一个无穷维线性空间的所有基都是等势的吗？
这是一个非常经典且深刻的问题，涉及到线性代数的基数理论和集合论的对偶性。答案是：是的，一个无穷维线性空间的所有基都是等势的。 也就是说，它们包含相同数量的元素，尽管这个“数量”可能是一个无穷集合。
为了详细说明这一点，我们需要从几个层面来理解：
1. 有限维线性空间和基的概念回顾
在开始讨论无穷维空间之前，让我们先回顾一下有限维空间的情况。一个有限维线性空间的基是一个线性无关且生成该空间的向量集合。基的元素数量就是这个空间的维度。例如，$mathbb{R}^2$ 在标准基下的基是 ${(1,0), (0,1)}$，维度是 2。你也可以选择 ${(1,1), (1,1)}$ 作为基，它仍然包含两个向量。
关键在于，对于任何一个有限维线性空间，任意两个基所包含的向量数量一定是相同的。 这也直接定义了该空间的“维度”。
2. 无穷维线性空间和基的挑战
当我们将目光投向无穷维线性空间时，事情变得更加复杂。一个无穷维线性空间是指不存在有限基的线性空间。这意味着我们无法用有限个向量来生成这个空间，也无法找到有限个线性无关的向量，它们就能张成整个空间。
举个例子：
函数空间: 考虑所有从实数集 $mathbb{R}$ 到实数集 $mathbb{R}$ 的连续函数构成的空间 $C(mathbb{R})$。这是一个无穷维空间。
多项式空间: 考虑所有实系数多项式构成的空间 $mathbb{R}[x]$。这也是一个无穷维空间。
在这些空间中，我们如何定义“基”呢？我们仍然沿用线性代数的定义：一组线性无关且能生成整个空间的向量集合。
例如，对于多项式空间 $mathbb{R}[x]$，一个常见的基是 ${1, x, x^2, x^3, dots}$。这是一个无限集合。
3. 基的势（Cardinality）
在无穷集合的世界里，“数量相同”的概念是通过“势”（Cardinality）来衡量的。两个集合是等势的，意味着我们可以找到一个双射（一一对应）函数将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
实数集 $mathbb{R}$ 的势是“连续统的势”，通常记为 $mathfrak{c}$。可数无穷集合（如自然数集 $mathbb{N}$）的势记为 $aleph_0$。我们知道 $mathfrak{c} > aleph_0$。
4. 证明等势性的核心思路：线性映射与双射
要证明一个无穷维线性空间的所有基都是等势的，我们需要用到一些更深层的数学工具，主要是线性映射和集合论中的基数理论。核心思想是：如果两个向量空间之间存在一个线性同构（即一个保持线性结构的可逆线性映射），那么它们的基的势是相同的。
下面我们尝试勾勒出证明的思路，尽量避免使用过于晦涩的术语：
设 V 是一个无穷维线性空间，它拥有两个基：B1 和 B2。
证明 B1 和 B2 是等势的。
一种证明方法是展示如何从一个基的元素构造出另一个基的元素，并且这种构造是“一对一”的。
思路一：利用线性同构
假设 V 是一个定义在域 F 上的线性空间。如果 V 是无穷维的，我们知道它至少可以被一个可数无限的集合张成（例如，如果它有无限个线性无关的向量，我们总可以从中选出一个基的“可数子集”来初步生成它，但这并不直接说明整个基是可数的还是不可数的）。
一个更一般的思路是：
1. 将向量空间与“函数空间”联系起来： 对于一个向量空间 V，我们可以考虑从 V 到一个已知的“标准”无穷维向量空间的线性映射。一个常见的标准空间是 F 上所有多项式构成的空间 $ ext{Poly}(X)$，或者 F 上从某个集合到 F 的所有函数的空间。
2. 利用基来定义线性映射： 如果我们有一个基 $B = {v_i}_{i in I}$ 对于向量空间 V，那么我们可以唯一地确定一个线性映射 $T: V o ext{Poly}(X)$（或者其他“标准”空间），只需要指定 T 在基向量上的取值。例如，我们可以定义 $T(v_i)$ 为一个代表 $i$ 的多项式（如果 $I$ 是可数的）。
3. 关键在于，如果 B1 和 B2 是 V 的基，那么我们可以构建从 $ ext{span}(B1)$ 到 $ ext{span}(B2)$ 的线性同构，而 $ ext{span}(B1) = V$ 且 $ ext{span}(B2) = V$。
思路二：更直接的证明（基于基的构造）
假设 V 是域 F 上的线性空间。
令 $B = {v_i}_{i in I}$ 是 V 的一个基。
我们可以定义一个线性映射 $phi: ext{span}{v_i}_{i in I} o ext{span}{x_i}_{i in I}$ (其中 ${x_i}_{i in I}$ 是另一个集合，例如来自多项式环的变量)，使得 $phi(v_i) = x_i$。
这个映射 $phi$ 是线性的，并且是单射（因为 $B$ 是线性无关的）。如果 ${x_i}_{i in I}$ 也是线性无关的，那么 $phi$ 也是满射的（张成同一个空间）。
更深入一点的证明会涉及到以下几个核心概念：
向量空间的维度可以被定义为其基的势。
任何两个基的势是相等的。
证明这个事实通常需要利用选择公理（Axiom of Choice）。 选择公理允许我们为任何非空集合的集合选择一个代表元，这在处理无穷集合时至关重要。
简化的证明思路（利用选择公理）：
1. 每个向量空间都有一个基。 这是选择公理的一个推论。
2. 设 V 是一个向量空间，B1 和 B2 是 V 的两个基。
3. 考虑一个线性映射 $L: V o F^{|B1|}$（如果 B1 是可数的，这里就是 $F^{mathbb{N}}$）。 我们可以通过将 B1 的元素映射到标准正交基来实现这一点。
4. 利用选择公理，我们可以将 V 的所有基“标准形化”。 换句话说，我们可以找到一个与任何基“结构上相同”的标准向量空间，例如 $F^{(I)}$，其中 $I$ 是某个集合。
5. 核心论证在于：如果 V 是一个向量空间，它的所有基都具有相同的势。 这个证明通常通过证明 V 等势于 $F^{(I)}$ 来完成，其中 $I$ 是一个集合，其势等于 V 的所有基的势。
例如，考虑一个域 F 上的线性空间 V。如果我们取定 V 的一个基 $B = {v_i}_{i in I}$，我们可以定义一个映射 $Phi: V o F^{(I)}$，将 $v in V$ 表示成 $v = sum_{j=1}^n c_j v_{i_j}$ 的形式，然后将 $v$ 映射到 $F^{(I)}$ 中的一个向量，该向量在对应于 $i_1, dots, i_n$ 的位置上的分量是 $c_1, dots, c_n$，其余位置为零。这个映射 $Phi$ 是一个线性同构。
这个映射的定义依赖于我们选择的基 $B = {v_i}_{i in I}$。因此，$ ext{dim}(V) = |I|$。
现在，假设我们有另一个基 $B' = {v'_k}_{k in K}$。 我们同样可以定义一个线性同构 $Psi: V o F^{(K)}$。
因为 $V$ 是线性同构于 $F^{(I)}$ 并且线性同构于 $F^{(K)}$，这意味着 $F^{(I)}$ 和 $F^{(K)}$ 是等势的。
关键问题是：如果 $F^{(I)} cong F^{(K)}$ 作为向量空间，那么 $|I| = |K|$ 吗？
答案是肯定的。这个结果在集合论和线性代数中有更严谨的证明，它依赖于以下事实：
对于域 F，若 $F^{(I)} cong F^{(K)}$ 作为向量空间，则 $|I| = |K|$。
这个证明涉及到从向量空间到其“对偶空间”（所有线性函数的空间）的映射，以及对偶空间和基势的关系。
总结来说：
一个无穷维线性空间的所有基都是等势的。这个结论并非直观，它依赖于集合论中的选择公理以及线性代数中关于线性同构与基势之间关系的深刻结果。
之所以所有基都等势，是因为我们可以通过基来唯一地构造一个从该向量空间到“标准”无穷维向量空间（例如，某个集合上的函数空间或多项式空间）的线性同构。而这种同构的存在性，反过来保证了所有基的“大小”是相同的，这里的“大小”是用集合的势来衡量的。
这个性质是向量空间维度概念在无穷维情况下的自然延伸，它确保了我们对一个无穷维空间的度量是内在一致的，不依赖于我们选择的特定基。无论你如何选择一组线性无关且能生成该空间的向量集合，它们所包含的元素数量（以势的形式衡量）总是相同的。
为了详细说明这一点，我们需要从几个层面来理解：
1. 有限维线性空间和基的概念回顾
在开始讨论无穷维空间之前，让我们先回顾一下有限维空间的情况。一个有限维线性空间的基是一个线性无关且生成该空间的向量集合。基的元素数量就是这个空间的维度。例如，$mathbb{R}^2$ 在标准基下的基是 ${(1,0), (0,1)}$，维度是 2。你也可以选择 ${(1,1), (1,1)}$ 作为基，它仍然包含两个向量。
关键在于，对于任何一个有限维线性空间，任意两个基所包含的向量数量一定是相同的。 这也直接定义了该空间的“维度”。
2. 无穷维线性空间和基的挑战
当我们将目光投向无穷维线性空间时，事情变得更加复杂。一个无穷维线性空间是指不存在有限基的线性空间。这意味着我们无法用有限个向量来生成这个空间，也无法找到有限个线性无关的向量，它们就能张成整个空间。
举个例子：
函数空间: 考虑所有从实数集 $mathbb{R}$ 到实数集 $mathbb{R}$ 的连续函数构成的空间 $C(mathbb{R})$。这是一个无穷维空间。
多项式空间: 考虑所有实系数多项式构成的空间 $mathbb{R}[x]$。这也是一个无穷维空间。
在这些空间中，我们如何定义“基”呢？我们仍然沿用线性代数的定义：一组线性无关且能生成整个空间的向量集合。
例如，对于多项式空间 $mathbb{R}[x]$，一个常见的基是 ${1, x, x^2, x^3, dots}$。这是一个无限集合。
3. 基的势（Cardinality）
在无穷集合的世界里，“数量相同”的概念是通过“势”（Cardinality）来衡量的。两个集合是等势的，意味着我们可以找到一个双射（一一对应）函数将一个集合的元素映射到另一个集合的元素。
实数集 $mathbb{R}$ 的势是“连续统的势”，通常记为 $mathfrak{c}$。可数无穷集合（如自然数集 $mathbb{N}$）的势记为 $aleph_0$。我们知道 $mathfrak{c} > aleph_0$。
4. 证明等势性的核心思路：线性映射与双射
要证明一个无穷维线性空间的所有基都是等势的，我们需要用到一些更深层的数学工具，主要是线性映射和集合论中的基数理论。核心思想是：如果两个向量空间之间存在一个线性同构（即一个保持线性结构的可逆线性映射），那么它们的基的势是相同的。
下面我们尝试勾勒出证明的思路，尽量避免使用过于晦涩的术语：
设 V 是一个无穷维线性空间，它拥有两个基：B1 和 B2。
证明 B1 和 B2 是等势的。
一种证明方法是展示如何从一个基的元素构造出另一个基的元素，并且这种构造是“一对一”的。
思路一：利用线性同构
假设 V 是一个定义在域 F 上的线性空间。如果 V 是无穷维的，我们知道它至少可以被一个可数无限的集合张成（例如，如果它有无限个线性无关的向量，我们总可以从中选出一个基的“可数子集”来初步生成它，但这并不直接说明整个基是可数的还是不可数的）。
一个更一般的思路是：
1. 将向量空间与“函数空间”联系起来： 对于一个向量空间 V，我们可以考虑从 V 到一个已知的“标准”无穷维向量空间的线性映射。一个常见的标准空间是 F 上所有多项式构成的空间 $ ext{Poly}(X)$，或者 F 上从某个集合到 F 的所有函数的空间。
2. 利用基来定义线性映射： 如果我们有一个基 $B = {v_i}_{i in I}$ 对于向量空间 V，那么我们可以唯一地确定一个线性映射 $T: V o ext{Poly}(X)$（或者其他“标准”空间），只需要指定 T 在基向量上的取值。例如，我们可以定义 $T(v_i)$ 为一个代表 $i$ 的多项式（如果 $I$ 是可数的）。
3. 关键在于，如果 B1 和 B2 是 V 的基，那么我们可以构建从 $ ext{span}(B1)$ 到 $ ext{span}(B2)$ 的线性同构，而 $ ext{span}(B1) = V$ 且 $ ext{span}(B2) = V$。
思路二：更直接的证明（基于基的构造）
假设 V 是域 F 上的线性空间。
令 $B = {v_i}_{i in I}$ 是 V 的一个基。
我们可以定义一个线性映射 $phi: ext{span}{v_i}_{i in I} o ext{span}{x_i}_{i in I}$ (其中 ${x_i}_{i in I}$ 是另一个集合，例如来自多项式环的变量)，使得 $phi(v_i) = x_i$。
这个映射 $phi$ 是线性的，并且是单射（因为 $B$ 是线性无关的）。如果 ${x_i}_{i in I}$ 也是线性无关的，那么 $phi$ 也是满射的（张成同一个空间）。
更深入一点的证明会涉及到以下几个核心概念：
向量空间的维度可以被定义为其基的势。
任何两个基的势是相等的。
证明这个事实通常需要利用选择公理（Axiom of Choice）。 选择公理允许我们为任何非空集合的集合选择一个代表元，这在处理无穷集合时至关重要。
简化的证明思路（利用选择公理）：
1. 每个向量空间都有一个基。 这是选择公理的一个推论。
2. 设 V 是一个向量空间，B1 和 B2 是 V 的两个基。
3. 考虑一个线性映射 $L: V o F^{|B1|}$（如果 B1 是可数的，这里就是 $F^{mathbb{N}}$）。 我们可以通过将 B1 的元素映射到标准正交基来实现这一点。
4. 利用选择公理，我们可以将 V 的所有基“标准形化”。 换句话说，我们可以找到一个与任何基“结构上相同”的标准向量空间，例如 $F^{(I)}$，其中 $I$ 是某个集合。
5. 核心论证在于：如果 V 是一个向量空间，它的所有基都具有相同的势。 这个证明通常通过证明 V 等势于 $F^{(I)}$ 来完成，其中 $I$ 是一个集合，其势等于 V 的所有基的势。
例如，考虑一个域 F 上的线性空间 V。如果我们取定 V 的一个基 $B = {v_i}_{i in I}$，我们可以定义一个映射 $Phi: V o F^{(I)}$，将 $v in V$ 表示成 $v = sum_{j=1}^n c_j v_{i_j}$ 的形式，然后将 $v$ 映射到 $F^{(I)}$ 中的一个向量，该向量在对应于 $i_1, dots, i_n$ 的位置上的分量是 $c_1, dots, c_n$，其余位置为零。这个映射 $Phi$ 是一个线性同构。
这个映射的定义依赖于我们选择的基 $B = {v_i}_{i in I}$。因此，$ ext{dim}(V) = |I|$。
现在，假设我们有另一个基 $B' = {v'_k}_{k in K}$。 我们同样可以定义一个线性同构 $Psi: V o F^{(K)}$。
因为 $V$ 是线性同构于 $F^{(I)}$ 并且线性同构于 $F^{(K)}$，这意味着 $F^{(I)}$ 和 $F^{(K)}$ 是等势的。
关键问题是：如果 $F^{(I)} cong F^{(K)}$ 作为向量空间，那么 $|I| = |K|$ 吗？
答案是肯定的。这个结果在集合论和线性代数中有更严谨的证明，它依赖于以下事实：
对于域 F，若 $F^{(I)} cong F^{(K)}$ 作为向量空间，则 $|I| = |K|$。
这个证明涉及到从向量空间到其“对偶空间”（所有线性函数的空间）的映射，以及对偶空间和基势的关系。
总结来说：
一个无穷维线性空间的所有基都是等势的。这个结论并非直观，它依赖于集合论中的选择公理以及线性代数中关于线性同构与基势之间关系的深刻结果。
之所以所有基都等势，是因为我们可以通过基来唯一地构造一个从该向量空间到“标准”无穷维向量空间（例如，某个集合上的函数空间或多项式空间）的线性同构。而这种同构的存在性，反过来保证了所有基的“大小”是相同的，这里的“大小”是用集合的势来衡量的。
这个性质是向量空间维度概念在无穷维情况下的自然延伸，它确保了我们对一个无穷维空间的度量是内在一致的，不依赖于我们选择的特定基。无论你如何选择一组线性无关且能生成该空间的向量集合，它们所包含的元素数量（以势的形式衡量）总是相同的。
网友意见
答案是肯定的。
首先明确一下基的定义，这里说的是Hamel基，定义是线性空间中的极大线性无关组。其中线性无关指的是任意有限多的非零线性组合结果非零。对于无穷维线性空间，有时也会谈论其他的基，比如Hilbert基或者是Schauder基等，那就是另外的含义了。明显的区别在于，如果对象仅仅是线性空间，那么也就只能谈论Hamel基，而谈论其他的基一般需要额外的结构，比如内积结构或者拓扑结构。
我们有如下的命题：
设 是域 上的线性空间， 和 是 的两组Hamel基。那么存在 与 之间的双射，即 等势.
证明放在最后吧。这个命题表明，线性空间的维数是个良定义的基数。但是这个不变量是非常粗的，很多常见的无限维线性空间维数都是相等的，比如评论区里提到的例子。评论区的说法是错的，闭区间上的平方可积函数和定义域在实数集上的平方可积函数的维数是相等的（作为Hilbert空间也是同构的）。
另外呢，另一条评论讲到泛函分析啊。这门课可以看成是无穷维版本的线性代数，但是这个命题大概是找不到的，因为泛函分析关心的线性空间至少都是有一点拓扑的，没有的话没什么意思。
——————————证明分割线——————————
证明的参考文献是GTM135（我也没看过这本书，但是肯定有这个命题，证明肯定大同小异）。
我们熟知有限维的情形，此处不予证明，接下来将直接应用这个结论.
以下假设 都是无穷集.
任取 ，由于 是极大的，所以 可以表达为 中元素的有限线性组合. 更具体地说，存在 的有限子集 ，成立 ，其中 非零.
我们记 的有限子集全体为 ，于是上面的构造给出了映射 ， . 这个映射一般来说不是单射，但是根据有限维的结论， . 于是，我们可以给 一个良序，对任意 ，把 中的元素从小到大标记为 .
于是我们得到了一个单射：
而简单的基数算术告诉我们， 是无限集时，右边的集合基数等于 . 所以 . 同理 . 根据Cantor-Bernstein， 等势.
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