有哪些令人为之惊叹的数学题目？

第 题——

年，第 届全国天原杯数学奥林匹克竞赛开始，由全国初三学生参赛。这是其中一条证明题。

原题是文字表述的：已知 是 的倍数， 是小于 的正整数，求所有符合条件的 所累加的和。

我现在用数学符号表示题目和解法。

已知：

求：

解：令

则

因为 是奇数，所以 是 的倍数。

当 时， 和 都不是 的倍数。

当 时， 和 也都不是 的倍数。

所以 ，所以 既是 的倍数也是 的倍数。

所以

因为 ，所以

所以

鸣谢 @庄笑衍 提供解法。

第 题——正整数倒数平方和

求证：

我来说明我相信这个证明的理由。

第一步， 的根集确实是 ，无论是否展开成泰勒级数，这个根集始终不变。

第二步，构造一个有限项的整式方程，这个整式方程与 无关，且项数有限，根据韦达定理推导出，该整式方程的所有根的倒数和恒等于 ，无论项数多少，它都是 。

第三步，令项数趋向于无穷大， 始终不变，然而那个多项式却变成了泰勒级数。

被质疑的当然是第三步，然而我是相信它的。无论 是多少， 恒定， 是常数列。那 在 时，肯定不会变，不然极限的定义是什么？恰好当 的时候，泰勒级数就出现了。

鸣谢 @mast 的合理质疑。我特意去搜了下欧拉原来的证明，原来欧拉用的是无穷积，并且没有把 替换成

欧拉原来是这样求解的：

因为 的根是 ，所以

两边二次项系数相等，所以

所以

我愣了一下。对无穷和分解成无穷积，对无穷积使用结合律。

鸣谢 @handsome丶丶 提出的合理要求，应该补充傅里叶级数。

第 题——狗分骨头

7条狗一起去捡骨头，捡了好多，但是这些骨头不能均等的分为7份（即不能被7整除），于是他们决定休息一下再决定怎么分。但是，在休息过程中，第1条狗悄悄的跑过去吃了1根骨头，发现余下的骨头刚好可以分为7份，它就拿掉了其中的七分之一；然后，第2狗也悄悄的吃了1根骨头，发现余下的骨头也恰好可以分为7份，它也拿掉了其中的七分之一；依次类推，剩下的第3，4，5，6，7条狗都悄悄的跑过去吃1根骨头，然后余下的骨头都能均分为7份，拿掉其中的七分之一。问这些骨头至少有多少根？第7条狗拿过之后还剩下多少根？

完全用大白话来描述的数学题，很像小学生题目。我是用高中数列知识解开的，（也可以把骨头数转换成七进制数来计算）。骨头数量超过十万，像小学生那样用数值一个一个的试，那是完全没有任何结果的。涉及的数列知识并不难，我分享这题的理由是要告诉大家应用数学的一个特点——对应用问题建立数学模型，比解决模型中的问题还要难。有些同学，让他解方程，他就觉得轻而易举；但是如果让他为应用题列方程，他就要哭了。其实列方程比解方程更难，难在不好找数量关系。数学模型的建立，也是需要一定的数学功底的。

更新日期： 年 月 日

第 题——

工作忙，更新比较慢。以后更新我都会添加日期，之前的我忘记日期了。

我看见此问题下有人回答 ，评论区还有人争论。其实这纯粹是极限问题，现在我就用极限的定义证明 ，证明如下：（我的主页封面就是极限定义）

这个证明好像有点烦，其实有非常简单的证明，证明如下：

设 ，则 ，两式相减得 ，所以

不理解的人认为不能这么计算，理由是小数点后最后一个 没有被减掉。这种说法当然是错误的，因为无穷级数根本不存在最后一项！

以前有一个悖论， ，悖论由错位相减法产生。

假设

错位

相加

所以

同理可证所有数都相等，因为：

假设

错位

相减

所以

o(*￣︶￣*)o，搞笑不？O(∩_∩)O哈哈~

初学者必须记住，发散的级数不适用错位相减法，也不适用交换律与结合律。所以计算极限必须确定级数收敛。（证明从略）。 与 都是发散的，所以不适用错位相减法。 是收敛的，所以可以用错位相减法。

级数的极限被定义为数列前 项和的极限。所以：

如果

错位

相减

所以

最后

（极限理论向来是民科的重灾区！）

第 题——狗分骨头升级版

之前讲了那个狗分骨头的题目，使用迭代运算得到了数列的通项公式。现在我又遇到了一个更麻烦的迭代，并且算到后面我才发现题目隐藏了一个泰勒级数。

鸣谢 @Joker辰 提供题目。

我的迭代过程以及引用泰勒级数的过程如下。

第 题——猜数游戏。

我想起了以前玩过的猜数游戏（原名为猜心游戏）。请看这 张卡片：

甲：我们玩个游戏，我可以猜出你心中所想的数。

乙：怎么玩？

甲：看这6张卡片，哪张卡片上有你心中所想的数，把它们都挑出来。

乙：我挑好了，就这几张，难道你真的慢慢找吗？

甲：你心中的数是……

乙：你找的真快。

猜数方法：包含某个数的所有卡片上的最小的数（卡片左上角的数）的和一定等于这个数。

数的排列规律我已经找到了，我可以根据此规律写出任意张卡片，这里只写了 张卡片。

数的排列规律：

1. 有 张卡片，名称为 ；
2. 对于任意自然数 ，卡片 上有 个公差为 的等差数列，数列名称为 ；
3. 任意自然数 ，数列 的首项是 ，并且有 项。

根据数的排列规律，利用数学归纳法可以证明猜数方法。证明如下：（简略证明）

• 当 时，仅有一张卡片 ，仅有一个数 ，选中 时有 ，猜数方法成立。
• 如果当 时，猜数方法成立。即，有 张卡片 ，数 的选择范围是 ，所有包含 的卡片，其最小数之和等于 。
• 那么当 时，则新增一张卡片 ，卡片 的数构成集合 ，其它卡片都新增了集合 内的部分数。数 的选择范围扩充为 。选中的 ，若 ，则与 时相同，猜数方法成立；若 ，则仅有卡片 有这个数，猜数方法成立；若 ，且 ，则令 ，必然 ，所有包含 的卡片，其最小数之和等于 ，恰好 ，猜数方法成立。
• 综合上述，无论有多少卡片，猜数方法成立。

鸣谢 @形瞳 提供证明。

更新日期： 年 月 日

第 题——归谬。

曾经在奥数考卷上看过这一条选择题，以下四个选项中，伪命题是哪个？

那三个真命题我已经忘记了，我只记住了这个伪命题。因为答案的归谬有点吵架的感觉。

伪命题：若底数与指数都是无理数，则幂必然是无理数。如何证伪？

证伪：因为 是无理数，所以令 ，若 不是无理数，则原命题已经证伪。

若 是无理数，则 不是无理数，原命题也已经证伪。归谬完毕！

第 题——消失的面积。

数学不能靠直觉，你以为下面的正方形能裁剪成长方形吗？以前见过平面图形重新拼接后面积发生变化的例子，不用数学推理一下就不知道真相。

左边正方形如果标准，那么面积是 ，但不能像图中那样裁剪成长方形。

号三角形斜边斜率 ， 号梯形斜边斜率 ，所以 号与 号不能拼成三角形。

其中的数学思想是：变换后、计算前，你必须先证明你的变换是恒等的。

第 题——求初中生的心理阴影面积有多大！

之前说列方程比解方程更难，遭到质疑。我在此鸣谢 @xiaolanshen 的合理质疑，让我想起了此题。其实，让你解方程，就已经告诉你需要求什么了；然而让你列方程，偏偏让你自己找变量。类似于爱因斯坦说的：发现问题比解决问题更难。接下来我用一题说明一下。

这是我在百度知道上看到的题目，原题描述：“已知正方形的边长为 ，求阴影面积。”图中就只有一个正方形、三条弧线、一块阴影区域。这题没有关键字，也就不能被搜索；我当时也没回答这题，我现在也搜索不了。原题描述如此简单，我刚开始还以为是小学生的题目，算到后面才发现，其实这是初中题。

图中字母都是我自己加的，那五条辅助线 都是我自己画的。中位线 大家都想得到，但是其它辅助线不好找，这才是本题难点。找不到辅助线，也就写不出方程，体会到列方程的难度了吧！

作出辅助线以后，根据勾股定理写出方程：

这个二元二次方程组不难解，得到：

， ， ，

这四条线段很重要。

感受到初中生的绝望了吗？

这题扔给高中生做也不太好做，部分高中生联想不到建系→函数→积分，就算想到了积分，也不会积分。

扔给大学生做简直是十分无聊啊！完全机械化的积分过程完美解决这题。

更新日期： 年 月 日

第 题（已删）

更新日期： 年 月 日

之前部分题目已经被我删掉了，以后可能还会再删掉一些，并且我不再保留删除痕迹（不会留言“这里原本是XXX，现在删除。”），至于评论区对被删题目的评论，就由它留在那吧！

有些公式排版欠佳，那是因为我玩知乎没多久，我不知道知乎有LaTeX语法，当我知道这个以后，我已经写了比较多字了，懒得改。(*/ω＼*)以后我公式排版尽可能美观一些。

第 题——连分。

已知： 。求： 。

我被邀请解答这个题，但是这个题已经被关闭了，不允许添加回答。

最正经的解法当然去分母，然后得到一个一元四次方程。有四个根：一个自然数，一个无理数，一对共轭虚数。然而这是个初中题，用高次方程或许欠妥。

这个连分是收敛的，当迭代次数足够多时，数值变化率就非常小了。即，再迭代一次，数值几乎没有变化，所以可以这么投机取巧：

再迭代一次，数值几乎不变。

然后

所以

可以这么想，初中题，需要投机取巧，可能有自然数解，那就 慢慢凑呗！罒ω罒

大胆假设 ，那么 是真分数， 是带分数，带分数的倒数是真分数。所以，原式倒一下：

，得到

再倒一下： ，得到

再倒一下： ，得到 ，最后一倒

更新日期： 年 月 日

第 题——球体积是球表面积的积分。

被邀请回答：以半径为自变量时，为什么圆周长（球表面积）是圆面积（球体积）的导数？

①已知圆周长 和圆半径 满足 ，求证圆面积 。

证明：以圆心为极点作极坐标系和微圆环，其内半径为 ，外半径为 。

那么，微圆环的面积为 。

也就是说，微圆环面积等于其内周长与宽度之积。

将所有微圆环面积累加即得到圆面积，也就是从 到 对 进行积分。

。证毕！

所以，以圆半径为自变量时，圆周长是圆面积的导数。即 。

②已知球表面积 和球半径 满足 ，求证球体积 。

证明：以球心为原点作球坐标系和微球壳，内半径为 ，外半径为 。

那么，微球壳的体积为 。

也就是说，微球壳体积等于其内表面积与厚度之积。

将所有微球壳体积累加即得到球体积，也就是从 到 对 进行积分。

。证毕！

所以，以球半径为自变量时，球表面积是球体积的导数。即 。

注意，以上证明过程，不能以 和 为依据，否则沦为循环论证。

当 时，二重积分元趋向于长方形。那么，

，其实引用了长方形面积公式。

当 时，三重积分元趋向于长方体。那么，

，其实引用了长方体体积公式。（证明省略。）

其实以前学物理的时候也有这样的实例。位移的导数是速度，速度的导数是加速度，加速度的导数是加加速度，……。原来历史上，Isaac Newton就用位移的导数定义速度的……

更新日期： 年 月 日

第 题——偷换单位一

现在玩玩小学生的题目吧！放松一下大脑。

这是偷换单位一的题目，相信这个题目大家在上小学的时候都见过。

有人死了，遗产仅 头牛，留下了 封遗嘱。 个儿子根据遗嘱分配遗产，有规则 条。

、大儿子分配 ，二儿子分配 ，三儿子分配 。

、牛必须都是活的！

第 条规则令人头疼， 是质数，按比例分配，每个人都会得到被解剖的死牛，这可如何是好啊？邻居知道后，就送死者 头牛，然后 个儿子分配 头牛。大儿子得到 头牛，二儿子得到 头牛，三儿子得到 头牛，还剩 头牛又被邻居牵回去了。

当时我是一脸懵逼的，单位一被偷换了啊。原来的单位一是 ，后来的单位一是 。后来我才知道比例有问题。 。原来，还剩 遗产没有被遗嘱交代。其实，这个邻居就是编写这个故事的作者，此题如果翻译成数学题就是：已知 ，求 。此题唯一解是 。每个儿子都得到了比遗嘱比例更多的遗产，并且所有牛都是活的。

停更三连：好久没有更新了——不想再更新了——以后更新估计有减无增了——

最后推荐一文，用定积分反向确定不定积分，由变限积分函数确定不定积分。

各位求极限不要随意拆分函数。

今天是： 年 月 日。我又回来了，不知不觉发现超 赞了。

第 题（已删）

今天是： 年 月 日。知友告诉我，这回答被推荐了，难怪 赞了！

其实我能写这回答，不只是我一个人的功劳，而是大家的功劳。感谢给我提供题目的知友，感谢给我提供解法的知友，感谢提出合理质疑的知友，感谢给我指正错误的知友。我还要感谢每一个点赞的知友。对此回答有贡献的知友，都被我 了，他们有些是在评论区给建议，有些是私信给建议，都是为了让回答内容更好。还有一些没有被我 的，我在这里一并感谢了。

此回答内容中，超一半是中小学题目，但是却很偏，甚至难于上青天，这就是“为之惊叹”的地方：现在的孩子们都学那么难吗？看来我们 后老叔叔老阿姨都已经 了！

对于中小学的题目，我解题是尽可能地不超纲。例如第 题，用二次曲线积分容易得解，但是我偏偏走弯路，仅用初中几何知识解开。求初中生的心理阴影面积有多大！

现在我回来看了一下，顺便完善了回答，完善的地方有：

1. 所有以文本形式出现的公式，都改为用LeTex语法，三角符号和微分号改为正体。
2. 所有题目加上题号，涉及大学内容则后缀“大学”。如有删除，题号不变。
3. 重写第 题，避免循环论证。第 题和第 题用略解，“美妙证法这里写不下”。
4. 修改书写错误。

我既然回来更新了，那就再玩一题小学生题目：找规律填数字。

第 题——找规律填数字。

找规律填数字：

填 是对的，但是这空其实你想填什么都行， 都行， 也行，我填 。

想要详细了解的，请点击这里：

我要睡觉了，下次再见了！

第 题（已删）

第 题——求函数表达式。

今天是 年 月 日，我真的好久没有回来了，多少个月了！

中学数学试卷上有道选择题。题目：若 ，则 。四个选项中仅有一个函数符合题意： 。做这条选择题的最佳策略当然是用选项中的函数代入检验。这条题作为选择题，考查的是学生对函数符号 的理解。

但是，数学三问：有解吗？多少解？什么解？

我用构造法解这题，结果发现 有无限多个，此题不仅仅是多解，更是无穷解！

假设 的定义域是 ，且 。

现在构建函数 。

任找 ，约定点 在曲线 上，则点 必然也在曲线 上。其中 是全体整数，可正可负可为零。

作这些区间 。对于 ，必然 。

内作任意曲线 ，要求 ，直线 与曲线 有唯一交点。

将 的所有点都映射到 ，映射关系为 。

将此过程无限进行下去，得到的曲线约定为 的右支。

以同样的方法构建 的左支。

约定 。

则得到 完整图象。

其中，

是定义在 内的任意函数， 是任找的正数。

是定义在 内的任意函数， 是任找的负数。

所以明显看出 有无穷多个。

而且从构建过程来看， 很可能不是初等函数，因为构建步骤无穷多。

这里 的一般性还不够强，考虑到 的其它取值还会有其它情况。

“小题大做”的学生最恐怖了！

今天是 年 月 日，我好久没有回来了。

今天的更新：

1. 所有题号后面的“大学”标记去除，数学知识没必要严格按照学校区分。
2. 删除第 题和第 题。老规矩，我不会声明被删除的是什么内容。
3. 文中部分内容删减。

第 题——鸡兔同笼。

现在讲一下经典的“鸡兔同笼”问题，小学生的题目。

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？

没必要写线性方程组，可以很简单地解出。

如果所有兔子都站起来，那么兔子就和鸡一样都是 只脚了。上面有 个头，那么下面就有 个脚，和原来的 个脚相差 个脚。每个兔子都少了 个脚，那么少了 个脚就表示有 个兔子。那么鸡有 个。

得解！

更新日期： 年 月 日，删除第 题。

第 题——

这道题出现在初一的数学课本的练习题上，就在讲多项式的那一章。老师并未讲解此题，也没有学生主动去问，考试也不会考。

这题当然不是硬算那么暴力。其实我心算这题所花的时间不超过 秒！不需要草稿纸、铅笔、橡皮擦。

大家跟我一起心算，只需三步：

第一步， 个 相加就是 。心中记下 。

第二步，从 到 的平方和就是 ，心算一位数的平方和应该把能加成整十数的数先加。现在的 加上之前的 得到 。心中忘记 ，记住 。记住最新的数，遗忘以前的数，可以减少心算的脑力负担。

第三步，从 加到 就是 ，这样的等差数列很好心算吧。 的 倍就是 。现在的 加上之前的 得到 。算完！

别看我写得繁琐，我用这个过程心算没有超过 秒。

原理是什么？既然是多项式的章节，那肯定跟多项式四则运算有关。

引用的公式为

列出一些初等数学范围内就可解决的比较有意思的问题：

【1】阿基米德割圆术

数列 、 ，满足： ， ， ， .

求数列 、 的通项公式.

这题应该是一道联赛题改的，如果你能想到三角换元法，就不难做了，，具体解法有不少种，见：

一道高中数学数列题的解答

这题有意思的地方在于，它实际上是2000多年前阿基米德使用割圆术计算 的时候用到的递推式， 是圆的外切正 边形的周长与圆直径的比值， 是圆的内接正 边形的周长与圆直径的比值

【2】江西高考数学

证明：

（1）对任意正整数 ，存在正整数 （ ），使得 成等差数列.

（2）存在无穷多个互不相似的三角形 ，使得其边长 为正整数，且 构成等差数列.

这题是2010年江西高考数学的压轴题，还是有点意思的，虽然当初坑了很多考生.

这题的命题背景也很有意思，源自数学中一个尚未解决的猜想，见：

哪些高端大气的数学定理可以简洁地证明高中数学压轴题和大轴题？

【3】斐波那契数列

一枚均匀的硬币掷 次，求不连续出现正面的可能情形有多少种.

这个问题很有意思，你可以纯粹用递推数列的方法来求，也可以用组合的意义来求

用这两种不同方法求解的时候，还可以顺便得到一个恒等式：

其中数列 是Fibonacci数列

关于Fibonacci数列的有趣性质有很多，比如有个很初等但并不怎么好证明的性质：它只有1和144两项是完全平方数，除此之外Fibonacci数列中再无完全平方数.

【4】数论问题

证明：存在2019个不同的自然数，使得任取它们中的两个数 ，均有 成立.

（ 是 和 的最大公因子）

这是数学归纳法的一个应用

【5】空间切割

在一个 维欧几里得空间中，有 个 维的超平面（该 维欧几里得空间的子空间）

证明这些超平面最多可把该 维空间分割成 份.（ ）

这题也是数学归纳法的一个应用

【6】Catalan数

有这么一系列问题：

某个不满足结合律的乘法运算，对任意加括号，能得到多少种不同的乘法方案？

有 个叶子的完全二叉树的个数为多少？

在一个凸边形中，通过插入内部不相交的对角线将其分成一些三角形区域，有多少种不同分法？

这一系列问题都涉及到Catalan数，关于它的推导，通常的组合数学、离散数学教材里用的都是母函数法.

实际上，它还是可以用初等的数学归纳法求解，见：

在2n个顺序摆放的盒子中填充n个白球和n个黑球，要求任取前m个盒子，其中黑球数目不少于白球？

【7】泰勒定理

某汽车从某点由静止开始沿直线行驶，经历时间 后走完了全程（并静止），移动距离为

证明汽车的加速度的大小，至少在某一瞬间不小于

这是Taylor展开的一个简单应用