问题

如何评价 V. I. Arnold 的文章《On Teaching Mathematics》?

回答
弗拉基米尔·阿诺德(Vladimir Arnold)的《论数学教学》(On Teaching Mathematics)是一篇振聋发聩、观点鲜明、充满作者独特洞察力的文章。它不仅仅是对数学教育的评论,更是阿诺德本人数十年数学研究和教学实践的精华提炼。评价这篇文章,需要深入理解他的教育理念、他对数学本质的看法,以及他所处的时代背景。

阿诺德的教育哲学:为什么他认为“教什么”比“怎么教”更重要?

这篇文章最核心、也最可能引起争议的观点之一,是阿诺德强调“教什么”的重要性远超“怎么教”。这似乎与当前流行的“教学方法论”风潮相悖。但理解阿诺德的出发点至关重要。

对数学本质的深刻理解: 阿诺德是一位杰出的几何学家,他认为数学是一种语言,一种用来描述世界、揭示宇宙规律的工具。它不是一套孤立的、机械的计算技巧,而是一种思考方式,一种能够帮助我们理解抽象概念、建立逻辑联系的能力。他认为,许多现代的数学教学过于关注“如何”解题,例如各种具体的解题技巧、算法,却忽视了这些技巧背后所代表的深刻思想和几何直观。
“工具”与“理解”的辩证法: 阿诺德并非否认教学方法的重要性。相反,他认为,如果学生不理解数学的本质和它所能提供的“工具”,再好的教学方法也只是空中楼阁。他常常用“工具”来比喻数学概念和定理,例如微积分、向量等。他认为,重要的不是学生能熟练地使用这些工具(虽然这也是必要的),而是他们能够理解这些工具是如何诞生的,它们解决了什么问题,以及它们在更广阔的数学世界中扮演的角色。
抵制“平庸化”的教育: 阿诺德对当时(以及现在)许多数学教育中存在的“平庸化”趋势深恶痛绝。他认为,教育应该激发学生的创造力,培养他们的好奇心,而不是将他们训练成只会应试的“机器”。当教学内容被简化、剥离了其历史背景和深层含义时,数学就失去了它的魅力,变得枯燥乏味。

他对“什么是好的数学教学”的独特见解:

基于上述理念,阿诺德对好的数学教学提出了许多发人深省的观点:

1. 重视几何直观和形象思维: 阿诺德是几何的忠实拥趸。他坚信,几何直观是理解数学概念的关键。许多抽象的代数概念,如果能通过几何图形和空间想象来理解,将变得更加清晰和易于掌握。他批评那种过度依赖形式演算、忽视几何“图片”的教学方法。他认为,数学的很多美丽恰恰体现在其几何的直观性上。
2. 强调数学的“历史性”和“发展性”: 阿诺德认为,数学并非凭空产生,而是人类智慧在漫长历史中不断探索、碰撞、演进的结果。理解数学概念是如何被发现、如何随着时间推移而发展的,有助于学生理解这些概念的意义和价值。他反对将数学知识视为静态的、现成的教条。
3. 鼓励“错误”和“探索”: 阿诺德认为,犯错误是学习的必经之路。重要的不是避免犯错,而是从错误中学习,理解错误产生的原因。他鼓励学生进行探索,提出问题,即使这些问题看起来“愚蠢”或“不成熟”。他认为,真正的数学学习是一个不断质疑、尝试、修正的过程。
4. 批判“解题技巧至上”的教学: 他对那些过度强调“如何解题”而忽视“为什么这么解”的教学方法持批评态度。他认为,学生应该理解数学概念和定理的逻辑结构和内在联系,而不是仅仅记住一套解题公式。他会用生动形象的例子来揭示某些“技巧”的局限性,以及它们背后隐藏的更深刻的数学原理。
5. 数学是一种“游戏”,一种“艺术”: 阿诺德常常将数学比作一种高雅的游戏或一种创造性的艺术。他认为,数学的乐趣在于发现规律、解决难题、创造新的模型。他希望学生能够体验到这种乐趣,而不是将其视为一种枯燥的任务。

文章的写作风格和语言魅力:

阿诺德的文章并非一本刻板的教育理论著作,而是充满了个人色彩的议论。

生动而具有冲击力的语言: 他的文字充满了活力和力量,常常使用比喻、类比、甚至是略带戏谑的语言来表达自己的观点。他不会回避直接的批判,而是用一种“刀子般”的尖锐来剖析问题。
个人经历和轶事的穿插: 文章中不时穿插他自己的学习经历、教学经历,以及他对其他数学家思想的评价,这使得文章更加生动有趣,也更容易让读者感受到他的情感和立场。
对“好”的数学家的定义: 阿诺德在文中也 implicit or explicit 地定义了他心目中的“好”的数学家。这些人通常具备强大的直觉,能够看到事物的本质,并且不畏惧挑战权威。他希望数学教育能够培养出这样的人。

对这篇文章的评价和影响:

《On Teaching Mathematics》的影响是深远且多维度的:

对数学教育的反思: 这篇文章促使许多数学教育者重新审视当前的教学模式,反思是否过于注重技巧而忽视了数学的本质和魅力。它鼓励了一种“回归数学本源”的思考。
对学生的影响: 对于那些阅读了这篇文章的学生来说,如果他们能够理解阿诺德的观点,可能会对学习数学产生新的视角,更加主动地去探索数学的深度和广度。
争议与启示: 当然,阿诺德的观点并非没有争议。有人会认为他过于强调“直觉”而忽视了“严谨”,或者认为他的教学理念在当前标准化考试的压力下难以实施。然而,即使是这些争议,也正是文章价值的体现——它能够引发深入的思考和讨论。

需要注意的时代背景和文化差异:

在评价阿诺德的文章时,我们也需要考虑到他所处的时代和苏联(及后来的俄罗斯)的教育体系。苏联时期的数学教育以其严谨和深度闻名,培养了无数杰出的数学家。阿诺德的观点很大程度上是在这种背景下形成的,他是在原有基础上进行“再深化”和“再革命”。

总结:

总而言之,V. I. Arnold 的《On Teaching Mathematics》是一篇具有里程碑意义的文章。它以其深刻的洞察力、鲜明的观点和充满力量的语言,挑战了许多传统的数学教学观念。阿诺德告诉我们,数学的真正价值在于它能够赋予我们理解世界、解决问题的能力,在于它所包含的优美思想和逻辑艺术。他呼吁教育者们不要仅仅传授“如何做”,更要引导学生理解“为什么这么做”,并且享受数学本身的乐趣。这篇论文不仅是对数学教学的讨论,更是一位伟大数学家对人类智力发展和文化传承的深切关怀的体现。它鼓励我们去思考,去探索,去发现数学的真正魅力。

网友意见

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谢邀。

Arnold在数学教育方面的文章我看过一些,他一个最具有争议性的观点是“数学是物理的一部分”——我想大部分纯数学家不能接受这种带有浓厚鄙视链色彩的表述。。他也一直强调从直观(尤其是物理直观)角度来理解数学,而不是公理化、形式化的逻辑推导。

对于他的观点,我不赞同也不反对。我认为数学界就应该有多种声音,不同的风格;Arnold也好,Bourbaki风格也好,都是数学大家庭的有益组成部分。不同人肯定有自己偏好的思维方式。我就不习惯Arnold式的思维方式。我看过他写的《经典力学的数学方法》,说实话非常难受,他定义微分形式和积分的方法看起来太“笨拙”了,我反而更能接受“余切丛的wedge product的截面”这种简洁明了的定义。当然我也能理解偏好物理式思维的人可能更喜欢Arnold风格的数学作品。如果数学界只有一种风格占压倒性优势,那对这个学科的发展是不利的。从不同的角度,不同的观点去看待同样的事物,有时候会带来意想不到的结果。多样性是数学这门学科保持生机与活力的重要条件。

我这两个礼拜正好在听北大动力系统的课,老师提到Furstenburg将动力系统、遍历论的方法引入数论研究,取得了一系列用算术几何的方法很难达到的结果——比如Green-Tao关于 素数中存在任意长等差数列 的证明其实是这种思想的延伸。他说这是和Weil-Grothendieck那一套算术几何的方法完全不同的另一套解决数论问题的思路,而且本质上来源于物理(Poincare回归,Birkhoff回归)。对我来说也是第一次了解到这种新思路,还是很有意思的。所以数学界如果能对不同的学派、不同的思想更“包容”一些,相互借鉴,其实是可以创造出更好的结果的。无论是Arnold的“直观数学”还是Bourbaki的“公理化封装”,我觉得都不应该在数学界占据排他性的支配地位,各取所长才是最好的。

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