计量经济学中ess、tss、 rss是什么？它们的关系是?
在计量经济学中，ESS、TSS 和 RSS 是理解模型拟合优度的三个基本概念，它们都围绕着数据点与模型预测值之间的“距离”展开。要深入理解它们，我们需要从一个最根本的问题入手：我们试图用模型来解释什么？
想象一下，你面前有一堆数据点，每个点都代表了某个变量（我们称之为因变量，比如某个家庭的收入）在另一个或多个变量（我们称之为自变量，比如该家庭的教育年限、工作年限等）影响下的表现。我们使用回归模型，比如线性回归，就是希望通过找到一个最佳的函数关系（一条线、一个平面，或者更高维度的超平面），来描述这些自变量如何影响因变量。
TSS (Total Sum of Squares) —— 总变异：
在开始构建模型之前，我们先要了解我们试图解释的因变量本身有多少“变化”或者说“不确定性”。TSS 就是衡量这个的。它计算的是，我们手头的所有观测值（实际的因变量数值）与所有观测值的平均值（均值）之间的差异的总和的平方。
为什么要用平均值？因为在没有任何模型的情况下，我们能做的最好的预测就是用因变量的平均值来预测每一个观测值。TSS 衡量的是，如果我们只依赖于因变量的平均值来做预测，我们会“错”多少。换句话说，TSS 代表了因变量的总变异，是我们在构建模型之前所面临的“总共需要被解释的差异”。它就像是你要把一堆散落的积木全部堆起来，TSS 就是这些积木的高度加起来的总和。
ESS (Explained Sum of Squares) —— 已解释的变异：
现在，我们有了回归模型。模型通过自变量的取值，为我们提供了一个对因变量的预测值。这些预测值通常会比单纯的平均值更接近实际的因变量数值。ESS 就是用来衡量我们的模型“有多么成功”地捕捉到了因变量的变化。
ESS 计算的是，模型提供的预测值与因变量的平均值之间的差异的总和的平方。更直观地说，TSS 衡量的是数据总的“散度”，而 ESS 衡量的是模型将这些“散度”中的多少“收拢”到了其预测值附近。也就是说，ESS 量化了模型通过自变量解释掉的那部分因变量的变异。如果 ESS 很大，说明我们的模型能够很好地捕捉到因变量的变化，将很多原本由平均值造成的“误差”变成了模型预测的“功劳”。它就像你堆积木，ESS 就是你用模型预测的每块积木的尖端与地面的平均高度之和（这里是与平均值的比较）。
RSS (Residual Sum of Squares) —— 未解释的变异（残差平方和）：
即使模型很出色，它也很难完美地解释所有因变量的变化。总会有一些实际观测值与模型预测值之间存在差异，这些差异就是“残差”。RSS 就是衡量这些残差的总和的平方。
RSS 计算的是，实际观测值与模型预测值之间的差异的总和的平方。换句话说，RSS 代表了模型未能解释的那部分因变量的变异。它就像是堆积木时，那些由于各种原因（比如积木本身不规则、手抖等）导致的高度未能达到模型预期的部分。RSS 越小，说明模型预测得越接近实际值，模型的拟合效果越好。
它们的关系：
这三个概念之间有一个非常重要且直观的关系，这个关系是模型拟合优度的核心。我们可以用一个简单的公式来概括：
TSS = ESS + RSS
这个公式告诉我们，因变量的总变异（TSS）可以被分解为两部分：一部分是被我们的回归模型成功解释的部分（ESS），另一部分是模型未能解释的部分（RSS）。
这就像是你要把一个大箱子里的所有糖果（TSS，总的糖果数量）分发给小朋友。你有一个分糖果的计划（模型）。你分发出去的糖果（ESS，模型解释的变异）是小朋友拿到手里的糖果。而剩下没发出去的糖果（RSS，模型未解释的变异）就是箱子里剩下的。你总共分出去的和剩下的，加起来就是箱子里原来的总糖果数量。
这个关系非常有用。如果我们知道 TSS 和 ESS，就能计算出 RSS，反之亦然。而且，它直接引出了我们衡量模型拟合优度的关键指标——决定系数 R²：
R² = ESS / TSS = 1 (RSS / TSS)
R² 的含义就是，因变量的总变异中，有多少百分比可以被我们的模型所解释。R² 越接近1，说明模型拟合得越好，ESS 占 TSS 的比例越大，RSS 占 TSS 的比例就越小。
总而言之，ESS、TSS 和 RSS 是理解回归模型性能的基石。TSS 告诉我们总共有多少变化需要解释；ESS 告诉我们模型解释了多少变化；RSS 告诉我们模型还剩下多少变化没解释。它们共同构成了我们判断一个模型是否“有效”的依据。
想象一下，你面前有一堆数据点，每个点都代表了某个变量（我们称之为因变量，比如某个家庭的收入）在另一个或多个变量（我们称之为自变量，比如该家庭的教育年限、工作年限等）影响下的表现。我们使用回归模型，比如线性回归，就是希望通过找到一个最佳的函数关系（一条线、一个平面，或者更高维度的超平面），来描述这些自变量如何影响因变量。
TSS (Total Sum of Squares) —— 总变异：
在开始构建模型之前，我们先要了解我们试图解释的因变量本身有多少“变化”或者说“不确定性”。TSS 就是衡量这个的。它计算的是，我们手头的所有观测值（实际的因变量数值）与所有观测值的平均值（均值）之间的差异的总和的平方。
为什么要用平均值？因为在没有任何模型的情况下，我们能做的最好的预测就是用因变量的平均值来预测每一个观测值。TSS 衡量的是，如果我们只依赖于因变量的平均值来做预测，我们会“错”多少。换句话说，TSS 代表了因变量的总变异，是我们在构建模型之前所面临的“总共需要被解释的差异”。它就像是你要把一堆散落的积木全部堆起来，TSS 就是这些积木的高度加起来的总和。
ESS (Explained Sum of Squares) —— 已解释的变异：
现在，我们有了回归模型。模型通过自变量的取值，为我们提供了一个对因变量的预测值。这些预测值通常会比单纯的平均值更接近实际的因变量数值。ESS 就是用来衡量我们的模型“有多么成功”地捕捉到了因变量的变化。
ESS 计算的是，模型提供的预测值与因变量的平均值之间的差异的总和的平方。更直观地说，TSS 衡量的是数据总的“散度”，而 ESS 衡量的是模型将这些“散度”中的多少“收拢”到了其预测值附近。也就是说，ESS 量化了模型通过自变量解释掉的那部分因变量的变异。如果 ESS 很大，说明我们的模型能够很好地捕捉到因变量的变化，将很多原本由平均值造成的“误差”变成了模型预测的“功劳”。它就像你堆积木，ESS 就是你用模型预测的每块积木的尖端与地面的平均高度之和（这里是与平均值的比较）。
RSS (Residual Sum of Squares) —— 未解释的变异（残差平方和）：
即使模型很出色，它也很难完美地解释所有因变量的变化。总会有一些实际观测值与模型预测值之间存在差异，这些差异就是“残差”。RSS 就是衡量这些残差的总和的平方。
RSS 计算的是，实际观测值与模型预测值之间的差异的总和的平方。换句话说，RSS 代表了模型未能解释的那部分因变量的变异。它就像是堆积木时，那些由于各种原因（比如积木本身不规则、手抖等）导致的高度未能达到模型预期的部分。RSS 越小，说明模型预测得越接近实际值，模型的拟合效果越好。
它们的关系：
这三个概念之间有一个非常重要且直观的关系，这个关系是模型拟合优度的核心。我们可以用一个简单的公式来概括：
TSS = ESS + RSS
这个公式告诉我们，因变量的总变异（TSS）可以被分解为两部分：一部分是被我们的回归模型成功解释的部分（ESS），另一部分是模型未能解释的部分（RSS）。
这就像是你要把一个大箱子里的所有糖果（TSS，总的糖果数量）分发给小朋友。你有一个分糖果的计划（模型）。你分发出去的糖果（ESS，模型解释的变异）是小朋友拿到手里的糖果。而剩下没发出去的糖果（RSS，模型未解释的变异）就是箱子里剩下的。你总共分出去的和剩下的，加起来就是箱子里原来的总糖果数量。
这个关系非常有用。如果我们知道 TSS 和 ESS，就能计算出 RSS，反之亦然。而且，它直接引出了我们衡量模型拟合优度的关键指标——决定系数 R²：
R² = ESS / TSS = 1 (RSS / TSS)
R² 的含义就是，因变量的总变异中，有多少百分比可以被我们的模型所解释。R² 越接近1，说明模型拟合得越好，ESS 占 TSS 的比例越大，RSS 占 TSS 的比例就越小。
总而言之，ESS、TSS 和 RSS 是理解回归模型性能的基石。TSS 告诉我们总共有多少变化需要解释；ESS 告诉我们模型解释了多少变化；RSS 告诉我们模型还剩下多少变化没解释。它们共同构成了我们判断一个模型是否“有效”的依据。
网友意见
看了几个，发现都是些不懂的人在这装懂，估计他们自己都没推导，所以知乎上面有很多菜不想说了，在此献上手推的过程
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