三边为 10 的四边形，如何使之面积最大？
朋友，你提出的问题很有意思，关于“三边为 10 的四边形，如何使之面积最大？”这其实是在探索一个几何学上的经典问题，只不过我们这里讨论的是一个有特殊限制的四边形。
首先，我们得明确一下“三边为 10 的四边形”这个说法。一个四边形有四条边，如果其中三条边的长度都是 10，那么这三条边是固定的。也就是说，我们有三条长度为 10 的边，还有一条未知的第四条边。我们的目标是在满足这个条件下，让这个四边形的面积尽可能大。
直观理解与初步思考
想象一下，我们有三根长度都是 10 的棍子。我们可以把它们首尾相连，形成一个“L”形或者一条直线，然后用第四根（未知的长度的）棍子把它们连接起来。
如果三根棍子是直线排列，那第四根棍子就要从第一个棍子的起点连接到第三根棍子的终点，形成一个“一字”的形状，这显然不是一个四边形，面积为零。所以，我们必须让这三根 10 的边形成一个“角”或者“弧度”。
最直观的理解是，我们先固定三条长度为 10 的边。假设这三条边是 AB、BC、CD，长度都是 10。那么，A、B、C、D 就是四边形的四个顶点。我们的任务是决定 D 点相对于 A 的位置，以及 BC 和 CD 之间的夹角，从而确定第四条边 AD 的长度，并使整体面积最大。
核心原理：面积与“展平”程度
想让一个图形的面积最大，通常是让它“展得开”，而不是“挤在一起”。对于一个多边形来说，保持所有边长不变的情况下，让它尽可能“圆润”或者“接近圆”会使面积最大。
对于我们的四边形来说，三条边是固定的 10。我们可以把这三条边看作是一个固定的“骨架”。第四条边 AD 的长度和位置将决定这个四边形“展开”的程度。
考虑特殊情况：筝形与凸四边形
假设四边形是 ABCD，AB=BC=CD=10。
情况一：三边构成一个直角？
如果我们让 AB 垂直于 BC，BC 垂直于 CD，那么 B 和 C 形成两个 90 度角。 A 和 D 之间的距离可以通过勾股定理计算。
AB=10, BC=10. 勾股定理得 AC = $sqrt{10^2 + 10^2} = sqrt{200} = 10sqrt{2}$。
BC=10, CD=10. 勾股定理得 BD = $sqrt{10^2 + 10^2} = sqrt{200} = 10sqrt{2}$。
但是，这样的话 ABCD 就不太像一个标准的四边形了。我们通常考虑的是顶点 A、B、C、D 的顺序。
如果 AB=10, BC=10, CD=10。
如果我们让 AB 垂直于 BC，BC 垂直于 CD，那么 A 和 D 会形成一个怎样的距离？
我们不妨设 B 点在原点 (0,0)。
A 点在 (0, 10)。
C 点在 (10, 0)。
D 点在 (10, 10)。
那么 AB=10, BC=10, CD=10。AD 的长度是 $sqrt{(100)^2 + (100)^2} = sqrt{100+100} = sqrt{200} = 10sqrt{2}$。
这个四边形 ABCD 的面积是多少？我们可以将其分割成两个直角三角形：三角形 ABC 和三角形 ACD。
三角形 ABC 的面积是 1/2 10 10 = 50。
三角形 ACD 的面积，我们需要知道 AC 和 CD 的夹角。在这种情况下，AC 的长度是 $10sqrt{2}$。CD=10。我们可以用向量或者解析几何来算。
向量 CA = (010, 100) = (10, 10)。向量 CD = (1010, 100) = (0, 10)。
CA 模长是 $10sqrt{2}$，CD 模长是 10。
CA · CD = (10)(0) + (10)(10) = 100。
cos(∠ACD) = (CA · CD) / (|CA| |CD|) = 100 / ($10sqrt{2}$ 10) = 100 / ($100sqrt{2}$) = 1 / $sqrt{2}$。
所以 ∠ACD = 45 度。
三角形 ACD 的面积是 1/2 |CA| |CD| sin(∠ACD) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 sin(45°) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 (1/√2) = 50。
总面积 = 50 + 50 = 100。
情况二：构成一个等腰梯形？
如果我们让 AB 和 CD 相对，BC 是两条腰。但题目是三边为 10，不是两条腰为 10。
情况三：利用对角线分割？
一个四边形的面积，可以通过两条对角线和它们夹角的正弦值来计算：Area = 1/2 d1 d2 sin(θ)。
但我们这里限制的是边长。
普适性原理：最“平展”的组合
回到核心问题：如何让三边为 10 的四边形面积最大？
直观上，我们希望这三条 10 的边“摊开”的角度越大越好，这样可以为第四条边创造更大的空间，使得整个四边形占据更大的区域。
考虑三条边 AB=BC=CD=10。
如果我们让 ∠ABC 和 ∠BCD 都尽可能大，那么 A 和 D 就会离得远一些。
关键的洞察：当三边形成一个特定的形状时
想象一下，把三条长度为 10 的边 AB、BC、CD 摆成一个“拱形”。
如果 ∠ABC 和 ∠BCD 都接近 180 度，那就变成一条直线了，面积为零。
如果 ∠ABC 和 ∠BCD 都等于 180 度，那么 B 和 C 点就重合了，这也不是四边形。
我们考虑的是，如果把这三条边 AB, BC, CD 看作一个整体，形成一个由 A, B, C, D 四点组成的四边形。
连接点 A 和点 D
一旦我们确定了 A, B, C, D 的相对位置，第四条边 AD 的长度也就确定了。
为了最大化面积，我们应该考虑什么样的构型能使得 A 和 D 之间的“距离”最远，同时又形成一个封闭的四边形。
最简单的思路：将三条边构成一个“开口”的形状
如果我们将 AB 和 BC 构成一个角度，再将 BC 和 CD 构成一个角度。为了让面积最大，我们希望这个“开口”尽可能大。
关键点：三角形的性质
我们可以将四边形 ABCD 分割成两个三角形：△ABC 和 △ADC，或者 △ABD 和 △BCD。
面积 = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)。
面积(△ABC) = 1/2 AB BC sin(∠ABC) = 1/2 10 10 sin(∠ABC) = 50 sin(∠ABC)。
为了最大化这个三角形的面积，∠ABC 应该是 90 度，此时面积为 50。
同理，如果我们考虑 △BCD，面积 = 1/2 BC CD sin(∠BCD) = 50 sin(∠BCD)。
为了最大化面积，∠BCD 应该是 90 度。
将两个三角形组合起来
如果我们让 ∠ABC = 90 度，并且 ∠BCD = 90 度。
那么 A、B、C、D 的位置就像我们之前计算的：
B 在 (0,0), A 在 (0,10), C 在 (10,0), D 在 (10,10)。
此时，AD 的长度是 $10sqrt{2}$。
这个四边形 ABCD 是一个矩形（如果 A=(0,10), B=(0,0), C=(10,0), D=(10,10) 且 ABCD 顺序，AB=10, BC=10, CD=10, DA=$10sqrt{2}$ 且∠ABC=90°，∠BCD=90°）。
但是，我们是三边为 10。这里 ABCD 的边是 AB=10, BC=10, CD=10, AD=$10sqrt{2}$。 这符合我们的要求！
这个四边形的面积，我们可以看作是 △ABC 和 △ACD。
△ABC 是一个直角三角形，面积是 1/2 10 10 = 50。
AC 的长度是 $10sqrt{2}$。CD 的长度是 10。
在上面的解析几何例子中，我们算得 ∠ACD 是 45 度。
△ACD 的面积是 1/2 AC CD sin(∠ACD) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 sin(45°) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 (1/√2) = 50。
总面积是 50 + 50 = 100。
这是不是最大面积呢？
让我们考虑一下，如果我们稍微改变一下角度。
比如，让 ∠ABC = 120 度，∠BCD = 120 度。
三角形 ABC 的面积 = 50 sin(120°) = 50 (√3/2) ≈ 43.3。
要计算整个四边形面积，我们还需要知道 AC 的长度以及 ∠BCD 和 ∠ACD 的关系。
一个更强大的工具： Brahmagupta's Formula 的变体（针对特定四边形）
对于任意一个四边形，如果它的四边长分别为 a, b, c, d，其面积为 S，则满足：
S = √[(sa)(sb)(sc)(sd) abcd cos²((α+γ)/2)]
其中 s = (a+b+c+d)/2 是半周长，α 和 γ 是相对的两个内角。
当四边形是圆内接四边形时，cos²((α+γ)/2) = cos²(180°/2) = cos²(90°) = 0。此时面积达到最大，S = √[(sa)(sb)(sc)(sd)]。
在我们的问题中，a=10, b=10, c=10。d 是未知长度。
s = (10+10+10+d)/2 = (30+d)/2。
为了使面积最大，我们期望这个四边形是圆内接四边形。
如果一个四边形是圆内接四边形，并且我们知道三边长，那么第四边长以及角度都是确定的。
假设我们的四边形 ABCD 是圆内接的，AB=10, BC=10, CD=10。
为了使面积最大，我们需要让这三条边尽可能地“拉开”。
如果一个四边形是圆内接的，它的面积最大。
结论：当构成一个等腰梯形时，面积最大
如果我们让这三条边 AB, BC, CD 的中点 B 和 C 之间的距离固定，然后调整 A 和 D 的位置。
更普遍的思考角度：
考虑四边形 ABCD，AB=BC=CD=10。
面积 S = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)
S = 1/2 AB BC sin(∠ABC) + 1/2 CD AD sin(∠ADC') （这里的 D 是 A, D 是 C）
这不好直接处理。
我们换一种分割方式：
S = 面积(△ABD) + 面积(△BCD)
S = 1/2 AB BD sin(∠ABD) + 1/2 BC CD sin(∠BCD)
还是不好直接处理。
回到核心：最大面积通常与对称性相关
对于固定周长（或部分边长）的多边形，当它成为正多边形时，面积最大。
我们的情况是三边固定，第四边不固定。
关键的几何直觉：筝形或等腰梯形
想象一下，我们有三根长度为 10 的棍子，首尾相连。我们把它们弯成一个角度。
如果 AB=BC=CD=10。
我们可以把 B 点看作一个“枢轴”，转动 C 点，然后以 C 为枢轴，转动 D 点。
一个关键的假设：考虑凸四边形
我们通常默认讨论的是凸四边形。
核心思想：利用固定边形成最大夹角
我们有三条长度为 10 的边。设它们是 AB, BC, CD。
面积 = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)
面积(△ABC) = 1/2 10 10 sin(∠ABC)
为了最大化面积，∠ABC 应该尽可能大。但它不能无限大，因为还要形成一个四边形。
当四边形是圆内接时，面积最大
假设四边形 ABCD 是圆内接的，AB=10, BC=10, CD=10。
为了使面积最大，并且我们知道三边长，那么整个四边形的形状应该是一个“最均匀”的展开状态。
一个非常重要的结论：当 AB=BC=CD=10 时，四边形的面积最大，当且仅当它是以下两种情况之一（如果允许非凸）：
1. 成为一个三角形，其中一条边被“折叠”了。
但这不符合四边形的定义。
2. 三边 AB, BC, CD 形成一个“弧形”，使得 A 和 D 之间的距离尽可能大。
关键几何构造：
如果我们让 AB=BC=CD=10。
考虑将 B 和 C 两个点固定，但 B 和 C 之间的距离可以变化（取决于 ∠ABC）。
假设我们将 AB 和 BC 连成一个角度，再把 BC 和 CD 连成另一个角度。
为了最大化面积，我们应该让连接的边尽可能地“平展”。
如果把三条边 AB, BC, CD 看作一个整体，形成一个“弓形”。那么第四条边 AD 是这个弓形的“弦”。
为了使弓形围成的面积最大，这个“弓形”应该尽可能“饱满”。
结论：当三边 AB, BC, CD 构成一个等腰梯形的腰和底时，面积才最大。
这里的题目是“三边为 10 的四边形”。我们有三条边是 10。
假设 AB=10, BC=10, CD=10。
第四条边 AD 的长度是可以变化的。
关键原理：圆内接四边形面积最大
如果一个四边形是圆内接四边形，在周长固定的情况下，它的面积是最大的。
在这里，我们不是固定周长，而是固定了三边。
最直观的理解：
我们把三条长度为 10 的棍子 AB、BC、CD 连接起来。
要使面积最大，我们应该让这三条棍子尽可能地“打开”。
如果 ∠ABC 和 ∠BCD 都取 120 度，则 A 和 D 的距离会比较远。
一个重要的几何定理：
对于任意两个定点 P 和 Q，以及定长 L，由 P 和 Q 连接的线段与两条长度为 L 的线段组成的“开口图形”，其面积最大当且仅当这两条长度为 L 的线段关于 PQ 对称。
在这里，我们的“开口图形”是 AB 和 BC，连接 A 和 C。
或者 BC 和 CD 连接 B 和 D。
最终的答案推理：
考虑四边形 ABCD，AB=BC=CD=10。
我们可以将四边形分割成两个三角形：△ABC 和 △ADC。
面积 S = 1/2 10 10 sin(∠ABC) + 1/2 CD AD sin(∠ADC') （这里的 D 是 A，C 是 D）
S = 1/2 10 10 sin(∠ABC) + 1/2 10 AD sin(∠ADC')
我们还可以分割成 △ABD 和 △BCD。
S = 1/2 AB BD sin(∠ABD) + 1/2 BC CD sin(∠BCD)
S = 1/2 10 BD sin(∠ABD) + 1/2 10 10 sin(∠BCD)
为了最大化面积，我们希望 sin(∠ABC) 和 sin(∠BCD) 都尽可能大。
最大的 sin 值为 1，对应 90 度角。
如果 ∠ABC = 90 度，∠BCD = 90 度，那么 A=(0,10), B=(0,0), C=(10,0), D=(10,10)。
AB=10, BC=10, CD=10。AD = $10sqrt{2}$。
这个四边形 ABCD 是一个矩形，它的面积是 10 10 = 100。
但是，这里 AB=10, BC=10, CD=10, DA=$10sqrt{2}$。
这个四边形确实有三条边是 10。
关键点在于：第四条边 AD 的长度不是预设的，而是由前三条边和整个四边形的构型决定的。
让我们重新审视：三边为 10 的四边形。
也就是说，我们有三条边是 10，第四条边是任意的。
如果第四条边是任意的，那我们很容易就能让面积无限大（例如，让第四条边变得非常长）。
所以，问题隐含的意思是：三边长度固定为 10 的四边形，如何摆放才能使得整个四边形的面积最大？
假设问题是：固定三条边 AB=10, BC=10, CD=10，并且这三条边是连续的，如何确定 D 点（相对于 A 点）才能使四边形 ABCD 面积最大？
我们知道，三角形的面积公式是 1/2 底 高。
面积 S = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)
面积(△ABC) = 50 sin(∠ABC)
面积(△ADC) = 1/2 AC CD sin(∠ACD)
其中 AC = $10 sqrt{2 2 cos(angle ABC)}$ (由余弦定理)。
为了最大化面积，我们需要考虑 ∠ABC 和 ∠BCD 的组合。
结论：形成一个“最舒展”的等腰梯形
考虑将三条长度为 10 的边 AB, BC, CD 构成一个整体。
如果我们让 AB 和 CD 平行，BC 作为一条腰，那么这是一个等腰梯形。
但是，这里 AB=BC=CD=10。
正确思路：四边形的面积最大化，通常意味着它是一个“最圆润”的形状。对于固定边长的问题，通常会转化为圆内接四边形。
如果我们的四边形是圆内接的，并且 AB=BC=CD=10。
设圆的半径为 R。
根据弦长公式 $L = 2R sin( heta/2)$，其中 L 是弦长，θ 是圆心角。
对于三条长度为 10 的弦，它们对应的圆心角设为 $alpha, eta, gamma$。
10 = $2R sin(alpha/2)$
10 = $2R sin(eta/2)$
10 = $2R sin(gamma/2)$
这意味着 $alpha = eta = gamma$。
因此，这三条边在圆上对应相同的圆心角。
如果四边形 ABCD 是圆内接的，并且 AB=BC=CD=10，那么 A, B, C, D 是圆上的四个点。
那么 AB, BC, CD 的圆心角是相等的。
设这个圆心角为 $ heta$。则 AB=BC=CD=10。
这意味着点 B 和 C 是圆上的两个点，它们与圆心的夹角是 $ heta$。
点 A, B, C, D 沿着圆周排列。
考虑四边形 ABCD，AB=10, BC=10, CD=10。
为了使面积最大，这四点应该尽可能地分布在圆周上，使得它们形成一个“最平坦”的四边形。
如果三边 AB, BC, CD 连接起来，形成一个“弓形”。那么第四条边 AD 是弓弦。
为了让面积最大，这个弓形应该尽可能地“饱满”。
直观上，应该让 ∠ABC 和 ∠BCD 都取最大的可能值，使得 A 和 D 离得远。
最终答案和解释：
当三边为 10 的四边形面积最大时，这三条边（不妨设为 AB, BC, CD，长度均为 10）应该与第四条边 AD 形成一个圆内接四边形，并且这三条长度相等的边所对应的圆心角也相等。
具体来说，我们让 AB, BC, CD 这三条长度为 10 的边，在同一个圆上所对的圆心角是相等的。
设这个相等的圆心角为 $ heta$。
那么，A, B, C, D 四点位于同一个圆上。
AB=10, BC=10, CD=10。
这三条弦等长，所以它们所对的圆心角相等。
为了使面积最大，这三条边应该占据圆周上尽可能大的弧度。
假设这三条边所对的圆心角分别为 $alpha$, $eta$, $gamma$。
那么 AB=BC=CD=10，意味着 $alpha = eta = gamma$。
这三条边将圆周分成了四部分。其中三部分（对应的 AB, BC, CD）是等弧。
为了最大化四边形的面积，我们应该让这三条相等的边 AB, BC, CD 尽可能地“分开”。
这意味着，让 ∠ABC 和 ∠BCD 的和尽可能大。
但是，这需要与第四条边 AD 的长度相关。
最关键的结论：
当一个四边形有三条边长度相等时，它要达到最大面积，它必须是一个圆内接四边形。并且，这三条等长的边在圆上所对应的圆心角是相等的。
具体构造：
设 AB=BC=CD=10。
将这三条边放在一个圆上，使它们对应的圆心角相等。
这意味着 AB, BC, CD 三段圆弧的长度是相等的。
假设这三条边对应的圆心角是 $ heta$。
那么，整个圆周是 $2pi$。
剩下的圆弧对应第四条边 AD。
设第四条边 AD 的长度为 $d$。它对应的圆心角为 $2pi 3 heta$。
四边形 ABCD 的面积可以通过将四个顶点与圆心连接形成的四个三角形面积之和来计算（如果是凸四边形）。
面积 S = 1/2 R AB sin(∠AOB) + 1/2 R BC sin(∠BOC) + 1/2 R CD sin(∠COD) + 1/2 R AD sin(∠DOA)
这里 R 是外接圆半径。
AB, BC, CD 的圆心角相等，设为 $ heta$。
AD 的圆心角为 $phi$。
$10 = 2R sin( heta/2)$
$d = 2R sin(phi/2)$
$3 heta + phi = 2pi$。
面积 S = 1/2 R 10 sin($ heta$) + 1/2 R 10 sin($ heta$) + 1/2 R 10 sin($ heta$) + 1/2 R $d$ sin($phi$)
S = 15R sin($ heta$) + 1/2 R $d$ sin($phi$)
根据三角函数的性质，当圆心角相等时，弦长也相等。
为了让面积最大，我们希望这三条相等的边能够“撑开”整个四边形。
最简单的想象：
将三根长度为 10 的棍子 AB, BC, CD 首尾相连。
然后，用第四条“绳子” AD 将 A 和 D 连接起来，形成一个四边形。
为了最大化面积，这三根棍子应该尽可能地“展开”。
这意味着，∠ABC 和 ∠BCD 的值应该尽可能地大。
考虑对称性：
如果这三条边 AB, BC, CD 是对称分布的，那么这个四边形也会具有某种对称性。
结论是：当这三条边 AB, BC, CD 和第四条边 AD 组成一个等腰梯形时，面积最大。并且，这三条长度为 10 的边是构成梯形的三条平行边中的两条短边和一条腰，或者两条腰和一条底边。
然而，更精确的结论是：
当四边形是圆内接四边形时，面积最大。
如果三边为 10 的四边形，且 AB=BC=CD=10。
为了面积最大，它必须是圆内接的，并且 AB, BC, CD 在圆上对应的圆心角相等。
设这个圆心角为 $ heta$。
则 AB=BC=CD=10。
第四条边 AD 对应的圆心角为 $2pi 3 heta$。
我们知道弦长 $L = 2R sin(alpha/2)$。
$10 = 2R sin( heta/2)$。
第四边 $d = 2R sin((2pi 3 heta)/2) = 2R sin(pi 3 heta/2) = 2R sin(3 heta/2)$。
面积为：S = 1/2 AB BC sin(∠ABC) + 1/2 CD AD sin(∠CDA) ... 这又回到了之前的复杂性。
换一个角度：
如果我们将三边 AB=10, BC=10, CD=10 固定，那么 A, C 的距离是确定的，AC = $10 sqrt{2 2 cos(angle ABC)}$。
然后，我们有一个固定的线段 AC，和一条长度为 10 的线段 CD，连接到点 D。
A, C, D 构成一个三角形 △ACD。它的面积是 1/2 AC CD sin(∠ACD)。
最终、最简洁且正确的答案：
三边为 10 的四边形，当这三条边 AB=BC=CD=10，并且第四条边 AD 使得整个四边形是一个圆内接四边形时，其面积最大。
并且，这三条长度为 10 的边在圆上所对应的圆心角是相等的。
如何具体画出来？
1. 画一个圆。
2. 在圆周上取三个点 A, B, C，使得 AB=BC=10。这意味着圆心角 ∠AOB = ∠BOC。
3. 再取一个点 D，使得 CD=10，并且 CD 所对的圆心角 ∠COD 也等于 ∠AOB 和 ∠BOC。
（这里有个前提，是 AB, BC, CD 是连续的三条边）
如果三条边是 AB=10, BC=10, CD=10，那么它们在圆上对应的圆心角是相等的。
设这个圆心角为 $ heta$。
那么这三条边占据了总圆周的 $3 heta$ 的角度。
第四条边 AD 占据了 $2pi 3 heta$ 的角度。
我们知道弦长 $L = 2R sin(alpha/2)$。
$10 = 2R sin( heta/2)$。
$d = AD = 2R sin((2pi 3 heta)/2) = 2R sin(pi 3 heta/2) = 2R sin(3 heta/2)$。
四边形 ABCD 的面积 S，可以表示为
S = 1/2 R² (sin($ heta$) + sin($ heta$) + sin($ heta$) + sin($2pi 3 heta$))
S = 1/2 R² (3sin($ heta$) + sin($2pi 3 heta$))
S = 1/2 R² (3sin($ heta$) sin(3$ heta$))
我们需要找到一个 $ heta$ 来最大化这个面积。
用三倍角公式 sin(3$ heta$) = 3sin($ heta$) 4sin³($ heta$)。
S = 1/2 R² (3sin($ heta$) (3sin($ heta$) 4sin³($ heta$)))
S = 1/2 R² (4sin³($ heta$)) = 2R² sin³($ heta$)。
从 $10 = 2R sin( heta/2)$ 可以得到 $sin( heta/2) = 10 / (2R) = 5/R$。
我们需要知道 R 和 $ heta$ 的关系。
最简单的理解方式还是：
如果三条边 AB=BC=CD=10，构成一个四边形 ABCD，面积最大时，这个四边形一定是圆内接四边形，并且这三条边在圆上的圆心角相等。
具体如何画出这个图形？
1. 随便画一个圆。
2. 在圆上任取一点 B。
3. 以 B 为圆心，10 为半径画圆弧，与大圆的交点就是 C。此时 BC=10。
4. 再以 C 为圆心，10 为半径画圆弧，与大圆的交点就是 D。此时 CD=10。
5. 最后，我们需要确定 A 点，使得 AB=10。而且，AB, BC, CD 在圆上的圆心角相等。
所以，圆心角 ∠AOB = ∠BOC = ∠COD。
这是为什么？
根据 Bretschneider's formula，任意四边形面积 S = $sqrt{(sa)(sb)(sc)(sd) abcd cos^2left(frac{alpha+gamma}{2} ight)}$。
当四边形是圆内接四边形时，$alpha+gamma = pi$，所以 $cos^2left(frac{alpha+gamma}{2} ight) = cos^2(pi/2) = 0$。
此时，S = $sqrt{(sa)(sb)(sc)(sd)}$。
在边长固定的情况下，当四边形是圆内接四边形时，面积达到最大。
我们的问题是三边固定，第四边不固定。
当 AB=BC=CD=10，并且四边形是圆内接的。
由弦长公式，如果四边形是圆内接的，并且 AB=BC=CD=10，那么它们所对的圆心角必然相等。
这意味着 AB, BC, CD 三段弧的长度相等。
所以，形成一个圆内接四边形，其中三条连续的边都是 10，并且这三条边所对应的圆心角相等。
为了具体操作：
1. 确定圆的半径 R。
2. 确定三条等边对应的圆心角 $ heta$。
3. 从 $10 = 2R sin( heta/2)$ 可以找出 R 和 $ heta$ 的关系。
4. 我们可以自由选择 R，然后计算出对应的 $ heta$。
5. 例如，如果我们选择 R=10，那么 $10 = 210 sin( heta/2)$，$sin( heta/2) = 1/2$，所以 $ heta/2 = 30°$，$ heta = 60°$。
这意味着 AB=BC=CD=10，它们都是半径 R=10 的圆上的弦，且圆心角都是 60°。
此时，A, B, C, D 四点构成一个正方形（如果 AD 的圆心角也是 60°的话），但这里不对。
如果 AB, BC, CD 的圆心角都是 60°，那么总共是 180°。
这意味着 A, B, C, D 占了半个圆。
此时，AD 的圆心角是 $360° 180° = 180°$。AD 是直径，长度为 2R = 20。
那么四边形 ABCD 的面积就是两个等腰三角形 ABC 和 ADC 的面积之和（因为 AB=BC=CD=10，R=10）。
△ABC 的面积 = 1/2 R R sin(60°) = 1/2 10 10 ($sqrt{3}/2$) = 25$sqrt{3}$。
△BCD 的面积 = 25$sqrt{3}$。
△ACD 的面积 = 1/2 R R sin(180°) = 0，这里不对。
我们需要的是四边形 ABCD 的面积。
当圆心角是 60°, 60°, 60°, 180° 时。
四边形面积 S = 1/2 R² (sin(60°) + sin(60°) + sin(60°) + sin(180°))
S = 1/2 10² ($sqrt{3}/2$ + $sqrt{3}/2$ + $sqrt{3}/2$ + 0)
S = 50 (3$sqrt{3}/2$) = 75$sqrt{3}$ ≈ 129.9。
而我们之前算到的直角情况面积是 100。
所以，75$sqrt{3}$ 是更大的面积。
结论： 三边为 10 的四边形，面积最大时，该四边形是圆内接四边形，并且三条长度为 10 的边所对应的圆心角相等。
在这种情况下，这三条边所对的圆心角之和为 180 度，第四条边是直径，长度为 20。四边形的面积是 75$sqrt{3}$。
画法：
1. 画一个半径为 10 的圆。
2. 在圆周上取一点 B。
3. 以圆心 O 为顶点，以 OB 为一边，画一个 60° 的角，交圆周的点就是 A。那么 AB=10。
4. 从 B 点出发，再画一个 60° 的角，交圆周的点就是 C。那么 BC=10。
5. 从 C 点出发，再画一个 60° 的角，交圆周的点就是 D。那么 CD=10。
6. 此时，A, B, C, D 构成一个四边形（如果 AD 的圆心角是 180° 的话）。
这里的 A, B, C, D 是按顺序排布的。AB=10, BC=10, CD=10。
那么 ∠AOB=60°, ∠BOC=60°, ∠COD=60°。
那么 A, B, C, D 围成的四边形，其面积最大。
具体形状：
三条半径为 10 的弦 AB, BC, CD 长度都为 10，且它们对应的圆心角都是 60°。
这就意味着 AOB, BOC, COD 都是等边三角形。
所以 AB=BC=CD=10。
A, O, B, C, D 是圆周上的点。
∠AOB=∠BOC=∠COD=60°。
那么 OA=OB=OC=OD=10（半径）。
AD 的圆心角是 ∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 180°。
AD 是直径，长度为 2R = 20。
这个四边形 ABCD 的面积是，通过顶点 A, B, C, D 组成的四边形。
它实际上由三个等边三角形和一个半圆组成。
但我们这里说的是四边形，不是扇形。
四边形 ABCD 的面积 = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)。
△ABC 的 AC 长度可以通过余弦定理求得：AC² = 10² + 10² 21010cos(120°) = 100 + 100 200(1/2) = 300。AC = $10sqrt{3}$。
△ADC 的 AD 是直径，长度 20。CD=10。
这个角度关系有点复杂。
最简单、最准确的描述：
三边为 10 的四边形，使其面积最大时，该四边形为圆内接四边形，并且这三条长度为 10 的边所对应的圆心角相等。
具体来说，圆的半径为 10，三条边对应的圆心角均为 60°，第四条边（直径）为 20。
此时四边形的面积为 75$sqrt{3}$。
如果你需要画图，那就是在一个半径为 10 的圆上，取三段长度为 10 的弧，每段弧对应的弦长是 10。这三段弧所对应的圆心角都是 60°。然后将这三段弧的端点连接起来，形成四边形。
首先，我们得明确一下“三边为 10 的四边形”这个说法。一个四边形有四条边，如果其中三条边的长度都是 10，那么这三条边是固定的。也就是说，我们有三条长度为 10 的边，还有一条未知的第四条边。我们的目标是在满足这个条件下，让这个四边形的面积尽可能大。
直观理解与初步思考
想象一下，我们有三根长度都是 10 的棍子。我们可以把它们首尾相连，形成一个“L”形或者一条直线，然后用第四根（未知的长度的）棍子把它们连接起来。
如果三根棍子是直线排列，那第四根棍子就要从第一个棍子的起点连接到第三根棍子的终点，形成一个“一字”的形状，这显然不是一个四边形，面积为零。所以，我们必须让这三根 10 的边形成一个“角”或者“弧度”。
最直观的理解是，我们先固定三条长度为 10 的边。假设这三条边是 AB、BC、CD，长度都是 10。那么，A、B、C、D 就是四边形的四个顶点。我们的任务是决定 D 点相对于 A 的位置，以及 BC 和 CD 之间的夹角，从而确定第四条边 AD 的长度，并使整体面积最大。
核心原理：面积与“展平”程度
想让一个图形的面积最大，通常是让它“展得开”，而不是“挤在一起”。对于一个多边形来说，保持所有边长不变的情况下，让它尽可能“圆润”或者“接近圆”会使面积最大。
对于我们的四边形来说，三条边是固定的 10。我们可以把这三条边看作是一个固定的“骨架”。第四条边 AD 的长度和位置将决定这个四边形“展开”的程度。
考虑特殊情况：筝形与凸四边形
假设四边形是 ABCD，AB=BC=CD=10。
情况一：三边构成一个直角？
如果我们让 AB 垂直于 BC，BC 垂直于 CD，那么 B 和 C 形成两个 90 度角。 A 和 D 之间的距离可以通过勾股定理计算。
AB=10, BC=10. 勾股定理得 AC = $sqrt{10^2 + 10^2} = sqrt{200} = 10sqrt{2}$。
BC=10, CD=10. 勾股定理得 BD = $sqrt{10^2 + 10^2} = sqrt{200} = 10sqrt{2}$。
但是，这样的话 ABCD 就不太像一个标准的四边形了。我们通常考虑的是顶点 A、B、C、D 的顺序。
如果 AB=10, BC=10, CD=10。
如果我们让 AB 垂直于 BC，BC 垂直于 CD，那么 A 和 D 会形成一个怎样的距离？
我们不妨设 B 点在原点 (0,0)。
A 点在 (0, 10)。
C 点在 (10, 0)。
D 点在 (10, 10)。
那么 AB=10, BC=10, CD=10。AD 的长度是 $sqrt{(100)^2 + (100)^2} = sqrt{100+100} = sqrt{200} = 10sqrt{2}$。
这个四边形 ABCD 的面积是多少？我们可以将其分割成两个直角三角形：三角形 ABC 和三角形 ACD。
三角形 ABC 的面积是 1/2 10 10 = 50。
三角形 ACD 的面积，我们需要知道 AC 和 CD 的夹角。在这种情况下，AC 的长度是 $10sqrt{2}$。CD=10。我们可以用向量或者解析几何来算。
向量 CA = (010, 100) = (10, 10)。向量 CD = (1010, 100) = (0, 10)。
CA 模长是 $10sqrt{2}$，CD 模长是 10。
CA · CD = (10)(0) + (10)(10) = 100。
cos(∠ACD) = (CA · CD) / (|CA| |CD|) = 100 / ($10sqrt{2}$ 10) = 100 / ($100sqrt{2}$) = 1 / $sqrt{2}$。
所以 ∠ACD = 45 度。
三角形 ACD 的面积是 1/2 |CA| |CD| sin(∠ACD) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 sin(45°) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 (1/√2) = 50。
总面积 = 50 + 50 = 100。
情况二：构成一个等腰梯形？
如果我们让 AB 和 CD 相对，BC 是两条腰。但题目是三边为 10，不是两条腰为 10。
情况三：利用对角线分割？
一个四边形的面积，可以通过两条对角线和它们夹角的正弦值来计算：Area = 1/2 d1 d2 sin(θ)。
但我们这里限制的是边长。
普适性原理：最“平展”的组合
回到核心问题：如何让三边为 10 的四边形面积最大？
直观上，我们希望这三条 10 的边“摊开”的角度越大越好，这样可以为第四条边创造更大的空间，使得整个四边形占据更大的区域。
考虑三条边 AB=BC=CD=10。
如果我们让 ∠ABC 和 ∠BCD 都尽可能大，那么 A 和 D 就会离得远一些。
关键的洞察：当三边形成一个特定的形状时
想象一下，把三条长度为 10 的边 AB、BC、CD 摆成一个“拱形”。
如果 ∠ABC 和 ∠BCD 都接近 180 度，那就变成一条直线了，面积为零。
如果 ∠ABC 和 ∠BCD 都等于 180 度，那么 B 和 C 点就重合了，这也不是四边形。
我们考虑的是，如果把这三条边 AB, BC, CD 看作一个整体，形成一个由 A, B, C, D 四点组成的四边形。
连接点 A 和点 D
一旦我们确定了 A, B, C, D 的相对位置，第四条边 AD 的长度也就确定了。
为了最大化面积，我们应该考虑什么样的构型能使得 A 和 D 之间的“距离”最远，同时又形成一个封闭的四边形。
最简单的思路：将三条边构成一个“开口”的形状
如果我们将 AB 和 BC 构成一个角度，再将 BC 和 CD 构成一个角度。为了让面积最大，我们希望这个“开口”尽可能大。
关键点：三角形的性质
我们可以将四边形 ABCD 分割成两个三角形：△ABC 和 △ADC，或者 △ABD 和 △BCD。
面积 = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)。
面积(△ABC) = 1/2 AB BC sin(∠ABC) = 1/2 10 10 sin(∠ABC) = 50 sin(∠ABC)。
为了最大化这个三角形的面积，∠ABC 应该是 90 度，此时面积为 50。
同理，如果我们考虑 △BCD，面积 = 1/2 BC CD sin(∠BCD) = 50 sin(∠BCD)。
为了最大化面积，∠BCD 应该是 90 度。
将两个三角形组合起来
如果我们让 ∠ABC = 90 度，并且 ∠BCD = 90 度。
那么 A、B、C、D 的位置就像我们之前计算的：
B 在 (0,0), A 在 (0,10), C 在 (10,0), D 在 (10,10)。
此时，AD 的长度是 $10sqrt{2}$。
这个四边形 ABCD 是一个矩形（如果 A=(0,10), B=(0,0), C=(10,0), D=(10,10) 且 ABCD 顺序，AB=10, BC=10, CD=10, DA=$10sqrt{2}$ 且∠ABC=90°，∠BCD=90°）。
但是，我们是三边为 10。这里 ABCD 的边是 AB=10, BC=10, CD=10, AD=$10sqrt{2}$。 这符合我们的要求！
这个四边形的面积，我们可以看作是 △ABC 和 △ACD。
△ABC 是一个直角三角形，面积是 1/2 10 10 = 50。
AC 的长度是 $10sqrt{2}$。CD 的长度是 10。
在上面的解析几何例子中，我们算得 ∠ACD 是 45 度。
△ACD 的面积是 1/2 AC CD sin(∠ACD) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 sin(45°) = 1/2 $10sqrt{2}$ 10 (1/√2) = 50。
总面积是 50 + 50 = 100。
这是不是最大面积呢？
让我们考虑一下，如果我们稍微改变一下角度。
比如，让 ∠ABC = 120 度，∠BCD = 120 度。
三角形 ABC 的面积 = 50 sin(120°) = 50 (√3/2) ≈ 43.3。
要计算整个四边形面积，我们还需要知道 AC 的长度以及 ∠BCD 和 ∠ACD 的关系。
一个更强大的工具： Brahmagupta's Formula 的变体（针对特定四边形）
对于任意一个四边形，如果它的四边长分别为 a, b, c, d，其面积为 S，则满足：
S = √[(sa)(sb)(sc)(sd) abcd cos²((α+γ)/2)]
其中 s = (a+b+c+d)/2 是半周长，α 和 γ 是相对的两个内角。
当四边形是圆内接四边形时，cos²((α+γ)/2) = cos²(180°/2) = cos²(90°) = 0。此时面积达到最大，S = √[(sa)(sb)(sc)(sd)]。
在我们的问题中，a=10, b=10, c=10。d 是未知长度。
s = (10+10+10+d)/2 = (30+d)/2。
为了使面积最大，我们期望这个四边形是圆内接四边形。
如果一个四边形是圆内接四边形，并且我们知道三边长，那么第四边长以及角度都是确定的。
假设我们的四边形 ABCD 是圆内接的，AB=10, BC=10, CD=10。
为了使面积最大，我们需要让这三条边尽可能地“拉开”。
如果一个四边形是圆内接的，它的面积最大。
结论：当构成一个等腰梯形时，面积最大
如果我们让这三条边 AB, BC, CD 的中点 B 和 C 之间的距离固定，然后调整 A 和 D 的位置。
更普遍的思考角度：
考虑四边形 ABCD，AB=BC=CD=10。
面积 S = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)
S = 1/2 AB BC sin(∠ABC) + 1/2 CD AD sin(∠ADC') （这里的 D 是 A, D 是 C）
这不好直接处理。
我们换一种分割方式：
S = 面积(△ABD) + 面积(△BCD)
S = 1/2 AB BD sin(∠ABD) + 1/2 BC CD sin(∠BCD)
还是不好直接处理。
回到核心：最大面积通常与对称性相关
对于固定周长（或部分边长）的多边形，当它成为正多边形时，面积最大。
我们的情况是三边固定，第四边不固定。
关键的几何直觉：筝形或等腰梯形
想象一下，我们有三根长度为 10 的棍子，首尾相连。我们把它们弯成一个角度。
如果 AB=BC=CD=10。
我们可以把 B 点看作一个“枢轴”，转动 C 点，然后以 C 为枢轴，转动 D 点。
一个关键的假设：考虑凸四边形
我们通常默认讨论的是凸四边形。
核心思想：利用固定边形成最大夹角
我们有三条长度为 10 的边。设它们是 AB, BC, CD。
面积 = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)
面积(△ABC) = 1/2 10 10 sin(∠ABC)
为了最大化面积，∠ABC 应该尽可能大。但它不能无限大，因为还要形成一个四边形。
当四边形是圆内接时，面积最大
假设四边形 ABCD 是圆内接的，AB=10, BC=10, CD=10。
为了使面积最大，并且我们知道三边长，那么整个四边形的形状应该是一个“最均匀”的展开状态。
一个非常重要的结论：当 AB=BC=CD=10 时，四边形的面积最大，当且仅当它是以下两种情况之一（如果允许非凸）：
1. 成为一个三角形，其中一条边被“折叠”了。
但这不符合四边形的定义。
2. 三边 AB, BC, CD 形成一个“弧形”，使得 A 和 D 之间的距离尽可能大。
关键几何构造：
如果我们让 AB=BC=CD=10。
考虑将 B 和 C 两个点固定，但 B 和 C 之间的距离可以变化（取决于 ∠ABC）。
假设我们将 AB 和 BC 连成一个角度，再把 BC 和 CD 连成另一个角度。
为了最大化面积，我们应该让连接的边尽可能地“平展”。
如果把三条边 AB, BC, CD 看作一个整体，形成一个“弓形”。那么第四条边 AD 是这个弓形的“弦”。
为了使弓形围成的面积最大，这个“弓形”应该尽可能“饱满”。
结论：当三边 AB, BC, CD 构成一个等腰梯形的腰和底时，面积才最大。
这里的题目是“三边为 10 的四边形”。我们有三条边是 10。
假设 AB=10, BC=10, CD=10。
第四条边 AD 的长度是可以变化的。
关键原理：圆内接四边形面积最大
如果一个四边形是圆内接四边形，在周长固定的情况下，它的面积是最大的。
在这里，我们不是固定周长，而是固定了三边。
最直观的理解：
我们把三条长度为 10 的棍子 AB、BC、CD 连接起来。
要使面积最大，我们应该让这三条棍子尽可能地“打开”。
如果 ∠ABC 和 ∠BCD 都取 120 度，则 A 和 D 的距离会比较远。
一个重要的几何定理：
对于任意两个定点 P 和 Q，以及定长 L，由 P 和 Q 连接的线段与两条长度为 L 的线段组成的“开口图形”，其面积最大当且仅当这两条长度为 L 的线段关于 PQ 对称。
在这里，我们的“开口图形”是 AB 和 BC，连接 A 和 C。
或者 BC 和 CD 连接 B 和 D。
最终的答案推理：
考虑四边形 ABCD，AB=BC=CD=10。
我们可以将四边形分割成两个三角形：△ABC 和 △ADC。
面积 S = 1/2 10 10 sin(∠ABC) + 1/2 CD AD sin(∠ADC') （这里的 D 是 A，C 是 D）
S = 1/2 10 10 sin(∠ABC) + 1/2 10 AD sin(∠ADC')
我们还可以分割成 △ABD 和 △BCD。
S = 1/2 AB BD sin(∠ABD) + 1/2 BC CD sin(∠BCD)
S = 1/2 10 BD sin(∠ABD) + 1/2 10 10 sin(∠BCD)
为了最大化面积，我们希望 sin(∠ABC) 和 sin(∠BCD) 都尽可能大。
最大的 sin 值为 1，对应 90 度角。
如果 ∠ABC = 90 度，∠BCD = 90 度，那么 A=(0,10), B=(0,0), C=(10,0), D=(10,10)。
AB=10, BC=10, CD=10。AD = $10sqrt{2}$。
这个四边形 ABCD 是一个矩形，它的面积是 10 10 = 100。
但是，这里 AB=10, BC=10, CD=10, DA=$10sqrt{2}$。
这个四边形确实有三条边是 10。
关键点在于：第四条边 AD 的长度不是预设的，而是由前三条边和整个四边形的构型决定的。
让我们重新审视：三边为 10 的四边形。
也就是说，我们有三条边是 10，第四条边是任意的。
如果第四条边是任意的，那我们很容易就能让面积无限大（例如，让第四条边变得非常长）。
所以，问题隐含的意思是：三边长度固定为 10 的四边形，如何摆放才能使得整个四边形的面积最大？
假设问题是：固定三条边 AB=10, BC=10, CD=10，并且这三条边是连续的，如何确定 D 点（相对于 A 点）才能使四边形 ABCD 面积最大？
我们知道，三角形的面积公式是 1/2 底 高。
面积 S = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)
面积(△ABC) = 50 sin(∠ABC)
面积(△ADC) = 1/2 AC CD sin(∠ACD)
其中 AC = $10 sqrt{2 2 cos(angle ABC)}$ (由余弦定理)。
为了最大化面积，我们需要考虑 ∠ABC 和 ∠BCD 的组合。
结论：形成一个“最舒展”的等腰梯形
考虑将三条长度为 10 的边 AB, BC, CD 构成一个整体。
如果我们让 AB 和 CD 平行，BC 作为一条腰，那么这是一个等腰梯形。
但是，这里 AB=BC=CD=10。
正确思路：四边形的面积最大化，通常意味着它是一个“最圆润”的形状。对于固定边长的问题，通常会转化为圆内接四边形。
如果我们的四边形是圆内接的，并且 AB=BC=CD=10。
设圆的半径为 R。
根据弦长公式 $L = 2R sin( heta/2)$，其中 L 是弦长，θ 是圆心角。
对于三条长度为 10 的弦，它们对应的圆心角设为 $alpha, eta, gamma$。
10 = $2R sin(alpha/2)$
10 = $2R sin(eta/2)$
10 = $2R sin(gamma/2)$
这意味着 $alpha = eta = gamma$。
因此，这三条边在圆上对应相同的圆心角。
如果四边形 ABCD 是圆内接的，并且 AB=BC=CD=10，那么 A, B, C, D 是圆上的四个点。
那么 AB, BC, CD 的圆心角是相等的。
设这个圆心角为 $ heta$。则 AB=BC=CD=10。
这意味着点 B 和 C 是圆上的两个点，它们与圆心的夹角是 $ heta$。
点 A, B, C, D 沿着圆周排列。
考虑四边形 ABCD，AB=10, BC=10, CD=10。
为了使面积最大，这四点应该尽可能地分布在圆周上，使得它们形成一个“最平坦”的四边形。
如果三边 AB, BC, CD 连接起来，形成一个“弓形”。那么第四条边 AD 是弓弦。
为了让面积最大，这个弓形应该尽可能地“饱满”。
直观上，应该让 ∠ABC 和 ∠BCD 都取最大的可能值，使得 A 和 D 离得远。
最终答案和解释：
当三边为 10 的四边形面积最大时，这三条边（不妨设为 AB, BC, CD，长度均为 10）应该与第四条边 AD 形成一个圆内接四边形，并且这三条长度相等的边所对应的圆心角也相等。
具体来说，我们让 AB, BC, CD 这三条长度为 10 的边，在同一个圆上所对的圆心角是相等的。
设这个相等的圆心角为 $ heta$。
那么，A, B, C, D 四点位于同一个圆上。
AB=10, BC=10, CD=10。
这三条弦等长，所以它们所对的圆心角相等。
为了使面积最大，这三条边应该占据圆周上尽可能大的弧度。
假设这三条边所对的圆心角分别为 $alpha$, $eta$, $gamma$。
那么 AB=BC=CD=10，意味着 $alpha = eta = gamma$。
这三条边将圆周分成了四部分。其中三部分（对应的 AB, BC, CD）是等弧。
为了最大化四边形的面积，我们应该让这三条相等的边 AB, BC, CD 尽可能地“分开”。
这意味着，让 ∠ABC 和 ∠BCD 的和尽可能大。
但是，这需要与第四条边 AD 的长度相关。
最关键的结论：
当一个四边形有三条边长度相等时，它要达到最大面积，它必须是一个圆内接四边形。并且，这三条等长的边在圆上所对应的圆心角是相等的。
具体构造：
设 AB=BC=CD=10。
将这三条边放在一个圆上，使它们对应的圆心角相等。
这意味着 AB, BC, CD 三段圆弧的长度是相等的。
假设这三条边对应的圆心角是 $ heta$。
那么，整个圆周是 $2pi$。
剩下的圆弧对应第四条边 AD。
设第四条边 AD 的长度为 $d$。它对应的圆心角为 $2pi 3 heta$。
四边形 ABCD 的面积可以通过将四个顶点与圆心连接形成的四个三角形面积之和来计算（如果是凸四边形）。
面积 S = 1/2 R AB sin(∠AOB) + 1/2 R BC sin(∠BOC) + 1/2 R CD sin(∠COD) + 1/2 R AD sin(∠DOA)
这里 R 是外接圆半径。
AB, BC, CD 的圆心角相等，设为 $ heta$。
AD 的圆心角为 $phi$。
$10 = 2R sin( heta/2)$
$d = 2R sin(phi/2)$
$3 heta + phi = 2pi$。
面积 S = 1/2 R 10 sin($ heta$) + 1/2 R 10 sin($ heta$) + 1/2 R 10 sin($ heta$) + 1/2 R $d$ sin($phi$)
S = 15R sin($ heta$) + 1/2 R $d$ sin($phi$)
根据三角函数的性质，当圆心角相等时，弦长也相等。
为了让面积最大，我们希望这三条相等的边能够“撑开”整个四边形。
最简单的想象：
将三根长度为 10 的棍子 AB, BC, CD 首尾相连。
然后，用第四条“绳子” AD 将 A 和 D 连接起来，形成一个四边形。
为了最大化面积，这三根棍子应该尽可能地“展开”。
这意味着，∠ABC 和 ∠BCD 的值应该尽可能地大。
考虑对称性：
如果这三条边 AB, BC, CD 是对称分布的，那么这个四边形也会具有某种对称性。
结论是：当这三条边 AB, BC, CD 和第四条边 AD 组成一个等腰梯形时，面积最大。并且，这三条长度为 10 的边是构成梯形的三条平行边中的两条短边和一条腰，或者两条腰和一条底边。
然而，更精确的结论是：
当四边形是圆内接四边形时，面积最大。
如果三边为 10 的四边形，且 AB=BC=CD=10。
为了面积最大，它必须是圆内接的，并且 AB, BC, CD 在圆上对应的圆心角相等。
设这个圆心角为 $ heta$。
则 AB=BC=CD=10。
第四条边 AD 对应的圆心角为 $2pi 3 heta$。
我们知道弦长 $L = 2R sin(alpha/2)$。
$10 = 2R sin( heta/2)$。
第四边 $d = 2R sin((2pi 3 heta)/2) = 2R sin(pi 3 heta/2) = 2R sin(3 heta/2)$。
面积为：S = 1/2 AB BC sin(∠ABC) + 1/2 CD AD sin(∠CDA) ... 这又回到了之前的复杂性。
换一个角度：
如果我们将三边 AB=10, BC=10, CD=10 固定，那么 A, C 的距离是确定的，AC = $10 sqrt{2 2 cos(angle ABC)}$。
然后，我们有一个固定的线段 AC，和一条长度为 10 的线段 CD，连接到点 D。
A, C, D 构成一个三角形 △ACD。它的面积是 1/2 AC CD sin(∠ACD)。
最终、最简洁且正确的答案：
三边为 10 的四边形，当这三条边 AB=BC=CD=10，并且第四条边 AD 使得整个四边形是一个圆内接四边形时，其面积最大。
并且，这三条长度为 10 的边在圆上所对应的圆心角是相等的。
如何具体画出来？
1. 画一个圆。
2. 在圆周上取三个点 A, B, C，使得 AB=BC=10。这意味着圆心角 ∠AOB = ∠BOC。
3. 再取一个点 D，使得 CD=10，并且 CD 所对的圆心角 ∠COD 也等于 ∠AOB 和 ∠BOC。
（这里有个前提，是 AB, BC, CD 是连续的三条边）
如果三条边是 AB=10, BC=10, CD=10，那么它们在圆上对应的圆心角是相等的。
设这个圆心角为 $ heta$。
那么这三条边占据了总圆周的 $3 heta$ 的角度。
第四条边 AD 占据了 $2pi 3 heta$ 的角度。
我们知道弦长 $L = 2R sin(alpha/2)$。
$10 = 2R sin( heta/2)$。
$d = AD = 2R sin((2pi 3 heta)/2) = 2R sin(pi 3 heta/2) = 2R sin(3 heta/2)$。
四边形 ABCD 的面积 S，可以表示为
S = 1/2 R² (sin($ heta$) + sin($ heta$) + sin($ heta$) + sin($2pi 3 heta$))
S = 1/2 R² (3sin($ heta$) + sin($2pi 3 heta$))
S = 1/2 R² (3sin($ heta$) sin(3$ heta$))
我们需要找到一个 $ heta$ 来最大化这个面积。
用三倍角公式 sin(3$ heta$) = 3sin($ heta$) 4sin³($ heta$)。
S = 1/2 R² (3sin($ heta$) (3sin($ heta$) 4sin³($ heta$)))
S = 1/2 R² (4sin³($ heta$)) = 2R² sin³($ heta$)。
从 $10 = 2R sin( heta/2)$ 可以得到 $sin( heta/2) = 10 / (2R) = 5/R$。
我们需要知道 R 和 $ heta$ 的关系。
最简单的理解方式还是：
如果三条边 AB=BC=CD=10，构成一个四边形 ABCD，面积最大时，这个四边形一定是圆内接四边形，并且这三条边在圆上的圆心角相等。
具体如何画出这个图形？
1. 随便画一个圆。
2. 在圆上任取一点 B。
3. 以 B 为圆心，10 为半径画圆弧，与大圆的交点就是 C。此时 BC=10。
4. 再以 C 为圆心，10 为半径画圆弧，与大圆的交点就是 D。此时 CD=10。
5. 最后，我们需要确定 A 点，使得 AB=10。而且，AB, BC, CD 在圆上的圆心角相等。
所以，圆心角 ∠AOB = ∠BOC = ∠COD。
这是为什么？
根据 Bretschneider's formula，任意四边形面积 S = $sqrt{(sa)(sb)(sc)(sd) abcd cos^2left(frac{alpha+gamma}{2} ight)}$。
当四边形是圆内接四边形时，$alpha+gamma = pi$，所以 $cos^2left(frac{alpha+gamma}{2} ight) = cos^2(pi/2) = 0$。
此时，S = $sqrt{(sa)(sb)(sc)(sd)}$。
在边长固定的情况下，当四边形是圆内接四边形时，面积达到最大。
我们的问题是三边固定，第四边不固定。
当 AB=BC=CD=10，并且四边形是圆内接的。
由弦长公式，如果四边形是圆内接的，并且 AB=BC=CD=10，那么它们所对的圆心角必然相等。
这意味着 AB, BC, CD 三段弧的长度相等。
所以，形成一个圆内接四边形，其中三条连续的边都是 10，并且这三条边所对应的圆心角相等。
为了具体操作：
1. 确定圆的半径 R。
2. 确定三条等边对应的圆心角 $ heta$。
3. 从 $10 = 2R sin( heta/2)$ 可以找出 R 和 $ heta$ 的关系。
4. 我们可以自由选择 R，然后计算出对应的 $ heta$。
5. 例如，如果我们选择 R=10，那么 $10 = 210 sin( heta/2)$，$sin( heta/2) = 1/2$，所以 $ heta/2 = 30°$，$ heta = 60°$。
这意味着 AB=BC=CD=10，它们都是半径 R=10 的圆上的弦，且圆心角都是 60°。
此时，A, B, C, D 四点构成一个正方形（如果 AD 的圆心角也是 60°的话），但这里不对。
如果 AB, BC, CD 的圆心角都是 60°，那么总共是 180°。
这意味着 A, B, C, D 占了半个圆。
此时，AD 的圆心角是 $360° 180° = 180°$。AD 是直径，长度为 2R = 20。
那么四边形 ABCD 的面积就是两个等腰三角形 ABC 和 ADC 的面积之和（因为 AB=BC=CD=10，R=10）。
△ABC 的面积 = 1/2 R R sin(60°) = 1/2 10 10 ($sqrt{3}/2$) = 25$sqrt{3}$。
△BCD 的面积 = 25$sqrt{3}$。
△ACD 的面积 = 1/2 R R sin(180°) = 0，这里不对。
我们需要的是四边形 ABCD 的面积。
当圆心角是 60°, 60°, 60°, 180° 时。
四边形面积 S = 1/2 R² (sin(60°) + sin(60°) + sin(60°) + sin(180°))
S = 1/2 10² ($sqrt{3}/2$ + $sqrt{3}/2$ + $sqrt{3}/2$ + 0)
S = 50 (3$sqrt{3}/2$) = 75$sqrt{3}$ ≈ 129.9。
而我们之前算到的直角情况面积是 100。
所以，75$sqrt{3}$ 是更大的面积。
结论： 三边为 10 的四边形，面积最大时，该四边形是圆内接四边形，并且三条长度为 10 的边所对应的圆心角相等。
在这种情况下，这三条边所对的圆心角之和为 180 度，第四条边是直径，长度为 20。四边形的面积是 75$sqrt{3}$。
画法：
1. 画一个半径为 10 的圆。
2. 在圆周上取一点 B。
3. 以圆心 O 为顶点，以 OB 为一边，画一个 60° 的角，交圆周的点就是 A。那么 AB=10。
4. 从 B 点出发，再画一个 60° 的角，交圆周的点就是 C。那么 BC=10。
5. 从 C 点出发，再画一个 60° 的角，交圆周的点就是 D。那么 CD=10。
6. 此时，A, B, C, D 构成一个四边形（如果 AD 的圆心角是 180° 的话）。
这里的 A, B, C, D 是按顺序排布的。AB=10, BC=10, CD=10。
那么 ∠AOB=60°, ∠BOC=60°, ∠COD=60°。
那么 A, B, C, D 围成的四边形，其面积最大。
具体形状：
三条半径为 10 的弦 AB, BC, CD 长度都为 10，且它们对应的圆心角都是 60°。
这就意味着 AOB, BOC, COD 都是等边三角形。
所以 AB=BC=CD=10。
A, O, B, C, D 是圆周上的点。
∠AOB=∠BOC=∠COD=60°。
那么 OA=OB=OC=OD=10（半径）。
AD 的圆心角是 ∠AOD = ∠AOB + ∠BOC + ∠COD = 180°。
AD 是直径，长度为 2R = 20。
这个四边形 ABCD 的面积是，通过顶点 A, B, C, D 组成的四边形。
它实际上由三个等边三角形和一个半圆组成。
但我们这里说的是四边形，不是扇形。
四边形 ABCD 的面积 = 面积(△ABC) + 面积(△ADC)。
△ABC 的 AC 长度可以通过余弦定理求得：AC² = 10² + 10² 21010cos(120°) = 100 + 100 200(1/2) = 300。AC = $10sqrt{3}$。
△ADC 的 AD 是直径，长度 20。CD=10。
这个角度关系有点复杂。
最简单、最准确的描述：
三边为 10 的四边形，使其面积最大时，该四边形为圆内接四边形，并且这三条长度为 10 的边所对应的圆心角相等。
具体来说，圆的半径为 10，三条边对应的圆心角均为 60°，第四条边（直径）为 20。
此时四边形的面积为 75$sqrt{3}$。
如果你需要画图，那就是在一个半径为 10 的圆上，取三段长度为 10 的弧，每段弧对应的弦长是 10。这三段弧所对应的圆心角都是 60°。然后将这三段弧的端点连接起来，形成四边形。
网友意见
通过水槽镜像变成六边形，推广到更一般的形式：已知一个N边形，各条边的边长依次为 ，它的面积最大是多少，什么时候取最大值？
解决这个问题最直接的办法是列函数用拉格朗日乘子法求极值，不过也有个取巧的办法，物理学上根据虚功原理，如果能构造一个物理系统使得它的能量的表达式和我们要求极值的函数是一致的，那么能量取极值的时候，各个组件也刚好受力平衡，因而可以改用力学平衡来求解极值问题，它跟直接列出函数然后求导是等价的。
把N边形的相邻边之间用铰链连接起来（可以自由旋转但必须保持连接，边是刚性的不能弯曲和拉伸），往这个N边形内部“充气”，内部的“气体”有固定的压强p，则N边形面积变化δS时，气体做功为pδS，这样整体能量可以认为是-pS，面积最大时能量最小，只需要对这个体系求静力平衡就行。
首先看每条边，它受到两端铰链和气体压强的作用，气体压力是 ，作用点为边的中心，整体平衡是两个条件：
- 三个力合力为0
- 三个力合力矩为0
不难得出，两端铰链的作用力沿垂直杆的方向的分量各自为 ，沿着杆方向的分量大小相等方向相反。设第k条边沿着杆方向的分量为 ，所有的下标我们规定 ，下标为0的边可以同时用0或者N表示，方便后面的公式书写。
考虑每个铰链，它受到两个相邻边的作用力，这两个力合力为0。设k和k+1两条边的夹角为 ，为了方便起见这里规定 是相应的外角，即k的延长线与k+1的夹角，或者180°-相应内角，则可以得到方程：
改写成矩阵
注意这个矩阵的逆矩阵是它本身，同时也有
可以运用复数进行换元，记 ，则有
设 ，则有
多边形必须首尾相连，则外角和为一个周角，边的向量和为0，两个条件同样用复数写为
重新用 表示：
后一个即
不难发现 成立时，后一个等式恰好也成立，两个条件化简为一个条件。
因为有 ，如果我们作一个以R为半径的圆，然后从圆上任意一点开始，依次以圆心为中心旋转 、 、 ……，最后恰好会回到原处（2β和为一个周角），而 对应的弦长正好就是 ，同时相应的外角恰好也是 ，于是我们就得到了一个惊人的结论：
固定边长的多边形面积最大时，当且仅当它是一个圆内接多边形
很容易证明在边的顺序固定的情况下，所有固定边长的圆内接多边形都是全等的，因为它们的外接圆半径一定相等——必须有 且 ，而后一个等式左侧的关于R的函数，在 时是单调递减的，值域则包含 ，因而有且只有一个符合条件的R。
问题中的条件比较特殊，所有边长都相等，那么边长都相等的圆内接多边形一定是个正多边形。
前面的物理方法还可以解决一个等周问题的劣化版本——周长相等的圆内接N边形中，最大的是正N边形。只需要把铰链变成类似滑轮的结构，将杆变成某种特殊的绳，允许它在滑轮的地方滑到另一侧，但两个滑轮之间必须拉直——这种物理模型不常见，但数学上没有毛病。很容易通过受力平衡得到这时候所有的 必须都相等，那么滑轮处的受力平衡决定了所有的 也必须都相等，前面的结论又说明它必须是一个圆内接多边形，因而一定是一个正多边形。
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