什么是 Finsler Geometry？它与 Riemann 几何有什么关系？
费马几何（Finsler Geometry）：一种更广阔的度量视野
想象一下，我们在一个曲面上行走。我们自然会想到，最“直”的路是测地线，而两点之间的距离，我们可以通过这条测地线来衡量。这是我们熟悉的黎曼几何所描绘的世界。然而，如果行走的速度或者说“度量”本身，不仅仅取决于我们身处何处，还取决于我们朝哪个方向前进呢？这时，我们就需要进入费马几何的领域了。
费马几何（Finsler Geometry）是对黎曼几何的自然推广，它允许度量（也就是我们衡量距离和长度的“尺子”）不仅依赖于空间中的点，还依赖于该点处的切向量。简单来说，在黎曼几何中，每一点都有一个“度量”，这个度量描述了在该点附近空间如何伸展和弯曲。而在费马几何中，每一点都有一个“度量”，但这个度量是一个函数，它接受两个输入：我们所处的点，以及我们选择的“前进方向”（即切向量）。
黎曼几何：一个特殊的费马几何
为了理解费马几何的精髓，我们不妨先回顾一下黎曼几何。在黎曼几何中，我们用一个称为度量张量（metric tensor） $g_{ij}$ 来描述空间。这个度量张量在每一点 $p$ 都是一个对称正定的二次型，它告诉我们如何计算在该点处一个微小位移向量 $xi$ 的长度平方：
$ds^2 = g_{ij}(p) xi^i xi^j$
这里，$ds$ 是无穷小长度，$xi^i$ 是位移向量的分量。关键在于，在黎曼几何中，$g_{ij}$ 只依赖于点 $p$。这意味着，无论我们朝着哪个方向（哪个切向量）前进，在该点处的“尺度”都是一样的。就好比你站在一张纸的某一点，这张纸在你周围的伸展程度是一样的，不管你是想往北走还是往东走。
费马几何：度量与方向的纠缠
费马几何则引入了一个更强大的工具：费马度量（Finsler metric） $F(p, xi)$。这个度量是一个定义在流形 $M$ 的切丛（tangent bundle）$TM$ 上的函数，它对点 $p in M$ 和切向量 $xi in T_pM$ 都有依赖。更具体地说，费马度量通常满足以下几个性质：
1. 正齐次性（Positive Homogeneity）: $F(p, lambda xi) = lambda F(p, xi)$ 对于任何 $lambda > 0$。这意味着长度只与方向有关，与切向量的“大小”无关。
2. 正定性（Positive Definiteness）: $F(p, xi) > 0$ 对于任何 $xi eq 0$，并且 $F(p, 0) = 0$。
3. 光滑性（Smoothness）: 在 $xi eq 0$ 的区域内，$F$ 关于 $xi$ 是光滑的。
4. 二次型的正定性（Convexity of Quadratic Form）: 考虑由费马度量诱导的二次型 $g_{ij}(p, xi) = frac{1}{2} frac{partial^2 (F^2)}{partial xi^i partial xi^j} (p, xi)$。这个二次型在每一点 $(p, xi)$ 处必须是正定的。这个 $g_{ij}(p, xi)$ 称为费马度量的Hessian，它扮演着类似黎曼几何中度量张量的角色，但现在它依赖于点 $p$ 和切向量 $xi$。
最核心的区别就在这里： 黎曼度量 $g_{ij}(p)$ 是一个只依赖于点的函数，而费马度量的Hessian $g_{ij}(p, xi)$ 是一个依赖于点和方向的函数。
举个例子，想象一下在一片不同方向的“粘稠度”不同的区域。在某个点，你往东走可能感觉比较顺滑，但往北走就阻力很大，这会直接影响到你测量从这个点出发的单位距离的“长度”。在黎曼几何中，纸张在你周围的均匀性是固定的，而在费马几何中，这种“均匀性”会随着你的前进方向而改变。
费马几何与黎曼几何的关系
正如前面提到的，费马几何是黎曼几何的推广。这种关系体现在：
黎曼几何是费马几何的一个特例。 如果一个费马度量 $F(p, xi)$ 的度量张量 $g_{ij}$ 不依赖于 $xi$（即 $g_{ij}(p, xi) = g_{ij}(p)$），那么这个费马几何就退化成了黎曼几何。这时，它诱导的二次型 $F^2(p, xi) = g_{ij}(p) xi^i xi^j$ 就是黎曼几何中的度量。
费马度量可以“看作”一个依赖于方向的度量张量。 虽然费马度量本身不是一个张量（因为它不是张量代数中的一个对象），但它通过其Hessian $g_{ij}(p, xi)$ 引入了一个“相对的”度量张量，这个张量描述了在特定方向 $xi$ 下的局部度量性质。
费马几何中的概念
在费马几何中，许多黎曼几何的概念都需要重新审视和推广：
长度（Length）: 曲线 $gamma(t)$ 的长度由积分 $int_a^b F(gamma(t), dot{gamma}(t)) dt$ 给出，其中 $dot{gamma}(t)$ 是曲线的速度向量。
测地线（Geodesics）: 费马几何中的测地线同样是使曲线长度最小化的路径，但其方程会更加复杂，因为度量依赖于方向。它们通常由一个与费马度量相关的李导数（Lie derivative）或哈密顿方程（Hamiltonian equations）来描述。
曲率（Curvature）: 费马几何的曲率概念也更加丰富。除了与黎曼几何类似的截面曲率（sectional curvature）（它仍然是方向相关的），还有一些专门描述费马度量本身“弯曲”性质的曲率，例如垂直曲率（vertical curvature）和水平曲率（horizontal curvature）。垂直曲率衡量的是度量随方向变化的“速度”，而水平曲率则描述了度量在“水平”方向（切空间中的方向）上的变化。
度量张量（Metric Tensor）: 如前所述，费马几何有一个与方向相关的度量张量 $g_{ij}(p, xi)$。
联络（Connection）: 费马几何需要一个能够保持费马度量不变的联络，称为费马联络（Finsler connection）。这通常比黎曼几何中的列维奇维塔联络（LeviCivita connection）要复杂。
费马几何的应用
费马几何的应用领域正在不断拓展，因为它能够描述更广泛的物理和几何现象：
航空学与导航: 在航空学中，飞机的飞行速度和效率会受到风向、气压等因素的影响，这与费马几何中度量依赖于方向的概念非常吻合。
光学: 光在不同介质中的传播速度不同，而且光线传播的路径也受到折射率的影响，这可以通过费马几何来建模。
物理学: 在一些理论物理模型中，时空的度量也可能依赖于观察者的运动状态，这使得费马几何成为探索这些模型的有力工具。例如，在某些引力理论中，时空的“性质”可能会随着观察者在时空中的“速度”而改变。
计算机图形学与图像处理: 在处理具有各向异性（anisotropic）性质的图像时，例如边缘检测、图像去噪，费马几何可以提供更精细的建模方式。
总结
总而言之，费马几何是在黎曼几何的基础上，引入了度量依赖于方向的概念，从而得到了一个更强大、更一般的几何框架。它允许我们描述那些在黎曼几何中难以捕捉的现象，比如方向相关的“尺度”变化。黎曼几何可以看作是费马几何的一个“方向无关”的特殊情况。随着对费马几何研究的深入，它在数学和物理学等领域展现出的潜力也越来越令人瞩目。理解费马几何，就如同从一个固定视角的观察者，变成了一个能够感受到四面八方不同“风”的行路人，世界在我们眼中的样子，因此变得更加生动和复杂。
想象一下，我们在一个曲面上行走。我们自然会想到，最“直”的路是测地线，而两点之间的距离，我们可以通过这条测地线来衡量。这是我们熟悉的黎曼几何所描绘的世界。然而，如果行走的速度或者说“度量”本身，不仅仅取决于我们身处何处，还取决于我们朝哪个方向前进呢？这时，我们就需要进入费马几何的领域了。
费马几何（Finsler Geometry）是对黎曼几何的自然推广，它允许度量（也就是我们衡量距离和长度的“尺子”）不仅依赖于空间中的点，还依赖于该点处的切向量。简单来说，在黎曼几何中，每一点都有一个“度量”，这个度量描述了在该点附近空间如何伸展和弯曲。而在费马几何中，每一点都有一个“度量”，但这个度量是一个函数，它接受两个输入：我们所处的点，以及我们选择的“前进方向”（即切向量）。
黎曼几何：一个特殊的费马几何
为了理解费马几何的精髓，我们不妨先回顾一下黎曼几何。在黎曼几何中，我们用一个称为度量张量（metric tensor） $g_{ij}$ 来描述空间。这个度量张量在每一点 $p$ 都是一个对称正定的二次型，它告诉我们如何计算在该点处一个微小位移向量 $xi$ 的长度平方：
$ds^2 = g_{ij}(p) xi^i xi^j$
这里，$ds$ 是无穷小长度，$xi^i$ 是位移向量的分量。关键在于，在黎曼几何中，$g_{ij}$ 只依赖于点 $p$。这意味着，无论我们朝着哪个方向（哪个切向量）前进，在该点处的“尺度”都是一样的。就好比你站在一张纸的某一点，这张纸在你周围的伸展程度是一样的，不管你是想往北走还是往东走。
费马几何：度量与方向的纠缠
费马几何则引入了一个更强大的工具：费马度量（Finsler metric） $F(p, xi)$。这个度量是一个定义在流形 $M$ 的切丛（tangent bundle）$TM$ 上的函数，它对点 $p in M$ 和切向量 $xi in T_pM$ 都有依赖。更具体地说，费马度量通常满足以下几个性质：
1. 正齐次性（Positive Homogeneity）: $F(p, lambda xi) = lambda F(p, xi)$ 对于任何 $lambda > 0$。这意味着长度只与方向有关，与切向量的“大小”无关。
2. 正定性（Positive Definiteness）: $F(p, xi) > 0$ 对于任何 $xi eq 0$，并且 $F(p, 0) = 0$。
3. 光滑性（Smoothness）: 在 $xi eq 0$ 的区域内，$F$ 关于 $xi$ 是光滑的。
4. 二次型的正定性（Convexity of Quadratic Form）: 考虑由费马度量诱导的二次型 $g_{ij}(p, xi) = frac{1}{2} frac{partial^2 (F^2)}{partial xi^i partial xi^j} (p, xi)$。这个二次型在每一点 $(p, xi)$ 处必须是正定的。这个 $g_{ij}(p, xi)$ 称为费马度量的Hessian，它扮演着类似黎曼几何中度量张量的角色，但现在它依赖于点 $p$ 和切向量 $xi$。
最核心的区别就在这里： 黎曼度量 $g_{ij}(p)$ 是一个只依赖于点的函数，而费马度量的Hessian $g_{ij}(p, xi)$ 是一个依赖于点和方向的函数。
举个例子，想象一下在一片不同方向的“粘稠度”不同的区域。在某个点，你往东走可能感觉比较顺滑，但往北走就阻力很大，这会直接影响到你测量从这个点出发的单位距离的“长度”。在黎曼几何中，纸张在你周围的均匀性是固定的，而在费马几何中，这种“均匀性”会随着你的前进方向而改变。
费马几何与黎曼几何的关系
正如前面提到的，费马几何是黎曼几何的推广。这种关系体现在：
黎曼几何是费马几何的一个特例。 如果一个费马度量 $F(p, xi)$ 的度量张量 $g_{ij}$ 不依赖于 $xi$（即 $g_{ij}(p, xi) = g_{ij}(p)$），那么这个费马几何就退化成了黎曼几何。这时，它诱导的二次型 $F^2(p, xi) = g_{ij}(p) xi^i xi^j$ 就是黎曼几何中的度量。
费马度量可以“看作”一个依赖于方向的度量张量。 虽然费马度量本身不是一个张量（因为它不是张量代数中的一个对象），但它通过其Hessian $g_{ij}(p, xi)$ 引入了一个“相对的”度量张量，这个张量描述了在特定方向 $xi$ 下的局部度量性质。
费马几何中的概念
在费马几何中，许多黎曼几何的概念都需要重新审视和推广：
长度（Length）: 曲线 $gamma(t)$ 的长度由积分 $int_a^b F(gamma(t), dot{gamma}(t)) dt$ 给出，其中 $dot{gamma}(t)$ 是曲线的速度向量。
测地线（Geodesics）: 费马几何中的测地线同样是使曲线长度最小化的路径，但其方程会更加复杂，因为度量依赖于方向。它们通常由一个与费马度量相关的李导数（Lie derivative）或哈密顿方程（Hamiltonian equations）来描述。
曲率（Curvature）: 费马几何的曲率概念也更加丰富。除了与黎曼几何类似的截面曲率（sectional curvature）（它仍然是方向相关的），还有一些专门描述费马度量本身“弯曲”性质的曲率，例如垂直曲率（vertical curvature）和水平曲率（horizontal curvature）。垂直曲率衡量的是度量随方向变化的“速度”，而水平曲率则描述了度量在“水平”方向（切空间中的方向）上的变化。
度量张量（Metric Tensor）: 如前所述，费马几何有一个与方向相关的度量张量 $g_{ij}(p, xi)$。
联络（Connection）: 费马几何需要一个能够保持费马度量不变的联络，称为费马联络（Finsler connection）。这通常比黎曼几何中的列维奇维塔联络（LeviCivita connection）要复杂。
费马几何的应用
费马几何的应用领域正在不断拓展，因为它能够描述更广泛的物理和几何现象：
航空学与导航: 在航空学中，飞机的飞行速度和效率会受到风向、气压等因素的影响，这与费马几何中度量依赖于方向的概念非常吻合。
光学: 光在不同介质中的传播速度不同，而且光线传播的路径也受到折射率的影响，这可以通过费马几何来建模。
物理学: 在一些理论物理模型中，时空的度量也可能依赖于观察者的运动状态，这使得费马几何成为探索这些模型的有力工具。例如，在某些引力理论中，时空的“性质”可能会随着观察者在时空中的“速度”而改变。
计算机图形学与图像处理: 在处理具有各向异性（anisotropic）性质的图像时，例如边缘检测、图像去噪，费马几何可以提供更精细的建模方式。
总结
总而言之，费马几何是在黎曼几何的基础上，引入了度量依赖于方向的概念，从而得到了一个更强大、更一般的几何框架。它允许我们描述那些在黎曼几何中难以捕捉的现象，比如方向相关的“尺度”变化。黎曼几何可以看作是费马几何的一个“方向无关”的特殊情况。随着对费马几何研究的深入，它在数学和物理学等领域展现出的潜力也越来越令人瞩目。理解费马几何，就如同从一个固定视角的观察者，变成了一个能够感受到四面八方不同“风”的行路人，世界在我们眼中的样子，因此变得更加生动和复杂。
网友意见
从某种角度上来说，这两者的关系有点儿像Hilbert空间和Banach空间的关系。
Finsler Geometry是Riemann Geometry的自然推广。它推广的是Riemann Geometry定义曲线长度，也就是定义距离的方式。我们知道，曲线长度的定义方式是曲线的切向量的『范数』的积分。当这个『范数』是最简单的情况，也就是『内积』的时候，它就是Riemann Geometry，而当它是一般的范数的时候，它就是Finsler Geometry。
从这个角度来说，所有Riemann Geometry下面的概念，比如测地线，曲率，等等等等，都可以对Finsler Geometry对应的定义出来，而所有Riemann Geometry下你可以问的问题，比如闭测地线的条数，常曲率空间的刻画，等等等等，也都可以对Finsler Geometry来问。
但是具体处理这些概念和问题的时候，Finsler Geometry要比Riemann Geometry繁杂得多。除了范数本身定义方式变得难于处理之外，它还导致Finsler度量的indicatrix不再具有对称性，这也就使得Finsler Geometry下的几何量基本上都会和『方向』有关。这将导致一些和Riemann Geometry下完全不一样的情况，比如A到B的测地线不再一定是B到A的测地线。再比如我们都熟知的一个结论是说Riemann Geometry下球面上有无穷多条闭测地线，但是在Finsler Geometry下，存在只有两条闭测地线的球面。
从这个角度，我记得龙老师曾经说过，如果把Riemann Geometry比喻做现实地球上的情况，有高山峡谷凹坑，使得最短距离不再是直线，那么Finsler Geometry就相当于一个刮着猛烈飓风的地球，在这上面，顺风和逆风或者侧着风都会有很大的不一样。
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