问题

变异系数法怎么确定权重?

回答
权重确定是多指标评价体系中至关重要的一环,它直接影响到评价结果的客观性和可靠性。在众多的权重确定方法中,变异系数法因其简洁、易于理解且能较好地反映数据本身的离散程度而受到广泛应用。下面我们就来详细探讨一下变异系数法是如何确定权重的。

变异系数法核心思想:反映指标的“重要性”

简单来说,变异系数法确定权重的核心思想是:一个指标的变异程度越大,其对整体评价的重要性就越高,因此应该赋予更大的权重;反之,变异程度越小的指标,其对整体评价的影响越小,应该赋予较小的权重。

这里所说的“变异程度”,我们通常用变异系数(Coefficient of Variation, CV)来衡量。变异系数是一个相对指标,它反映了数据离散程度相对于其平均水平的大小。计算公式为:

$$CV = frac{标准差}{平均数}$$

为什么变异系数能反映指标的重要性?

想象一下,你在评价不同水果的营养价值。如果所有水果的维生素C含量都差不多,波动很小,那么维生素C对区分这些水果的营养价值就没有太大意义。但如果某个水果的铁含量比其他水果高出很多,变异非常大,那么铁含量就成为了区分这个水果与其他水果的重要依据,我们自然会认为铁含量在这个评价体系中更重要。

变异系数正是抓住了这个核心点。通过计算每个指标的变异系数,我们可以量化它们之间的差异程度。变异系数越大,说明该指标的值在各个样本中波动越剧烈,能够更有效地区分不同的样本(例如不同的产品、不同的区域、不同的人群等)。这种差异性,恰恰是我们评价体系希望捕捉的信息。

变异系数法确定权重的具体步骤

下面我们一步一步地讲解如何运用变异系数法来确定权重:

第一步:数据收集与整理

首先,你需要收集所有你想要纳入评价体系的指标的数据。假设我们有 $m$ 个指标需要评价,并且我们收集了 $n$ 个样本(例如 $n$ 个城市, $n$ 家公司, $n$ 种产品)。我们将其整理成一个 $n imes m$ 的数据矩阵 $X$,其中 $x_{ij}$ 表示第 $i$ 个样本的第 $j$ 个指标的值。

第二步:指标的标准化处理

由于不同指标的量纲、单位和数值范围可能差异很大(例如,一个指标是销售额(万元),另一个是客户满意度(百分制)),直接计算它们的变异系数是没有可比性的。因此,在计算变异系数之前,必须对数据进行标准化处理,使其具有可比性。

常见的标准化方法有:

最小最大标准化(MinMax Normalization): 将数据缩放到 $[0, 1]$ 或 $[1, 1]$ 的区间内。
对于正向指标(数值越大越好):$x'_{ij} = frac{x_{ij} min(x_j)}{max(x_j) min(x_j)}$
对于负向指标(数值越小越好):$x'_{ij} = frac{max(x_j) x_{ij}}{max(x_j) min(x_j)}$
其中 $min(x_j)$ 和 $max(x_j)$ 分别是第 $j$ 个指标在所有样本中的最小值和最大值。

Zscore标准化: 使数据均值为0,标准差为1。
$x'_{ij} = frac{x_{ij} ext{mean}(x_j)}{s_j}$
其中 $ ext{mean}(x_j)$ 是第 $j$ 个指标的平均值,$s_j$ 是第 $j$ 个指标的标准差。

选择哪种标准化方法取决于具体的评价需求和数据的特性。MinMax 标准化更直观,但容易受极端值影响;Zscore 标准化则更加稳健。在实际操作中,通常选择MinMax标准化,并根据指标的性质将负向指标进行转换,使其都成为正向指标。

经过标准化处理后,我们得到一个新的标准化数据矩阵 $X'$。

第三步:计算每个指标的变异系数

对于标准化后的数据矩阵 $X'$,我们计算每个指标(列)的平均值和标准差。

计算第 $j$ 个指标的平均值:$ar{x}'_j = frac{1}{n} sum_{i=1}^n x'_{ij}$
计算第 $j$ 个指标的标准差:$s'_j = sqrt{frac{1}{n1} sum_{i=1}^n (x'_{ij} ar{x}'_j)^2}$ (通常使用样本标准差)

然后,计算第 $j$ 个指标的变异系数:

$$CV_j = frac{s'_j}{ar{x}'_j}$$

需要注意的点:

如果某个指标的平均值 $ar{x}'_j$ 非常接近于零,甚至为零,那么计算变异系数时可能会出现问题(除以零)。在这种情况下,需要考虑调整该指标的数据,或者使用其他标准化方法,或者暂时剔除该指标。
有些情况下,为了避免平均值为零或负数的情况,也可以使用绝对值来代替平均数计算相对离散度,例如 $CV_j = frac{s'_j}{|ar{x}'_j|}$。但在大部分情况下,经过MinMax标准化后,数据都在 $[0, 1]$ 区间,平均值通常不会出现零或负数。

第四步:计算各指标的权重

得到每个指标的变异系数 $CV_j$ 后,我们就可以利用这些变异系数来计算指标的权重了。权重应该是非负的且所有权重之和为1。

一种常用的方法是将变异系数进行“正向化”和“归一化”:

1. 正向化: 由于变异系数越大代表越重要,我们通常使用变异系数本身来代表其重要程度,无需再进行反向处理。
2. 归一化: 为了使各指标的权重之和为1,我们将每个指标的变异系数除以所有变异系数的总和。

因此,第 $j$ 个指标的权重 $w_j$ 计算公式为:

$$w_j = frac{CV_j}{sum_{k=1}^m CV_k}$$

这样,我们就得到了一个反映指标变异程度的权重体系。

变异系数法的优点与局限性

优点:

客观性强: 权重完全由数据本身的离散程度决定,避免了人为的主观臆断,体现了数据的内在信息。
易于理解和操作: 计算方法相对简单,概念也容易被理解。
能反映指标的区分能力: 变异系数大的指标确实能更好地区分不同的样本,这符合多指标评价的初衷。
无需专家知识: 对于某些缺乏专家知识或者希望避免专家主观偏好的情况,变异系数法是一个不错的选择。

局限性:

忽视了指标之间的相关性: 该方法独立地计算每个指标的权重,没有考虑指标之间可能存在的线性或非线性关系。如果两个指标高度相关,并且都具有较大的变异系数,可能会导致这两个指标被赋予过高的权重,而其他重要但变异系数相对较小的指标则被低估。
对极端值敏感(标准化过程): 如果数据中存在极端值,并且在标准化过程中没有得到妥善处理,可能会影响变异系数的准确性,进而影响权重分配。
对数据分布的假设: 该方法在一定程度上隐含了数据“越分散越重要”的假设,但这种假设并不总是适用于所有评价场景。例如,在某些情况下,指标的稳定性(即变异系数小)才代表其重要性(如某些安全指标)。
当所有指标变异系数接近时: 如果所有指标的变异系数都非常接近,那么通过此方法计算出的权重也会非常接近,可能无法有效地区分不同指标的重要性。

如何改进和应用变异系数法?

尽管存在一些局限性,但变异系数法仍然是一种有价值的权重确定工具。为了更好地应用它,可以考虑以下几点:

结合其他方法: 可以将变异系数法与主观赋权法(如层次分析法)结合,形成“主客观相结合”的赋权方法,以兼顾数据的客观信息和专家的经验判断。例如,先用变异系数法计算出初步的权重,再根据专家意见进行调整。
剔除高度相关的指标: 在计算权重之前,可以先进行指标的冗余性分析,剔除高度相关的指标,以避免权重分配的重复和偏差。
审慎选择标准化方法: 根据数据的特性,选择合适的标准化方法,并对可能存在的极端值进行预处理(如 Winsorize 处理)。
结合业务逻辑判断: 在应用变异系数法计算出权重后,一定要结合具体的业务逻辑和评价目标进行审慎的判断。如果计算出的权重与实际情况不符,需要反思是数据问题还是方法适用性问题。
考虑指标的“稳定性”: 如果在某些评价场景下,指标的稳定性(变异系数小)才代表其重要性,那么可以在计算权重时,将变异系数取倒数进行归一化,即权重与变异系数成反比。

举例说明

假设我们要评价三个城市的经济发展水平,选取了三个指标:
1. 人均GDP(万元)
2. 城镇居民人均可支配收入(万元)
3. 第三产业占GDP比重(%)

我们收集了 5 个城市的数据(为了简化,这里只列出标准化后的数据):

| 城市 | 人均GDP ($x'_1$) | 人均收入 ($x'_2$) | 第三产业占比 ($x'_3$) |
| : | : | : | : |
| A | 0.6 | 0.5 | 0.8 |
| B | 0.9 | 0.8 | 0.4 |
| C | 0.4 | 0.3 | 0.9 |
| D | 1.0 | 0.9 | 0.3 |
| E | 0.7 | 0.6 | 0.6 |

1. 计算各指标的平均数和标准差(假设数据已标准化)

人均GDP ($x'_1$)
平均数 ($ar{x}'_1$) = (0.6 + 0.9 + 0.4 + 1.0 + 0.7) / 5 = 0.7
标准差 ($s'_1$) ≈ 0.2316
人均收入 ($x'_2$)
平均数 ($ar{x}'_2$) = (0.5 + 0.8 + 0.3 + 0.9 + 0.6) / 5 = 0.62
标准差 ($s'_2$) ≈ 0.2380
第三产业占比 ($x'_3$)
平均数 ($ar{x}'_3$) = (0.8 + 0.4 + 0.9 + 0.3 + 0.6) / 5 = 0.6
标准差 ($s'_3$) ≈ 0.2449

2. 计算各指标的变异系数

$CV_1 = frac{s'_1}{ar{x}'_1} = frac{0.2316}{0.7} approx 0.3309$
$CV_2 = frac{s'_2}{ar{x}'_2} = frac{0.2380}{0.62} approx 0.3839$
$CV_3 = frac{s'_3}{ar{x}'_3} = frac{0.2449}{0.6} approx 0.4082$

3. 计算各指标的权重

变异系数总和 = $CV_1 + CV_2 + CV_3 approx 0.3309 + 0.3839 + 0.4082 = 1.123$

人均GDP的权重 $w_1 = frac{CV_1}{1.123} = frac{0.3309}{1.123} approx 0.2946$
人均收入的权重 $w_2 = frac{CV_2}{1.123} = frac{0.3839}{1.123} approx 0.3419$
第三产业占比的权重 $w_3 = frac{CV_3}{1.123} = frac{0.4082}{1.123} approx 0.3635$

结果分析:

在这个例子中,第三产业占比的变异系数最大,因此获得了最高的权重 (0.3635),其次是人均收入 (0.3419),人均GDP的变异系数最小,获得的权重最低 (0.2946)。这表明从数据波动程度来看,第三产业占比更能体现不同城市之间的差异。

总结

变异系数法作为一种客观赋权方法,通过度量指标的离散程度来确定其在评价体系中的重要性。它简单实用,能够较好地反映数据的内在信息。然而,在使用时也要注意其局限性,并结合实际情况进行灵活运用和分析。理解其背后的逻辑,并在实践中不断调整和完善,才能真正发挥其作用,得出科学合理的评价结果。

网友意见

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这个相当简单。反而是要注意数据的预处理,即归一化,标准化、无量纲化的问题。

1、网址与说明

可以收藏上面的页面。记住流程图。

上面是一个前置内容,即规范化矩阵N的意义。

求权重是在规范化矩阵上求的。

2、规范化方法

用得最多的是极差法

第一、无量纲化、规范化、归一化之间的关系

  无量纲化(nondimensionalize 或者dimensionless)是指通过一个合适的变量替代,将一个涉及物理量的方程的部分或全部的单位移除,以求简化实验或者计算的目的,是科学研究中一种重要的处理思想。

无量纲化方法选择的标准:

  ① 客观性。无量纲化所选择的转化公式要能够客观地反映指标实际值与指标评价值之间的对应关系。要做到客观性原则,需要评价专家对被评价对象的历史信息做出深入彻底的分析和比较,找出事物发展变化的转折点,才能够确定合适的无量纲化方法。

  ② 可行性。即所选择的无量纲化方法要确保转化的可行性各种方法各有特点,各有千秋,应用时应当加以注意。

  ③ 可操作性。即要确保所选方法具有简便易用的特点,并不是所有的非线性无量纲化方法都比线性无量纲化方法更加精确。评价不是绝对的度量,在不影响被评价对象在评价中的影响程度的前提下,可以使用更为简便的线性无量纲化方法代替曲线关系。

无量纲化、规范化、归一化是包含关系。无量纲化的概念最广

归一化方法是指,经过归一化计算后,得到的矩阵,矩阵值都在[0,1]之间。

第二、常见的六大类归一化方法及注意事项

第三、千万要搞清楚指标的属性

即正向指标,还是逆向指标

第四、极差法的特征

归一化后的每一列 一定有个 0 有个1 否则肯定是错的

3、COV 的步骤

※变异系数(Coefficient of variation)变异系数又称“标准差率”,是衡量资料中各观测值变异程度的另一个统计量。当进行两个或多个资料变异程度的比较时,如果度量单位与平均数相同,可以直接利用标准差来比较。如果单位和(或)平均数不同时,比较其变异程度就不能采用标准差,而需采用标准差与平均数的比值(相对值)来比较。这是一个常用的方法

  计算公式:

上面公式 详解: 一列 一列算的 i对应的一列。

下面的x是求平均数。

上面的叫标准差。

标准差不知道是什么那就没办法了。

求出COV后,求百分比就出来了权重。

COV是最简单的求权重方法之一。

关键要了解的是前置步骤,尤其是负向指标的标准化(归一化)


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