是让他们能轻易猜出来的。”
真正让小明推理出答案的是： “我看到小红和小刚身上都没有任何标记。如果我身上的数字是 1，那么小红看到了我身上的 1。她会想：‘我看到小明身上是 1。小刚身上是空白。如果我身上也是 1，那么小明就看到了两个 1，他肯定能猜。’ 但小红没猜。这说明，她看到的不是这种情况，或者她还没确定。但是，如果我身上不是 1，那么情况是什么？如果我身上的数字是 6，小红看到了我身上的 6。她也会想：‘我看到小明身上的 6。小刚身上是空白。如果我身上也是 6，那么小明看到的会是两个 6，他就能猜。’ 但小红没猜。这说明，她没能直接推断出。”
换个角度：
小明想： “我看到小红和小刚身上都没标记。我身上的数字是什么？假设我是 1。那么小红看到了我身上的 1。她会想：‘小明是 1，小刚是空白。如果我也是 1，那小明就能推。’ 但小红没推。所以，小明不是 1？” 这是错误的。
正确思路是：
小明想： “我看到小红和小刚身上都没标记。我身上的数字是什么？假设我身上的数字是 6。那么小红会看到我身上的 6。小红也会看到小刚身上什么都没标记。如果小红身上的数字是 6，那么小明（也就是我）看到了小红身上的 6，也看到了小刚身上的空白。这时候，我会想：‘小红身上是 6，小刚身上是空白。如果我身上也是 6，那小明（也就是我）就能猜到。’ 但是，我没猜到。 等等，我怎么没猜到？ 我看到的只是他们两人身上什么都没有。 我并不知道他们身上的数字。 ”
这里的逻辑需要更加严谨：
1. 教授选了数字 X。
2. 每个学生都被赋予了一个数字 Y，但他们不知道自己的 Y 是什么。
3. 他们能看到其他两个学生的数字。
游戏规则重新理解： 教授给每个人贴上了一个数字。但这个数字是隐藏的，学生们只能看到别人身上贴的数字。
举例：
教授选了数字 6。
教授给小明贴了 2。
教授给小红贴了 6。
教授给小刚贴了 9。
学生们的视野：
小明看到小红身上贴着 6，小刚身上贴着 9。
小红看到小明身上贴着 2，小刚身上贴着 9。
小刚看到小明身上贴着 2，小红身上贴着 6。
游戏流程：
1. 第一轮思考（寂静）：
小明看了一眼小红（6）和小刚（9）。他对自己身上的数字一无所知。他会想：“我看到的数字是 6 和 9。如果我身上的数字是 3，那么小红看到的是 2 和 3，她应该也能推。如果我身上的数字是 6，那么小红看到的是 2 和 6。她会想：‘小明是 6，小刚是空白。如果我也想是 6，那小明就能推。’ ” 这种推理比较复杂。
2. 关键逻辑： 学生们会利用“别人之所以不说话，是因为他们也推不出”这个信息。
让我们回到最简单的场景：
教授选了数字 6。
教授给小明贴了 6。
教授给小红贴了 X（未知）。
教授给小刚贴了 Y（未知）。
更贴合描述的场景： 教授从 1 到 10 选了一个数字，然后给每个学生身上贴了一个数字，这个数字不一定是教授选的那个数字。他们能看到别人身上贴的数字，并推测自己身上贴的数字。
这是最常见的“三元推理”问题变体。 假设教授说的是：“我将从 1 到 10 之间挑选一个数字，然后给你们每个人贴上一个与这个数字相关的标记。” 这样理解更合理。
最经典的“猜数字”游戏是这样的：
教授从 110 选一个数字，比如 6。
然后，教授在小明、小红、小刚的额头上分别写上数字。
关键点： 他们能看到别人额头上的数字，但看不到自己额头上的数字。
假设教授选的数字是 6，然后给他们额头上写了数字：
小明额头： 2
小红额头： 6
小刚额头： 9
学生们的视野：
小明看到小红是 6，小刚是 9。
小红看到小明是 2，小刚是 9。
小刚看到小明是 2，小红是 6。
游戏开始：
1. 寂静。 每个人都看不到自己的数字，也无法通过观察别人的数字直接得出自己的。
2. 教授提示：“如果有一个人能确定自己的数字，请说出来。”
3. 小明思考： “我看到小红是 6，小刚是 9。如果我的数字是 3，那么小红看到的是 2 和 3。她会想：‘小明是 2，我看到小刚是 3。如果我也是 3，那么小明就能看到两个 3。’ 这有点复杂。”
更直接的推理：
小明想： “我看到小红是 6，小刚是 9。我的数字是什么？我不知道。但是，如果我的数字是 6，那么小红看到的是 2 和 6。她会怎么想？她会想：‘小明是 2，我看到小刚是 9。如果我的数字也是 6，那么小明就能看到两个 6，他应该能推。’ 如果小红真的这么想，但她没推，那说明她的假设（我的数字是 6）是错的？这太绕了。”
正确的思路往往是利用“谁能比我更快地推断出”。
假设数字是 6，学生额头数字分别是：
小明： 6
小红： 6
小刚： 6
视野：
小明看到小红是 6，小刚是 6。
小红看到小明是 6，小刚是 6。
小刚看到小明是 6，小红是 6。
第一轮： 每个人看到别人都是 6。他们都推不出自己的。
教授提示：“如果有人能确定，请说。”
小明（看到两个 6）思考： “我看到小红是 6，小刚是 6。如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的是 6 和 3。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我不是 6，而是 7，那小明和我都推不出。’ ”
关键点来了：
小明（看到两个 6）想： “如果我的数字是 3，那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘小明是 6，我看到小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他应该能推。’ 但是，小红看到的是 6 和 3，如果她自己的数字是 6，那小明看到两个 6，就可以推。小明没推。所以，小红的数字不是 6？” 这是错误的。
正确的推理：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。我自己的数字是什么？
假设我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’ 如果小红也一样思考，她就会想：‘如果小明不是 6，而是 3，那么小红看到的会是 3 和 6。’ ”
这个游戏最核心的推理是“如果我身上的数字是 X，那么另一个人会推断出什么”。
假设教授选定的数字是 6，并且给每个学生额头写上了 6。
小明 看到小红额头是 6，小刚额头是 6。
小红 看到小明额头是 6，小刚额头是 6。
小刚 看到小明额头是 6，小红额头是 6。
第一轮：
小明想：“我看到另外两个人都写着 6。如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红会看到 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他肯定能推。’ 但小红没说。那说明，小红的推断是基于‘我的数字是 6’的假设，但她没说，所以我的数字不是 6？ ” 这是反向推理，很容易出错。
正确的思路是：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
情况一： 如果我的数字是 3。那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他肯定能推。’ 但小红没推。 这说明，小红的这个推理链条可能不成立。
情况二： 如果我的数字是 6。那么小红看到的是 6 和 6。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么小明和我都看到两个 6，我们都能推出。’
关键在于，每个学生都认为其他人也是顶尖的逻辑学家。
小明（看到两个 6）进一步思考：
“我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3，那么小红看到的就是（小明是 6，小刚是 3）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推出。’ 那么，小红会等待看看我（小明）会不会推。
但是，如果我的数字是 6，那么小红看到的就是（小明是 6，小刚是 6）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字是 6，那么小明和我都看到两个 6，我们都能立即推断出。’
既然小红一直没说，而且小刚也没说。
小明（看到两个 6）得出结论： “一定是我的数字也是 6。为什么？因为如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的就会是 6 和 3。她会想到‘如果我的数字也是 6’的可能。如果她自己是 6，她看到小明是 6，小刚是 3。她会想‘如果我也 6，那小明就能看到两个 6，他能推’。而她一直没推，就说明她没看到两个 6。 不对，这里逻辑矛盾了。 ”
真正的核心：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红和小刚都是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6。’ 但小红没说话。
如果我的数字是 6。 那么小红看到的是 6 和 6。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们都能立即推断。’
现在，问题的关键在于，所有人都知道，如果能立即推断，就应该立即推断。
1. 小明（看到两个 6）想： “我看到小红和小刚都是 6。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。小红会想：‘小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’ 并且，小刚看到的是 6 和 6。小刚会想：‘小明是 6，小红是 6。如果我的数字是 3，那么小红看到的是 6 和 3，小明看到的是 6 和 3。’ ”
这游戏的魅力在于“所有人都不是傻子”。
小明（看到两个 6）想： “我看到小红和小刚都是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红会看到（小明是 6，小刚是 3）。小红会认为：‘如果我的数字也是 6，那么小明（看到我 6，小刚 3）会想到“如果我也 6，那小明就能看到两个 6”。’ 但小红没有立即推断，说明她看到的不是‘两个 6’，或者她推断出了别的。
如果我的数字是 6。 那么小红会看到（小明是 6，小刚是 6）。她会立即想到：‘我看到小明和小刚都是 6。如果我的数字也是 6，那么我们就都能看到两个 6，我们都能立即推断。’
因此，小明会得出结论： “我看到了小红和小刚都是 6。
如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的将是 6 和 3。她会考虑‘我的数字是 6，小明是 6，小刚是 3’的情况。而她自己也看到小刚是 3，她会想‘如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他应该就能推。’
但是，如果我的数字是 6，那么小红看到的就是 6 和 6。她会想‘我看到小明和小刚都是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都能看到两个 6，我们就能立即推断。’
由于现在大家都没说话，这说明信息还没有那么充分。
但关键是：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。小红会思考：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他应该能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。小红会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
因为大家都非常聪明，所以他们会进行这种“如果我是 X，对方会怎么想”的推演。
小明（看到两个 6）得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字不是 6，而是 3。那么小红看到的是 6 和 3。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他能推’。
但是，如果我就是 6，那么小红看到的就是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，我们三个都看到两个 6，我们就能推。’
因为小红没有立即推断，这是否说明我的数字不是 6？ 不是！
换个角度：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
关键在于“最快推断”。
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想到‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6’。
如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，我们三个都能看到两个 6，我们就能推’。
小明（看到两个 6）得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字不是 6，比如是 3。那么小红看到的将是 6 和 3。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6’。
但如果我的数字是 6，那么小红看到的就是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
因为小红一直没说话，这说明她看到的不是‘两个 6’，所以我的数字不是 6？ 错了。
真正的原因是：
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会思考：‘如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到：‘如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
所以，小明会得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字不是 6，而是 3。那么小红看到的将是 6 和 3。她会想到‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6’。
反过来，如果我的数字是 6，那么小红看到的将是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，那么我们三个都能看到两个 6，我们就能推。’
因为小红一直在等待，而且小刚也在等待，这说明他们都没有立即推断出。
小明（看到两个 6）最终推断： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
但是，如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们都能立即推断。’
关键在于，如果存在一种情况，可以让其中一个人立即推断，而那个人还没推断，那就说明那个情况不是真的。
小明（看到两个 6）想： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
如果我的数字是 6。 那么小红看到的是 6 和 6。她会立即想到‘如果我的数字也是 6，我们三个都看到两个 6，我们就能推。’
因此，小明会说： “教授，我的数字是 6。”
推理过程：
小明看到小红是 6，小刚是 6。
1. 小明想： “如果我的数字是 3。那么小红看到的是 6 和 3。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
2. 小明接着想： “但是，如果我的数字是 6。那么小红看到的是 6 和 6。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
3. 小明观察： 小红一直没说，小刚也一直没说。
4. 关键反证： 如果小明的数字是 3，那么小红看到的将是 6 和 3。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
但如果小明的数字是 6，那么小红看到的将是 6 和 6。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
所以，一旦小明看到另外两个人都说了同一个数字（比如 6），并且那个数字也出现在他看到的另外两个人身上，他就知道自己的数字也是那个数字。
换个更复杂的场景：
教授选定数字 6。
小明额头： 2
小红额头： 6
小刚额头： 3
小明看到 6 和 3。
小红看到 2 和 3。
小刚看到 2 和 6。
第一轮：
小明看到 6 和 3。他推不出自己的。
小红看到 2 和 3。她也推不出自己的。
小刚看到 2 和 6。他也推不出自己的。
教授提示：“如果有人能确定，请说。”
小明（看到 6 和 3）思考： “我看到小红是 6，小刚是 3。
假设我的数字是 3。 那么小红看到的是 6 和 3。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 3，那小明也能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’ 关键在于，她自己也会这样想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 2，那么小明看到的也是 6 和 2。’
这里的推理是层层递进的：
1. 第一层： 每个人看到别人身上的数字，但无法直接推断自己的。
2. 第二层： 每个人都知道别人也是如此。所以，如果我看到 A 和 B 都是 X，而我自己的数字不是 X，那么 A 看到的是 X 和“不是 X”。A 会思考“如果我的数字也是 X，那么 B 也能看到两个 X”。
最终，当一位学生看到其他两位学生身上的数字都是同一个数字时，并且他推理出，如果他身上的数字不是这个数字，那么其他两位学生中的某一个就会在某个环节推断出来，但他们都没有推断出来，那么他就能断定自己的数字也是那个数字。
如果教授选的数字是 6，并且给每个人贴上的数字是 6。
小明看到 6 和 6。
小红看到 6 和 6。
小刚看到 6 和 6。
小明（看到两个 6）思考：
“我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。她会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字也是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
但是，如果我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。她会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
由于小红一直没说话，这说明情况不是‘小红看到了 6 和 3’，因为那样她会推。 不对，这句话逻辑是反的。
正确逻辑：
小明（看到两个 6）思考：
假设我的数字是 3。 那么小红看到的组合是（6，3）。小红会想：‘我看到小明是 6，小刚是 3。如果我的数字是 6，那么小明能看到两个 6，他就能推。’
假设我的数字是 6。 那么小红看到的组合是（6，6）。小红会立即想到：‘我看到小明是 6，小刚是 6。如果我的数字也是 6，那么我们三个都看到两个 6，我们就能立即推断。’
因为小红和小刚都没有立即说出数字，这说明他们都没有看到‘两个相同的数字’。
所以，小明（看到两个 6）得出结论： “我看到小红是 6，小刚是 6。
如果我的数字是 3，那么小红看到的组合是（6，3）。她会想‘如果我的数字是 6，那么小明就能看到两个 6，他就能推。’
关键是，她会知道‘如果我的数字是 3，小明能看到 6 和 3。’
最终的答案一定是：
当一个学生看到另外两个学生都说了同一个数字（比如 N），并且他也看到了这两个学生身上都是 N，那么他就能推断出自己的数字也是 N。
因为：
如果他的数字不是 N，而是 M。那么看到他身上是 M 的那个人（假设是小红），会看到（N，M）。小红会想：‘我看到小明是 N，小刚是 M。如果我的数字是 N，那么小明就能看到两个 N，他就能推。’
而小明（看到两个 N）会想： “我看到小红是 N，小刚是 N。
如果我的数字是 M。 那么小红看到的组合是（N，M）。她会想：‘我看到小明是 N，小刚是 M。如果我的数字是 N，那么小明就能看到两个 N，他就能推。’
如果我的数字是 N。 那么小红看到的组合是（N，N）。她会立即想到：‘我看到小明是 N，小刚是 N。如果我的数字也是 N，那么我们三个都看到两个 N，我们就能立即推断。’
因为小红和小刚都没有立即推断，这只能说明他们没有看到‘两个相同的数字’，因此，我身上不是 M，我就是 N。
所以，这个游戏的精髓在于，每个人都从“如果我是某个数字，别人会怎么推断”出发，然后结合“别人之所以没推断，说明‘他们看到的数字组合’不是让他们立刻推断的情况”，最终锁定自己的数字。
当教授说出数字是 6，并且给每个学生额头都贴了 6 时，学生们就会进行如上的推理，最终异口同声地喊出：“6！”
网友意见
谢邀。挺简单的，穷举即可
首先，每个人看到另外两个数字时只会得到两个预想的答案：1，两者之和；2，两者之差
那么在什么情况下，自己能够在看到另外两人的数字后立刻得知自己的是多少呢。那就是当另外两人数字是一样的时候。
所有A说，不知道，意味着提供给B和C信息是，你们俩的数字是不同的。既BC数字比值不是1：1，既ABC比值不为（2：1：1）
那么对于B，他就得到了另一个有用信息。所以如果他见到AC两人的数字其中一个是另一个的两倍，他也能立刻知道自己的数字。既可以排除ABC比值为（1,2,1）或（2,3,1）
好了，这时候到C了，首先，他看到的A和B两个数字不一样，其次他知道自己的数字不是A的两倍，也知道自己和C的数字不一样。但是他依然得不到结论。
也就是说，他见到的ABC的数字比例关系并不是（1,2,3）（2,3,5）（2,1,3）（1,1,2）
这时候，又回到A，他虽然第一圈下来并不知道结果，但是他听了B和C的话又得到了新的信息。
可是他还不知道，所以ABC的数字比值不是（3,2,1），（4,3,1），（5,2,3），（8,3,5），（4,1,3），（3,1,2）
然后又到了B，他依然不知道，那么由此可知，ABC比值不是（1,4,3），（2,7,5），（2,5,3），（1,3,2），（3,4,1），（4,5,1），（5,8,3），（8,13,5），（4,7,3）（3,5,2）
重点来了
这时候C突然就知道了。
也就是说，他从A或者B的第二轮得到了有用信息，那么ABC有可能的情况是：（3,2,5）（4,3,7）（5,2,7）（8,3,11），（4,1,5）（3,1,4）（1,4,5）（2,7,9）（2,5,7）（1,3,4）（3,4,7），（4,5,9）（5,8,13）（8,13,21）（4,7,11）（3,5,8）
由于是正整数，所以最后一位必须是144的因数。那么可以排除掉许多项只剩下
（3，1，4）（2，7，9）（1，3，4）（4，5，9）（3，5，8）
分别对应
108，36，144
32，112，144
36，108，144
64，80，144
54，90，144
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