两数列合并后有什么性质？
两数列合并后，性质的改变与合并方式、原数列的性质息息相关。这就像把两堆积木拼在一起，最终的形状取决于你用什么方式去拼，以及你原本的积木有什么特点。下面我们就来详细掰扯掰扯。
一、 合并方式的决定性影响
首先，得明确是怎么“合并”的。这就像给两家人办婚礼，是各过各的但有联系，还是直接变成一家人？
直接连接（Concatenation）： 这是最简单粗暴的方式，就是把一个数列的尾巴接到另一个数列的头后面。
长度变化： 新数列的长度等于两个原数列长度之和。这点很直观，就像两串糖葫芦连起来，总长度肯定变长了。
元素顺序保留（局限性）： 如果你只是简单地把第一个数列的所有元素按顺序放完，再把第二个数列的所有元素按顺序放进去，那么在局部上，两个原数列的元素顺序是被保留的。但整体来看，第一个数列的最后一个元素和第二个数列的第一个元素之间不再有任何自然的联系，这种“连接”更多是一种物理上的拼接。
统计性质的转移与叠加：
总和： 新数列的总和等于两个原数列总和之和。
平均值： 新数列的平均值会介于两个原数列的平均值之间，具体值取决于两个数列的长度和各自的平均值。如果一个数列很长且平均值很高，另一个很短且平均值很低，那么合并后的平均值会更偏向长数列的平均值。
方差/标准差： 这就有点复杂了。简单叠加是不行的。合并后的方差会考虑两个数列各自的方差，以及它们之间的“距离”或“偏移量”。如果两个数列的平均值差异很大，即使各自方差不大，合并后的方差也可能显著增大。
最大值/最小值： 新数列的最大值是两个原数列最大值中的较大者，最小值则是较小者。这个比较好理解。
模式与规律： 如果原数列有某种特定的模式（比如等差、等比），直接连接后，这种模式只在原数列的内部才存在。在连接点处，模式很可能被打破。
排序合并（Merge）： 这个更像是两个有序数列变成一个更大的有序数列。
排序性： 如果两个原数列都是有序的（升序或降序），那么通过一个高效的合并算法（比如归并排序中的合并步骤），得到的新数列也一定是满足相同排序规则的有序数列。这是合并中最有用的性质之一，因为有序数据方便查找和处理。
元素分布： 合并后的数列会更加“紧凑”地分布在数值区间内。元素之间的间隔会更加均匀或有规律。
统计性质： 排序合并后，平均值、中位数等集中趋势的度量会更具代表性，因为数据已经被“整理”过。方差和标准差的变化也更可预测，通常不会像直接连接那样因为“跳跃”而过度增大。
交错合并（Interleaving）： 比如一个取一个，或者按某种规律从两个数列中抽取元素。
元素顺序改变： 原数列的内部元素顺序肯定会因为插入对方的元素而被打乱。
周期性/规律性： 如果交错方式有规律，新数列可能会呈现出某种新的周期性或模式。例如，ABABAB这样的模式就可能是由数列A和数列B交错形成的。
统计性质： 统计性质的变化更加难以预测，完全取决于交错的模式。可能会出现一些奇特的分布形状。
二、 原数列性质的遗留与演变
原数列本身的性质，会像基因一样影响合并后的数列。
数据类型： 如果两个数列都是数值型，合并后自然还是数值型。但如果一个是数值，一个是字符串，合并方式就得慎重考虑了，直接连接可能会得到一个混合类型序列，很多数学运算就无法进行了。
有序性： 如上所述，如果原数列有序，排序合并是产生有序新数列的关键。即使是直接连接，如果两个原数列本身有序，那么新数列在连接点之前的范围有序，连接点之后的范围也独立有序。
数据分布：
集中趋势（均值、中位数）： 合并后的均值和中位数会反映两个原数列的“平均水平”。
离散程度（方差、标准差）： 如果两个原数列都很分散，合并后很可能依然分散。如果一个集中一个分散，分散的那部分可能会拉高整体的离散度。
形状（偏度、峰度）： 如果原数列是正偏态的（右偏），合并后可能继续保持某种程度的偏态。两个正偏态数列合并，如果它们重叠部分多，可能依然是正偏态；如果它们分布区间差异大，可能出现双峰分布或者形状更复杂的分布。
异常值（Outliers）： 如果一个数列中存在异常值，它会被保留在合并后的数列中。如果另一个数列中也有异常值，或者一个数列的异常值与另一个数列的正常值相差很远，那么合并后的数列的离散程度会显著增加。
噪声： 如果原数列包含噪声（随机波动），这些噪声也会被合并进去。如果两个数列都有噪声，合并后的数列的信噪比可能会降低，或者噪声的模式发生改变。
重复元素： 如果原数列有重复元素，合并后这些重复元素依然存在。排序合并时，重复元素会聚集在一起，这对于某些分析很有用（比如计算频率）。
三、 合并后可能出现的“新”性质
除了原性质的叠加或演变，合并还可能催生出全新的性质：
双峰或多峰分布： 如果两个原数列的分布区间差异较大且没有太多重叠，合并后可能形成一个具有多个峰值的分布形态。这在数据分析中可以指示数据来自不同的子群体。
更宽的数值范围： 合并通常会扩大数据所在的数值区间。
更复杂的模式或周期性： 通过特定方式的合并（如交错），可能在原本不显眼的数列中“激发出”新的模式。
统计量的相互作用： 如前所述，方差、协方差等统计量在合并后会表现出复杂的相互作用，不再是简单的叠加。
降维或特征提取的可能性： 在某些机器学习场景下，将多个相关联的数列合并（或看作是多通道数据）是进行特征提取或降维的第一步。
总结来说，两数列合并后的性质，就像是两股水流汇合：
直接汇入（直接连接）： 水量相加，流速（平均值）可能在一个中间值附近波动，浑浊度（方差）取决于各自的浑浊度和汇合处的搅动。
有序汇入（排序合并）： 水流变得更加整齐，可能形成更平缓的波浪，水质（数据分布）得到净化。
交替汇入（交错合并）： 可能形成具有独特纹路的漩涡，原有的流速模式被打破，出现新的韵律。
理解合并后的性质，关键在于把握“合并方式”这个变量，以及“原数列特性”这个基础。它们共同决定了最终呈现出来的序列是更整齐划一，还是更加复杂多变。
一、 合并方式的决定性影响
首先，得明确是怎么“合并”的。这就像给两家人办婚礼，是各过各的但有联系，还是直接变成一家人？
直接连接（Concatenation）： 这是最简单粗暴的方式，就是把一个数列的尾巴接到另一个数列的头后面。
长度变化： 新数列的长度等于两个原数列长度之和。这点很直观，就像两串糖葫芦连起来，总长度肯定变长了。
元素顺序保留（局限性）： 如果你只是简单地把第一个数列的所有元素按顺序放完，再把第二个数列的所有元素按顺序放进去，那么在局部上，两个原数列的元素顺序是被保留的。但整体来看，第一个数列的最后一个元素和第二个数列的第一个元素之间不再有任何自然的联系，这种“连接”更多是一种物理上的拼接。
统计性质的转移与叠加：
总和： 新数列的总和等于两个原数列总和之和。
平均值： 新数列的平均值会介于两个原数列的平均值之间，具体值取决于两个数列的长度和各自的平均值。如果一个数列很长且平均值很高，另一个很短且平均值很低，那么合并后的平均值会更偏向长数列的平均值。
方差/标准差： 这就有点复杂了。简单叠加是不行的。合并后的方差会考虑两个数列各自的方差，以及它们之间的“距离”或“偏移量”。如果两个数列的平均值差异很大，即使各自方差不大，合并后的方差也可能显著增大。
最大值/最小值： 新数列的最大值是两个原数列最大值中的较大者，最小值则是较小者。这个比较好理解。
模式与规律： 如果原数列有某种特定的模式（比如等差、等比），直接连接后，这种模式只在原数列的内部才存在。在连接点处，模式很可能被打破。
排序合并（Merge）： 这个更像是两个有序数列变成一个更大的有序数列。
排序性： 如果两个原数列都是有序的（升序或降序），那么通过一个高效的合并算法（比如归并排序中的合并步骤），得到的新数列也一定是满足相同排序规则的有序数列。这是合并中最有用的性质之一，因为有序数据方便查找和处理。
元素分布： 合并后的数列会更加“紧凑”地分布在数值区间内。元素之间的间隔会更加均匀或有规律。
统计性质： 排序合并后，平均值、中位数等集中趋势的度量会更具代表性，因为数据已经被“整理”过。方差和标准差的变化也更可预测，通常不会像直接连接那样因为“跳跃”而过度增大。
交错合并（Interleaving）： 比如一个取一个，或者按某种规律从两个数列中抽取元素。
元素顺序改变： 原数列的内部元素顺序肯定会因为插入对方的元素而被打乱。
周期性/规律性： 如果交错方式有规律，新数列可能会呈现出某种新的周期性或模式。例如，ABABAB这样的模式就可能是由数列A和数列B交错形成的。
统计性质： 统计性质的变化更加难以预测，完全取决于交错的模式。可能会出现一些奇特的分布形状。
二、 原数列性质的遗留与演变
原数列本身的性质，会像基因一样影响合并后的数列。
数据类型： 如果两个数列都是数值型，合并后自然还是数值型。但如果一个是数值，一个是字符串，合并方式就得慎重考虑了，直接连接可能会得到一个混合类型序列，很多数学运算就无法进行了。
有序性： 如上所述，如果原数列有序，排序合并是产生有序新数列的关键。即使是直接连接，如果两个原数列本身有序，那么新数列在连接点之前的范围有序，连接点之后的范围也独立有序。
数据分布：
集中趋势（均值、中位数）： 合并后的均值和中位数会反映两个原数列的“平均水平”。
离散程度（方差、标准差）： 如果两个原数列都很分散，合并后很可能依然分散。如果一个集中一个分散，分散的那部分可能会拉高整体的离散度。
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异常值（Outliers）： 如果一个数列中存在异常值，它会被保留在合并后的数列中。如果另一个数列中也有异常值，或者一个数列的异常值与另一个数列的正常值相差很远，那么合并后的数列的离散程度会显著增加。
噪声： 如果原数列包含噪声（随机波动），这些噪声也会被合并进去。如果两个数列都有噪声，合并后的数列的信噪比可能会降低，或者噪声的模式发生改变。
重复元素： 如果原数列有重复元素，合并后这些重复元素依然存在。排序合并时，重复元素会聚集在一起，这对于某些分析很有用（比如计算频率）。
三、 合并后可能出现的“新”性质
除了原性质的叠加或演变，合并还可能催生出全新的性质：
双峰或多峰分布： 如果两个原数列的分布区间差异较大且没有太多重叠，合并后可能形成一个具有多个峰值的分布形态。这在数据分析中可以指示数据来自不同的子群体。
更宽的数值范围： 合并通常会扩大数据所在的数值区间。
更复杂的模式或周期性： 通过特定方式的合并（如交错），可能在原本不显眼的数列中“激发出”新的模式。
统计量的相互作用： 如前所述，方差、协方差等统计量在合并后会表现出复杂的相互作用，不再是简单的叠加。
降维或特征提取的可能性： 在某些机器学习场景下，将多个相关联的数列合并（或看作是多通道数据）是进行特征提取或降维的第一步。
总结来说，两数列合并后的性质，就像是两股水流汇合：
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有序汇入（排序合并）： 水流变得更加整齐，可能形成更平缓的波浪，水质（数据分布）得到净化。
交替汇入（交错合并）： 可能形成具有独特纹路的漩涡，原有的流速模式被打破，出现新的韵律。
理解合并后的性质，关键在于把握“合并方式”这个变量，以及“原数列特性”这个基础。它们共同决定了最终呈现出来的序列是更整齐划一，还是更加复杂多变。
网友意见
额...有个无聊的数列公式叫奇偶合并公式...
那么
你要说了,我又不是处女座,我就喜欢写分段函数,我要这个何用...
<del>当然有用,因为我是处女座啊~~摔...w(ﾟДﾟ)w<del>
Gunia,反正我不是处女座...
当然有用,因为这是一个很轻松的解析延拓方法...
- 再说一遍 是天堂模式, 是地狱模式...
- 解析数论吊打古典数论......
这个公式能将一个数论问题转化为一个函数论问题...
举个例子考拉兹猜想...
用这个公式变成:
这个函数还是奇数三加一,偶数变一半...
然后我们可以画出他的分形图:
黑色部分就是极限集,中间一条线是 .
如果能证明这条线上所有的点都是迭代 的极限集那么就相当于证明了Collatz Conjecture.
再比如双阶乘
难道我要和推导阶乘一样从头做一次解析延拓吗...
不用,直接奇偶合并:
想当年李煌老师在暗黑破坏神世界大战七天七夜突然顿悟了这个公式...一时传为佳话...>>逃
我们来推广到三元的情况.
那么:
故意化简了才变成这个鬼样子的...
其实原理想明白很简单.找
1,0,0,1,0,0....
0,1,0,0,1,0...
0,0,1,0,0,1...
这么三个数列乘上去就好
要有周期性还有相位...那不就是三角函数吗?
错...是指数函数...
Emmm,其实也没错,三角和指数是同一个函数...
我们来看如何构建这样一个数列.
考虑方程 的三个根:
可以看出三个根之和为0.
然后现在幅角多少度就转多少度:
第一次变换后如图所示
效果是蓝绿互换,那么这仨之和还是 0 ,然后再转一次
绿色再转240度,蓝色再转120度,三个转到一起去了,和变成了三倍所以除掉三分之一.
写成公式就是:
于是乎:
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