如何判断向量组是否线性相关？
判断向量组是否线性相关是线性代数中的一个基础且重要的概念。如果一个向量组中的向量能够通过有限次的加法、减法以及数乘运算，得到零向量，而并非所有系数都为零，那么这个向量组就是线性相关的。反之，如果只有所有系数都为零时才能得到零向量，则向量组是线性无关的。
下面我将从不同角度详细解释如何判断向量组是否线性相关：
核心概念：线性组合与零向量
在深入判断方法之前，我们必须理解“线性组合”和“零向量”的含义：
线性组合 (Linear Combination): 给定一个向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$，以及一组标量（实数或复数） $c_1, c_2, dots, c_k$，它们的线性组合是 $c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k$。
零向量 (Zero Vector): 在一个向量空间中，零向量是指所有分量都为零的向量。例如，在二维空间中是 $(0, 0)$，在三维空间中是 $(0, 0, 0)$。
判断方法一：利用定义（寻找非零系数的组合）
这是最根本的判断方法，也是理解其他方法的基础。
定义:
向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 线性相关，当且仅当存在不全为零的标量 $c_1, c_2, dots, c_k$，使得：
$c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k = mathbf{0}$
如何操作：
1. 写出线性方程组:
假设向量组中的向量是 $v_1 = egin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ vdots \ a_{m1} end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ vdots \ a_{m2} end{pmatrix}$, ..., $v_k = egin{pmatrix} a_{1k} \ a_{2k} \ vdots \ a_{mk} end{pmatrix}$。
我们要找的方程是 $c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k = mathbf{0}$。
将其写成矩阵形式：
$egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & dots & a_{1k} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2k} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & dots & a_{mk} end{pmatrix} egin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ vdots \ c_k end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 \ vdots \ 0 end{pmatrix}$
记为 $Ac = mathbf{0}$，其中 $A$ 是由向量组构成的矩阵（列向量），$c$ 是由未知系数组成的列向量。
2. 求解齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$:
如果存在非零解: 也就是说，存在一组不全为零的 $c_1, c_2, dots, c_k$ 使得方程成立，那么向量组就线性相关。
如果只有零解: 也就是说，只有当 $c_1=c_2=dots=c_k=0$ 时才能使方程成立，那么向量组就线性无关。
判断齐次线性方程组是否有非零解的方法：
高斯消元法: 将矩阵 $A$ 进行行变换，化为行阶梯形或简化行阶梯形。
如果化简后，自由变量的个数大于零（即存在不对应主元的列），则有非零解，向量组线性相关。
如果化简后，所有变量都是基本变量（即每列都有主元），且变量的个数等于向量的个数（即 $k$ 个变量），则只有零解，向量组线性无关。
秩 (Rank) 的概念:
如果矩阵 $A$ 的秩 (rank(A)) 小于向量的个数 $k$ (即 $rank(A) < k$)，则齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$ 有非零解，向量组线性相关。
如果矩阵 $A$ 的秩 (rank(A)) 等于向量的个数 $k$ (即 $rank(A) = k$)，则齐次线性线性方程组 $Ac = mathbf{0}$ 只有零解，向量组线性无关。
举例说明：
判断向量组 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix}$, $v_3 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$ 是否线性相关。
构造矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 4 & 0 \ 3 & 6 & 1 end{pmatrix}$。
我们要解方程 $Ac = mathbf{0}$。
进行高斯消元：
$R_2 leftarrow R_2 2R_1$: $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 3 & 6 & 1 end{pmatrix}$
$R_3 leftarrow R_3 3R_1$: $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 2 end{pmatrix}$
$R_3 leftarrow R_3 R_2$: $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
矩阵化简后的方程组为：
$c_1 + 2c_2 + c_3 = 0$
$2c_3 = 0$
从第二个方程得到 $c_3 = 0$。将 $c_3=0$ 代入第一个方程，得到 $c_1 + 2c_2 = 0$。
这表明 $c_1 = 2c_2$。
我们可以选择一个非零的 $c_2$ 来找到非零解。例如，令 $c_2 = 1$，则 $c_1 = 2$。
所以，一个非零解是 $c_1 = 2, c_2 = 1, c_3 = 0$。
这说明 $2v_1 + 1v_2 + 0v_3 = mathbf{0}$，即 $2egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} + egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} + egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}$。
因为存在非零系数使得向量的线性组合为零向量，所以该向量组线性相关。
并且，在这个例子中，$rank(A) = 2$（因为有两行非零行），而向量的个数是 $k=3$。由于 $rank(A) < k$ ($2 < 3$)，所以向量组线性相关。
判断方法二：特殊的向量组情况
在某些特殊情况下，我们可以直接判断向量组的线性相关性，无需进行复杂的计算。
1. 如果向量组中包含零向量:
如果向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 中存在零向量（比如 $v_i = mathbf{0}$），那么该向量组一定是线性相关的。
理由: 我们可以取 $c_i = 1$ (对应零向量的系数)，而所有其他系数 $c_j = 0$ ($j eq i$)。
则有 $0 cdot v_1 + dots + 1 cdot mathbf{0} + dots + 0 cdot v_k = mathbf{0}$。
因为存在非零系数（这里的 $c_i=1$），所以向量组线性相关。
2. 如果向量的个数多于向量的维度:
如果一个向量组包含 $k$ 个 $m$ 维向量，且 $k > m$，那么这个向量组一定是线性相关的。
理由: 将这 $k$ 个向量作为列向量构成一个 $m imes k$ 的矩阵 $A$。
根据矩阵秩的性质，一个 $m imes k$ 矩阵的秩最多为 $min(m, k)$。
在这里，$rank(A) le m$。
由于 $k > m$，所以 $rank(A) le m < k$。
根据方法一中的秩的结论，$rank(A) < k$ 意味着齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$ 有非零解，向量组线性相关。
直观理解: 在一个 $m$ 维空间中，最多只能有 $m$ 个线性无关的向量。如果有超过 $m$ 个向量，它们必然会产生线性相关性。
3. 如果向量组中有一个向量是另一个向量的倍数:
如果向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 中存在两个向量 $v_i$ 和 $v_j$ ($i eq j$)，使得 $v_i = alpha v_j$ (其中 $alpha$ 是一个非零标量)，那么该向量组一定是线性相关的。
理由: 我们可以写出 $v_i alpha v_j = mathbf{0}$。
令 $c_i = 1$, $c_j = alpha$, 其他系数为 $0$。
则有 $0 cdot v_1 + dots + 1 cdot v_i + dots + (alpha) cdot v_j + dots + 0 cdot v_k = mathbf{0}$。
因为 $c_i = 1$ 和 $c_j = alpha$ 至少有一个不为零（只要 $alpha eq 0$），所以向量组线性相关。
注意: 如果 $alpha = 0$，那么 $v_i = mathbf{0}$，这种情况已经包含在“包含零向量”的情况中了。
举例说明：
向量组 $egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 2 \ 4 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix}$ 包含三个二维向量。由于向量个数 $3 >$ 向量维度 $2$，所以它们线性相关。
向量组 $egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$ 包含零向量，所以它们线性相关。
向量组 $egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$ 中，$v_2 = 2v_1$，所以它们线性相关。
判断方法三：利用行/列空间的维度（秩）
这个方法是方法一中秩概念的扩展和更直观的应用。
基本思想:
向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 的线性相关性可以通过由这些向量构成的矩阵的列空间（或行空间）的维度（秩）来判断。
1. 构造矩阵: 将向量组的向量作为矩阵的列向量，得到矩阵 $A$。
$A = [v_1, v_2, dots, v_k]$
2. 计算矩阵的秩: 矩阵 $A$ 的秩 (rank(A)) 是其列空间（或行空间）的维度，也等于其线性无关的列向量（或行向量）的最大数目。
3. 判断:
如果 $rank(A) < k$ (向量的个数)，则向量组线性相关。这意味着矩阵的列空间维度小于列向量的个数，说明至少有一个列向量可以由其他列向量线性表示。
如果 $rank(A) = k$ (向量的个数)，则向量组线性无关。这意味着矩阵的所有列向量都是线性无关的。
如何计算矩阵的秩？
高斯消元法: 将矩阵 $A$ 化为行阶梯形或简化行阶梯形。矩阵的秩就等于非零行的个数。
利用行列式 (Determinant): 这个方法仅适用于方阵（即向量的个数等于向量的维度，即 $k=m$）。
如果 $|A| eq 0$，则矩阵的秩等于其维度，列向量线性无关，向量组线性无关。
如果 $|A| = 0$，则矩阵的秩小于其维度，列向量线性相关，向量组线性相关。
重要提示: 如果矩阵不是方阵 ($k eq m$)，或者你想找到秩的精确值，就不能直接用行列式。行列式只能用于判断方阵的满秩性（秩等于维度）。
举例说明（继续之前的例子）：
向量组 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix}$, $v_3 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$。
构造矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 4 & 0 \ 3 & 6 & 1 end{pmatrix}$。
向量个数 $k=3$。
通过高斯消元化简得到行阶梯形 $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$。
非零行的个数是 $2$。
所以 $rank(A) = 2$。
由于 $rank(A) = 2 < k = 3$，向量组线性相关。
总结判断流程：
1. 初步检查:
向量组是否包含零向量？是则线性相关。
向量的个数是否大于向量的维度？是则线性相关。
向量组中是否有向量是其他向量的倍数？是则线性相关。
如果满足以上任何一种情况，可以直接得出结论。
2. 构造矩阵: 将向量组的向量作为矩阵 $A$ 的列向量。
设向量个数为 $k$。
3. 计算秩或求解齐次方程组:
方法A (秩): 将矩阵 $A$ 化为行阶梯形，计算其秩 $rank(A)$。
若 $rank(A) < k$，则向量组线性相关。
若 $rank(A) = k$，则向量组线性无关。
方法B (齐次方程组): 建立齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$，使用高斯消元法求解。
若方程组存在非零解，则向量组线性相关。
若方程组只有零解，则向量组线性无关。
方法C (行列式，仅适用于方阵): 如果向量个数等于向量维度（即 $A$ 是方阵），计算 $|A|$。
若 $|A| = 0$，则向量组线性相关。
若 $|A| eq 0$，则向量组线性无关。
理解线性相关/无关的重要性:
基 (Basis): 一个向量空间的一组基是线性无关且能张成整个空间的向量组。
维度 (Dimension): 向量空间中任意一组基的向量个数。
解空间的维度: 齐次线性方程组解空间（零空间）的维度与方程组的系数矩阵的零度（nullity）有关，零度等于向量个数减去矩阵的秩。
通过熟练掌握这些判断方法，你可以有效地确定一个向量组是否具有线性相关性，这对于理解和解决更复杂的线性代数问题至关重要。
下面我将从不同角度详细解释如何判断向量组是否线性相关：
核心概念：线性组合与零向量
在深入判断方法之前，我们必须理解“线性组合”和“零向量”的含义：
线性组合 (Linear Combination): 给定一个向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$，以及一组标量（实数或复数） $c_1, c_2, dots, c_k$，它们的线性组合是 $c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k$。
零向量 (Zero Vector): 在一个向量空间中，零向量是指所有分量都为零的向量。例如，在二维空间中是 $(0, 0)$，在三维空间中是 $(0, 0, 0)$。
判断方法一：利用定义（寻找非零系数的组合）
这是最根本的判断方法，也是理解其他方法的基础。
定义:
向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 线性相关，当且仅当存在不全为零的标量 $c_1, c_2, dots, c_k$，使得：
$c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k = mathbf{0}$
如何操作：
1. 写出线性方程组:
假设向量组中的向量是 $v_1 = egin{pmatrix} a_{11} \ a_{21} \ vdots \ a_{m1} end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} a_{12} \ a_{22} \ vdots \ a_{m2} end{pmatrix}$, ..., $v_k = egin{pmatrix} a_{1k} \ a_{2k} \ vdots \ a_{mk} end{pmatrix}$。
我们要找的方程是 $c_1v_1 + c_2v_2 + dots + c_kv_k = mathbf{0}$。
将其写成矩阵形式：
$egin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & dots & a_{1k} \ a_{21} & a_{22} & dots & a_{2k} \ vdots & vdots & ddots & vdots \ a_{m1} & a_{m2} & dots & a_{mk} end{pmatrix} egin{pmatrix} c_1 \ c_2 \ vdots \ c_k end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 \ vdots \ 0 end{pmatrix}$
记为 $Ac = mathbf{0}$，其中 $A$ 是由向量组构成的矩阵（列向量），$c$ 是由未知系数组成的列向量。
2. 求解齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$:
如果存在非零解: 也就是说，存在一组不全为零的 $c_1, c_2, dots, c_k$ 使得方程成立，那么向量组就线性相关。
如果只有零解: 也就是说，只有当 $c_1=c_2=dots=c_k=0$ 时才能使方程成立，那么向量组就线性无关。
判断齐次线性方程组是否有非零解的方法：
高斯消元法: 将矩阵 $A$ 进行行变换，化为行阶梯形或简化行阶梯形。
如果化简后，自由变量的个数大于零（即存在不对应主元的列），则有非零解，向量组线性相关。
如果化简后，所有变量都是基本变量（即每列都有主元），且变量的个数等于向量的个数（即 $k$ 个变量），则只有零解，向量组线性无关。
秩 (Rank) 的概念:
如果矩阵 $A$ 的秩 (rank(A)) 小于向量的个数 $k$ (即 $rank(A) < k$)，则齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$ 有非零解，向量组线性相关。
如果矩阵 $A$ 的秩 (rank(A)) 等于向量的个数 $k$ (即 $rank(A) = k$)，则齐次线性线性方程组 $Ac = mathbf{0}$ 只有零解，向量组线性无关。
举例说明：
判断向量组 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix}$, $v_3 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$ 是否线性相关。
构造矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 4 & 0 \ 3 & 6 & 1 end{pmatrix}$。
我们要解方程 $Ac = mathbf{0}$。
进行高斯消元：
$R_2 leftarrow R_2 2R_1$: $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 3 & 6 & 1 end{pmatrix}$
$R_3 leftarrow R_3 3R_1$: $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 2 end{pmatrix}$
$R_3 leftarrow R_3 R_2$: $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$
矩阵化简后的方程组为：
$c_1 + 2c_2 + c_3 = 0$
$2c_3 = 0$
从第二个方程得到 $c_3 = 0$。将 $c_3=0$ 代入第一个方程，得到 $c_1 + 2c_2 = 0$。
这表明 $c_1 = 2c_2$。
我们可以选择一个非零的 $c_2$ 来找到非零解。例如，令 $c_2 = 1$，则 $c_1 = 2$。
所以，一个非零解是 $c_1 = 2, c_2 = 1, c_3 = 0$。
这说明 $2v_1 + 1v_2 + 0v_3 = mathbf{0}$，即 $2egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix} + egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} + egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix} = egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}$。
因为存在非零系数使得向量的线性组合为零向量，所以该向量组线性相关。
并且，在这个例子中，$rank(A) = 2$（因为有两行非零行），而向量的个数是 $k=3$。由于 $rank(A) < k$ ($2 < 3$)，所以向量组线性相关。
判断方法二：特殊的向量组情况
在某些特殊情况下，我们可以直接判断向量组的线性相关性，无需进行复杂的计算。
1. 如果向量组中包含零向量:
如果向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 中存在零向量（比如 $v_i = mathbf{0}$），那么该向量组一定是线性相关的。
理由: 我们可以取 $c_i = 1$ (对应零向量的系数)，而所有其他系数 $c_j = 0$ ($j eq i$)。
则有 $0 cdot v_1 + dots + 1 cdot mathbf{0} + dots + 0 cdot v_k = mathbf{0}$。
因为存在非零系数（这里的 $c_i=1$），所以向量组线性相关。
2. 如果向量的个数多于向量的维度:
如果一个向量组包含 $k$ 个 $m$ 维向量，且 $k > m$，那么这个向量组一定是线性相关的。
理由: 将这 $k$ 个向量作为列向量构成一个 $m imes k$ 的矩阵 $A$。
根据矩阵秩的性质，一个 $m imes k$ 矩阵的秩最多为 $min(m, k)$。
在这里，$rank(A) le m$。
由于 $k > m$，所以 $rank(A) le m < k$。
根据方法一中的秩的结论，$rank(A) < k$ 意味着齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$ 有非零解，向量组线性相关。
直观理解: 在一个 $m$ 维空间中，最多只能有 $m$ 个线性无关的向量。如果有超过 $m$ 个向量，它们必然会产生线性相关性。
3. 如果向量组中有一个向量是另一个向量的倍数:
如果向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 中存在两个向量 $v_i$ 和 $v_j$ ($i eq j$)，使得 $v_i = alpha v_j$ (其中 $alpha$ 是一个非零标量)，那么该向量组一定是线性相关的。
理由: 我们可以写出 $v_i alpha v_j = mathbf{0}$。
令 $c_i = 1$, $c_j = alpha$, 其他系数为 $0$。
则有 $0 cdot v_1 + dots + 1 cdot v_i + dots + (alpha) cdot v_j + dots + 0 cdot v_k = mathbf{0}$。
因为 $c_i = 1$ 和 $c_j = alpha$ 至少有一个不为零（只要 $alpha eq 0$），所以向量组线性相关。
注意: 如果 $alpha = 0$，那么 $v_i = mathbf{0}$，这种情况已经包含在“包含零向量”的情况中了。
举例说明：
向量组 $egin{pmatrix} 1 \ 2 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 2 \ 4 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 3 \ 1 end{pmatrix}$ 包含三个二维向量。由于向量个数 $3 >$ 向量维度 $2$，所以它们线性相关。
向量组 $egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 0 \ 0 \ 0 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$ 包含零向量，所以它们线性相关。
向量组 $egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix}$, $egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$ 中，$v_2 = 2v_1$，所以它们线性相关。
判断方法三：利用行/列空间的维度（秩）
这个方法是方法一中秩概念的扩展和更直观的应用。
基本思想:
向量组 $v_1, v_2, dots, v_k$ 的线性相关性可以通过由这些向量构成的矩阵的列空间（或行空间）的维度（秩）来判断。
1. 构造矩阵: 将向量组的向量作为矩阵的列向量，得到矩阵 $A$。
$A = [v_1, v_2, dots, v_k]$
2. 计算矩阵的秩: 矩阵 $A$ 的秩 (rank(A)) 是其列空间（或行空间）的维度，也等于其线性无关的列向量（或行向量）的最大数目。
3. 判断:
如果 $rank(A) < k$ (向量的个数)，则向量组线性相关。这意味着矩阵的列空间维度小于列向量的个数，说明至少有一个列向量可以由其他列向量线性表示。
如果 $rank(A) = k$ (向量的个数)，则向量组线性无关。这意味着矩阵的所有列向量都是线性无关的。
如何计算矩阵的秩？
高斯消元法: 将矩阵 $A$ 化为行阶梯形或简化行阶梯形。矩阵的秩就等于非零行的个数。
利用行列式 (Determinant): 这个方法仅适用于方阵（即向量的个数等于向量的维度，即 $k=m$）。
如果 $|A| eq 0$，则矩阵的秩等于其维度，列向量线性无关，向量组线性无关。
如果 $|A| = 0$，则矩阵的秩小于其维度，列向量线性相关，向量组线性相关。
重要提示: 如果矩阵不是方阵 ($k eq m$)，或者你想找到秩的精确值，就不能直接用行列式。行列式只能用于判断方阵的满秩性（秩等于维度）。
举例说明（继续之前的例子）：
向量组 $v_1 = egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$, $v_2 = egin{pmatrix} 2 \ 4 \ 6 end{pmatrix}$, $v_3 = egin{pmatrix} 1 \ 0 \ 1 end{pmatrix}$。
构造矩阵 $A = egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 2 & 4 & 0 \ 3 & 6 & 1 end{pmatrix}$。
向量个数 $k=3$。
通过高斯消元化简得到行阶梯形 $egin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \ 0 & 0 & 2 \ 0 & 0 & 0 end{pmatrix}$。
非零行的个数是 $2$。
所以 $rank(A) = 2$。
由于 $rank(A) = 2 < k = 3$，向量组线性相关。
总结判断流程：
1. 初步检查:
向量组是否包含零向量？是则线性相关。
向量的个数是否大于向量的维度？是则线性相关。
向量组中是否有向量是其他向量的倍数？是则线性相关。
如果满足以上任何一种情况，可以直接得出结论。
2. 构造矩阵: 将向量组的向量作为矩阵 $A$ 的列向量。
设向量个数为 $k$。
3. 计算秩或求解齐次方程组:
方法A (秩): 将矩阵 $A$ 化为行阶梯形，计算其秩 $rank(A)$。
若 $rank(A) < k$，则向量组线性相关。
若 $rank(A) = k$，则向量组线性无关。
方法B (齐次方程组): 建立齐次线性方程组 $Ac = mathbf{0}$，使用高斯消元法求解。
若方程组存在非零解，则向量组线性相关。
若方程组只有零解，则向量组线性无关。
方法C (行列式，仅适用于方阵): 如果向量个数等于向量维度（即 $A$ 是方阵），计算 $|A|$。
若 $|A| = 0$，则向量组线性相关。
若 $|A| eq 0$，则向量组线性无关。
理解线性相关/无关的重要性:
基 (Basis): 一个向量空间的一组基是线性无关且能张成整个空间的向量组。
维度 (Dimension): 向量空间中任意一组基的向量个数。
解空间的维度: 齐次线性方程组解空间（零空间）的维度与方程组的系数矩阵的零度（nullity）有关，零度等于向量个数减去矩阵的秩。
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判断自己是否适合成为一名自由职业者，以及自由职业者的核心技能，是一个需要深入思考的问题。这不仅仅是关于选择一种工作方式，更是关于一种生活方式的转变。下面我将详细阐述这两个方面： 如何判断自己是否适合成为一名自由职业者？判断是否适合成为一名自由职业者，需要从多个维度进行自我审视，包括你的性格特质、工作.............
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判断一部作品是“反战”还是“反战败”，需要深入剖析其核心立意、叙事角度、人物塑造以及情感表达。两者虽然都涉及战争，但其出发点和落脚点截然不同。核心区别： 反战 (Antiwar): 根本上反对战争本身，认为战争是残酷的、不人道的、毁灭性的，不应发生。其批判对象是战争行为、战争的根源、战争带来的痛.............
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判断一个外国人夸中国是发自真心还是“财富密码”，确实是一个复杂但有趣的问题。这需要我们运用观察力、分析能力，并结合对不同文化背景的理解。下面我将详细阐述如何从多个维度去辨别：核心原则： 证据与逻辑: 真心的赞美通常有具体的事实支撑，逻辑清晰。而“财富密码”式的赞美往往流于表面，缺乏深度。 动.............
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判断一个西方人所处的社会阶层是一个复杂的过程，因为它涉及多种相互关联的因素，并且存在地域和文化上的差异。西方社会不像某些社会那样有明确的、制度化的等级划分，而是更加流动和多元。然而，我们可以通过观察和分析以下几个关键方面来大致判断一个人的社会阶层：一、 经济资本 (Economic Capital).............
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判断一个人的技术是否成熟是一个多维度、需要细致观察和评估的过程，没有绝对的标准，但可以从以下几个方面来综合考量：一、 技术深度与广度（基础与应用） 扎实的基础知识： 理论基础牢固： 对所处技术领域的核心概念、原理、算法有深刻的理解，而不仅仅是停留在调用API层面。比如，一个后端开发者.............
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这个问题触及了人们内心深处一个敏感又复杂的话题。当一个人说自己“抑郁”时，背后可能藏着真实病痛的折磨，也可能掺杂着一些其他的动机。要区分这其中的差异，关键在于理解“抑郁”本身是个非常具体的疾病诊断，而不是一个可以随意套用的标签。装抑郁，或者说故意夸大或编造抑郁症状，通常是为了获取某些利益，比如逃避责.............
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要判断一个人是否具有“文科天赋”，其实更像是在观察他对语言、思想、文化以及与人交流的某种天然亲近感和敏感度。这并非一蹴而就的测试，而是一种需要时间去体察的特质。首先，我们要明白，所谓的“文科天赋”并不是说一个人必须立刻出口成章，或者写出惊世骇俗的文章。它更多的是一种内在的倾向和能力，体现在以下几个方.............
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洞察核心，审视全局：如何判断专利的单一性专利的单一性，简单来说，就是指一项专利申请是否涵盖了一个或一组紧密相关的发明。这是一个至关重要的概念，不仅影响专利申请能否获得授权，更关乎专利的有效性和保护范围。一旦专利被认定为不具备单一性，审查员可能会要求申请人进行分案，或者直接驳回部分或全部权利要求，这无.............
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区分猫咪是真的在搏斗还是在嬉闹，这确实是个大学问，很多铲屎官都头疼过这个问题。不过别担心，掌握一些关键的观察点，你就能像个经验丰富的猫咪行为专家一样了。下面我给你好好说道说道，保证让你明明白白。首先，要明确一个基本概念：猫咪的打斗，无论真假，都是它们交流的一种方式。 就像我们人类有时候会开玩笑“动手.............
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判断一项发明是否应该申请专利，这可不是一项拍脑袋就能决定的事情，它涉及到对发明本身、市场环境以及自身战略的全面评估。说实话，很多人拿到一个绝妙的点子，就想着赶紧去申请专利，但实际上，专利申请耗时耗力耗钱，并非所有发明都值得为此付出。那么，我们究竟该怎么做才能做出明智的决定呢？我这里给你掰开了揉碎了聊.............
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判断一个人是否真的有钱还是在“装”，这确实是个挺有意思但又有点复杂的话题。因为“有钱”本身有很多层含义，有的是我们肉眼可见的财富，有的是藏在背后的底气。而且人嘛，有时候也需要一点面子，所以偶尔“装”一下也未尝不可。不过，如果你想看透一些，可以从以下几个方面去留意：一、 生活方式与消费习惯：细节是魔鬼.............
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关于一个人未来是贫是富，这确实是个让很多人好奇的话题。不过要记住一点，这并非绝对的科学预测，而是通过观察一些普遍的特质和行为模式来做出的推断。人生充满变数，任何时候努力和机遇都可能改变轨迹。以下是我认为可以参考的一些方面，我尽量用更自然的语言来描述它们：一、他如何看待金钱和物质？ 消费习惯： 观.............
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判断一个领导是在培养你还是在压榨你，是一个非常重要且普遍的问题，这直接关系到你的职业发展和个人成长。这两种情况往往界限模糊，有时甚至会同时出现。要做出准确的判断，需要从多个维度进行细致的观察和分析。以下是一些详细的判断标准和考量因素：一、 培养型领导的特质与表现：培养型领导的核心目标是让你成长、进步.............
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判断一个人是否喜欢你，需要细致的观察和综合的分析。这不像数学题一样有明确的公式，更多的是一种艺术，需要你用心去感受对方的言行举止。下面我将从多个维度为你详细解析，帮助你更好地识别那些可能对你有好感的人。一、 言语上的迹象： 主动与你交流，并寻找话题： 主动开启对话： 他/她是否经常主.............
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判断人口红利是否消失是一个复杂且多维度的问题，没有单一的、绝对的指标。它涉及到经济、社会、人口结构等多个方面的综合考量。一般来说，人口红利指的是一个国家或地区在一定时期内，由于劳动年龄人口（通常指1564岁或1559岁）占总人口的比重较高，从而为经济增长提供了充足的劳动力供给和较低的抚养比，进而促进.............
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