数学应该如何自学？
想把数学这门学问啃下来，靠自己摸索，说实话，一开始确实有点摸不着门道。但别怕，这就像闯关打怪，只要方法对了，你会发现数学的世界其实比想象中要精彩得多。我来跟你唠唠，我当年是怎么一步步把数学学起来的，希望能给你点启发。
第一步：心态放平，找准你的“为什么”
首先，别把数学想得太吓人。好多人一看到符号、公式就打退堂鼓，觉得那是天才的游戏。其实，数学就像一种语言，一种描述世界规律的语言。你不需要一开始就想成为数学家，但你想想，生活中的很多事情，从最简单的收银找零，到复杂的科学技术，背后都有数学的身影。是为了更清晰地理解世界？是为了更好地解决问题？还是仅仅为了满足自己的好奇心？找到这个“为什么”，它会是你学习路上的“精神食粮”。
第二步：从基础开始，一点一点夯实
我当初就是犯了这个错，想着直接跳到高等数学，结果磕磕绊绊，很多概念都理解不了。后来我才明白，数学这玩意儿，基础真的太重要了。
小学数学： 别嫌弃它简单。加减乘除、分数、小数、百分比、基本的几何图形……这些是构建你所有数学大厦的基石。如果你觉得小学内容已经生疏了，找本小学数学教材，或者在网上找一些基础数学的教学视频，过一遍，确保自己能扎实掌握。比如，理解分数和小数的相互转换，这是后面学代数的基础。
初中数学（代数和几何）： 这是一次质的飞跃。方程、不等式、函数、几何的定理（勾股定理、相似三角形等）……这些是真正开始“思考”数学的地方。
代数： 重点在于理解变量和方程的意义。解方程不是死记硬背步骤，而是理解“未知数”是如何通过运算被“揭示”出来的。函数呢？想象成一个“加工厂”，输入一个数，经过一系列操作，输出另一个数。画出函数的图像，能帮你直观地理解它的变化规律。
几何： 几何更考验空间想象力和逻辑推理。多画图，用尺子和圆规辅助，亲手画出定理的图形，比干巴巴地看文字要管用得多。证明题呢？一开始会觉得无从下手，但你要学着去分解问题，找出已知条件和待证明结论之间的联系。
高中数学（函数、数列、三角、概率、解析几何）： 这部分会更抽象，也更深入。
函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，理解它们的性质、图像和变换。
数列： 等差数列、等比数列，理解它们的通项公式和求和公式。
三角： 三角函数的定义、单位圆、诱导公式、和角公式……这些是解很多问题的关键。
概率： 随机事件、概率计算、期望……这是统计学的基础。
解析几何： 直线、圆、圆锥曲线，用坐标来描述几何图形，是代数和几何的完美结合。
第三步：怎么学？方法比时间更重要
光是看书做题是不够的，得“动”起来。
1. 找靠谱的学习资源：
教材： 任何一个版本的教材都可以，比如国内常见的“人教版”、“北师大版”等，它们都经过了市场的检验。关键是找到适合你风格的。
在线课程/视频： 这是现在自学最方便的途径。
国内： B站上有大量的优质数学教学视频，搜索“小学数学”、“初中数学”、“高中数学”加上具体知识点，总能找到讲得清晰易懂的up主。比如，“李永乐老师”讲得就很有趣。
国外： Khan Academy（可汗学院）是个宝藏，从基础到高等，应有尽有，而且是免费的。Coursera、edX 上也有很多大学的数学公开课，虽然可能语速快点，但内容质量很高。
练习题： 教材的课后习题是必做的。另外，可以找一些经典的学习辅导书，但别贪多，选一两本评价好的，把里面的题目吃透。
2. 理解，不是死记硬背：
追根溯源： 遇到一个公式，别只记住它怎么用，试着去理解它为什么是这样的。比如，导数的定义，它是怎么来的？牛顿和莱布尼茨是怎么想的？了解这些，你的理解会更深刻。
举一反三： 学完一个知识点，尝试用不同的例子去套用，或者思考它能解决哪些问题。
画图辅助： 尤其是几何和函数，画图能极大地帮助理解。用草稿纸把题目里的图形画出来，标记已知条件，你会发现很多解题思路就“画”出来了。
3. 做题，但要做“好”题：
精做不求多： 做一道题，不是为了得到答案，而是为了理解解题思路。把做错的题，或者当时觉得难的题，整理在一个本子上，反复看，直到自己能独立做出来。
错题本是你的“宝藏”： 每次做完一套题，一定要回顾错题。分析为什么错，是概念不清？是计算失误？还是思路没想对？把这些原因写下来，下次遇到类似的题目，就能避免犯同样的错误。
不要怕难题： 碰到难题，一开始没思路很正常。先读题，找出关键词，画图，回忆相关的知识点，尝试不同的方法。即使最后没做出来，思考的过程也是非常有价值的。
4. 学会“讲”给别人听：
找个小伙伴，或者对着墙壁（真的！），把自己学到的知识点讲出来。当你需要组织语言，清晰地解释一个概念时，你会发现自己对这个知识点的理解程度是怎样的。那些说不清楚的地方，就是你真正需要加强的地方。
第四步：坚持和耐心，这是最重要的“秘籍”
循序渐进，不要急： 罗马不是一天建成的，数学也是。每天花一点时间，哪怕半小时，比一次性学好几个小时，然后放弃要有效得多。
遇到瓶颈怎么办？ 这是必然会遇到的。
休息一下： 有时候大脑需要放松。
换个角度： 找其他资料，看别人是怎么讲这个知识点的，也许就能豁然开朗。
回溯基础： 有时候不是新知识有问题，而是之前的某个基础没打牢。
提问： 如果有条件，可以去一些在线论坛（比如知乎、Stack Exchange 等）提问，或者加入一些学习社群。
第五步：扩展你的数学视野
当你掌握了一定的基础后，可以尝试接触一些更广阔的数学领域：
趣味数学： 看看一些数学家的传记，或者关于数学史的书籍，了解数学是如何发展起来的，数学家们的故事。
应用数学： 了解数学在物理、工程、计算机、金融等领域的应用，这会让你觉得数学更有用。
数学竞赛题： 如果你有兴趣，可以尝试一些奥赛题，它们能锻炼你的思维深度和灵活性。
总结一下，自学数学的关键在于：
1. 端正心态： 把数学当作一种工具和语言。
2. 夯实基础： 从易到难，步步为营。
3. 找对方法： 理解为主，多动脑，多动手。
4. 持之以恒： 坚持是最终的胜利者。
这条路会有些孤独，但当你真正理解了一个数学难题，或者发现自己能够用数学解决一个问题时，那种成就感是无与伦比的。加油！你完全可以做到！
第一步：心态放平，找准你的“为什么”
首先，别把数学想得太吓人。好多人一看到符号、公式就打退堂鼓，觉得那是天才的游戏。其实，数学就像一种语言，一种描述世界规律的语言。你不需要一开始就想成为数学家，但你想想，生活中的很多事情，从最简单的收银找零，到复杂的科学技术，背后都有数学的身影。是为了更清晰地理解世界？是为了更好地解决问题？还是仅仅为了满足自己的好奇心？找到这个“为什么”，它会是你学习路上的“精神食粮”。
第二步：从基础开始，一点一点夯实
我当初就是犯了这个错，想着直接跳到高等数学，结果磕磕绊绊，很多概念都理解不了。后来我才明白，数学这玩意儿，基础真的太重要了。
小学数学： 别嫌弃它简单。加减乘除、分数、小数、百分比、基本的几何图形……这些是构建你所有数学大厦的基石。如果你觉得小学内容已经生疏了，找本小学数学教材，或者在网上找一些基础数学的教学视频，过一遍，确保自己能扎实掌握。比如，理解分数和小数的相互转换，这是后面学代数的基础。
初中数学（代数和几何）： 这是一次质的飞跃。方程、不等式、函数、几何的定理（勾股定理、相似三角形等）……这些是真正开始“思考”数学的地方。
代数： 重点在于理解变量和方程的意义。解方程不是死记硬背步骤，而是理解“未知数”是如何通过运算被“揭示”出来的。函数呢？想象成一个“加工厂”，输入一个数，经过一系列操作，输出另一个数。画出函数的图像，能帮你直观地理解它的变化规律。
几何： 几何更考验空间想象力和逻辑推理。多画图，用尺子和圆规辅助，亲手画出定理的图形，比干巴巴地看文字要管用得多。证明题呢？一开始会觉得无从下手，但你要学着去分解问题，找出已知条件和待证明结论之间的联系。
高中数学（函数、数列、三角、概率、解析几何）： 这部分会更抽象，也更深入。
函数： 幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，理解它们的性质、图像和变换。
数列： 等差数列、等比数列，理解它们的通项公式和求和公式。
三角： 三角函数的定义、单位圆、诱导公式、和角公式……这些是解很多问题的关键。
概率： 随机事件、概率计算、期望……这是统计学的基础。
解析几何： 直线、圆、圆锥曲线，用坐标来描述几何图形，是代数和几何的完美结合。
第三步：怎么学？方法比时间更重要
光是看书做题是不够的，得“动”起来。
1. 找靠谱的学习资源：
教材： 任何一个版本的教材都可以，比如国内常见的“人教版”、“北师大版”等，它们都经过了市场的检验。关键是找到适合你风格的。
在线课程/视频： 这是现在自学最方便的途径。
国内： B站上有大量的优质数学教学视频，搜索“小学数学”、“初中数学”、“高中数学”加上具体知识点，总能找到讲得清晰易懂的up主。比如，“李永乐老师”讲得就很有趣。
国外： Khan Academy（可汗学院）是个宝藏，从基础到高等，应有尽有，而且是免费的。Coursera、edX 上也有很多大学的数学公开课，虽然可能语速快点，但内容质量很高。
练习题： 教材的课后习题是必做的。另外，可以找一些经典的学习辅导书，但别贪多，选一两本评价好的，把里面的题目吃透。
2. 理解，不是死记硬背：
追根溯源： 遇到一个公式，别只记住它怎么用，试着去理解它为什么是这样的。比如，导数的定义，它是怎么来的？牛顿和莱布尼茨是怎么想的？了解这些，你的理解会更深刻。
举一反三： 学完一个知识点，尝试用不同的例子去套用，或者思考它能解决哪些问题。
画图辅助： 尤其是几何和函数，画图能极大地帮助理解。用草稿纸把题目里的图形画出来，标记已知条件，你会发现很多解题思路就“画”出来了。
3. 做题，但要做“好”题：
精做不求多： 做一道题，不是为了得到答案，而是为了理解解题思路。把做错的题，或者当时觉得难的题，整理在一个本子上，反复看，直到自己能独立做出来。
错题本是你的“宝藏”： 每次做完一套题，一定要回顾错题。分析为什么错，是概念不清？是计算失误？还是思路没想对？把这些原因写下来，下次遇到类似的题目，就能避免犯同样的错误。
不要怕难题： 碰到难题，一开始没思路很正常。先读题，找出关键词，画图，回忆相关的知识点，尝试不同的方法。即使最后没做出来，思考的过程也是非常有价值的。
4. 学会“讲”给别人听：
找个小伙伴，或者对着墙壁（真的！），把自己学到的知识点讲出来。当你需要组织语言，清晰地解释一个概念时，你会发现自己对这个知识点的理解程度是怎样的。那些说不清楚的地方，就是你真正需要加强的地方。
第四步：坚持和耐心，这是最重要的“秘籍”
循序渐进，不要急： 罗马不是一天建成的，数学也是。每天花一点时间，哪怕半小时，比一次性学好几个小时，然后放弃要有效得多。
遇到瓶颈怎么办？ 这是必然会遇到的。
休息一下： 有时候大脑需要放松。
换个角度： 找其他资料，看别人是怎么讲这个知识点的，也许就能豁然开朗。
回溯基础： 有时候不是新知识有问题，而是之前的某个基础没打牢。
提问： 如果有条件，可以去一些在线论坛（比如知乎、Stack Exchange 等）提问，或者加入一些学习社群。
第五步：扩展你的数学视野
当你掌握了一定的基础后，可以尝试接触一些更广阔的数学领域：
趣味数学： 看看一些数学家的传记，或者关于数学史的书籍，了解数学是如何发展起来的，数学家们的故事。
应用数学： 了解数学在物理、工程、计算机、金融等领域的应用，这会让你觉得数学更有用。
数学竞赛题： 如果你有兴趣，可以尝试一些奥赛题，它们能锻炼你的思维深度和灵活性。
总结一下，自学数学的关键在于：
1. 端正心态： 把数学当作一种工具和语言。
2. 夯实基础： 从易到难，步步为营。
3. 找对方法： 理解为主，多动脑，多动手。
4. 持之以恒： 坚持是最终的胜利者。
这条路会有些孤独，但当你真正理解了一个数学难题，或者发现自己能够用数学解决一个问题时，那种成就感是无与伦比的。加油！你完全可以做到！
网友意见
自学的目的可以说既有掌握新的方法技巧也有吸收新的想法，但是总的来说，目的只有一个，就是发现自己已有的知识体系不足以解决想要解决的问题，所以需要加以扩充。
至于抄书，当然是一个方法，比如前面有人提到的某著名数学家的例子。特别是在刚开始学习，知识体系还没有完全建立，一些基本的方法和习惯还没有养成的时候，的确是一个可行的方法。
但是这个方法是有它的局限性和缺点的。
所谓局限性就是它对于偏分析的那些强调比较硬的可以一步一步实现的技巧性的数学比较适用的。因为这种类型的数学你写下来的过程是能够相对忠实的反映你的思维过程的，而且那些具体的细节和技巧你以后也的确会用到。
但是对于那些偏代数的，它们主要靠的是你的思维过程，而你能看到的写下来的是思维的结果，在这种类型的数学里，这两个并不是完全一致的。抄书的效果就会差一些。
至于缺点，当然就是容易被细节淹没，不知所措，到最后除了一堆细节上的东西，对整体知之甚少，或者更甚一步，连那些细节是要干什么都不清楚。
想要避免这些，比抄书更好的方式就是重现和模仿。重现简单来说就是，合上书，自己独立完成定理的证明。这个时候你会不得不思考它的这个逻辑链条是怎么样的，每一个step是怎么样得出的，是为了什么目的，用了什么技巧和方法，从而真正理解证明。
至于模仿，则是仿照定理的证明，改变一些条件或者要求，看看能得出什么结论，或者说简单一些的，就定理的内容，具体操作一些非平凡的例子。这样你就会比较清晰的理解这个定理到底是干什么的，你会在什么时候需要用到它或者和它类似的东西。
当然了，就像我之前说的，这些方法主要对偏分析的数学比较有用。
至于偏代数的数学。我要知道的话很大可能我就不做现在这个方向了。
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