在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗？

这个问题非常有趣，涉及到连续函数在开区间上行为的一个重要性质。答案是：在开区间上无界的连续函数不一定不一致连续，但有一个关键的补充条件：如果这个开区间是无限的（例如 $(infty, infty)$ 或 $(0, infty)$），那么无界的连续函数就一定不一致连续。但如果开区间是有界的（例如 $(0, 1)$），情况就不同了。

我们来详细分析一下：

1. 一致连续的定义

首先，我们需要回顾一下一致连续的定义。一个函数 $f$ 在一个集合 $S$ 上一致连续，是指对于任意给定的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得对于集合 $S$ 中的任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 x_2| < delta$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

关键点在于： 对于所有的 $x_1, x_2 in S$， $delta$ 的取值是独立于 $x_1, x_2$ 的，只依赖于 $epsilon$。

2. 连续的定义

一个函数 $f$ 在一个点 $x_0$ 连续，是指对于任意给定的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得对于所有满足 $|x x_0| < delta$ 的 $x$，都有 $|f(x) f(x_0)| < epsilon$。

关键点在于： $delta$ 的取值依赖于 $x_0$。

3. 关系：一致连续蕴含连续

如果一个函数在某个集合 $S$ 上一致连续，那么它在该集合的每一点上都连续。这是因为一致连续的 $delta$ 是全局的，自然也适用于任何局部点。

4. 问题核心：在开区间上的行为

现在，让我们回到问题本身：在开区间上无界的连续函数一定不一致连续吗？

我们来考虑两种情况的开区间：

情况一：开区间是无限的（例如 $S = (infty, infty)$ 或 $S = (0, infty)$）

在这种情况下，是的，在开区间上无界的连续函数一定不一致连续。

为什么？

让我们尝试证明一下。假设 $f$ 在一个无限开区间 $S$ 上连续且无界。如果 $f$ 在 $S$ 上是一致连续的，那么根据一致连续的定义，对于 $epsilon = 1$ (或者任何大于0的常数)，存在一个 $delta > 0$，使得对于所有 $x_1, x_2 in S$ 且 $|x_1 x_2| < delta$，都有 $|f(x_1) f(x_2)| < 1$。

这意味着，在一个长度小于 $delta$ 的区间内，函数值的变化幅度是有限的（小于1）。

现在考虑函数无界性。由于 $f$ 在 $S$ 上无界，这意味着存在一个点列 ${x_n}_{n=1}^{infty}$，使得 $|f(x_n)| o infty$ 当 $n o infty$。

假设 $S = mathbb{R}$ (实数集)，函数 $f(x) = x^2$ 在 $mathbb{R}$ 上是连续的，并且在 $mathbb{R}$ 上是无界的（当 $x o infty$ 或 $x o infty$ 时，$f(x) o infty$）。

我们来检验 $f(x) = x^2$ 在 $mathbb{R}$ 上是否一致连续。
为了证明它不一致连续，我们需要找到一个 $epsilon > 0$ (例如 $epsilon = 1$)，使得对于任意给定的 $delta > 0$，都存在 $x_1, x_2 in mathbb{R}$ 满足 $|x_1 x_2| < delta$ 但 $|f(x_1) f(x_2)| ge 1$。

考虑函数在相隔很近的点上的变化：
$|f(x) f(x+h)| = |x^2 (x+h)^2| = |x^2 (x^2 + 2xh + h^2)| = |2xh h^2| = |h||2x+h|$。

如果我们取 $h = delta/2$，那么 $|h| = delta/2$。
我们需要 $|f(x_1) f(x_2)| ge 1$，即 $|h||2x+h| ge 1$。
$(delta/2)|2x+h| ge 1$。

如果我们选择一个大的 $x$ 值，例如 $x = N$ 且 $h = delta/2$。
$(delta/2)|2N + delta/2| ge 1$。
如果 $N$ 足够大，比如 $2N + delta/2 > 2/delta$，那么这个不等式就会成立。
例如，我们可以选择 $x_1 = N$ 和 $x_2 = N + delta/2$。那么 $|x_1 x_2| = delta/2 < delta$。
$|f(x_1) f(x_2)| = |N^2 (N+delta/2)^2| = |N^2 (N^2 + Ndelta + (delta/2)^2)| = |Ndelta (delta/2)^2| = Ndelta + (delta/2)^2$。
当 $N$ 趋向于无穷时，这个值也会趋向于无穷，远大于任何固定的 $epsilon$。

所以，对于任意的 $delta > 0$，我们总能找到 $|x_1 x_2| < delta$ 但 $|f(x_1) f(x_2)|$ 很大。
因此，$f(x) = x^2$ 在 $mathbb{R}$ 上不一致连续。

更普遍的论证（无限开区间）：

假设 $f$ 在无限开区间 $S$ 上连续且无界。
根据无界性，存在一个点列 ${x_n}_{n=1}^{infty}$，使得 $|f(x_n)| o infty$。
如果 $f$ 在 $S$ 上一致连续，那么对于 $epsilon = 1$，存在 $delta > 0$ 使得 $|x_1 x_2| < delta implies |f(x_1) f(x_2)| < 1$。
这意味着在长度小于 $delta$ 的任何区间内，函数值的变化是受限的。

现在考虑点列 ${x_n}$。由于 $S$ 是无限的，我们可以构造这样的点列，使得它们“足够远”地分布。
假设 $S = (a, infty)$ 或 $S = (infty, b)$ 或 $S = (infty, infty)$。
根据无界性，我们可以找到一串点 $y_1, y_2, y_3, dots$ 使得 $y_k o infty$ (或 $y_k o infty$)，并且 $|f(y_k)| o infty$。

现在，如果我们假设 $f$ 在 $S$ 上是一致连续的，那么对于 $epsilon = 1$，存在一个 $delta > 0$ 使得对于所有 $x_1, x_2 in S$ 且 $|x_1 x_2| < delta$，都有 $|f(x_1) f(x_2)| < 1$。
这意味着在长度小于 $delta$ 的任何子区间上，函数值的变化幅度都小于 1。

如果 $f$ 在 $S$ 上无界，那么必然存在一个值 $M$，使得存在 $x_0 in S$ 使得 $|f(x_0)| > M$。由于无界，我们可以找到一系列点 $x_1, x_2, dots, x_k$ 使得它们之间的距离都小于 $delta$，但是它们对应的函数值差异巨大。
例如，我们可以找到点 $y_1, y_2, dots, y_n$ 使得 $|y_{i+1} y_i| < delta$ 并且 $|f(y_{i+1}) f(y_i)|$ 很大。
然而，如果 $f$ 在 $S$ 上一致连续，那么 $|f(y_{i+1}) f(y_i)| < 1$。
这会形成一个矛盾。

更严谨的证明思路（无限开区间）：

假设 $f$ 在无限开区间 $S$ 上连续且无界。
如果 $f$ 在 $S$ 上是一致连续的，则对于 $epsilon = 1$，存在 $delta > 0$ 使得对所有 $x_1, x_2 in S$ 且 $|x_1 x_2| < delta$，有 $|f(x_1) f(x_2)| < 1$。

由于 $f$ 在 $S$ 上无界，存在一个序列 ${x_n}_{n=1}^{infty}$ 且 $x_n in S$，使得 $|f(x_n)| o infty$。
我们可以从中选择一个子序列 ${x_{n_k}}$，使得 $|f(x_{n_k})|$ 单调递增且 $|f(x_{n_k})| ge k$。

现在考虑区间 $[x_{n_k}, x_{n_k+1}]$ (假设 $x_{n_k} < x_{n_k+1}$，如果方向相反则类似)。
如果 $f$ 在 $S$ 上一致连续，那么对于任意的 $x, y in S$ 且 $|xy| < delta$，有 $|f(x)f(y)| < 1$。
这意味着在一个长度为 $delta$ 的区间内，函数值的变化不会超过 1。

但是，由于 $f$ 无界，我们可以找到点 $a_1, a_2, dots, a_m in S$ 使得 $|a_{i+1} a_i| < delta$ 但 $|f(a_{i+1}) f(a_i)|$ 很大。
具体来说，我们可以找到点 $y_1, y_2, dots, y_k$ 使得 $|y_{i+1} y_i| < delta$ 并且 $|f(y_1)| le C$ (某个常数)，但 $|f(y_k)|$ 非常大。

如果 $f$ 在 $S$ 上一致连续，那么对于 $epsilon=1$，存在 $delta>0$ 使得 $|xy|<delta implies |f(x)f(y)|<1$。
考虑点列 $z_0, z_1, z_2, dots, z_N$ 使得 $|z_{i+1}z_i| < delta$ 并且 $z_0$ 和 $z_N$ 在 $S$ 中。
那么 $|f(z_N) f(z_0)| = |sum_{i=0}^{N1} (f(z_{i+1}) f(z_i))| le sum_{i=0}^{N1} |f(z_{i+1}) f(z_i)| < sum_{i=0}^{N1} 1 = N$。
这意味着如果两个点在“足够小”的 $delta$邻域内连接起来，它们的函数值变化是受限的。

然而，如果 $f$ 在无限开区间上无界，那么我们可以找到点 $a, b in S$ 使得 $|f(a)|$ 和 $|f(b)|$ 很大，而 $|ab|$ 可以变得任意大，但我们也可以找到点 $x, y in S$ 使得 $|xy| < delta$ 但 $|f(x)f(y)|$ 很大。
例如，考虑 $f(x) = sqrt{x}$ 在 $(0, infty)$ 上。它是连续的，也是无界的（当 $x o infty$ 时，$f(x) o infty$）。
我们来检验一致连续性。
$|f(x_1) f(x_2)| = |sqrt{x_1} sqrt{x_2}| = frac{|x_1 x_2|}{sqrt{x_1} + sqrt{x_2}}$。
如果我们选择 $x_1$ 接近 0，例如 $x_1 = delta^2/4$，$x_2 = delta^2/4 + delta$。
则 $|x_1 x_2| = delta$。
$|f(x_1) f(x_2)| = frac{delta}{sqrt{delta^2/4} + sqrt{delta^2/4 + delta}} = frac{delta}{delta/2 + sqrt{delta^2/4 + delta}}$。
当 $delta$ 趋向于 0 时，分母趋向于 $delta/2$，所以比值趋向于 $2$，大于任何给定的 $epsilon$。
因此，$f(x) = sqrt{x}$ 在 $(0, infty)$ 上不一致连续。

总结（无限开区间）：
在无限开区间上，无界性意味着函数值可以任意大。如果函数是一致连续的，那么在任何一个固定长度 $delta$ 的区间内，函数值的变化是受限的。当区间趋向于无穷时，如果函数值要变得任意大，必然要在某个地方“跨越”大量的函数值变化，而这些变化量在每个小区间内都是小于 $epsilon$ 的。这意味着需要很多个小区间来累积足够大的函数值变化。但无限开区间意味着我们可以找到这样的点，使得它们之间的距离很近，但函数值变化很大，这就破坏了一致连续的“全局性”要求。

关键定理：
一个函数在一个闭有界区间上连续，则它在该区间上一致连续。
这个定理告诉我们，在有界闭区间上，连续且无界（这种情况不可能发生，因为闭有界区间上的连续函数是有界的）的函数一定一致连续。

情况二：开区间是有界的（例如 $S = (0, 1)$）

在这种情况下，不一定。

为什么？

我们需要找到一个在有界开区间 $(0, 1)$ 上连续但无界的函数，并且它不是一致连续的。

考虑函数 $f(x) = 1/x$ 在开区间 $(0, 1)$ 上。
它是连续的。
它是无界的，因为当 $x o 0^+$ 时，$f(x) o infty$。

现在检验它是否一致连续。
我们需要证明：对于任意给定的 $epsilon > 0$，都存在一个 $delta > 0$，使得对于 $(0, 1)$ 中的任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 x_2| < delta$，就有 $|f(x_1) f(x_2)| < epsilon$。

反证法：假设 $f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1)$ 上是一致连续的。
那么对于 $epsilon = 1$，存在一个 $delta > 0$，使得对于 $(0, 1)$ 中的任意两点 $x_1, x_2$，只要 $|x_1 x_2| < delta$，就有 $|1/x_1 1/x_2| < 1$。

然而，我们可以选择 $x_1$ 和 $x_2$ 非常接近 0。
例如，令 $x_1 = delta/2$ 且 $x_2 = delta/4$。
则 $|x_1 x_2| = |delta/2 delta/4| = delta/4 < delta$。
这时，$x_1$ 和 $x_2$ 都属于 $(0, 1)$ (假设 $delta$ 足够小，例如 $delta < 1$)。

计算函数值的差：
$|f(x_1) f(x_2)| = |1/(delta/2) 1/(delta/4)| = |2/delta 4/delta| = |2/delta| = 2/delta$。

我们需要 $|f(x_1) f(x_2)| < 1$ 来满足一致连续的条件。
所以，$2/delta < 1$，即 $delta > 2$。

但是，我们根据一致连续性假设存在一个 $delta > 0$。如果这个 $delta$ 小于 2，例如 $delta = 1$，那么我们选择 $x_1 = 1/4$ 和 $x_2 = 1/8$。
$|x_1 x_2| = |1/4 1/8| = 1/8 < 1$。
$|f(x_1) f(x_2)| = |4 8| = 4 > 1$。
这与一致连续的假设矛盾。

因此，$f(x) = 1/x$ 在 $(0, 1)$ 上不一致连续。

这个例子说明：在有界开区间上，连续但无界的函数确实可以是（并且常常是）不一致连续的。

但是，问题是“一定不一致连续吗？”

我们是否有可能存在一个在有界开区间上连续且无界的函数，它同时也是一致连续的？
答案是否定的。 如果一个函数在一个有界开区间上无界，那么它一定不一致连续。

让我们来证明这一点。
假设 $f$ 在有界开区间 $S = (a, b)$ 上连续且无界。
根据无界性，存在一个点序列 ${x_n}_{n=1}^{infty}$ 且 $x_n in (a, b)$，使得 $|f(x_n)| o infty$。
由于 $(a, b)$ 是一个有界区间，这意味着这个序列 ${x_n}$ 是有界的。
根据 BolzanoWeierstrass 定理，存在一个收敛的子序列 ${x_{n_k}}$，并且其极限 $L$ 存在于 $[a, b]$ 中。

然而，由于 $f$ 在 $(a, b)$ 上连续，我们可以扩展到闭区间 $[a, b]$（如果 $a, b$ 是有限的）。
如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上连续且无界，且 $x_n o L$，$L in [a, b]$。
如果 $L in (a, b)$，那么由于 $f$ 在 $L$ 点连续，则 $lim_{x o L} f(x) = f(L)$，这是一个有限值。这与 $|f(x_n)| o infty$ 矛盾。
因此，极限点 $L$ 必须是区间的端点，即 $L=a$ 或 $L=b$。

假设 $L=a$。那么存在一个子序列 ${x_{n_k}}$ 使得 $x_{n_k} o a^+$ 且 $|f(x_{n_k})| o infty$。
如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上是一致连续的，那么对于 $epsilon = 1$，存在 $delta > 0$ 使得对于所有 $x_1, x_2 in (a, b)$ 且 $|x_1 x_2| < delta$，都有 $|f(x_1) f(x_2)| < 1$。

现在，由于 $x_{n_k} o a^+$，那么必然存在一个 $N$ 使得对于所有 $k > N$，都有 $x_{n_k} < a + delta$。
我们可以找到一个子序列，使得它在 $(a, a+delta)$ 这个区间内。
假设我们找到点 $y_1, y_2, dots, y_m in (a, a+delta)$ 使得 $|y_{i+1} y_i| < delta$ 并且 $|f(y_{i+1}) f(y_i)|$ 很大。
如果 $f$ 在 $(a, b)$ 上是一致连续的，那么 $|f(y_{i+1}) f(y_i)| < 1$ 对于所有 $i$ 都成立。
但是，由于 $f$ 在 $(a, b)$ 上无界，并且 $x_n o a^+$ 使得 $|f(x_n)| o infty$，这意味着在靠近 $a$ 的一个固定小的区间内，函数值可以变得任意大。这与一致连续的局部变化受限相矛盾。

严谨的证明（有界开区间）：

假设 $f$ 在有界开区间 $S = (a, b)$ 上连续且无界。
如果 $f$ 在 $S$ 上是一致连续的，那么对于 $epsilon=1$，存在 $delta > 0$ 使得对于所有 $x_1, x_2 in S$ 且 $|x_1 x_2| < delta$，有 $|f(x_1) f(x_2)| < 1$。

由于 $f$ 在 $S$ 上无界，存在一个点序列 ${x_n}_{n=1}^{infty}$ 且 $x_n in S$，使得 $|f(x_n)| o infty$。
因为 $S$ 是有界区间，所以 ${x_n}$ 是有界的。根据 BolzanoWeierstrass 定理，存在一个收敛的子序列 ${x_{n_k}}$，设其极限为 $L$。由于 $x_{n_k} in (a, b)$，所以 $L in [a, b]$。

如果 $L in (a, b)$，那么由于 $f$ 在 $L$ 点连续，$lim_{x o L} f(x) = f(L)$，这是一个有限值。但这与子序列 $|f(x_{n_k})|$ 无界矛盾。
因此，极限 $L$ 必须是区间的端点，即 $L=a$ 或 $L=b$。

假设 $L=a$。那么存在子序列 ${x_{n_k}}$ 使得 $x_{n_k} o a^+$ 并且 $|f(x_{n_k})| o infty$。
由于 $f$ 在 $S$ 上是一致连续的，对于 $epsilon=1$，存在 $delta>0$ 使得 $|x_1x_2| < delta implies |f(x_1)f(x_2)| < 1$。
由于 $x_{n_k} o a^+$, 必然存在一个 $N$ 使得对于所有 $k>N$, 都有 $x_{n_k} in (a, a+delta)$。
我们还可以找到这样的点序列 $y_1, y_2, dots, y_m in (a, a+delta)$ 使得 $y_i$ 之间的距离 $|y_{i+1} y_i| < delta$ 并且 $y_1$ 和 $y_m$ 可以是序列 ${x_{n_k}}$ 中的点。
然而，如果我们考虑在 $(a, a+delta)$ 区间内的点，因为 $f$ 在那里无界，我们可以找到点 $p, q in (a, a+delta)$ 使得 $|f(p)f(q)|$ 非常大，而 $|pq|$ 可以非常小。
更具体地，我们可以选择 $x_{n_k}$ 和 $x_{n_{k+1}}$ 使得 $|x_{n_k} x_{n_{k+1}}|$ 任意小（如果序列是收敛的），但 $|f(x_{n_k})|$ 的差值却会趋向无穷。

结论：

在无限开区间上，无界的连续函数一定不一致连续。 这是因为无限的区间提供了足够大的“空间”，使得在固定的间隔内函数值有限的变化累积起来，无法达到无限的无界性。相反，无界性要求在某些区域函数值变化非常快，这与一致连续的全局性要求相冲突。

在有界开区间上，无界的连续函数一定不一致连续。 这是因为有界开区间上的无界性意味着函数在靠近某个端点时趋于无穷。如果函数在该区间上是一致连续的，那么在靠近端点的一个小区间内，函数值的变化也是受限的。然而，无界性要求在这个小区间内函数值可以任意大，这就产生了矛盾。

所以，更准确的回答是：在开区间上无界的连续函数一定不一致连续。 我的最初回答中的区分是针对“有限”和“无限”开区间，但事实上，无论区间是有界的还是无限的，只要是开区间且函数无界，它就不可能是一致连续的。

我的最初思路在区分有限和无限开区间时稍有偏差。实际上，对于任何开区间，只要函数在该区间上无界且连续，它就一定不一致连续。

为什么会产生这个误解？

可能是在思考一致连续性与有界闭区间连续性的关系时，会想到“闭”和“有界”这两个性质对于一致连续性很重要。但这里的“无界”是函数值意义上的，而不是定义域的无界。

最终的结论是：是的，在开区间上无界的连续函数一定不一致连续。

谢邀

开区间上的有界连续函数

它不一致连续。

但闭区间上连续函数一定一致连续，这两个情况完全不同。

开区间上的无界连续函数

开区间上的无界连续函数一定非一致连续吗？也就是说，存在开区间上的一致连续的函数吗？

分两种情况，在有限开区间和无限开区间。

• 在无限开区间上

这是一致连续函数。

证：∀x₁，x₂∈( 1, +∞ )

于是 g(x) 在( 1, +∞ ) Lipschitz 连续，必一致连续。

• 在有限开区间上

这种情况是不可能一致连续的。

证：假设 h(x) 是 ( a, b )上的无界连续函数，我们知道 h 必然在边界无界，在其余的地方有界，否则不连续，矛盾。我们不妨设 h(a) = +∞，于是存在两个趋于 a 的点列，当n充分大时有：

这两个点列存在可由函数的介值性保证。故 h(x) 非一致连续。

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一致连续比较形象的理解是：

对于曲线上任意一点，存在一段“管子”（如上图）。随着点在曲线上的移动，管子也跟着移动，但要保证水平。如果管子可以不接触到曲线，完美走过所有点，则函数被称为一致连续。

这个说法是在裴礼文书上看到的。

生活中有类似的游戏，就是用一个小环套在铁丝曲线上，参与者要将小环从起点移至终点，全程不能触碰曲线，否则会引起警报。只不过，这种游戏不会限制小环调整角度，但“一致连续游戏”难度有点大——不允许调整角度。

如果不存在这样一根管子，那函数非一致连续。