n维球面不能嵌入n维欧式空间如何证明？
您的问题涉及到数学中一个非常深刻和有趣的概念：嵌入 (embedding)。具体来说，您询问的是“n维球面不能嵌入n维欧式空间”。
首先，我们需要明确一些基本概念：
n维欧式空间 ($mathbb{R}^n$): 这是我们日常生活中最熟悉的“空间”。一个点在 $mathbb{R}^n$ 中由 $n$ 个实数坐标表示 $(x_1, x_2, dots, x_n)$。例如，$mathbb{R}^2$ 是平面，$mathbb{R}^3$ 是我们生活的空间。
n维球面 ($S^n$): 通常我们说球面是指二维球面 $S^2$，也就是我们熟悉的球的表面。更一般地，一个n维球面可以定义为n+1维欧式空间中到一个固定点的所有距离为固定半径的点集。然而，您的问题中提到了“n维球面”和“n维欧式空间”，这通常指的是 在数学中对球面的一种不同的定义方式，即我们将一个 $n$ 维的“对象”放在一个更高维的空间中讨论其几何性质。在这种语境下，最常见的“n维球面”实际上是指 “定义在 $n$ 维欧式空间中的 $(n1)$ 维球面”。
例如：
二维球面 $S^2$ 常常是指 $mathbb{R}^3$ 中的一个球的表面。它是一个2维的流形（manifold）。
一维球面 $S^1$ 是指 $mathbb{R}^2$ 中的一个圆的表面。它是一个1维的流形。
如果您的意思是 一个 $k$ 维的球面能否嵌入到 $m$ 维的欧式空间 $mathbb{R}^m$ 中，那么问题就可以更清晰。根据您的表述“n维球面不能嵌入n维欧式空间”，我们有几种可能的解读，我们需要逐一分析：
解读一：一个 $n$ 维流形（对象）能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
在这种情况下，您可能想问的是：一个 $n$ 维的“对象”（例如一个 $n$ 维球面）是否可以被看作是 $mathbb{R}^n$ 中的一个子集，并且保持其内在的 $n$ 维性质？
解读二：一个 $n$ 维球面（通常指 $(n1)$维的球面，如 $S^{n1}$）能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
这是最常见的数学问题。例如，我们知道二维球面 $S^2$ 是在 $mathbb{R}^3$ 中的，但 $S^2$ 本身是2维的。那么，一个 $n$ 维的“概念上的球面”（比如，一个在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中定义的 $n$ 维球面 $S^n$）能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
让我们聚焦在第二个解读上，因为这是更具有普遍意义且通常导致否定结论的问题：一个 $n$ 维球面 ($S^n$) 能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
要证明一个物体不能被嵌入到另一个空间，我们通常会寻找一个“不变量”或者“拓扑性质”，这个性质在嵌入过程中会被保持，但目标空间却不具备该性质。
核心思想：拓扑不变量与维度错配
最关键的证明思路是利用同调论（homology theory）中的一些概念，特别是与“切触向量丛”或“法向量丛”相关的性质。
我们考虑一个 $n$ 维球面 $S^n$。我们可以将 $S^n$ 看作是 $mathbb{R}^{n+1}$ 中单位半径的球面，即 $S^n = {x in mathbb{R}^{n+1} : |x| = 1}$。$S^n$ 是一个 $n$ 维的流形。
现在，我们想知道这个 $n$ 维流形 $S^n$ 是否能被嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中。
嵌入的定义： 一个拓扑空间 $X$ 被嵌入到另一个拓扑空间 $Y$ 中，是指存在一个连续函数 $f: X o Y$ 使得 $f$ 是一个同胚（homeomorphism），即 $f$ 是双射的、连续的，并且其逆函数 $f^{1}: Y o X$ 也连续。这意味着 $X$ 和 $Y$ 在拓扑上是“一样”的，可以看作是 $Y$ 的一个“子空间”。
考虑切触向量丛 (Tangent Bundle)
一个 $n$ 维光滑流形 $M$ 的切触向量丛记作 $TM$。在流形的每一点 $p$ 上，都有一个 $n$ 维的切空间 $T_pM$，它包含了所有通过 $p$ 点的“速度向量”。切触向量丛 $TM$ 就是所有这些切空间的集合。
对于 $n$ 维球面 $S^n$: 其切触向量丛 $TS^n$ 是一个秩为 $n$ 的向量丛（意味着在 $S^n$ 的每一点，切空间是 $n$ 维的）。
对于欧式空间 $mathbb{R}^n$: 它本身是一个 $n$ 维的流形。在 $mathbb{R}^n$ 的每一点 $p$，切空间 $T_pmathbb{R}^n$ 就是 $mathbb{R}^n$ 本身，也就是一个 $n$ 维的向量空间。因此，$mathbb{R}^n$ 的切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 可以看作是 $mathbb{R}^n imes mathbb{R}^n$，它是一个“平凡的”向量丛（意思是它“看起来像”一个直积）。
关键问题：切触向量丛的“性质”
如果我们能将 $S^n$ 嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中，那么根据嵌入的定义，这个嵌入函数 $f: S^n o mathbb{R}^n$ 将是一个同胚。这意味着 $S^n$ 和 $mathbb{R}^n$ 在拓扑上是等价的。因此，它们的切触向量丛也应该在某种意义上是“等价的”。
这里的关键在于，一个光滑嵌入会诱导切触向量丛之间的同构。
不幸的是，对于 $S^n$，其切触向量丛 $TS^n$ 是“不可积的”（nonintegrable）或“不可约的”（irreducible），而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 是“平凡的”并且可以被分解成 $n$ 个互相独立的切线方向。
更具体的证明思路：向量场和法向量场
最经典的证明涉及是否存在处处非零的切向向量场。
事实： $n$ 维球面 $S^n$ 允许 $k$ 个处处非零的（在每一点上线性无关的）切向向量场当且仅当 $n+1$ 不能被 $2^k$ 整除。
我们知道，$mathbb{R}^n$ 是一个非常“易于处理”的空间。在 $mathbb{R}^n$ 中，我们可以很容易地构造出 $n$ 个处处非零且在每一点线性无关的向量场（例如，沿着坐标轴的方向场）。
现在考虑一个嵌入 $f: S^n o mathbb{R}^n$。
1. 球面 $S^n$:
当 $n$ 是奇数时，我们可以找到 $n$ 个处处非零的切向向量场。例如，在 $S^1$（圆周）上，我们可以定义切向向量场 $v( heta) = (sin heta, cos heta)$，它在每个点都是非零的。
但是，当 $n$ 是偶数时，球面 $S^n$ 不允许有 $n$ 个处处非零的切向向量场。 最著名的例子是 偶数维球面 $S^2$（这是二维球面，我们讨论的是在 $mathbb{R}^3$ 中的球的表面）。在 $S^2$ 上，我们最多只能找到 2 个处处非零的切向向量场（例如，如果用球坐标表示）。根据 博特定理 (Bott's Theorem) 或更一般的 毛球定理 (Hairy Ball Theorem)，一个偶数维球面 $S^{2k}$ 不具有 处处非零的切向向量场。这意味着在 $S^{2k}$ 的每一点，都至少有一个切向量是零向量。
2. 欧式空间 $mathbb{R}^n$:
$mathbb{R}^n$ 总是允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。例如，在 $mathbb{R}^n$ 中的一个点 $(x_1, dots, x_n)$，我们可以定义向量场 $v_i(x) = (0, dots, 1, dots, 0)$，其中 1 出现在第 $i$ 个分量。这 $n$ 个向量场在每个点都处处非零且线性无关。
将嵌入 $f: S^n o mathbb{R}^n$ 应用于切向量场：
如果 $f: S^n o mathbb{R}^n$ 是一个光滑嵌入，那么它会把 $S^n$ 上的切向量场 $v$ 映射到 $mathbb{R}^n$ 的一个切向量场 $f_(v)$。
考虑偶数维球面 $S^n$ (其中 $n$ 是偶数)：
如前所述，偶数维球面 $S^n$ 不允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。事实上，它甚至不允许一个处处非零的切向向量场。这意味着在 $S^n$ 的每一点，都至少有一个切向量为零。
考虑目标空间 $mathbb{R}^n$:
$mathbb{R}^n$ 允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。
这里的矛盾在于，如果我们将一个 $n$ 维球面 $S^n$ (特别是偶数维球面) 嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中，那么 $S^n$ 上的“结构”需要被“容纳”到 $mathbb{R}^n$ 中。
更精确的证明思路：法的向量场和全纯结构
反证法：假设存在一个嵌入 $f: S^n o mathbb{R}^n$。
1. 如果 $n$ 是偶数：
考虑 $S^n$ 作为 $mathbb{R}^{n+1}$ 中的一个光滑子流形。 $S^n$ 的切触向量丛 $TS^n$ 的秩是 $n$。
当我们考虑 $S^n$ 的法向量丛 (Normal Bundle) $N(S^n)$ 在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中的时候，它描述了与 $S^n$ 垂直的方向。根据切触向量丛和法向量丛的性质，我们有：
$Tmathbb{R}^{n+1} |_{S^n} cong TS^n oplus N(S^n)$
$mathbb{R}^{n+1} |_{S^n} cong TS^n oplus N(S^n)$
$mathbb{R}^{n+1} |_{S^n} cong S^n imes mathbb{R}^{n+1}$
所以，$S^n imes mathbb{R}^{n+1} cong TS^n oplus N(S^n)$。
对于 $S^n$ 来说，它的法向量丛 $N(S^n)$ 实际上是 平凡的，即 $N(S^n) cong S^n imes mathbb{R}$。这是因为 $S^n$ 是一个“封闭”的曲面，它不像一个管道那样有“扭曲”。
因此，我们得到 $S^n imes mathbb{R}^{n+1} cong TS^n oplus (S^n imes mathbb{R})$。
移除 $S^n$ 这一项（在每一点上），我们得到 $mathbb{R}^{n+1} cong TS^n oplus mathbb{R}$。
这意味着切触向量丛 $TS^n$ 的秩必须是 $n$。
关键之处来了： 偶数维球面 $S^n$ (当 $n$ 是偶数时) 的切触向量丛 $TS^n$ 是 不可分解的 (indivisible)，或者说它不能被分解成 $n$ 个平凡的直线丛（即 $n$ 个可以独立选择方向的“轨道”）。而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 是平凡的，可以分解成 $n$ 个平凡直线丛。
更强的结论： $n$ 维球面 $S^n$ 是一个 可定向流形 (orientable manifold)。但是，当 $n$ 是偶数时，它的切触向量丛是 不可积的 (nonintegrable)，或者说它不能被“平凡化”到一个 $n$ 维向量空间上，并且其结构群（structure group）是 $O(n)$，当 $n$ 是偶数时，$O(n)$ 中有一个特殊的 $SO(n)$ 成分，这个成分在球面上的“存在方式”导致了问题。
一个更直接的论证（但需要更多拓扑代数知识）：
考虑球面 $S^n$ 的 第一特征类 (first StiefelWhitney class) $w_1(TS^n)$。对于一个可定向流形，我们可以讨论其切触向量丛是否可积。
对于 $S^n$：
如果 $n$ 是奇数，那么 $TS^n$ 是可平凡化的（可以分解成 $n$ 个直线丛）。例如，在 $S^1$ 上，我们有 $mathbb{R}^2 cong TS^1 oplus mathbb{R}$。$TS^1$ 是一个二维的向量丛。
如果 $n$ 是偶数，那么 $TS^n$ 不是 可平凡化的。它的第一特征类 $w_1(TS^n)$ 是非零的。
如果 $S^n$ 可以嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中，那么 $S^n$ 和 $mathbb{R}^n$ 在拓扑上是等价的。这意味着它们的切触向量丛也应该是等价的。$mathbb{R}^n$ 是一个完全可平凡化的空间，其切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 是平凡的，所有特征类都是零。
因此，如果 $n$ 是偶数，那么 $S^n$ 的切触向量丛的非零特征类与 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛的零特征类之间存在矛盾。这个矛盾表明，$S^n$ 不能被嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中。
总结来说：
核心原因是 $n$ 维球面 $S^n$（尤其是当 $n$ 是偶数时）的切触向量丛具有一种“非平凡的”或“不可积的”性质，而 $n$ 维欧式空间 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛是平凡的，可以分解成 $n$ 个独立的方向。
对于偶数维球面 $S^n$ (例如 $S^2$)，根据毛球定理，它甚至不允许有处处非零的切向向量场。而任何嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中的空间都必须能够“容纳” $mathbb{R}^n$ 的结构，即 $mathbb{R}^n$ 允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。
更精确地说，通过研究切触向量丛的特征类（如 StiefelWhitney 类），我们可以发现偶数维球面 $S^n$ 的切触向量丛具有非零的特征类，而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛的所有特征类都是零。这种差异是无法通过嵌入来消除的。
举例说明：
一维球面 $S^1$ (圆周) vs $mathbb{R}^1$ (数轴)
$S^1$ 是一个1维的流形。它确实可以被嵌入到 $mathbb{R}^1$ 中吗？ 不对，它不能！
这里有一个混淆点。我们通常说 $S^1$ 是在 $mathbb{R}^2$ 中的。如果我们将 $S^1$ 看作是“一个1维对象”，它能嵌入到“1维空间” $mathbb{R}^1$ 吗？
$S^1$ 是一个紧致的、连通的空间。
$mathbb{R}^1$ 是一个非紧致的、连通的空间。
一个紧致空间（如 $S^1$）不能嵌入到一个非紧致空间（如 $mathbb{R}^1$）中，因为嵌入函数必须是同胚，会将紧致性传递下去。如果 $f: S^1 o mathbb{R}^1$ 是一个同胚，那么 $S^1$ 的闭子集（在 $S^1$ 的拓扑下）应该映射为 $mathbb{R}^1$ 的闭子集。由于 $S^1$ 是紧致的，它的闭子集是紧致的。然而，$mathbb{R}^1$ 中唯一紧致的子集是空集。但 $f$ 是双射，所以 $f(S^1)$ 是非空的。这就产生了矛盾。
所以，一维球面 $S^1$ 不能嵌入到一维欧式空间 $mathbb{R}^1$ 中。
二维球面 $S^2$ (球的表面) vs $mathbb{R}^2$ (平面)
现在我们来讨论您的原问题“n维球面不能嵌入n维欧式空间”。 如果这里指的“n维球面”是 $n$ 维的球面 $S^n$，并且想嵌入到 $n$ 维的欧式空间 $mathbb{R}^n$。
情况 n=1: $S^1$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^1$ (如上所述)。
情况 n=2: $S^2$ (二维球面) 能嵌入到 $mathbb{R}^2$ (平面) 中吗？
$S^2$ 是一个二维的流形。
$mathbb{R}^2$ 是一个二维的流形。
根据上面的切触向量丛的论证，当 $n$ 是偶数时，结论是不能嵌入。所以 $S^2$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^2$ 中。
直观理解：$S^2$ 是一个“有界”的、二维的曲面。 $mathbb{R}^2$ 是一个“无限扩张”的平面。如果我们要把 $S^2$ 映射到 $mathbb{R}^2$ 并且保持“形状”，这是可能的。例如，我们可以把 $S^2$ 的一部分“压扁”到 $mathbb{R}^2$ 中。但是，这里“嵌入”的要求非常严格，需要保持 $S^2$ 本身的拓扑结构和维度。更重要的是，嵌入还需要满足微分几何的要求，例如切触向量丛的结构。
$S^2$ 是一个紧致空间，$mathbb{R}^2$ 是一个非紧致空间。与 $S^1$ 的例子一样，紧致空间不能嵌入到非紧致空间中。因此，$S^2$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^2$ 中。
更一般的结论 (黎曼猜想相关，但此处更基础的拓扑学已经足够)：
一个 $k$ 维球面 $S^k$ 不能 被嵌入到 $m$ 维欧式空间 $mathbb{R}^m$ 中，如果 $k geq m$。
您的原问题是“n维球面不能嵌入n维欧式空间”。如果这里的“n维球面”指的是 $S^n$ (在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中定义的n维球面)，那么 $k=n$。想嵌入到 $mathbb{R}^n$，那么 $m=n$。所以 $k geq m$ 的情况是 $n geq n$，这是成立的。
所以，证明的核心在于：
1. 紧致性冲突: 如果我们讨论的是 $S^n$ (在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中定义的n维球面，它是紧致的) 嵌入到 $mathbb{R}^n$ (非紧致的)，那么紧致性就会导致矛盾。
2. 切触向量丛结构: 对于偶数维球面 $S^n$ ($n$ 为偶数)，其切触向量丛的结构 (表现为特征类非零) 与 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛的结构 (平凡的，特征类为零) 不兼容，因此无法嵌入。
如果您对“n维球面”的定义有不同的理解，请澄清，我可以提供更精确的证明。例如，有时候人们会把“n维的物体”放在一个更大的空间中，例如一个n维的超立方体。
但是，按照数学上最标准的定义，当谈论“n维球面”时，我们通常是指 $S^n$，它是一个 $n$ 维的流形。而“嵌入到n维欧式空间”就是指嵌入到 $mathbb{R}^n$。
简而言之，一个 n 维球面 $S^n$ 不能嵌入到 n 维欧式空间 $mathbb{R}^n$ 中，因为：
若 $n ge 1$，$S^n$ 是紧致的，而 $mathbb{R}^n$ 是非紧致的。任何同胚（嵌入是同胚）会保持紧致性，因此 $S^n$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^n$。
（更深入的理由，尤其当人们不强调紧致性，或者问的是子流形嵌入时）当 $n$ 是偶数时，$S^n$ 的切触向量丛具有非零的特征类，而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛特征类全为零，这种拓扑上的不一致性使得嵌入不可能发生。
希望这个详细的解释能够帮助您理解这个问题！
首先，我们需要明确一些基本概念：
n维欧式空间 ($mathbb{R}^n$): 这是我们日常生活中最熟悉的“空间”。一个点在 $mathbb{R}^n$ 中由 $n$ 个实数坐标表示 $(x_1, x_2, dots, x_n)$。例如，$mathbb{R}^2$ 是平面，$mathbb{R}^3$ 是我们生活的空间。
n维球面 ($S^n$): 通常我们说球面是指二维球面 $S^2$，也就是我们熟悉的球的表面。更一般地，一个n维球面可以定义为n+1维欧式空间中到一个固定点的所有距离为固定半径的点集。然而，您的问题中提到了“n维球面”和“n维欧式空间”，这通常指的是 在数学中对球面的一种不同的定义方式，即我们将一个 $n$ 维的“对象”放在一个更高维的空间中讨论其几何性质。在这种语境下，最常见的“n维球面”实际上是指 “定义在 $n$ 维欧式空间中的 $(n1)$ 维球面”。
例如：
二维球面 $S^2$ 常常是指 $mathbb{R}^3$ 中的一个球的表面。它是一个2维的流形（manifold）。
一维球面 $S^1$ 是指 $mathbb{R}^2$ 中的一个圆的表面。它是一个1维的流形。
如果您的意思是 一个 $k$ 维的球面能否嵌入到 $m$ 维的欧式空间 $mathbb{R}^m$ 中，那么问题就可以更清晰。根据您的表述“n维球面不能嵌入n维欧式空间”，我们有几种可能的解读，我们需要逐一分析：
解读一：一个 $n$ 维流形（对象）能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
在这种情况下，您可能想问的是：一个 $n$ 维的“对象”（例如一个 $n$ 维球面）是否可以被看作是 $mathbb{R}^n$ 中的一个子集，并且保持其内在的 $n$ 维性质？
解读二：一个 $n$ 维球面（通常指 $(n1)$维的球面，如 $S^{n1}$）能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
这是最常见的数学问题。例如，我们知道二维球面 $S^2$ 是在 $mathbb{R}^3$ 中的，但 $S^2$ 本身是2维的。那么，一个 $n$ 维的“概念上的球面”（比如，一个在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中定义的 $n$ 维球面 $S^n$）能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
让我们聚焦在第二个解读上，因为这是更具有普遍意义且通常导致否定结论的问题：一个 $n$ 维球面 ($S^n$) 能否嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中？
要证明一个物体不能被嵌入到另一个空间，我们通常会寻找一个“不变量”或者“拓扑性质”，这个性质在嵌入过程中会被保持，但目标空间却不具备该性质。
核心思想：拓扑不变量与维度错配
最关键的证明思路是利用同调论（homology theory）中的一些概念，特别是与“切触向量丛”或“法向量丛”相关的性质。
我们考虑一个 $n$ 维球面 $S^n$。我们可以将 $S^n$ 看作是 $mathbb{R}^{n+1}$ 中单位半径的球面，即 $S^n = {x in mathbb{R}^{n+1} : |x| = 1}$。$S^n$ 是一个 $n$ 维的流形。
现在，我们想知道这个 $n$ 维流形 $S^n$ 是否能被嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中。
嵌入的定义： 一个拓扑空间 $X$ 被嵌入到另一个拓扑空间 $Y$ 中，是指存在一个连续函数 $f: X o Y$ 使得 $f$ 是一个同胚（homeomorphism），即 $f$ 是双射的、连续的，并且其逆函数 $f^{1}: Y o X$ 也连续。这意味着 $X$ 和 $Y$ 在拓扑上是“一样”的，可以看作是 $Y$ 的一个“子空间”。
考虑切触向量丛 (Tangent Bundle)
一个 $n$ 维光滑流形 $M$ 的切触向量丛记作 $TM$。在流形的每一点 $p$ 上，都有一个 $n$ 维的切空间 $T_pM$，它包含了所有通过 $p$ 点的“速度向量”。切触向量丛 $TM$ 就是所有这些切空间的集合。
对于 $n$ 维球面 $S^n$: 其切触向量丛 $TS^n$ 是一个秩为 $n$ 的向量丛（意味着在 $S^n$ 的每一点，切空间是 $n$ 维的）。
对于欧式空间 $mathbb{R}^n$: 它本身是一个 $n$ 维的流形。在 $mathbb{R}^n$ 的每一点 $p$，切空间 $T_pmathbb{R}^n$ 就是 $mathbb{R}^n$ 本身，也就是一个 $n$ 维的向量空间。因此，$mathbb{R}^n$ 的切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 可以看作是 $mathbb{R}^n imes mathbb{R}^n$，它是一个“平凡的”向量丛（意思是它“看起来像”一个直积）。
关键问题：切触向量丛的“性质”
如果我们能将 $S^n$ 嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中，那么根据嵌入的定义，这个嵌入函数 $f: S^n o mathbb{R}^n$ 将是一个同胚。这意味着 $S^n$ 和 $mathbb{R}^n$ 在拓扑上是等价的。因此，它们的切触向量丛也应该在某种意义上是“等价的”。
这里的关键在于，一个光滑嵌入会诱导切触向量丛之间的同构。
不幸的是，对于 $S^n$，其切触向量丛 $TS^n$ 是“不可积的”（nonintegrable）或“不可约的”（irreducible），而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 是“平凡的”并且可以被分解成 $n$ 个互相独立的切线方向。
更具体的证明思路：向量场和法向量场
最经典的证明涉及是否存在处处非零的切向向量场。
事实： $n$ 维球面 $S^n$ 允许 $k$ 个处处非零的（在每一点上线性无关的）切向向量场当且仅当 $n+1$ 不能被 $2^k$ 整除。
我们知道，$mathbb{R}^n$ 是一个非常“易于处理”的空间。在 $mathbb{R}^n$ 中，我们可以很容易地构造出 $n$ 个处处非零且在每一点线性无关的向量场（例如，沿着坐标轴的方向场）。
现在考虑一个嵌入 $f: S^n o mathbb{R}^n$。
1. 球面 $S^n$:
当 $n$ 是奇数时，我们可以找到 $n$ 个处处非零的切向向量场。例如，在 $S^1$（圆周）上，我们可以定义切向向量场 $v( heta) = (sin heta, cos heta)$，它在每个点都是非零的。
但是，当 $n$ 是偶数时，球面 $S^n$ 不允许有 $n$ 个处处非零的切向向量场。 最著名的例子是 偶数维球面 $S^2$（这是二维球面，我们讨论的是在 $mathbb{R}^3$ 中的球的表面）。在 $S^2$ 上，我们最多只能找到 2 个处处非零的切向向量场（例如，如果用球坐标表示）。根据 博特定理 (Bott's Theorem) 或更一般的 毛球定理 (Hairy Ball Theorem)，一个偶数维球面 $S^{2k}$ 不具有 处处非零的切向向量场。这意味着在 $S^{2k}$ 的每一点，都至少有一个切向量是零向量。
2. 欧式空间 $mathbb{R}^n$:
$mathbb{R}^n$ 总是允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。例如，在 $mathbb{R}^n$ 中的一个点 $(x_1, dots, x_n)$，我们可以定义向量场 $v_i(x) = (0, dots, 1, dots, 0)$，其中 1 出现在第 $i$ 个分量。这 $n$ 个向量场在每个点都处处非零且线性无关。
将嵌入 $f: S^n o mathbb{R}^n$ 应用于切向量场：
如果 $f: S^n o mathbb{R}^n$ 是一个光滑嵌入，那么它会把 $S^n$ 上的切向量场 $v$ 映射到 $mathbb{R}^n$ 的一个切向量场 $f_(v)$。
考虑偶数维球面 $S^n$ (其中 $n$ 是偶数)：
如前所述，偶数维球面 $S^n$ 不允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。事实上，它甚至不允许一个处处非零的切向向量场。这意味着在 $S^n$ 的每一点，都至少有一个切向量为零。
考虑目标空间 $mathbb{R}^n$:
$mathbb{R}^n$ 允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。
这里的矛盾在于，如果我们将一个 $n$ 维球面 $S^n$ (特别是偶数维球面) 嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中，那么 $S^n$ 上的“结构”需要被“容纳”到 $mathbb{R}^n$ 中。
更精确的证明思路：法的向量场和全纯结构
反证法：假设存在一个嵌入 $f: S^n o mathbb{R}^n$。
1. 如果 $n$ 是偶数：
考虑 $S^n$ 作为 $mathbb{R}^{n+1}$ 中的一个光滑子流形。 $S^n$ 的切触向量丛 $TS^n$ 的秩是 $n$。
当我们考虑 $S^n$ 的法向量丛 (Normal Bundle) $N(S^n)$ 在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中的时候，它描述了与 $S^n$ 垂直的方向。根据切触向量丛和法向量丛的性质，我们有：
$Tmathbb{R}^{n+1} |_{S^n} cong TS^n oplus N(S^n)$
$mathbb{R}^{n+1} |_{S^n} cong TS^n oplus N(S^n)$
$mathbb{R}^{n+1} |_{S^n} cong S^n imes mathbb{R}^{n+1}$
所以，$S^n imes mathbb{R}^{n+1} cong TS^n oplus N(S^n)$。
对于 $S^n$ 来说，它的法向量丛 $N(S^n)$ 实际上是 平凡的，即 $N(S^n) cong S^n imes mathbb{R}$。这是因为 $S^n$ 是一个“封闭”的曲面，它不像一个管道那样有“扭曲”。
因此，我们得到 $S^n imes mathbb{R}^{n+1} cong TS^n oplus (S^n imes mathbb{R})$。
移除 $S^n$ 这一项（在每一点上），我们得到 $mathbb{R}^{n+1} cong TS^n oplus mathbb{R}$。
这意味着切触向量丛 $TS^n$ 的秩必须是 $n$。
关键之处来了： 偶数维球面 $S^n$ (当 $n$ 是偶数时) 的切触向量丛 $TS^n$ 是 不可分解的 (indivisible)，或者说它不能被分解成 $n$ 个平凡的直线丛（即 $n$ 个可以独立选择方向的“轨道”）。而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 是平凡的，可以分解成 $n$ 个平凡直线丛。
更强的结论： $n$ 维球面 $S^n$ 是一个 可定向流形 (orientable manifold)。但是，当 $n$ 是偶数时，它的切触向量丛是 不可积的 (nonintegrable)，或者说它不能被“平凡化”到一个 $n$ 维向量空间上，并且其结构群（structure group）是 $O(n)$，当 $n$ 是偶数时，$O(n)$ 中有一个特殊的 $SO(n)$ 成分，这个成分在球面上的“存在方式”导致了问题。
一个更直接的论证（但需要更多拓扑代数知识）：
考虑球面 $S^n$ 的 第一特征类 (first StiefelWhitney class) $w_1(TS^n)$。对于一个可定向流形，我们可以讨论其切触向量丛是否可积。
对于 $S^n$：
如果 $n$ 是奇数，那么 $TS^n$ 是可平凡化的（可以分解成 $n$ 个直线丛）。例如，在 $S^1$ 上，我们有 $mathbb{R}^2 cong TS^1 oplus mathbb{R}$。$TS^1$ 是一个二维的向量丛。
如果 $n$ 是偶数，那么 $TS^n$ 不是 可平凡化的。它的第一特征类 $w_1(TS^n)$ 是非零的。
如果 $S^n$ 可以嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中，那么 $S^n$ 和 $mathbb{R}^n$ 在拓扑上是等价的。这意味着它们的切触向量丛也应该是等价的。$mathbb{R}^n$ 是一个完全可平凡化的空间，其切触向量丛 $Tmathbb{R}^n$ 是平凡的，所有特征类都是零。
因此，如果 $n$ 是偶数，那么 $S^n$ 的切触向量丛的非零特征类与 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛的零特征类之间存在矛盾。这个矛盾表明，$S^n$ 不能被嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中。
总结来说：
核心原因是 $n$ 维球面 $S^n$（尤其是当 $n$ 是偶数时）的切触向量丛具有一种“非平凡的”或“不可积的”性质，而 $n$ 维欧式空间 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛是平凡的，可以分解成 $n$ 个独立的方向。
对于偶数维球面 $S^n$ (例如 $S^2$)，根据毛球定理，它甚至不允许有处处非零的切向向量场。而任何嵌入到 $mathbb{R}^n$ 中的空间都必须能够“容纳” $mathbb{R}^n$ 的结构，即 $mathbb{R}^n$ 允许 $n$ 个处处非零的切向向量场。
更精确地说，通过研究切触向量丛的特征类（如 StiefelWhitney 类），我们可以发现偶数维球面 $S^n$ 的切触向量丛具有非零的特征类，而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛的所有特征类都是零。这种差异是无法通过嵌入来消除的。
举例说明：
一维球面 $S^1$ (圆周) vs $mathbb{R}^1$ (数轴)
$S^1$ 是一个1维的流形。它确实可以被嵌入到 $mathbb{R}^1$ 中吗？ 不对，它不能！
这里有一个混淆点。我们通常说 $S^1$ 是在 $mathbb{R}^2$ 中的。如果我们将 $S^1$ 看作是“一个1维对象”，它能嵌入到“1维空间” $mathbb{R}^1$ 吗？
$S^1$ 是一个紧致的、连通的空间。
$mathbb{R}^1$ 是一个非紧致的、连通的空间。
一个紧致空间（如 $S^1$）不能嵌入到一个非紧致空间（如 $mathbb{R}^1$）中，因为嵌入函数必须是同胚，会将紧致性传递下去。如果 $f: S^1 o mathbb{R}^1$ 是一个同胚，那么 $S^1$ 的闭子集（在 $S^1$ 的拓扑下）应该映射为 $mathbb{R}^1$ 的闭子集。由于 $S^1$ 是紧致的，它的闭子集是紧致的。然而，$mathbb{R}^1$ 中唯一紧致的子集是空集。但 $f$ 是双射，所以 $f(S^1)$ 是非空的。这就产生了矛盾。
所以，一维球面 $S^1$ 不能嵌入到一维欧式空间 $mathbb{R}^1$ 中。
二维球面 $S^2$ (球的表面) vs $mathbb{R}^2$ (平面)
现在我们来讨论您的原问题“n维球面不能嵌入n维欧式空间”。 如果这里指的“n维球面”是 $n$ 维的球面 $S^n$，并且想嵌入到 $n$ 维的欧式空间 $mathbb{R}^n$。
情况 n=1: $S^1$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^1$ (如上所述)。
情况 n=2: $S^2$ (二维球面) 能嵌入到 $mathbb{R}^2$ (平面) 中吗？
$S^2$ 是一个二维的流形。
$mathbb{R}^2$ 是一个二维的流形。
根据上面的切触向量丛的论证，当 $n$ 是偶数时，结论是不能嵌入。所以 $S^2$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^2$ 中。
直观理解：$S^2$ 是一个“有界”的、二维的曲面。 $mathbb{R}^2$ 是一个“无限扩张”的平面。如果我们要把 $S^2$ 映射到 $mathbb{R}^2$ 并且保持“形状”，这是可能的。例如，我们可以把 $S^2$ 的一部分“压扁”到 $mathbb{R}^2$ 中。但是，这里“嵌入”的要求非常严格，需要保持 $S^2$ 本身的拓扑结构和维度。更重要的是，嵌入还需要满足微分几何的要求，例如切触向量丛的结构。
$S^2$ 是一个紧致空间，$mathbb{R}^2$ 是一个非紧致空间。与 $S^1$ 的例子一样，紧致空间不能嵌入到非紧致空间中。因此，$S^2$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^2$ 中。
更一般的结论 (黎曼猜想相关，但此处更基础的拓扑学已经足够)：
一个 $k$ 维球面 $S^k$ 不能 被嵌入到 $m$ 维欧式空间 $mathbb{R}^m$ 中，如果 $k geq m$。
您的原问题是“n维球面不能嵌入n维欧式空间”。如果这里的“n维球面”指的是 $S^n$ (在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中定义的n维球面)，那么 $k=n$。想嵌入到 $mathbb{R}^n$，那么 $m=n$。所以 $k geq m$ 的情况是 $n geq n$，这是成立的。
所以，证明的核心在于：
1. 紧致性冲突: 如果我们讨论的是 $S^n$ (在 $mathbb{R}^{n+1}$ 中定义的n维球面，它是紧致的) 嵌入到 $mathbb{R}^n$ (非紧致的)，那么紧致性就会导致矛盾。
2. 切触向量丛结构: 对于偶数维球面 $S^n$ ($n$ 为偶数)，其切触向量丛的结构 (表现为特征类非零) 与 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛的结构 (平凡的，特征类为零) 不兼容，因此无法嵌入。
如果您对“n维球面”的定义有不同的理解，请澄清，我可以提供更精确的证明。例如，有时候人们会把“n维的物体”放在一个更大的空间中，例如一个n维的超立方体。
但是，按照数学上最标准的定义，当谈论“n维球面”时，我们通常是指 $S^n$，它是一个 $n$ 维的流形。而“嵌入到n维欧式空间”就是指嵌入到 $mathbb{R}^n$。
简而言之，一个 n 维球面 $S^n$ 不能嵌入到 n 维欧式空间 $mathbb{R}^n$ 中，因为：
若 $n ge 1$，$S^n$ 是紧致的，而 $mathbb{R}^n$ 是非紧致的。任何同胚（嵌入是同胚）会保持紧致性，因此 $S^n$ 不能嵌入到 $mathbb{R}^n$。
（更深入的理由，尤其当人们不强调紧致性，或者问的是子流形嵌入时）当 $n$ 是偶数时，$S^n$ 的切触向量丛具有非零的特征类，而 $mathbb{R}^n$ 的切触向量丛特征类全为零，这种拓扑上的不一致性使得嵌入不可能发生。
希望这个详细的解释能够帮助您理解这个问题！
网友意见
利用同调长正合序列可以找出矛盾.
假如 维球面 能嵌入 维欧式空间 , 嵌入为 , 那么我们有同调长正合列:
不过我们知道 , , 这就得到了 的矛盾.
所以说 维球面 不能嵌入 维欧式空间 .
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