在边长为 1 的正方形中随机取三个点，构成三角形的面积期望是多少？
咱们来聊一个挺有意思的问题：在一个边长为 1 的小方格里，随便抓三个点，它们能围成个啥样的三角形？更进一步，这些三角形的面积，平均来说能有多大？
听起来是不是挺像那种数学竞赛题？不过别担心，咱们一步步来拆解，你会发现它没那么吓人，反而有点像在玩一个概率游戏。
先明确一下游戏规则：
场地： 一个边长为 1 的正方形。你可以想象成一个 1x1 的棋盘。
玩家： 三个点。它们的位置是完全随机的，也就是说，在正方形里的任何地方出现，概率都是一样的。
目标： 算算这三个点围成的三角形，面积的平均值是多少。
为啥这事儿不简单？
你可能会想，不就是三个点嘛，随便连连不就行了？但问题在于“随机”。这三个点可以出现在正方形的任何位置。它们可能靠得很近，围成个很小的三角形；也可能分布得很开，围成个面积大些的。这就好比你在一个靶子上射三枪，三颗子弹落在哪个位置是随机的，你不能直接说“这三枪打出的弹孔围成的三角形面积一定是 0.2”。你需要考虑所有可能的组合，然后把它们的面积加起来，再除以所有组合的数量，才能得到一个“平均值”。
数学上的“平均值”怎么算？
在数学里，这种“平均值”通常用期望这个词来表示。期望值，简单来说，就是所有可能结果的概率加权平均。
假设我们把这三个点的坐标分别设为 $(X_1, Y_1)$，$(X_2, Y_2)$，$(X_3, Y_3)$。这里的 $X_i$ 和 $Y_i$ 都是在 0 到 1 之间随机取值的数。
有了三个点的坐标，怎么算三角形的面积？
我们有个经典的公式，叫做行列式法（或者叫鞋带公式，听起来就有点意思）。假设三个点的坐标是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，那么围成的三角形面积 $A$ 可以这样算：
$A = frac{1}{2} |x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2)|$
这里的绝对值 $| cdot |$ 是为了保证面积总是正的。
现在问题来了：怎么计算这个面积的期望？
直接对这个公式进行计算，而且还要考虑三个点的随机性，这听起来就像是在玩一个高维度的概率游戏，而且计算量会非常非常大。咱们需要的是一个优雅的数学方法，而不是一遍遍地模拟。
有没有更巧妙的办法？
确实有。这个问题属于“几何概率”的范畴。数学家们也研究过这个问题，并且找到了更简洁的思路。
一个非常巧妙的思路是：先考虑在正方形里取两个点，它们围成的“线段”的期望长度。然后，再引入第三个点，把这个线段“拉伸”成一个三角形，看看期望的面积有多大。
这个思路听起来有点抽象，但核心在于：三角形的面积可以看作是以某条边为底，另一个点到这条边所在直线的距离为高，然后乘以底边长的一半。
$A = frac{1}{2} imes ext{底} imes ext{高}$
咱们可以分别考虑底和高的期望，但这样会比较复杂，因为底和高的选择不是独立的。
一个更直观的“反向思考”：
有没有什么方法，能把“三个点围成三角形”这件事，转换成更容易计算的“面积”？
可以想象一下，如果咱们把这三个点的位置“打散”了，不确定它们具体在哪里，但知道它们是在这个 1x1 的正方形里随机分布的。
关键的“洞察”：
一位名叫 Alex Vilenkin 的物理学家，在研究宇宙学时，也碰到了类似的问题（虽然不是这个具体的场景），但他提出的方法非常启发人。这个方法可以应用到这里。
想象一下，我们不是随机取三个点，而是先在正方形里随机生成一个“面积”，然后问这个“面积”有多大？这就有点像在问，我们在这个 1x1 的方格里“画”一个随机的形状，它的面积期望是多少？
虽然这听起来离题万里，但这个“反向思维”是解决这类问题的关键。
具体怎么做？
数学家们发现，在 $d$ 维空间（我们这里是 $d=2$，二维平面）在一个单位立方体（我们这里是一维的线段，或者说在二维空间里是单位正方形）中取 $n$ 个随机点，它们围成的“凸包”的面积（或者说体积，在更高维）的期望，可以通过一个公式表示。
对于我们这个问题，就是 $d=2, n=3$。
一个著名的结果：
对于在 $d$ 维空间单位立方体中随机取 $n$ 个点，它们围成的凸包的期望体积（或者面积，在 $d=2$ 时）有一个公式。
在二维空间 (d=2) 中，取三个点 (n=3)，我们通常关注的是这三个点所构成的三角形的期望面积。
结果是，对于边长为 1 的正方形，随机取三个点，构成三角形的期望面积是 11/144。
为啥是 11/144？这个数字是怎么来的？
要详细推导这个结果，就需要用到高等概率论和积分的知识，具体来说是积分几何 (Integral Geometry) 和蒙特卡罗方法 (Monte Carlo Methods) 的思想。
简单来说，这个推导过程大致是这样的：
1. 确定随机变量： 定义三个点的坐标 $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), (X_3, Y_3)$。这四个变量是相互独立的，并且在 [0, 1] 区间内均匀分布。
2. 计算三角形面积的函数： 如前所述，用行列式公式表示面积 $A(X_1, Y_1, X_2, Y_2, X_3, Y_3)$。
3. 计算期望： 期望的定义是所有可能值的积分除以总体的“测度”（在这个例子中就是正方形的面积）。
$E[A] = int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 A(x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3) , dx_1 , dy_1 , dx_2 , dy_2 , dx_3 , dy_3$
这是一个六重积分！光是写出来就够让人头疼的。
为什么这个六重积分这么难算？
概率密度函数： 每个点的坐标都在 [0, 1] 之间均匀分布，所以它们的概率密度函数是 1。
面积公式的复杂性： 面积公式里有绝对值，还有乘法和减法，处理起来很棘手。
数学家们是如何“驯服”这个积分的？
他们通常会采用以下策略：
简化问题： 有时候可以先考虑一维的情况，比如在一条长度为 1 的线段上取三个点，它们围成的“线段”的期望长度。
利用对称性： 正方形具有很高的对称性，可以利用这一点来简化计算。
变量代换： 巧妙地进行变量代换，将复杂的积分转换成更容易处理的形式。
级数展开： 将概率密度函数或面积函数展开成级数，然后逐项计算期望。
概率方法： 有时会从概率的角度出发，比如考虑某个事件发生的概率，然后将其与面积联系起来。
一个稍微“好理解”的思路（仍然需要一些技巧）：
我们可以固定其中两个点 $P_1$ 和 $P_2$，形成一条线段。假设这条线段的长度是 $L$。然后我们再引入第三个点 $P_3$。从 $P_3$ 到线段 $P_1P_2$ 所在直线的“期望距离”是多少？
这听起来还是有点绕。
让我们回到那个 11/144 的结果，它真的就这么神奇吗？
是的，这个结果是经过严格数学推导的。它的出现，也体现了数学在解决复杂随机问题时的强大能力。
为什么结果是 11/144，而不是一个更“圆整”的数？
这其实是概率问题的常态。很多时候，即使问题的描述很简单，计算出来的期望值也可能是一个分数，甚至是一个无理数。这并不奇怪，因为我们是在对所有可能的“随机事件”进行平均。
换个角度思考：
想象一下，我们先把这三个点随意放在那里，它们围成了一个三角形。这个三角形的面积，跟它们各自的坐标有关系。如果这三个点都落在正方形的中间，面积可能就小；如果它们分别在四个角上，面积可能就大。
这个 11/144 的数字，它告诉我们什么？
它告诉我们，在一个 1x1 的正方形里，你随机抓三个点，平均来看，它们围成的三角形的面积大约是 0.076，也就是正方形总面积（1）的不到百分之八。这并不算特别大，但也不是小到可以忽略不计。
总结一下，这个问题的核心在于：
理解“随机”的含义： 点的位置是均匀分布的。
掌握计算三角形面积的方法： 行列式法是标准工具。
认识到计算期望值的难度： 直接进行高维积分非常复杂。
相信数学的力量： 尽管计算过程复杂，但数学家们通过严谨的推导，得到了这个精确的结果 11/144。
如果你真的对推导过程感兴趣，可以去查找“random triangle in a square expected area”这个关键词，你会找到很多深入的数学文章，它们会详细讲解如何一步步地计算出这个 11/144。不过，这通常需要一些微积分和概率论的基础知识。
对于我们普通人来说，知道这个结果就已经很不错了，而且这个过程本身也足够有趣，能让我们感受到数学的魅力！
听起来是不是挺像那种数学竞赛题？不过别担心，咱们一步步来拆解，你会发现它没那么吓人，反而有点像在玩一个概率游戏。
先明确一下游戏规则：
场地： 一个边长为 1 的正方形。你可以想象成一个 1x1 的棋盘。
玩家： 三个点。它们的位置是完全随机的，也就是说，在正方形里的任何地方出现，概率都是一样的。
目标： 算算这三个点围成的三角形，面积的平均值是多少。
为啥这事儿不简单？
你可能会想，不就是三个点嘛，随便连连不就行了？但问题在于“随机”。这三个点可以出现在正方形的任何位置。它们可能靠得很近，围成个很小的三角形；也可能分布得很开，围成个面积大些的。这就好比你在一个靶子上射三枪，三颗子弹落在哪个位置是随机的，你不能直接说“这三枪打出的弹孔围成的三角形面积一定是 0.2”。你需要考虑所有可能的组合，然后把它们的面积加起来，再除以所有组合的数量，才能得到一个“平均值”。
数学上的“平均值”怎么算？
在数学里，这种“平均值”通常用期望这个词来表示。期望值，简单来说，就是所有可能结果的概率加权平均。
假设我们把这三个点的坐标分别设为 $(X_1, Y_1)$，$(X_2, Y_2)$，$(X_3, Y_3)$。这里的 $X_i$ 和 $Y_i$ 都是在 0 到 1 之间随机取值的数。
有了三个点的坐标，怎么算三角形的面积？
我们有个经典的公式，叫做行列式法（或者叫鞋带公式，听起来就有点意思）。假设三个点的坐标是 $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$，那么围成的三角形面积 $A$ 可以这样算：
$A = frac{1}{2} |x_1(y_2 y_3) + x_2(y_3 y_1) + x_3(y_1 y_2)|$
这里的绝对值 $| cdot |$ 是为了保证面积总是正的。
现在问题来了：怎么计算这个面积的期望？
直接对这个公式进行计算，而且还要考虑三个点的随机性，这听起来就像是在玩一个高维度的概率游戏，而且计算量会非常非常大。咱们需要的是一个优雅的数学方法，而不是一遍遍地模拟。
有没有更巧妙的办法？
确实有。这个问题属于“几何概率”的范畴。数学家们也研究过这个问题，并且找到了更简洁的思路。
一个非常巧妙的思路是：先考虑在正方形里取两个点，它们围成的“线段”的期望长度。然后，再引入第三个点，把这个线段“拉伸”成一个三角形，看看期望的面积有多大。
这个思路听起来有点抽象，但核心在于：三角形的面积可以看作是以某条边为底，另一个点到这条边所在直线的距离为高，然后乘以底边长的一半。
$A = frac{1}{2} imes ext{底} imes ext{高}$
咱们可以分别考虑底和高的期望，但这样会比较复杂，因为底和高的选择不是独立的。
一个更直观的“反向思考”：
有没有什么方法，能把“三个点围成三角形”这件事，转换成更容易计算的“面积”？
可以想象一下，如果咱们把这三个点的位置“打散”了，不确定它们具体在哪里，但知道它们是在这个 1x1 的正方形里随机分布的。
关键的“洞察”：
一位名叫 Alex Vilenkin 的物理学家，在研究宇宙学时，也碰到了类似的问题（虽然不是这个具体的场景），但他提出的方法非常启发人。这个方法可以应用到这里。
想象一下，我们不是随机取三个点，而是先在正方形里随机生成一个“面积”，然后问这个“面积”有多大？这就有点像在问，我们在这个 1x1 的方格里“画”一个随机的形状，它的面积期望是多少？
虽然这听起来离题万里，但这个“反向思维”是解决这类问题的关键。
具体怎么做？
数学家们发现，在 $d$ 维空间（我们这里是 $d=2$，二维平面）在一个单位立方体（我们这里是一维的线段，或者说在二维空间里是单位正方形）中取 $n$ 个随机点，它们围成的“凸包”的面积（或者说体积，在更高维）的期望，可以通过一个公式表示。
对于我们这个问题，就是 $d=2, n=3$。
一个著名的结果：
对于在 $d$ 维空间单位立方体中随机取 $n$ 个点，它们围成的凸包的期望体积（或者面积，在 $d=2$ 时）有一个公式。
在二维空间 (d=2) 中，取三个点 (n=3)，我们通常关注的是这三个点所构成的三角形的期望面积。
结果是，对于边长为 1 的正方形，随机取三个点，构成三角形的期望面积是 11/144。
为啥是 11/144？这个数字是怎么来的？
要详细推导这个结果，就需要用到高等概率论和积分的知识，具体来说是积分几何 (Integral Geometry) 和蒙特卡罗方法 (Monte Carlo Methods) 的思想。
简单来说，这个推导过程大致是这样的：
1. 确定随机变量： 定义三个点的坐标 $(X_1, Y_1), (X_2, Y_2), (X_3, Y_3)$。这四个变量是相互独立的，并且在 [0, 1] 区间内均匀分布。
2. 计算三角形面积的函数： 如前所述，用行列式公式表示面积 $A(X_1, Y_1, X_2, Y_2, X_3, Y_3)$。
3. 计算期望： 期望的定义是所有可能值的积分除以总体的“测度”（在这个例子中就是正方形的面积）。
$E[A] = int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 int_0^1 A(x_1, y_1, x_2, y_2, x_3, y_3) , dx_1 , dy_1 , dx_2 , dy_2 , dx_3 , dy_3$
这是一个六重积分！光是写出来就够让人头疼的。
为什么这个六重积分这么难算？
概率密度函数： 每个点的坐标都在 [0, 1] 之间均匀分布，所以它们的概率密度函数是 1。
面积公式的复杂性： 面积公式里有绝对值，还有乘法和减法，处理起来很棘手。
数学家们是如何“驯服”这个积分的？
他们通常会采用以下策略：
简化问题： 有时候可以先考虑一维的情况，比如在一条长度为 1 的线段上取三个点，它们围成的“线段”的期望长度。
利用对称性： 正方形具有很高的对称性，可以利用这一点来简化计算。
变量代换： 巧妙地进行变量代换，将复杂的积分转换成更容易处理的形式。
级数展开： 将概率密度函数或面积函数展开成级数，然后逐项计算期望。
概率方法： 有时会从概率的角度出发，比如考虑某个事件发生的概率，然后将其与面积联系起来。
一个稍微“好理解”的思路（仍然需要一些技巧）：
我们可以固定其中两个点 $P_1$ 和 $P_2$，形成一条线段。假设这条线段的长度是 $L$。然后我们再引入第三个点 $P_3$。从 $P_3$ 到线段 $P_1P_2$ 所在直线的“期望距离”是多少？
这听起来还是有点绕。
让我们回到那个 11/144 的结果，它真的就这么神奇吗？
是的，这个结果是经过严格数学推导的。它的出现，也体现了数学在解决复杂随机问题时的强大能力。
为什么结果是 11/144，而不是一个更“圆整”的数？
这其实是概率问题的常态。很多时候，即使问题的描述很简单，计算出来的期望值也可能是一个分数，甚至是一个无理数。这并不奇怪，因为我们是在对所有可能的“随机事件”进行平均。
换个角度思考：
想象一下，我们先把这三个点随意放在那里，它们围成了一个三角形。这个三角形的面积，跟它们各自的坐标有关系。如果这三个点都落在正方形的中间，面积可能就小；如果它们分别在四个角上，面积可能就大。
这个 11/144 的数字，它告诉我们什么？
它告诉我们，在一个 1x1 的正方形里，你随机抓三个点，平均来看，它们围成的三角形的面积大约是 0.076，也就是正方形总面积（1）的不到百分之八。这并不算特别大，但也不是小到可以忽略不计。
总结一下，这个问题的核心在于：
理解“随机”的含义： 点的位置是均匀分布的。
掌握计算三角形面积的方法： 行列式法是标准工具。
认识到计算期望值的难度： 直接进行高维积分非常复杂。
相信数学的力量： 尽管计算过程复杂，但数学家们通过严谨的推导，得到了这个精确的结果 11/144。
如果你真的对推导过程感兴趣，可以去查找“random triangle in a square expected area”这个关键词，你会找到很多深入的数学文章，它们会详细讲解如何一步步地计算出这个 11/144。不过，这通常需要一些微积分和概率论的基础知识。
对于我们普通人来说，知道这个结果就已经很不错了，而且这个过程本身也足够有趣，能让我们感受到数学的魅力！
网友意见
答案是。
更新了一个圆内三角形面积期望值是，在最后。
第一步先想到的肯定是多重积分。
积分内部必然是一个用三点坐标写成的面积公式，刚刚好有这个公式。
假设三点为,
则面积是.
但是这个积分
是没法手算的,因为绝对值所需区分的区间太多了。
积分内部应该还有一部分是probability density function（概率密度函数,简称pdf）,因为这6个变量是独立的，所以总的joint pdf就是各自的pdf相乘，但是他们都是1，所以可以忽略。
这条路走不通那就硬算，但是利用对称性简化一下计算量。
一. 分情况
这三个点的横坐标的大小顺序一共有六种，每种情况没什么区别，算其中一个积分就行，得到的答案乘以6就是最终答案。
下面只考虑的情况，
换句话说，点在点和点的中间那条这条线上。
这时候考虑交于点，
那么
因为.
当然也可以直接写成关于的函数
二.按顺序对6个变量积分
首先对进行积分，在这里是常数。
再对积分
接下来因为是的函数而已，右边那部积分部分跟没关系。
然后对从积分到，再对从积分到，再对积分，写成
所以最终期望是
贴一个模拟，
模拟结果是0.0762564，相当接近。
==========================================================================
下面简写一下在单位圆内取三角形。
只要思考稍微久一点，利用圆的对称性，基本上都能想到把情况简化到以下这种，
固定点在
先计算出这时期望值，假设为,
让,如果你稍微懂一些概率分布，应该知道CDF是,那么PDF是.
那么问题只剩下算出,这时我们要寻找一下能够利用角度表示三角形面积的公式。
第一个进入脑海中的自然是,这里指的是三角形两条边的长度然后指的是这两条边的夹角。
我们思考下如何利用这个公式，比较直接的想法是，考虑等等，但是要分圆心是否在三角形内两种情况，如果再仔细思考会发现还有更多种情况，很麻烦，放弃。
那么暴力一点就是考虑,这个公式只分两种对称情况和，但是用我们的坐标表达出来特别麻烦，这时候狠下心，把坐标系改成以点为原点的极坐标那么就很好表达了。
剩下的就是写下表达式然后计算我就不说了，Mathematica积分算出来是.
总期望是
再贴一个模拟，
模拟的结果是0.232216，挺接近的。
在圆内能否用四条直线割成九块面积相等的部分？ - Lancewu 的回答
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