证明「哥德巴赫猜想」到底有多难？
哥德巴赫猜想，一个看似朴素，实则深邃异常的命题，自1742年被德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫写信给数学巨匠欧拉后，就如同一个闪耀的钻石，吸引着一代又一代数学家前赴后继地去打磨，去探索。然而，直到今天，它依然是一个未被征服的堡垒，其难度之大，足以让任何试图挑战它的人感受到前所未有的挫败感。
猜想本身有多“简单”？
让我们先来看看这个让无数智者“头疼”的猜想到底说了些什么。哥德巴赫猜想的“强猜想”版本是这样说的：
任何一个大于2的偶数，都可以表示成两个素数（也叫质数）的和。
素数，就是那些只能被1和它本身整除的大于1的自然数，比如2, 3, 5, 7, 11, 13……这些数字是我们数学世界最基本的“积木”。而偶数，则是能被2整除的数，比如4, 6, 8, 10, 12, 14……
听起来是不是挺直观的？我们不妨来验算几个：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
看起来，似乎确实如此。这些例子都轻而易举地满足了哥德巴赫猜想。那么问题来了，为什么这件事情会如此难以证明呢？
“证明”和“验算”的鸿沟
问题的核心在于，我们看到的只是一系列个例的验证，而数学证明要求的是对所有大于2的偶数都成立的普遍性陈述。这就像是我们看到一万个男人都是右撇子，但我们不能就此断定“所有男人都是右撇子”，除非我们能排除掉所有可能出现的左撇子情况。
哥德巴赫猜想的难度，就体现在了这“普遍性”的证明上。这其中涉及的“难点”可以从几个层面来理解：
1. 素数的“不规则性”：
尽管素数有着明确的定义，但它们在数轴上的分布却极其“不规则”。我们知道素数会越来越稀疏，但它们的具体位置并没有一个简单的公式可以预测。就像是在一片荒野中寻找特定形状的石头，你很难提前知道下一块会是什么样子，在哪里。数学家们发展了许多关于素数分布的理论（比如素数定理），但这些理论往往是统计性的，提供了“平均”的规律，却无法精确描述每一个素数出现的细节。要证明哥德巴赫猜想，就需要“掌控”这些不规则的素数，让它们按照我们的逻辑组合起来。
2. “加法”与“乘法”的天然隔阂：
数论中有一个著名的“加法与乘法之桥”——筛法。筛法本质上是一种排除法，通过已知的一些乘法关系来“筛选”出我们想要的数。我们知道素数是不能被其他数整除的，这和乘法息息相关。而哥德巴赫猜想是关于素数的“加法”关系。如何将素数的乘法性质（也就是我们对素数的认知基础）转化为它们加法关系的证明，是一个巨大的挑战。就好比你要用“形状”来预测“颜色”，这中间需要建立起一个非常精妙的联系。
3. “精确性”与“渐进性”的矛盾：
目前数学界在解决哥德巴赫猜想上取得的进展，大多是“近似”或“弱化”的版本。例如，著名的“陈景润定理”证明了：任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数与一个“半素数”（两个素数乘积）的和。这已经是巨大的成就，但离猜想本身还有一步之遥。这就像是你在攀登一座极高的山峰，大部分人都止步于海拔几千米的地方，而你已经爬到了八千多米，但最终的峰顶，还有那最后一点点，却如同天堑。这些渐进性的结果证明了方向是对的，但距离抵达终点，仍然需要突破性的理论创新。
4. 想象的“无穷性”：
数学家们需要证明的是所有大于2的偶数都满足猜想。这意味着我们需要一种方法来处理无穷多的偶数。我们无法逐个检验，所以必须找到一个普适性的方法。这需要高度抽象的数学工具和思维。很多时候，数学家们会试图构建一个框架，能够“圈住”所有的偶数，然后证明在这个框架下，总能找到对应的素数组合。但这个框架的设计本身就极其困难。
历代数学家的努力与困境
无数的数学家为了哥德巴赫猜想付出了毕生的心血。从哥德巴赫和欧拉的时代开始，到20世纪的哈代、李特尔伍德、陈景润，再到现代的许多数学家，他们提出的各种“筛法”变体（如大筛法、小筛法）、“圆法”等，都是为了更有效地估计素数的分布和它们之间的加法联系。
然而，每当以为接近目标时，总会有新的障碍出现。比如，很多方法在证明“足够大的”偶数时表现良好，但在处理小一些的偶数时却失效；或者在处理“绝大多数”偶数时有效，但总会遗漏掉一些“特殊”的情况。这些遗漏的部分，恰恰是证明的关键所在。
为什么它如此迷人？
尽管如此困难，哥德巴赫猜想的魅力依旧不减。它不仅是对素数性质的深入探索，更是对数学本身“可理解性”和“结构性”的挑战。解决它，可能需要全新的数学理论和视角，就像当初费马大定理的解决催生了现代代数数论一样。
它像一面镜子，照出了我们对数学理解的边界，也激励着我们不断突破这些边界。每一次对哥德巴赫猜想的尝试，都会深化我们对素数、算术以及数学逻辑本身的认识，即使最终未能完全征服它，这些探索过程本身也是极其宝贵的财富。
所以，哥德巴赫猜想的难，难在它要求我们以一种全局的、精确的、且普适的方式去理解和驾驭数学世界中最基本、也最难以捉摸的元素——素数，并用它们来“构建”我们所熟知的偶数世界。这是一种对人类智慧和创造力的极限挑战，也是数学魅力所在。它就像一位沉默的巨人，静静地矗立在那里，等待着有缘人的到来，揭开它深藏的奥秘。
网友意见
我对哥德巴赫猜想的难度没有感觉，但是我对“欧拉没证出来”这个难度有感觉。欧拉是一个非常非常扎实和高产的数学家，他是很难漏过轻巧的解法的，当然那种基础笨重的解法欧拉就更不可能漏过了。如果一个问题欧拉听说过，并且这个问题存在一个并不困难的解法的话，欧拉是不会放过的。
所以，想靠“天赋异禀”或者“绝世好运”搞定数学难题一鸣惊人的，一定要从欧拉没见过问题里面找。像哥德巴赫猜想这种欧拉见过但没做出来的数学问题，就不要浪费时间尝试了。
更，我个人认为：现在顶级高中数学竞赛学生 和普通的数学专业本科毕业生的水平基本上是被欧拉cover的。集训队以上选手在数学系认真念两到三年基础数学可以突破欧拉。但是，真到这个水平，就不会随便去搞哥德巴赫猜想了。
“你们就算不知道自己能证明什么，总要知道自己证不出什么。”
再更，突破欧拉，不是cover欧拉。至少好好念抽代，学完理想理论，就已经突破欧拉了。Kumer是可以证明费马大定理的大多数情况的。当然像某些大神大三就啃下模形式这种，只能跪着唱征服。
本文经过多次修改，以前的原答案是附有费马大定理的完整的英文版的证明的，一共有一百多张图片，但是实在是影响观感，很多人也看不懂，所以就删掉了。
---2021.8.31
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本文经过我多次的修改，不足之处还望指正，没想到一年多前的答案还有人看
——2020.2.12
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题主问证明哥德巴赫猜想有多难，自然是很难的，但最近我看到知乎里有个高中生声称自己已经证明了哥德巴赫猜想，题主为啥不问问他呢？问他到底难不难，然后再听他胡扯一顿牛逼，最后感慨道“去你妈的，浪费老子感情”。那个高中生也上了知乎热搜，他底下问题的回答有质疑的、有嘲讽的、有鼓励的、有看热闹的，总而言之并不看好那个高中生。难道大家就不相信真的有天才么？难道大家就真的不了解数学么？这也是我写这篇文章的初衷——希望大家能客观的看待数学难题，对这种东西有着更全面的认识，不要总是心高气傲的想要证明它（虽然我在高中时代也曾意淫过自己是一代天才，有朝一日灵感迸发轻松证明数学难题，名扬世界，从此名利双收，坐上法拉利，迎娶白富美，走上人生巅峰( ͡° ͜ʖ ͡°)✧）。
在九年义务教育普及的今天，大家或多或少都学过数学，也自诩对数学有所了解，但对前沿的数学发展恐怕知之甚少。
自哥德巴赫猜想提出以来，一百多年来都没有突破性的进展，期间无数的数学大家或自命不凡的轻浮之辈都曾尝试过解决这个猜想，但实质性的进展几乎为零。直到20世纪到来（20世纪可以说是数学界的黄金时期）人们提出了四个可以解决这个问题的大致思路，分别是:殆素数、例外集合、小变量的三素数定理和（这个我忘了）。其中殆素数是迄今为止对哥德巴赫猜想取得突破最多的一个领域。殆素数方法的大致内容是一个极大的数字可以分为两个极大的可以用有限的素数乘积表示的数。
1920年挪威数学家布朗用筛选法筛选出了极大的合数，将其分别用两个大数表示，并证明了其中每一个大数都可以用9个素数因子的乘积表示，故称之为“9+9”，那以此类推哥德巴赫猜想不就是“1+1”了么，这令数学界看到了希望。
1924年德国数学家拉特马赫证了“7+7”。
1932年英国数学家证明了“6+6”。
……
1966年中国数学家陈景润证明了“1+2”定理，震惊中外！此后几十年陈氏定理都被称为有关哥德巴赫猜想的最大突破，也就是说这几十年来有关哥德巴赫猜想的研究没有什么突破性的进展。而用所谓的殆素数法似乎也走向了尽头（没办法用该方法证明“1+1”啊），有人怀疑殆素数法的极限就是“1+2”了，所以尽管“1+2”看起来接近“1+1”了但其本质并不一样，所以有人认为殆素数法并不是解决哥德巴赫猜想的真正途径。
直到现在哥德巴赫猜想也没有被证明，因此也没法具体的说明哥猜的难度有多大，但我可以举一个同为世纪难题但已经解决的例子——费马大定理。各位可以感受一下~
1637年左右，费马在《丢番图》上看到了这样一个问题“任意两个正整数的三次幂之和能否表示成另一个正整数的三次幂”，费马在略略思索后留下了这样的一个猜想:任意两个正整数的四次幂之和不可能表示为另一个正整数的四次幂，同理任意两个正整数的五次幂之和也不能表示为另一个正整数的五次幂。后来费马大定理被表述为:任意两个正整数的n次幂之和不可能被表示为另一个正整数的n次幂（n＞2）。更令人抓狂的是费马还说自己还有一个巧妙的证明，但是这里空白太小写不下(｡･ˇ_ˇ･｡:)，这就相当于说老子只要努力就能成功，但就是为了给你们这些路人一点面子所以不想努力。但这可折磨坏了那些后世的数学家，他们一直以来都在寻找费马的巧妙证明，但一直毫无结果。直到一天大数学家欧拉从费马的手稿中找到了关于n=4的证明，利用了“无穷递降法”，而后欧拉自己又用该方法证明了n=3时的情形。1825年德国数学家狄利克雷和法国数学家勒让德分别独立证明了n=5的情形。1850年高斯之徒库默尔利用唯一因数分解的方法创立了“理想数环”使100以内，除37、59、67以外的数字都得到了证明。
此后的几十年来有无数的数学家、神棍宣称自己解决了这个问题，但无一例外都被证明是错的。
又到了20世纪（期间数学界的其它领域有了巨大的进展），数学家怀尔斯8年的孤军奋战终于证明了费马大定理（期间的艰苦一言难尽），他光准备就花了18个月，用迦罗瓦方法排列就用了一年半的时间。为了完成对费马大定理的最后证明还证明了谷山志村猜想（半稳定椭圆曲线情况）。费马大定理的证明几乎用到了与之有关的领域的所有最前沿的知识理论和方法技巧（这一点世界上能做到的就寥寥无几）。我想说这就是哥猜和费定的迷人之处，其问题的描述连现在的小学生都能看懂，但实际的证明却难如登天。这会使人理所当然的以为问题这么简单证明也肯定很简单啦！这也就是为什么有那么多的民科和神棍对哥猜和费定跃跃欲试，而不是对黎曼猜想跃跃欲试。说到底还是对虚荣的渴求，那些自以为有点学识的人渴望通过证明这样举世闻名的难题来让自己名利双收，渴望证明自己。这种人的社会地位一定不是很高，自己不踏踏实实地工作赚钱，却妄想着通过这种极端的方式来名利双收（你看哪个正经的、有一定社会地位的、工作体面的人不是好好的过自己的小日子，哪他妈有时间和精力来关心这个！）。这种人也缺少对自身能力的理性认识。
不好意思，有点跑题，题主问我哥猜什么难度，那我来告诉你。不论是哥猜还是费定，这种问题的解决需要人类几十年甚至上百年的努力（尽管怀尔斯独立解决了这个问题，但那也是在无数的数学大家打下的基础上解决的），都是无数的数学家一点一点的突破，一点一点的进展，最后才终于达到了能够解决这个问题的高度。绝不是一个人完全独立，在不参考前人的智慧的前提下能够解决的；也绝不是某个高中生突然心血来潮能够解决的（别跟我说那他要是一个天才怎么办，我告诉你现在研究前沿数学的那批人无一例外都是天才，要么是奥林匹克数学竞赛的金牌得主，要么年纪轻轻就进了世界名校，比那些以为自己是天才的人强上百倍。他们都不敢说自己高中时代就能够解决世纪难题，而且那些天才想要达到能够解决世纪难题的水平，也要用十年甚至几十年的积累，怀尔斯就是一个很好的例子，人家十多岁少年时代就被剑桥三一学院录取了）。费马大定理就是一个很好的例子，从问世到解决长达350多年，其间多个数学领域的发展才给费定的解决提供了有力的工具。同理可以借鉴哥猜。
谢谢你有耐心看到最后。
谢邀。
哥德巴赫猜想最难的地方在于人类目前还没有什么好的解决办法。目前世界最好的结论是“1+2”，也就是说，任意一个大偶数可以被拆为一个素数与一个殆素数的和，所谓殆素数就是两个素数的积。当年陈景润利用筛法，得到了这个结论，与此同时也意味着筛法已经“物尽其用”，不能再有任何突破了，想要证明“1+1”——哥德巴赫猜想，就得寻找新的方法。
实际上，我们常说的哥德巴赫猜想，是“二素数猜想”，“三素数猜想”——充分大的奇数可以被拆为三个素数之和，已经被俄罗斯数学家 И.М.Виноградов 证明，利用的是圆法和线性三角和估计。想了解三素数定理的难度，这是现成的，直接找论文读就可以了。
如果想了解二素数猜想的难度，可以先试着了解筛法的难度，因为猜想的难度肯定不小于筛法的难度。下面我放了一张潘承洞、潘承彪的《解析数论基础》的一张图片，这一页只是介绍组合筛法这一工具，我想让小学生体会一下恐怖应该不成问题吧。
在数论中常常有这样的现象，小学生都能看懂的问题，但是却是世界级别的难题，尤其是关于素数的问题，随便一问很可能就是未解之谜。数学之神欧拉说，素数可能是人类心灵永远无法参透的秘密花园（原话记不清了），的确如此，素数没有快速验证、预测的公式，而想要做精致的研究可想而知有多难。素数很“散”，串不到一根有效的理论之绳上，否则一牵而起，也就好说了，但是这根深刻的绳线被埋藏在数学世界的最深处……
许多人声称证明哥德巴赫猜想，一般可能得到的是华罗庚曾经证明的结论：几乎对所有偶数，哥德巴赫猜想成立。搞研究常常会撞车，所以要充分了解前人成果，才不会走弯路，走老路。
我看了许多邀请的问题，才知道哥德巴赫猜想为什么叕被提起，原来是说有高中生证明了。不怕大家笑话，我记得我高中的时候也证明过，证明的基本思路是：给定 N，计算 N 内有多对和不同的素数组合（且其和不超过 N），然后与 N 以内的偶数个数作比记为 R，求极限，如果比值小于1，说明小于 N 内至少存在一个偶数，分配不到一个素数对，则哥德巴赫猜想不成立。这里用了素数定理来作估计，其中的估计细节我记不清了。这个思路没太大问题，嗯……只是实际操作，太多需要精确估计的地方只能不断地妥协。
高中生有没有可能证明哥德巴赫猜想呢？如果你非要问我，我只能说……
我没看到那个高中生关于哥猜的“证明”，现已删贴。看到人们的评论，我挺失望，我原想是一位数学竞赛大神有什么犀利的操作，然后在一个不显然易见的细节翻了跟头，没想到评论区完全一边倒……
我有点担心那个孩子被网友深深地伤害，再也对数学提不起兴趣，那真是一件悲哀的事情。
我觉得大多数人，对数学家有点错误的认知，就好比一个人证明了某某世界猜想，人们的第一反应是，他真天才，他是真是聪明绝顶！而内行人往往会感慨，他真是有勇气，他真辛苦，当然也很聪明（这是最后才要感慨的），我希望人们能采取后者的看法。
数学证明是一座无形的摩天大厦，数学工作者需要确保其中每一零件是否坚固，因为一但建立，它就可以经历永恒的考验。
一大早被邀请回答关于高中生哥猜证明的问题。邀请题目满满地溢出鄙视与嘲讽，说白了就是看人翻车，拍手称快，我觉得这样不好。不就是做错一道数学题嘛，我天天都有可能做错题，谁不是呢？只不过是这道题关乎荣誉、声望、财富、前途的时候，原本的单纯就变质了，嘲笑别人失败这是很值得夸耀的事情吗？组团继续伤害别人，这就是正义吗？“我看到的是毫无自制力的、无限膨胀的民意。”
证明哥德巴赫猜想有多难，这个我也说不清，如果非要比喻，就好比中学课本上的证明是搭积木，而真正数学家搞的证明都是摩天大厦，用积木搭大厦，不亦悲乎？
我也曾妄想过，是的，我也狂过。不过每一个高楼大厦的梦，不都是儿时搭积木的刹那开始的吗？
如果说谣言止于智者，那么伤害止于仁者。
看到有一种说法是，“哥德巴赫猜想难到欧拉都做不出来。”个人并不赞赏这种对待数学的态度。
哥德巴赫猜想是什么？目前最常用的一个版本是“任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。”关于哥德巴赫猜想的历史，知友已经讲得很详细了。我姑且妄议一下这个猜想到底难在哪。以下说法纯属个人观点，并无实据，大家看看就好，不必当真。
哥猜本质的难度在于，它要求我们研究两个素数之和。
不妨先来回忆一下素数是什么。素数是“在大于1的自然数中，正因数只有1和本身的数”。我们看到，素数的定义是围绕因数展开的。因数是整除关系的体现，而整除关系，本质上可以归结于正整数的乘法。
我们回忆一下初等数论里和素数相关的性质，如：
算术基本定理：任何一个大于1的自然数N ，都可以唯一分解成有限个素数的乘积 ，这里Pi均为素数，其诸指数ai为正整数。
费马小定理：假如p是素数，且gcd(a,p)=1，那么 .
这些形式要么和乘法有关，要么和乘方有关。事实上，素数在数论系统中是作为整数乘法的一块块基石出现的。素数的这个概念出现的初衷和落脚点都和乘法密切相关。所以说，素数的”素性“是一个乘法性质。
那哥猜为什么难呢？因为本来两个用来处理乘法关系的素数，你非要让它们加一加。好比鱼本来是用来游泳的，你非要让它飞到天上去。那真是强人所难。
其实吧，让它飞也不是不行。在初等数论之上，我们有解析数论这样一个利器，从高等的观点来说，素数整体上确实能体现出一些加法的性质，也有一些成功的案例，例如高斯对素数密度的估计等。但这毕竟还是有一点运气成分的。像哥猜这种硬核猜想，正好撞上了，目前的手段拿它还没有任何办法，甚至。。。万一是错的呢，一个世纪以后发现10的一万次方的地方有个反例，也说不准。
不管怎么说，初等数学对哥猜这种档次的问题毫无办法，也绝无可能成功。
我觉得很多人对数学有一种误解。
像是费马大猜想，哥德巴赫猜想，黎曼猜想等等这些东西，不能用传统上的有多难，难在哪里来评价的。
虽然费马大猜想已经被证明了，但这并不妨碍。
很多人的思想是自然科学思维的，物理思维的，比如说盖一座一百层楼的大厦有多难，写一个人工智能软件有多难，这个我可以告诉你。
但是你要问，证明哥德巴赫猜想有多难，那么唯一可以给出的答案是：人类已经在这个上面投入了多少时间。
抱歉我们真的不知道如果这是一座一百层的大厦的话，现在已经盖了多少层了……
我们只能指着远处那一大堆废墟告诉你，已经失败了多少次了……
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