数学经典教材有什么？
首先，我们得明确一下，“经典教材”这个概念其实挺宽泛的。它可能指那些被广泛采用，历久弥新，奠定了某个数学分支基础的著作；也可能指那些视角独特，能够启发读者深入思考，甚至改变我们看待数学方式的书籍；更可能是那些在教学实践中被反复验证，效果显著，能够引导学生从入门到精通的教科书。在我看来，真正的经典教材，是能够穿越时间和空间的限制，依然散发着智慧的光芒，让初学者茅塞顿开，让进阶者获得新的灵感。
咱们就从几个大类来聊聊吧，这样脉络更清晰：
一、 奠基之作：那些开启了数学新篇章的书
这类教材可能写于相对早期，但它们提出的思想和方法，至今仍然是理解相关领域的基石。
《几何原本》（Elements） 欧几里得（Euclid）
说到数学经典，怎么能绕开《几何原本》呢？这不仅仅是一本数学书，更是一部西方思想史上的里程碑。欧几里得在书中构建了一个严谨的公理体系，从几个基本公设出发，一步步推导出几百个几何定理。它第一次系统地展示了如何运用逻辑推理来建立数学知识，这种公理化的思想方法对整个科学的进步都产生了深远的影响。
读《几何原本》是一种独特的体验。你会发现，很多我们现在觉得理所当然的几何概念，在那个时代是经过多么艰苦的探索和严谨的论证才得以确立的。它教会我们的不仅仅是几何知识，更是“证明”的艺术，是逻辑的力量。虽然现代几何学已经发展出许多更高级的理论，但《几何原本》所蕴含的严谨精神和推理模式，依然是我们学习和理解数学的“元语言”。它就像是数学的启蒙诗，简约而又充满力量。
《算术》（Arithmetica） 丢番图（Diophantus）
这本书虽然不如《几何原本》那么声名显赫，但它在代数发展史上占据着重要地位。丢番图在书中研究了各种代数方程，尤其是不定方程（丢番图方程），并引入了符号代数的早期形式。牛顿在研究微积分时，就曾受到这本书的启发，并且在书页的空白处留下了大量的注解，这本身就是对这本书价值的最好证明。
《算术》教会我们的是如何将几何问题转化为代数问题，以及如何处理方程。它展示了数学家们如何通过抽象和符号来解决更普遍、更复杂的问题。这本书的意义在于，它标志着数学从具体问题向抽象代数思想的过渡。
二、 体系之作：构建现代数学框架的书
随着数学的发展，我们需要更系统、更深入的教材来掌握各个分支。
微积分类：
《微积分原理》（Principia Mathematica） 怀特海（Alfred North Whitehead）和罗素（Bertrand Russell）
这个名字可能很多人会联想到牛顿的《自然哲学的数学原理》，但怀特海和罗素的这部巨著，其目标是为数学建立一个逻辑基础，尤其是逻辑主义的代表作。它试图将数学的各个分支都还原为逻辑和集合论。虽然这部书极其庞大和艰深，对后世哲学和逻辑学影响深远，但它的“精神”在于追求数学的严谨性和基础性。它不是一本教授“如何做微积分”的书，而是“微积分为什么成立”的书。
《微积分学》（Calculus） 阿佩尔（Apostol）
谈到现代的微积分教材，阿佩尔的这本书绝对是经典中的经典。它以一种非常严谨和现代的视角来介绍微积分，从实数系、极限开始，一步步构建起微积分的完整体系。它的优点在于数学的严谨性和思想的深刻性。书中不仅讲授了计算技巧，更强调了概念的理解和定理的证明，为学生打下坚实的数学基础。读阿佩尔的微积分，你会体会到数学的深刻内涵，而不仅仅是公式的堆砌。
《托马斯微积分》（Thomas' Calculus）
这是另一部被广泛使用的经典教材，以其清晰的讲解、丰富的例题和练习而著称。与阿佩尔的严谨不同，托马斯微积分在保证一定严谨性的前提下，更侧重于直观的理解和实际的应用。它更适合作为大多数学生学习微积分的入门读物，能够帮助学生建立起对微积分概念的良好直觉和计算能力。
线性代数类：
《线性代数及其应用》（Linear Algebra and Its Applications） 吉尔伯特·斯特朗（Gilbert Strang）
斯特朗教授的这本书可以说是线性代数的“明星教材”。他的讲解风格直观、生动，而且非常注重几何直观和实际应用。他将抽象的线性代数概念与实际问题紧密结合，比如在图像处理、数据科学等领域的应用。这本书的魅力在于它能够让你感受到线性代数的力量，理解它在现代科学技术中的重要作用。他独特的教学方法和对学生启发式的引导，让这本书成为了许多人心中的线性代数圣经。
抽象代数类：
《抽象代数》（Abstract Algebra） 萨尔·兰德（I. N. Herstein）
这本书在抽象代数领域是公认的经典。它以一种清晰、逻辑性强的方式介绍了群、环、域等抽象代数的基本概念。赫斯坦教授的写作风格非常精炼，逻辑严谨，但又不会过于枯燥。他善于通过精心选择的例子来阐述抽象的概念，帮助读者建立起对抽象代数的理解。读这本书，你会开始领略到数学的抽象之美，以及这些抽象结构在不同数学分支中扮演的关键角色。
《当代抽象代数》（Contemporary Abstract Algebra） 约瑟夫·加洛维（Joseph A. Gallian）
与赫斯坦的风格略有不同，加洛维教授的这本书在例题和应用方面更加丰富。它同样保持了抽象代数应有的严谨性，但通过更多的例子，特别是从密码学、图论等领域引入的例子，让抽象代数显得更加生动和有吸引力。这本书对于那些希望看到抽象概念如何转化为实际应用的读者来说，是绝佳的选择。
三、 思想之作：启发深入思考的书籍
这类教材可能不是某个特定课程的标准教材，但它们能够极大地拓宽你的数学视野，培养你的数学思维。
《什么是数学》（What Is Mathematics?） 理查德·柯朗（Richard Courant）和赫伯特·罗宾斯（Herbert Robbins）
这本书堪称数学的“百科全书”和“趣味指南”。它用通俗易懂的语言介绍了数学的各个领域，从数论、几何、拓扑到微积分、逻辑等等。这本书的独特之处在于它不只是罗列知识，更侧重于展示数学思想的魅力、数学问题的趣味性以及数学家的探索过程。它能够激发读者对数学的兴趣，让学习数学变得充满乐趣和探索精神。这本书也经常被用作数学入门的读物，因为它能让你看到数学世界的广阔与精彩。
《数学的语言》（The Language of Mathematics） 林德赛·哈珀（Lindsay Harper） （假设有这样一本书，意在说明这类教材的重要性）
这类书籍往往关注数学的核心思想、结构和逻辑，而不是具体的计算技巧。它们会探讨数学的本质，数学家如何思考问题，以及数学在认识世界中的作用。它们就像是数学的“哲学读物”，帮助我们提升数学素养，培养更深刻的数学洞察力。它们可能不会告诉你具体的解题步骤，但会让你明白“为什么”要这样解题，以及“还有什么别的可能性”。
任何一本好的“数论”教材，例如《数论导引》（An Introduction to the Theory of Numbers） 艾瑞克·贝尔（Eric Temple Bell）
数论被誉为“数学的皇冠”，它研究的是整数的性质。这类教材通常会从最基本的整数性质出发，通过巧妙的证明和深刻的洞察，揭示出数学世界隐藏的规律。贝尔的这本书，虽然有些年代，但其文笔优美，叙述引人入胜，将数论的各个分支，如整除性、同余、二次剩余、连分数等，一一呈现。读数论，你会感受到数学的纯粹和优雅，以及那些看似简单的问题背后隐藏的巨大深度。
为何它们能成为经典？
我认为，这些教材之所以能成为经典，有几个共性：
1. 思想的深刻性： 它们不仅仅是知识的搬运工，更是思想的传播者。它们提出的概念、方法和证明，能够触及数学的本质，启发读者进行更深入的思考。
2. 逻辑的严谨性： 数学是逻辑的艺术，经典教材都遵循严格的逻辑推理，一步步构建起知识体系，让读者在清晰的逻辑链条中理解数学。
3. 例证的恰当性： 好的教材善于用精妙的例子来阐述抽象的概念，将理论与实践结合，让读者更容易理解和掌握。
4. 叙述的清晰性： 尽管内容艰深，但经典教材的叙述往往清晰流畅，语言精准，能够引导读者一步步深入。
5. 历久弥新： 它们提出的思想和方法，能够经受住时间的考验，在不同的时代背景下依然具有重要的参考价值。
学习经典教材的态度和方法：
读经典教材，不能只求“看完”，而要“读懂”。这需要：
耐心和毅力： 很多经典教材的内容是需要反复琢磨的，不要因为一次看不懂就放弃。
动手实践： 数学是需要动手的学科，要跟着书本一起推导、演算、做练习题。
主动思考： 遇到不理解的地方，多问“为什么”，尝试自己去思考，去寻找答案。
联系与拓展： 将学到的知识与其他知识联系起来，主动去查找相关的资料和研究进展。
总而言之，数学经典教材就像是一座座宝藏，它们蕴含着数学的智慧和魅力。它们不仅仅是学习知识的工具，更是引领我们进入数学世界的引路人，教会我们如何思考，如何探索，如何欣赏数学之美。能够去阅读、去理解这些经典的数学著作，本身就是一种数学的修行。
网友意见
谢邀。
我只推荐一下我看过的而且觉得非常值得一读的。每个人对数学教材的品位不同，所以这些只是我个人的观点。为了让各位初步了解每本书的特点，我稍微写了下我自己的感受。
另：我会不定期更新这个答案，删掉或补充一些书，代表我重新回来看的时候一些不一样的看法。
数学分析：
Spivak《Calculus》入门最佳，很多定理给出的是“感性”的证明，习题又多又好
Rudin 《Principles of Mathematical Analysis》练级，主要是前八章，并不适合初学
提一下卓里奇，俄罗斯这边的人说他们都不怎么用卓里奇了。可能大一一上来就学那么多东西确实有些“残忍”。
多元分析与流形：
Munkres《Analysis on Manifolds》第三章第四章太啰嗦但其它章出奇的好，第一章我认为是写的最好的对拓扑和线性代数的review，讲Tensor那章也是很好，注意一点，学习这本书之前最好有过一些多元微积分的基础，否则看第三四章的时候有点空中楼阁的感觉
Loring Tu《An Introduction to Manifolds》简练易懂，且不需要多少点集拓扑的知识，有些notation很奇怪，比如开区间。对我来说，这本书最大的优点就在于它的诚实。很多书前言会写不需要太多prerequisites，但你读着读着就会发现作者在开玩笑。这本书作者真的就做到了。还有它的习题量合理，难度适中，且都有hint，极为适合自学。总之强推。
Nigel Hitchin《Differentiable Manifolds》这只是一个讲义，但是写的很好。
线性代数：
《Linear Algebra Done Right》必备，目前为止最喜欢的数学书
Hoffman《Linear Algebra》字典，能用到的这都有，但有些老，有些过于代数
抽象代数：
Robert Ash《Basic Abstract Algebra》这个书很适合自学和复习，题不多但很精致，并且都有答案。所有的证明都是范本一样的书写，并且选取的都是最好的证明。内容上不多，即使自学也不会觉得迷失。我当时期末复习就靠这本书和老师的笔记。
Dummit&Foote《Abstract Algebra》例子多，是个定理的，是个结论的这书里都有。就是太厚了，习题多到做不完，好在都有答案
Rotman 《Advanced Modern Algebra》这个书AMS现在出第三版了，国内出过第一版，运气好能找到第一版。这个我现在觉得是写得最好的，但是前提是你得有点基础。Rotman的书都不错
Mathematics -- J.S. Milne这里面的lecture notes处理都很现代，Milne出品，必属精品。
说一下Lang的大部头，我的教授是这么说的：This is not a book for reading.他觉得Lang的书主要是reference book，所有定理的证明基本上选取的都是最简洁的，而不是最易懂的。另外，Lang也可以用来检查自己哪里还没有学懂。
拓扑：
Munkres《Topology》圣经
John Lee《Introduction to Topological Manifolds》不失几何观点，同时又不像Hatcher全是YY。多补充一句我为什么不喜欢Hatcher这种风格。一本书写得再难懂，你多想想还有可能懂，但是如果是形象化的靠想象的证明，你想不出来就是想不出来。
复分析：
Stein 《Complex Analysis》借用我同学的一句话，读这本书就像读小说一样，相当流畅。但深度不足，有些证明并不严谨，所以天赋高的可以考虑下面的这本：
Markushevich 《Theory of Functions of a Complex Variable》又是苏联人留给数学界的一个完美的作品。Amazon全五星评价，细致入微，证明严谨友好。总之哪里学不懂，来这里找，肯定有，也肯定讲得更好。缺点就是太厚了，铺垫太多，前两百页左右其实可以直接跳过去。
实分析：
Zygmund and Wheeden《Measure and Integral》这本书写得很好，风格有点像Rudin，很concrete。我最喜欢这本书的一点是该有的定理和性质都会给证明，不像有些书放在习题里，没有老师的话就错过了。最近出了新版，是Wheeden一个人写的。
Donald Cohn 《Measure Theory》作者并不是一流数学家，但是书写的难得的好，挑不出毛病来。国内应该能买到第一版。
Piemarco Cannarsa and Teresa D'Aprile 《Introduction to Measure Theory and Functional Analysis》这书我觉得大部分人应该都没听说过吧……但是我为了复习实分析大概的读了一些，感觉写的很好。内容上不贪多，所用符号不乱，给出的证明简洁。
概率论与随机过程：
Grimmett&Stirzaker 《Probability and Random Processes》这本算是本科和研究生都可以看的概率书，题是真多，不过有配套的答案，开刷吧！
Robert Ash 《Probability and Measure Theory》这是一本既可以当实分析教材又可以当概率论教材的书，Ash写的所有书没有不好的，这本也一样。这本书证明都非常的标准，习题也均有答案，选取的topic也很恰当，很适合自学。我非常推崇Ash的书的一个原因就是他写的东西都是很标准的，是正确地学这个东西的方式。Ash有个习惯，就是学完一个东西就写本书，所以他写的书跨度极大，什么方向都有。
Rick Durrett 《Probability: Theory and Examples》初学概率论不觉得这本书写得好，现在才觉得是真好啊。习题给劲，证明简介，结构清晰，选题恰当。对于初学者不甚友好，但是有过很好的测度论基础和一些概率基础之后再看，才会明白为什么北美基本所有学校都用这本书当教材。
Erhan Cinlar 《Introduction to Stochastic Processes》
Durrett 《Essentials of Stochastic Processes》
两本标准的随机过程书，都很好，而且不assume测度论。
组合学：
Miklos Bona《A Walk Through Combinatorics》没看过几本组合书，但我认为这本很好，比大名鼎鼎的A Course in Combinatorics要简单不少。
ODE：
Arnold《Ordinary Differential Equations》初学有点难（如果初学ODE这本书能读懂，那内功真的很深厚了），不过不像其他ODE书那么无聊。
更多的东西可参考：
Chicago Undergraduate Mathematics Bibliography Chicago undergraduate mathematics bibliography
另外说一下，抽象代数还可以看一下Benedict Gross的视频，你不可能听到更清楚地讲解了。
值得最后一提的是，ETHZ的很多老师写的讲义都很好，比如Dietmar Salamon等，Nigel Hitichin写了几个虽短但是精致的lecture notes，善于从网上找资源，也是很好的，毕竟免费。
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