为什么乐理和数学如此不同？
但是，你问我乐理和数学为什么“如此不同”，这问题问得特别到位。因为表面上的“共通”很多时候只是皮毛，它们内在的本质和运作方式差异，比我们想象的要大得多。我来给你好好掰扯掰扯。
1. 目的与价值的根本差异：情感体验 vs. 逻辑证明
这是最核心的区别。
数学的终极目标是追求真理和确定性。 它建立在一套严密的公理体系之上，通过逻辑推理，从已知推导出未知，直到证明出普遍适用的真理。数学的语言是精确的符号，它的价值在于其普适性、客观性和逻辑的严谨性。一个数学定理，一旦被证明，它在任何时间和地点都是成立的，不容置疑。比如勾股定理，它描述的是直角三角形三边关系，这个关系是客观存在的，跟我们有没有感受到它无关。数学让我们理解宇宙的秩序，它是科学的基石。
乐理的终极目标是构建能够引发人类情感共鸣的艺术体验。 乐理提供的是一套组织声音的“规则”或“语言”，但这些规则不是为了证明某个永恒不变的真理，而是为了让声音听起来“好听”、“有意义”、“能打动人”。音乐的价值在于它的主观性、表现力和情感感染力。同一段旋律，在不同的人听来，可能会有截然不同的感受，可能是激昂、可能是悲伤、可能是宁静。乐理的规则是人类在长期实践中总结出来的，是约定俗成的，它会随着时代、文化和个人风格而发展和变化。比如一个和弦进行，在古典音乐里可能是平稳的，在爵士乐里可能就变得“不协和”而充满张力。
你可以把数学看作是建造一座坚不可摧、逻辑严密的桥梁，它必须按照精确的力学原理和材料规格来设计和建造。而音乐更像是画家在画布上挥洒色彩，作曲家在声音的海洋里遨游，他们用乐理这个工具来塑造一种情绪，传递一种意境。即使是使用相同的“颜料”（音高、节奏），不同的人也能画出完全不同的画作，引发不同的感觉。
2. 运作模式的差异：演绎性 vs. 创造性/直觉性
数学的运作是高度演绎和推理的。 从少数几个基本公理出发，通过一步步的逻辑推导，可以得出无数个结论。它的过程是可追溯的，每一步都可以被验证。数学家们的工作很大程度上是“发现”已有的规律，即使是创造新的数学分支，也是在现有逻辑框架内进行延伸。
乐理的运作则更侧重于创造性、直觉性和对现有模式的“游戏”。 作曲家运用乐理知识，但他们不是在推导定理，而是在运用这些规则来“建造”音乐。他们可以打破规则，可以重新组合规则，目的在于创造出新颖、动人或有深度的音乐。很多时候，音乐的灵感和创造力来自于直觉，来自于对声音的感受，乐理只是帮助他们将这些无形的感受具象化成可以演奏的音符。一个伟大的作曲家可能精通所有乐理知识，但他更依赖于自己的耳朵和内心的声音。
打个比方：数学家像是建筑工程师，严格按照设计图纸和力学原理建造房屋；而作曲家更像是室内设计师或艺术家，他们可能知道建筑的结构，但他们的重点在于如何通过色彩、布局、材质来营造氛围，让他们设计的空间“有感觉”。有时候，他们甚至会故意“破坏”一些规则，以达到某种特殊的艺术效果。
3. 抽象层次与主观体验的融合度
数学的抽象是纯粹的，它试图剥离所有感性的、主观的成分，达到纯粹的理性境界。 比如我们谈论数字“3”，它本身不带有任何情感色彩。它是一种客观存在的量。
乐理的抽象则是在高度主观的情感体验中进行的。 音高、音程、和弦这些概念，虽然有其客观的频率比例（这就是数学可以关联的地方），但它们在音乐中的意义，很大程度上取决于我们如何感知它们。例如，“大三度”听起来“明亮”、“愉快”，而“小三度”听起来“忧伤”、“柔和”，这种感知是高度主观和文化性的。音乐的“美”不是一个可以用公式计算出来的结果，它与人的情感、记忆、文化背景息息相关。
当数学家研究“黄金分割比例”，它就是一个纯粹的数字比例，无论你喜不喜欢它都存在。但当音乐家用三度音程来构建和弦，这种构建带来的听觉感受，以及这种感受引发的情绪，才是音乐的核心。
4. 演进的动力与评价标准不同
数学的演进是基于逻辑上的突破和一致性。 新的数学理论出现，需要能够解释现有现象，或者开辟新的研究领域，同时不与已有的公理体系相矛盾。评价标准是严谨性和普适性。
音乐的演进则更多是基于审美趣味、技术革新和情感表达的需求。 音乐风格的改变，比如从巴洛克到古典，再到浪漫主义，是由于作曲家们对声音的理解和表达方式的变化，是审美趋势的推动。评价标准是“是否动听”、“是否能打动人”、“是否有创新性”。有时候，一个“不协和”的音程，在某个时代被视为不和谐，而在另一个时代则可能成为表达强烈情感的利器。
比如，在早期的西方音乐中，很多现在我们认为很和谐的和弦，比如七和弦，可能被视为不和谐。乐理规则一直在跟着音乐的实践而发展，而不是反过来。
最后总结一下：
数学和乐理在某些层面上确实有联系，比如音高的频率比例、节奏的划分等等，这些都可以用数学来描述和分析。但这种联系更像是“外壳”或“工具”，而不是“内核”。数学是一个追求普遍真理、客观确定性的逻辑系统，它的语言是精确的符号，目的是理解世界的客观规律。而乐理是一个服务于艺术表达的系统，它提供的是组织声音的框架，它的目的是引发主观的情感体验，它的语言是流动的、感性的，并且始终在与人的感知和创造力进行互动。
所以，为什么乐理和数学如此不同？因为它们追求的目标、运作的方式、以及它们所触及的“真实”是根本不同的。一个在于理解宇宙的精确逻辑，另一个在于触碰人类内心最微妙的情感世界。一个是纯粹的理性，一个是理性与感性交织的艺术。
网友意见
这个问题真的是「思而不学则殆」的完美例子……初学音乐有自己的疑问很正常，没必要这么傲慢吧。
乐理一开始为啥不跟数学家商量一下，要么十进制要么二进制？整个世界都符合数学规律，难道声音不符合吗，应该也是可以用十进制做体系的
十进制不是数学家发明的。数学用几进制都能一模一样地描述，十进制是几千年前掰手指头的人搞出来的。十二个的数学原理是 2⁷ ≈ 1.5¹²，你掰手指头掰出来十个音的“音乐”根本* 没法听。
* 避免抬杠，我说的是随便掰出一首十平均律没法听，专业的微分音乐家还是可以写出好听的十平均律音乐的：
来个七进制也就算了
十二平均律你当 12 进制就算了，七进制又是什么道理？你想的这个 2−1 ≠ 4−3 的七进制才是不符合数学规律。
还从C开始一组，以B结束
既然是 A-G 那显然原本是 A 开头的，至于怎么变成 C 的，还是好好学乐理和音乐史吧。
并且半音和全音在五线谱上一样表示半格
五线谱上半格相差一个二度而不是一个全音，能问出这个问题以及前面七进制的问题，说明你根本没有“度”的概念，更别提调性、音阶和调式。谱子上半音表示一格的谱子不仅没有调的概念，而且会被拉成原来的近两倍高，根本无法快速阅读，如下：
不走寻常路的乐理发明者，跟数学老师果然不共戴天。
乐理最初几乎是纯靠数学发展的，几百年前的很多音乐理论家都是数学家、物理学家，你觉得他们数学怎么样？音乐相比于文学等艺术，恰恰是最能体现数学原理的。
没想到这回答会有几百赞……那我再补一些自己对数学和音乐联系的理解吧：
乐理与数学息息相关，但数学上看起来很直观很美的东西照搬到音乐上并不一定好听。比如一个圆周分成三份或者四份，最美观的分割方法是取三等分或四等分。但是一个八度圈如此分割，得到的几个音组成的却恰好是很不和谐的两个和弦：增三和弦 (第1、5、9个音为 1 3 #5) 和 减七和弦 (第 1 4 7 10 个音为 1 b3 b5 6=bb7)。
这是因为十二律下乐理和数学的联系其实非常矛盾和纠结。频率其实是对数增长的，而它取对数才是我们用音名说的音高。在频率上套用数学规律则是毫无问题的，比如从 262 Hz 的 C3开始、频率比为简单整比的 1:2:3:4:5:6 的六个音就是 C 大三和弦的组成音 (C3 C4 G4 C5 E5 G5)，即所谓的泛音列。而用取对数后的数值套用线性的数学规律就会出现题主这种想当然的误区。
这种纠结其实源于律制的建立。音程符合简单比例关系时最完美（和谐音程会严格具有很小的共同周期），但音程符合对数关系时最方便（随意转调）。若要兼顾两者，可以写出 2^n ≈ 1.5^x 这一个整数解方程，它的一个局部最优近似解是 x = 12（十二律），其他位置的局部最优解还有 5（宫商角徵羽的五律），53（土耳其音乐），665（现代一些微分音乐）。这就是题主问到的十二律所符合的数学原理。
只能说你数学水平太差了以至于看不到这种宏伟的美, 一叶障目, 不见泰山.
最简单的乐理里蕴含的数学原理也超乎你的想象, 给你描述一下我眼中看到的景色.
Stage1:为什么中国古代音乐是五音而西方是七音？
Stage2:为什么找不到 12 音阶的纯律？
Stage3:切我：平均律制与黎曼 ζ 函数
这三篇都是关于微分音级的, 我们先讲述一下前两篇
为什么不用10进制, 是平均律这是个非常复杂的问题...
第一篇说的是五音与七音没有本质区别, 然后推导了一下五度相生律的通项公式是:
然后进一步推导出了微分音级是 的最佳近似
于是我们寻求古老的丢番图逼近理论, 计算其连分数逼近得到了 A005664 - OEIS
也就是说平均律只能在 2, 5, 12, 41, 53, 306, 665... 这个数列中选
这显然不够精细, 第二篇讨论了所谓的高阶音律
从泛音列出发, 第一泛音和基音是 的关系, 对人耳来说频率翻倍, 感觉相似, 那么就用这个距离来定八度音程(一均)
第二泛音与第一泛音是的关系, 这个距离定做纯五度, 听起来似乎最和谐, 于是就得到了一阶音律: 五度相生律
接下来第三泛音与第二泛音是 的关系, 但是这个不能作为基, 因为可以从前面的比例合成 ; 下一个第四泛音与第三泛音是 的关系, 定为大三度, 于是我们可以构建二阶的音律: 纯律
我们进一步推导了纯律的通项公式, 可以在 中选取可能的音符.
选取多少就成了一个多元整数格的逼近问题, 我们可以通过高维线性规划来求解
选取比纯律还要精巧的三阶音律, 我们得到了A054540 - OEIS
平均律可以取 2, 3, 5, 7, 12, 19, 31, 34, 53, 118...
还能不能做的更好? @切我 给出了答案
我们还是从泛音列出发, 一个基本原理是频率翻倍感觉相似
比例音乐的问题是转调困难, 不管如何进行切分都无法还原, 高阶音律可以弥补这个问题, 但是高级音律的计算也太过复杂了点, 而且也没有解决问题的本质.
到了现代我们可以使用平均律, 平均律的问题就是不准, 但是高阶平均律可以减小误差. 平均律用一个基本单位的整数次幂近似模拟整数之比, 如果这两个数越接近, 就说明模拟得越好.
对于阶平均律来说, 考虑整数之比与 的整数幂的接近程度, 相当于考虑与整数的接近程度.
我们需要找一个指标来刻画平均律的优劣
我们要找的是一个关于的函数 , 用来刻画与整数的总体接近程度.
是一个周期函数, 我们希望这个函数尽量简单.
周期函数里除开常函数没法用, 最简单的就是三角函数了, 再上去就是椭圆函数了.
我们取
这么选的另一个原因是我们希望这是个平滑函数, 否则可能发散, 而且余弦函数是个整函数
我们希望每个有不同的权重, 因为更小的整数要更重要一些
于是我们在在前乘以一个指数 , 越大, 这个指标就越偏向小整数:
我们定义函数 , 他对于任意 都是一个实解析函数
把所有乱七八糟的东西都展开成指数形式
我们得到了一个非常重要的结论:
对于平均律，它模拟整数之比的能力可以被黎曼 函数模的平方表示
的值越大，这种平均律就越好!
我们固定 k 画出 s 的图, 可以看到这个函数有某些类似山脊的部分
k = n / Log [ 2 ]; color = Function [{ x , y , z }, Hue @ Rescale [ Arg @ Sin [ z + x I ], { -1 , 1 } * 2 / Pi ]]; Plot3D [ Abs [ Zeta [ s + 2 Pi I k ]] ^ 2 , { s , 1 , 4 }, { n , 1 , 20 }, MaxRecursion -> 0 , PlotPoints -> 50 , PlotRange -> All , ColorFunction -> color ]
这些局部极值不随 变化而改变局部特性.
为了研究这种性质, 我们引入对数 Gamma 函数.
与 的分支切割不同, 是另一个函数, 只在实数域相等.
我们定义所谓的 Riemann-Siegel 函数
令 , 我们有
所以考察 的图像的极大值就能得到平均律可以选取的值了
于是我们得到了一个非常精细的平均律, 堪比无穷阶比例音律.
综上所述,平均律可以取 2,5,7,12,19,22,31,41,53,72,99.....
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