扔硬币游戏，有可能收益不为0吗？
扔硬币游戏，能不能赚钱？这个问题听起来很简单，但细究起来，还挺有意思的。尤其是当你开始想，“能不能让这个游戏不止是运气，还能有点技术或者说策略，从而有收益呢？”
我们先从最最最基础的“公平的硬币”说起。
公平硬币：理论上的零收益
在大多数情况下，我们脑海中的扔硬币游戏，都是假设硬币是绝对公平的。也就是说，正面（比如“人头”）和反面（比如“数字”）出现的概率是完全相等的，各占50%。
假设你和朋友玩一个约定：一人出10块钱，然后扔硬币。谁猜对，谁就拿走全部20块钱。
你赢的概率： 50%
你输的概率： 50%
如果你玩很多很多次，根据大数定律，你的赢的次数和输的次数会越来越接近。
每次赢： 你获得10块钱（赢回自己的10块，再赢朋友的10块）
每次输： 你损失10块钱（输掉自己的10块）
平均下来，你每次游戏的净收益是：
(0.5 10 块) + (0.5 10 块) = 5 块 5 块 = 0 块。
所以，在公平硬币、且双方规则完全对等的情况下，理论上你的长期收益是零。你不可能靠这个游戏持续赚钱，也不会持续亏钱。它更像是一种娱乐，一种随机事件的模拟。
那什么时候，或者说在什么情况下，收益才可能不为零呢？
这里面就有门道了，我们可以从几个不同的角度来分析：
1. 硬币本身“不公平”
这是最直接的让收益不为零的方式。
硬币的物理属性： 理论上，一个硬币并非完美对称。它的材质、重量分布、边缘的磨损程度，都可能导致它在落地弹跳后，倾向于落在某一面。当然，这种偏差通常非常非常小，小到在一般的游戏里几乎可以忽略不计。但是，如果有一个“作弊”的硬币，比如故意做得很重的一边，或者有一个微小的凹槽，那么它可能不是50/50的概率。
例子： 假设一个硬币，扔出去正面朝上的概率是60%，反面是40%。
如果你是正面那一面，并且知道这个情况，每次你猜正面，你的期望收益就是 (0.6 10 块) + (0.4 10 块) = 6 块 4 块 = 2 块。 这样你就能赢钱了。
反之，如果你不知道，并且总是猜反面，那你就可能会输钱。
如何发现并利用不公平硬币？ 这需要非常大量的重复试验，并且进行统计分析。如果你怀疑硬币不公平，那就记录下每一次扔的结果，看看哪一面出现的频率更高。然后你就可以针对性地去押注。
2. 游戏规则的设计
即使硬币是公平的，游戏规则的设置也能改变收益。
不对等的赌注：
例子1： 你和朋友玩，每次你押10块，朋友押20块。如果猜对，你赢对方的20块；如果猜错，你输掉自己的10块。
你赢的概率：50% (赢20块)
你输的概率：50% (输10块)
你的期望收益：(0.5 20 块) + (0.5 10 块) = 10 块 5 块 = 5 块。
在这种情况下，你作为押注少的一方，反而有收益。
例子2： 轮流猜。第一轮你猜正面，朋友猜反面，赢者拿走所有赌注。第二轮，你猜反面，朋友猜正面。如果每次押注金额不同，结果也会不一样。
“庄家”的优势（赌场思维）： 很多时候，游戏组织者（庄家）会设置一个微小的规则优势，即使是看似公平的随机游戏，长期下来也能保证庄家盈利。
例子： 假设一个游戏是扔硬币，猜对赢。但每次游戏，组织者会从总赌金里抽取“手续费”或者“开门费”，比如5%。
你和朋友各押10块，总共20块。组织者抽走5%（1块钱），剩下19块给赢家。
你赢的概率50%，赢19块。你输的概率50%，输10块。
你的期望收益：(0.5 19 块) + (0.5 10 块) = 9.5 块 5 块 = 4.5 块。
等一下，这里算的还是玩家的期望。我们算庄家：庄家每次抽走1块钱。如果每天有100个人玩，庄家就有100块的净收益。
再仔细算玩家的期望：每次游戏，你押10块，赢了拿19块，输了拿0块（庄家抽走了1块）。
期望收益：(0.5 (1910)) + (0.5 (010)) = (0.5 9) + (0.5 10) = 4.5 5 = 0.5 块。
所以，在这种有手续费的情况下，玩家的期望收益是负的，庄家有正的收益。
3. 扔硬币的“技巧”或“控制”（极少可能，但理论上探讨）
这是最容易被误解但又最吸引人的部分。很多人会好奇，能不能通过某种“技术”来控制硬币的走向？
物理控制： 确实有一些研究（比如麻省理工学院的教授就做过相关实验）表明，如果扔硬币的人经过训练，对力度、旋转速度、起跳高度等参数有极高的控制力，是有可能稍微提高某种结果出现的概率的。
举个例子： 理论上，如果一个人能以几乎完全相同的动作扔硬币，并且能够让它落地后弹跳不超过一次（比如落在桌子上），那么这种“受控”的扔法，其结果的随机性会比随意扔要小。
但这有多大用？ 即使是经过训练的人，也很难把正面出现的概率提高到非常高的水平，比如70%以上。可能能提高到55%或60%就已经很了不起了。而且，这需要非常刻意的练习和专注。在实际的游戏场合，你很难有这样的机会和环境去训练和施展。
所以，靠这个赚钱？ 除非你是专门研究这个的，并且有设备去分析和控制，否则在普通的“扔硬币”游戏里，这是非常非常难以实现的。而且，如果被对方发现你在“作弊”（即使是物理上的），那游戏就没法继续了。
心理控制： 有些人相信，通过集中精神、或者某种心理暗示，可以影响硬币的走向。但从科学角度来说，这并没有证据支持。我们能感知到的“运气好”或“运气差”，更多是短期内的随机波动。
4. 信息不对称
在现实生活中，很多“扔硬币”的场景，可能还掺杂了其他信息。
提前知道结果： 比如，如果你是那个放硬币的人，并且在扔之前就已经看到了结果，那你肯定能赚钱。
了解对手： 知道对手的习惯、他会如何猜测，有时也能带来一些心理上的优势，但这不算直接的收益。
总结一下，扔硬币游戏，能不能收益不为零？
理论上（公平硬币，无规则操纵）： 长期来看，收益是零。
实际上（可能收益不为零的情况）：
硬币不公平： 这是最直接的方式。
游戏规则设计： 比如不对等的赌注，或者有“庄家”收取手续费，这时庄家有正收益，玩家平均收益为负。
物理技巧： 极少数经过专业训练的人，可能能微弱地改变概率，但这在普通游戏场景下非常难以实现且难以维系。
所以，如果你只是和朋友随便玩玩，抱着娱乐的心态，那么就是个运气游戏。但如果有人想通过“扔硬币”来“赚钱”，那背后一定有某种“不公平”的因素存在，要么是硬币本身，要么是规则，要么是隐藏的操纵。就像赌博一样，如果看起来“太好赚钱了”，那往往是因为你还没看清它背后隐藏的风险和规则。
我们先从最最最基础的“公平的硬币”说起。
公平硬币：理论上的零收益
在大多数情况下，我们脑海中的扔硬币游戏，都是假设硬币是绝对公平的。也就是说，正面（比如“人头”）和反面（比如“数字”）出现的概率是完全相等的，各占50%。
假设你和朋友玩一个约定：一人出10块钱，然后扔硬币。谁猜对，谁就拿走全部20块钱。
你赢的概率： 50%
你输的概率： 50%
如果你玩很多很多次，根据大数定律，你的赢的次数和输的次数会越来越接近。
每次赢： 你获得10块钱（赢回自己的10块，再赢朋友的10块）
每次输： 你损失10块钱（输掉自己的10块）
平均下来，你每次游戏的净收益是：
(0.5 10 块) + (0.5 10 块) = 5 块 5 块 = 0 块。
所以，在公平硬币、且双方规则完全对等的情况下，理论上你的长期收益是零。你不可能靠这个游戏持续赚钱，也不会持续亏钱。它更像是一种娱乐，一种随机事件的模拟。
那什么时候，或者说在什么情况下，收益才可能不为零呢？
这里面就有门道了，我们可以从几个不同的角度来分析：
1. 硬币本身“不公平”
这是最直接的让收益不为零的方式。
硬币的物理属性： 理论上，一个硬币并非完美对称。它的材质、重量分布、边缘的磨损程度，都可能导致它在落地弹跳后，倾向于落在某一面。当然，这种偏差通常非常非常小，小到在一般的游戏里几乎可以忽略不计。但是，如果有一个“作弊”的硬币，比如故意做得很重的一边，或者有一个微小的凹槽，那么它可能不是50/50的概率。
例子： 假设一个硬币，扔出去正面朝上的概率是60%，反面是40%。
如果你是正面那一面，并且知道这个情况，每次你猜正面，你的期望收益就是 (0.6 10 块) + (0.4 10 块) = 6 块 4 块 = 2 块。 这样你就能赢钱了。
反之，如果你不知道，并且总是猜反面，那你就可能会输钱。
如何发现并利用不公平硬币？ 这需要非常大量的重复试验，并且进行统计分析。如果你怀疑硬币不公平，那就记录下每一次扔的结果，看看哪一面出现的频率更高。然后你就可以针对性地去押注。
2. 游戏规则的设计
即使硬币是公平的，游戏规则的设置也能改变收益。
不对等的赌注：
例子1： 你和朋友玩，每次你押10块，朋友押20块。如果猜对，你赢对方的20块；如果猜错，你输掉自己的10块。
你赢的概率：50% (赢20块)
你输的概率：50% (输10块)
你的期望收益：(0.5 20 块) + (0.5 10 块) = 10 块 5 块 = 5 块。
在这种情况下，你作为押注少的一方，反而有收益。
例子2： 轮流猜。第一轮你猜正面，朋友猜反面，赢者拿走所有赌注。第二轮，你猜反面，朋友猜正面。如果每次押注金额不同，结果也会不一样。
“庄家”的优势（赌场思维）： 很多时候，游戏组织者（庄家）会设置一个微小的规则优势，即使是看似公平的随机游戏，长期下来也能保证庄家盈利。
例子： 假设一个游戏是扔硬币，猜对赢。但每次游戏，组织者会从总赌金里抽取“手续费”或者“开门费”，比如5%。
你和朋友各押10块，总共20块。组织者抽走5%（1块钱），剩下19块给赢家。
你赢的概率50%，赢19块。你输的概率50%，输10块。
你的期望收益：(0.5 19 块) + (0.5 10 块) = 9.5 块 5 块 = 4.5 块。
等一下，这里算的还是玩家的期望。我们算庄家：庄家每次抽走1块钱。如果每天有100个人玩，庄家就有100块的净收益。
再仔细算玩家的期望：每次游戏，你押10块，赢了拿19块，输了拿0块（庄家抽走了1块）。
期望收益：(0.5 (1910)) + (0.5 (010)) = (0.5 9) + (0.5 10) = 4.5 5 = 0.5 块。
所以，在这种有手续费的情况下，玩家的期望收益是负的，庄家有正的收益。
3. 扔硬币的“技巧”或“控制”（极少可能，但理论上探讨）
这是最容易被误解但又最吸引人的部分。很多人会好奇，能不能通过某种“技术”来控制硬币的走向？
物理控制： 确实有一些研究（比如麻省理工学院的教授就做过相关实验）表明，如果扔硬币的人经过训练，对力度、旋转速度、起跳高度等参数有极高的控制力，是有可能稍微提高某种结果出现的概率的。
举个例子： 理论上，如果一个人能以几乎完全相同的动作扔硬币，并且能够让它落地后弹跳不超过一次（比如落在桌子上），那么这种“受控”的扔法，其结果的随机性会比随意扔要小。
但这有多大用？ 即使是经过训练的人，也很难把正面出现的概率提高到非常高的水平，比如70%以上。可能能提高到55%或60%就已经很了不起了。而且，这需要非常刻意的练习和专注。在实际的游戏场合，你很难有这样的机会和环境去训练和施展。
所以，靠这个赚钱？ 除非你是专门研究这个的，并且有设备去分析和控制，否则在普通的“扔硬币”游戏里，这是非常非常难以实现的。而且，如果被对方发现你在“作弊”（即使是物理上的），那游戏就没法继续了。
心理控制： 有些人相信，通过集中精神、或者某种心理暗示，可以影响硬币的走向。但从科学角度来说，这并没有证据支持。我们能感知到的“运气好”或“运气差”，更多是短期内的随机波动。
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理论上（公平硬币，无规则操纵）： 长期来看，收益是零。
实际上（可能收益不为零的情况）：
硬币不公平： 这是最直接的方式。
游戏规则设计： 比如不对等的赌注，或者有“庄家”收取手续费，这时庄家有正收益，玩家平均收益为负。
物理技巧： 极少数经过专业训练的人，可能能微弱地改变概率，但这在普通游戏场景下非常难以实现且难以维系。
所以，如果你只是和朋友随便玩玩，抱着娱乐的心态，那么就是个运气游戏。但如果有人想通过“扔硬币”来“赚钱”，那背后一定有某种“不公平”的因素存在，要么是硬币本身，要么是规则，要么是隐藏的操纵。就像赌博一样，如果看起来“太好赚钱了”，那往往是因为你还没看清它背后隐藏的风险和规则。
网友意见
谢谢邀请。
如果每次扔硬币的概率严格为50%，那么事前的期望收益一定是0，但是有一种情况，如果扔硬币的概率是随机的，其期望值为50%（我们可以假定存在一个不可观测，不可控制的变量叫做“手气”），那么如果你长期采用这样一个策略 "一直扔硬币，直到扔出一次反面为止”，那么你最终是可以赚取到一点正利润的；反之，如果你采用的是“一直扔，直到扔出一次正面为止”那么你是可能会亏钱的。
分割线之后是数学证明，其背后的逻辑很简单，当你手气不好的时候，你会早早的扔出一次反面，结束自己的这次游戏从而避免更多的损失，而当你手气很好的时候，你有更大的概率会多扔几次，从而更好的利用了自己手气好的短暂时光。如果不从数学的角度出发，就经济学来说，我们可以通过每次扔出正反面作为一个信号，根据这个信号来更新自己对手气的推测，从而只在自己手气好的时候多玩。
所以在概率本身是随机的情况下，“不撞南墙不回头”比“见好就收”是更加理性的策略。这也是我玩三国杀OL的时候提高自己胜率的一个策略：如果一直在赢，就一直玩下去，只要输了一场，当天就不玩了。这个策略可以让自己显示在屏幕上的数字稍微的高过一点自己真实的长期平均水平。
我们假定每次扔硬币，反面向上的概率是随机的，满足一个连续且可导的分布 ,其有一个密度函数 :
那么，一直扔扔到反面游戏结束，你扔的总次数为
其中反面的次数恒定为1，因为我们的策略就是扔到反面为止，所以根据柯西不等式，正面的次数的期望是大于反面次数的期望的：
当概率恒定为1/2，不随机的时候，上面的不等式坍缩为等式。
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