课堂讨论：为什么牛顿定义牛顿第二定律为 F=d(mv)/dt，而不是 F=ma？
课堂讨论：为什么牛顿第二定律的“真面目”是 F=d(mv)/dt，而不是 F=ma？
各位同学，我们今天来聊一个可能让你们觉得有点“鸡蛋里挑骨头”的问题：牛顿在写下他的伟大定律时，为什么选择的是 F=d(mv)/dt，而不是我们更熟悉的 F=ma 呢？这两种形式看起来好像没有什么区别，但背后却隐藏着更深层次的物理思想和更广泛的适用性。
首先，我们得明白牛顿定律的“诞生背景”。牛顿写下他的《自然哲学的数学原理》时，他想要描述的是物体运动状态改变的规律。他观察到，要让一个物体运动起来，或者改变它原有的运动状态（比如加速、减速、改变方向），你就必须施加一个“力”。而这个力的大小，和他所观察到的“运动状态的改变”之间，存在着某种联系。
那么，什么是“运动状态”呢？在牛顿的时代，人们更侧重于描述物体的“质量”和“速度”。质量代表了物体含有多少“物质”，而速度则描述了物体运动的“快慢”和“方向”。但牛顿发现，仅仅描述速度是不够的。他引入了一个新的概念，叫做“动量”（momentum），用字母 p 来表示。动量就是质量和速度的乘积，即 p = mv。 为什么是这个组合呢？你可以这样理解：一个很重的物体，即使速度不快，它也可能拥有相当大的“惯性”或者说“冲击力”；反之，一个很轻的物体，即使速度飞快，它也可能更容易被停止。动量正是捕捉到了这种“质量”和“速度”结合起来所产生的运动的“惯性”或“量度”。
牛顿观察到，当一个力作用在一个物体上时，它会改变物体的动量。他发现，这个施加的力，正好等于物体动量随时间的变化率。 这就是 F = d(mv)/dt 的由来。这里的“d/dt”表示的是“相对于时间的变化率”。所以，牛顿第二定律的原始表述，更直接地说明了“力”是引起“动量改变”的原因。力作用的时间越长，或者动量改变得越快，力就越大。
现在我们来看看 F=ma。我们都知道，如果一个物体的质量 m 是恒定的，那么根据微积分的链式法则，动量 p = mv 对时间的导数就可以写成：
d(mv)/dt = m d(v)/dt + v d(m)/dt
如果质量 m 不变，那么 d(m)/dt 就等于 0。这样一来，上面的式子就简化为：
d(mv)/dt = m d(v)/dt
而我们知道，加速度 a 就是速度 v 对时间的导数，即 a = dv/dt。所以，最终我们就得到了我们非常熟悉的 F = ma。
那么，为什么说 F=d(mv)/dt 更为根本呢？这里有几个关键点：
1. 质量可能变化的情况： 在我们日常的宏观世界里，大部分物体的质量似乎是恒定不变的。比如你扔一块石头，石头本身的质量并不会改变。但是，在更广阔的物理领域，情况就不同了。
火箭的例子： 最经典的例子就是火箭。火箭在飞行过程中，会不断地燃烧燃料并将其排出。这意味着火箭的总质量是在不断减少的！如果用 F=ma 来描述火箭的运动，公式里的 m 就变得不稳定了，计算起来会非常麻烦。而 F=d(mv)/dt 就可以非常优雅地处理这个问题。因为即使质量在变，动量（质量乘以速度）仍然是守恒或以可预测的方式变化的，力就是这个动量变化率的直接体现。
相对论的影响： 当物体的速度接近光速时，根据爱因斯坦的狭义相对论，物体的质量会随着速度的增加而增加（严格来说是相对论质量）。在这种情况下，质量就不是一个常数了。F=ma 中的 a 就不能直接等同于质量的变化率，而 F=d(mv)/dt 仍然是描述动量变化率的正确方式。当然，在相对论的框架下，动量本身的定义也会有所修正，但基本思想（力是动量变化率）是不变的。
2. 数学的普适性： F=d(mv)/dt 是一个微分方程，它更精确地描述了力与“瞬间”动量变化之间的关系。而 F=ma 是在这种“质量恒定”这个特殊条件下推导出来的特例。在物理学中，我们总是倾向于寻找更普适、更基础的数学形式来描述自然规律，因为这样的形式更能解释各种各样的情况。
3. 概念的深刻性： F=d(mv)/dt 更强调了“力”作为一种“作用”或“原因”，它直接导致了“动量”这个描述物体运动状态的量发生变化。而 F=ma 更侧重于力如何“加速”物体。虽然结果是一样的，但前者在概念上更加清晰地连接了因果关系。它告诉我们，力就是用来改变动量的，而质量是动量的组成部分，它会影响这个改变的“难易程度”。
所以，虽然 F=ma 在很多情况下非常方便好用，并且是牛顿第二定律最常见和实用的形式，但牛顿选择 F=d(mv)/dt 作为他的基本表述，是为了确保他的定律在最广泛的范围内都适用，并且能够涵盖那些质量会发生变化的复杂情况。可以说，F=ma 是 F=d(mv)/dt 在质量恒定条件下的一个“特例”或“简化”。
大家有什么问题或者想补充的吗？我们可以继续讨论。
各位同学，我们今天来聊一个可能让你们觉得有点“鸡蛋里挑骨头”的问题：牛顿在写下他的伟大定律时，为什么选择的是 F=d(mv)/dt，而不是我们更熟悉的 F=ma 呢？这两种形式看起来好像没有什么区别，但背后却隐藏着更深层次的物理思想和更广泛的适用性。
首先，我们得明白牛顿定律的“诞生背景”。牛顿写下他的《自然哲学的数学原理》时，他想要描述的是物体运动状态改变的规律。他观察到，要让一个物体运动起来，或者改变它原有的运动状态（比如加速、减速、改变方向），你就必须施加一个“力”。而这个力的大小，和他所观察到的“运动状态的改变”之间，存在着某种联系。
那么，什么是“运动状态”呢？在牛顿的时代，人们更侧重于描述物体的“质量”和“速度”。质量代表了物体含有多少“物质”，而速度则描述了物体运动的“快慢”和“方向”。但牛顿发现，仅仅描述速度是不够的。他引入了一个新的概念，叫做“动量”（momentum），用字母 p 来表示。动量就是质量和速度的乘积，即 p = mv。 为什么是这个组合呢？你可以这样理解：一个很重的物体，即使速度不快，它也可能拥有相当大的“惯性”或者说“冲击力”；反之，一个很轻的物体，即使速度飞快，它也可能更容易被停止。动量正是捕捉到了这种“质量”和“速度”结合起来所产生的运动的“惯性”或“量度”。
牛顿观察到，当一个力作用在一个物体上时，它会改变物体的动量。他发现，这个施加的力，正好等于物体动量随时间的变化率。 这就是 F = d(mv)/dt 的由来。这里的“d/dt”表示的是“相对于时间的变化率”。所以，牛顿第二定律的原始表述，更直接地说明了“力”是引起“动量改变”的原因。力作用的时间越长，或者动量改变得越快，力就越大。
现在我们来看看 F=ma。我们都知道，如果一个物体的质量 m 是恒定的，那么根据微积分的链式法则，动量 p = mv 对时间的导数就可以写成：
d(mv)/dt = m d(v)/dt + v d(m)/dt
如果质量 m 不变，那么 d(m)/dt 就等于 0。这样一来，上面的式子就简化为：
d(mv)/dt = m d(v)/dt
而我们知道，加速度 a 就是速度 v 对时间的导数，即 a = dv/dt。所以，最终我们就得到了我们非常熟悉的 F = ma。
那么，为什么说 F=d(mv)/dt 更为根本呢？这里有几个关键点：
1. 质量可能变化的情况： 在我们日常的宏观世界里，大部分物体的质量似乎是恒定不变的。比如你扔一块石头，石头本身的质量并不会改变。但是，在更广阔的物理领域，情况就不同了。
火箭的例子： 最经典的例子就是火箭。火箭在飞行过程中，会不断地燃烧燃料并将其排出。这意味着火箭的总质量是在不断减少的！如果用 F=ma 来描述火箭的运动，公式里的 m 就变得不稳定了，计算起来会非常麻烦。而 F=d(mv)/dt 就可以非常优雅地处理这个问题。因为即使质量在变，动量（质量乘以速度）仍然是守恒或以可预测的方式变化的，力就是这个动量变化率的直接体现。
相对论的影响： 当物体的速度接近光速时，根据爱因斯坦的狭义相对论，物体的质量会随着速度的增加而增加（严格来说是相对论质量）。在这种情况下，质量就不是一个常数了。F=ma 中的 a 就不能直接等同于质量的变化率，而 F=d(mv)/dt 仍然是描述动量变化率的正确方式。当然，在相对论的框架下，动量本身的定义也会有所修正，但基本思想（力是动量变化率）是不变的。
2. 数学的普适性： F=d(mv)/dt 是一个微分方程，它更精确地描述了力与“瞬间”动量变化之间的关系。而 F=ma 是在这种“质量恒定”这个特殊条件下推导出来的特例。在物理学中，我们总是倾向于寻找更普适、更基础的数学形式来描述自然规律，因为这样的形式更能解释各种各样的情况。
3. 概念的深刻性： F=d(mv)/dt 更强调了“力”作为一种“作用”或“原因”，它直接导致了“动量”这个描述物体运动状态的量发生变化。而 F=ma 更侧重于力如何“加速”物体。虽然结果是一样的，但前者在概念上更加清晰地连接了因果关系。它告诉我们，力就是用来改变动量的，而质量是动量的组成部分，它会影响这个改变的“难易程度”。
所以，虽然 F=ma 在很多情况下非常方便好用，并且是牛顿第二定律最常见和实用的形式，但牛顿选择 F=d(mv)/dt 作为他的基本表述，是为了确保他的定律在最广泛的范围内都适用，并且能够涵盖那些质量会发生变化的复杂情况。可以说，F=ma 是 F=d(mv)/dt 在质量恒定条件下的一个“特例”或“简化”。
大家有什么问题或者想补充的吗？我们可以继续讨论。
网友意见
因为我们先入为主地把m当成常量了，但是牛顿不能确定这一点呗。如果存在某种机制导致m会变化，那F=ma就不对了。
物质不灭/质量守恒是由罗蒙诺索夫提出、拉瓦锡最终确定的，罗某1711年出生，牛顿1727年去世，可以认为他们没有交集。
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