如何评价 V. I. Arnold 的文章《On Teaching Mathematics》？
弗拉基米尔·阿诺德（Vladimir Arnold）的《论数学教学》（On Teaching Mathematics）是一篇振聋发聩、观点鲜明、充满作者独特洞察力的文章。它不仅仅是对数学教育的评论，更是阿诺德本人数十年数学研究和教学实践的精华提炼。评价这篇文章，需要深入理解他的教育理念、他对数学本质的看法，以及他所处的时代背景。
阿诺德的教育哲学：为什么他认为“教什么”比“怎么教”更重要？
这篇文章最核心、也最可能引起争议的观点之一，是阿诺德强调“教什么”的重要性远超“怎么教”。这似乎与当前流行的“教学方法论”风潮相悖。但理解阿诺德的出发点至关重要。
对数学本质的深刻理解： 阿诺德是一位杰出的几何学家，他认为数学是一种语言，一种用来描述世界、揭示宇宙规律的工具。它不是一套孤立的、机械的计算技巧，而是一种思考方式，一种能够帮助我们理解抽象概念、建立逻辑联系的能力。他认为，许多现代的数学教学过于关注“如何”解题，例如各种具体的解题技巧、算法，却忽视了这些技巧背后所代表的深刻思想和几何直观。
“工具”与“理解”的辩证法： 阿诺德并非否认教学方法的重要性。相反，他认为，如果学生不理解数学的本质和它所能提供的“工具”，再好的教学方法也只是空中楼阁。他常常用“工具”来比喻数学概念和定理，例如微积分、向量等。他认为，重要的不是学生能熟练地使用这些工具（虽然这也是必要的），而是他们能够理解这些工具是如何诞生的，它们解决了什么问题，以及它们在更广阔的数学世界中扮演的角色。
抵制“平庸化”的教育： 阿诺德对当时（以及现在）许多数学教育中存在的“平庸化”趋势深恶痛绝。他认为，教育应该激发学生的创造力，培养他们的好奇心，而不是将他们训练成只会应试的“机器”。当教学内容被简化、剥离了其历史背景和深层含义时，数学就失去了它的魅力，变得枯燥乏味。
他对“什么是好的数学教学”的独特见解：
基于上述理念，阿诺德对好的数学教学提出了许多发人深省的观点：
1. 重视几何直观和形象思维： 阿诺德是几何的忠实拥趸。他坚信，几何直观是理解数学概念的关键。许多抽象的代数概念，如果能通过几何图形和空间想象来理解，将变得更加清晰和易于掌握。他批评那种过度依赖形式演算、忽视几何“图片”的教学方法。他认为，数学的很多美丽恰恰体现在其几何的直观性上。
2. 强调数学的“历史性”和“发展性”： 阿诺德认为，数学并非凭空产生，而是人类智慧在漫长历史中不断探索、碰撞、演进的结果。理解数学概念是如何被发现、如何随着时间推移而发展的，有助于学生理解这些概念的意义和价值。他反对将数学知识视为静态的、现成的教条。
3. 鼓励“错误”和“探索”： 阿诺德认为，犯错误是学习的必经之路。重要的不是避免犯错，而是从错误中学习，理解错误产生的原因。他鼓励学生进行探索，提出问题，即使这些问题看起来“愚蠢”或“不成熟”。他认为，真正的数学学习是一个不断质疑、尝试、修正的过程。
4. 批判“解题技巧至上”的教学： 他对那些过度强调“如何解题”而忽视“为什么这么解”的教学方法持批评态度。他认为，学生应该理解数学概念和定理的逻辑结构和内在联系，而不是仅仅记住一套解题公式。他会用生动形象的例子来揭示某些“技巧”的局限性，以及它们背后隐藏的更深刻的数学原理。
5. 数学是一种“游戏”，一种“艺术”： 阿诺德常常将数学比作一种高雅的游戏或一种创造性的艺术。他认为，数学的乐趣在于发现规律、解决难题、创造新的模型。他希望学生能够体验到这种乐趣，而不是将其视为一种枯燥的任务。
文章的写作风格和语言魅力：
阿诺德的文章并非一本刻板的教育理论著作，而是充满了个人色彩的议论。
生动而具有冲击力的语言： 他的文字充满了活力和力量，常常使用比喻、类比、甚至是略带戏谑的语言来表达自己的观点。他不会回避直接的批判，而是用一种“刀子般”的尖锐来剖析问题。
个人经历和轶事的穿插： 文章中不时穿插他自己的学习经历、教学经历，以及他对其他数学家思想的评价，这使得文章更加生动有趣，也更容易让读者感受到他的情感和立场。
对“好”的数学家的定义： 阿诺德在文中也 implicit or explicit 地定义了他心目中的“好”的数学家。这些人通常具备强大的直觉，能够看到事物的本质，并且不畏惧挑战权威。他希望数学教育能够培养出这样的人。
对这篇文章的评价和影响：
《On Teaching Mathematics》的影响是深远且多维度的：
对数学教育的反思： 这篇文章促使许多数学教育者重新审视当前的教学模式，反思是否过于注重技巧而忽视了数学的本质和魅力。它鼓励了一种“回归数学本源”的思考。
对学生的影响： 对于那些阅读了这篇文章的学生来说，如果他们能够理解阿诺德的观点，可能会对学习数学产生新的视角，更加主动地去探索数学的深度和广度。
争议与启示： 当然，阿诺德的观点并非没有争议。有人会认为他过于强调“直觉”而忽视了“严谨”，或者认为他的教学理念在当前标准化考试的压力下难以实施。然而，即使是这些争议，也正是文章价值的体现——它能够引发深入的思考和讨论。
需要注意的时代背景和文化差异：
在评价阿诺德的文章时，我们也需要考虑到他所处的时代和苏联（及后来的俄罗斯）的教育体系。苏联时期的数学教育以其严谨和深度闻名，培养了无数杰出的数学家。阿诺德的观点很大程度上是在这种背景下形成的，他是在原有基础上进行“再深化”和“再革命”。
总结：
总而言之，V. I. Arnold 的《On Teaching Mathematics》是一篇具有里程碑意义的文章。它以其深刻的洞察力、鲜明的观点和充满力量的语言，挑战了许多传统的数学教学观念。阿诺德告诉我们，数学的真正价值在于它能够赋予我们理解世界、解决问题的能力，在于它所包含的优美思想和逻辑艺术。他呼吁教育者们不要仅仅传授“如何做”，更要引导学生理解“为什么这么做”，并且享受数学本身的乐趣。这篇论文不仅是对数学教学的讨论，更是一位伟大数学家对人类智力发展和文化传承的深切关怀的体现。它鼓励我们去思考，去探索，去发现数学的真正魅力。
阿诺德的教育哲学：为什么他认为“教什么”比“怎么教”更重要？
这篇文章最核心、也最可能引起争议的观点之一，是阿诺德强调“教什么”的重要性远超“怎么教”。这似乎与当前流行的“教学方法论”风潮相悖。但理解阿诺德的出发点至关重要。
对数学本质的深刻理解： 阿诺德是一位杰出的几何学家，他认为数学是一种语言，一种用来描述世界、揭示宇宙规律的工具。它不是一套孤立的、机械的计算技巧，而是一种思考方式，一种能够帮助我们理解抽象概念、建立逻辑联系的能力。他认为，许多现代的数学教学过于关注“如何”解题，例如各种具体的解题技巧、算法，却忽视了这些技巧背后所代表的深刻思想和几何直观。
“工具”与“理解”的辩证法： 阿诺德并非否认教学方法的重要性。相反，他认为，如果学生不理解数学的本质和它所能提供的“工具”，再好的教学方法也只是空中楼阁。他常常用“工具”来比喻数学概念和定理，例如微积分、向量等。他认为，重要的不是学生能熟练地使用这些工具（虽然这也是必要的），而是他们能够理解这些工具是如何诞生的，它们解决了什么问题，以及它们在更广阔的数学世界中扮演的角色。
抵制“平庸化”的教育： 阿诺德对当时（以及现在）许多数学教育中存在的“平庸化”趋势深恶痛绝。他认为，教育应该激发学生的创造力，培养他们的好奇心，而不是将他们训练成只会应试的“机器”。当教学内容被简化、剥离了其历史背景和深层含义时，数学就失去了它的魅力，变得枯燥乏味。
他对“什么是好的数学教学”的独特见解：
基于上述理念，阿诺德对好的数学教学提出了许多发人深省的观点：
1. 重视几何直观和形象思维： 阿诺德是几何的忠实拥趸。他坚信，几何直观是理解数学概念的关键。许多抽象的代数概念，如果能通过几何图形和空间想象来理解，将变得更加清晰和易于掌握。他批评那种过度依赖形式演算、忽视几何“图片”的教学方法。他认为，数学的很多美丽恰恰体现在其几何的直观性上。
2. 强调数学的“历史性”和“发展性”： 阿诺德认为，数学并非凭空产生，而是人类智慧在漫长历史中不断探索、碰撞、演进的结果。理解数学概念是如何被发现、如何随着时间推移而发展的，有助于学生理解这些概念的意义和价值。他反对将数学知识视为静态的、现成的教条。
3. 鼓励“错误”和“探索”： 阿诺德认为，犯错误是学习的必经之路。重要的不是避免犯错，而是从错误中学习，理解错误产生的原因。他鼓励学生进行探索，提出问题，即使这些问题看起来“愚蠢”或“不成熟”。他认为，真正的数学学习是一个不断质疑、尝试、修正的过程。
4. 批判“解题技巧至上”的教学： 他对那些过度强调“如何解题”而忽视“为什么这么解”的教学方法持批评态度。他认为，学生应该理解数学概念和定理的逻辑结构和内在联系，而不是仅仅记住一套解题公式。他会用生动形象的例子来揭示某些“技巧”的局限性，以及它们背后隐藏的更深刻的数学原理。
5. 数学是一种“游戏”，一种“艺术”： 阿诺德常常将数学比作一种高雅的游戏或一种创造性的艺术。他认为，数学的乐趣在于发现规律、解决难题、创造新的模型。他希望学生能够体验到这种乐趣，而不是将其视为一种枯燥的任务。
文章的写作风格和语言魅力：
阿诺德的文章并非一本刻板的教育理论著作，而是充满了个人色彩的议论。
生动而具有冲击力的语言： 他的文字充满了活力和力量，常常使用比喻、类比、甚至是略带戏谑的语言来表达自己的观点。他不会回避直接的批判，而是用一种“刀子般”的尖锐来剖析问题。
个人经历和轶事的穿插： 文章中不时穿插他自己的学习经历、教学经历，以及他对其他数学家思想的评价，这使得文章更加生动有趣，也更容易让读者感受到他的情感和立场。
对“好”的数学家的定义： 阿诺德在文中也 implicit or explicit 地定义了他心目中的“好”的数学家。这些人通常具备强大的直觉，能够看到事物的本质，并且不畏惧挑战权威。他希望数学教育能够培养出这样的人。
对这篇文章的评价和影响：
《On Teaching Mathematics》的影响是深远且多维度的：
对数学教育的反思： 这篇文章促使许多数学教育者重新审视当前的教学模式，反思是否过于注重技巧而忽视了数学的本质和魅力。它鼓励了一种“回归数学本源”的思考。
对学生的影响： 对于那些阅读了这篇文章的学生来说，如果他们能够理解阿诺德的观点，可能会对学习数学产生新的视角，更加主动地去探索数学的深度和广度。
争议与启示： 当然，阿诺德的观点并非没有争议。有人会认为他过于强调“直觉”而忽视了“严谨”，或者认为他的教学理念在当前标准化考试的压力下难以实施。然而，即使是这些争议，也正是文章价值的体现——它能够引发深入的思考和讨论。
需要注意的时代背景和文化差异：
在评价阿诺德的文章时，我们也需要考虑到他所处的时代和苏联（及后来的俄罗斯）的教育体系。苏联时期的数学教育以其严谨和深度闻名，培养了无数杰出的数学家。阿诺德的观点很大程度上是在这种背景下形成的，他是在原有基础上进行“再深化”和“再革命”。
总结：
总而言之，V. I. Arnold 的《On Teaching Mathematics》是一篇具有里程碑意义的文章。它以其深刻的洞察力、鲜明的观点和充满力量的语言，挑战了许多传统的数学教学观念。阿诺德告诉我们，数学的真正价值在于它能够赋予我们理解世界、解决问题的能力，在于它所包含的优美思想和逻辑艺术。他呼吁教育者们不要仅仅传授“如何做”，更要引导学生理解“为什么这么做”，并且享受数学本身的乐趣。这篇论文不仅是对数学教学的讨论，更是一位伟大数学家对人类智力发展和文化传承的深切关怀的体现。它鼓励我们去思考，去探索，去发现数学的真正魅力。
网友意见
谢邀。
Arnold在数学教育方面的文章我看过一些，他一个最具有争议性的观点是“数学是物理的一部分”——我想大部分纯数学家不能接受这种带有浓厚鄙视链色彩的表述。。他也一直强调从直观（尤其是物理直观）角度来理解数学，而不是公理化、形式化的逻辑推导。
对于他的观点，我不赞同也不反对。我认为数学界就应该有多种声音，不同的风格；Arnold也好，Bourbaki风格也好，都是数学大家庭的有益组成部分。不同人肯定有自己偏好的思维方式。我就不习惯Arnold式的思维方式。我看过他写的《经典力学的数学方法》，说实话非常难受，他定义微分形式和积分的方法看起来太“笨拙”了，我反而更能接受“余切丛的wedge product的截面”这种简洁明了的定义。当然我也能理解偏好物理式思维的人可能更喜欢Arnold风格的数学作品。如果数学界只有一种风格占压倒性优势，那对这个学科的发展是不利的。从不同的角度，不同的观点去看待同样的事物，有时候会带来意想不到的结果。多样性是数学这门学科保持生机与活力的重要条件。
我这两个礼拜正好在听北大动力系统的课，老师提到Furstenburg将动力系统、遍历论的方法引入数论研究，取得了一系列用算术几何的方法很难达到的结果——比如Green-Tao关于 素数中存在任意长等差数列 的证明其实是这种思想的延伸。他说这是和Weil-Grothendieck那一套算术几何的方法完全不同的另一套解决数论问题的思路，而且本质上来源于物理（Poincare回归，Birkhoff回归）。对我来说也是第一次了解到这种新思路，还是很有意思的。所以数学界如果能对不同的学派、不同的思想更“包容”一些，相互借鉴，其实是可以创造出更好的结果的。无论是Arnold的“直观数学”还是Bourbaki的“公理化封装”，我觉得都不应该在数学界占据排他性的支配地位，各取所长才是最好的。
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