如果你来讲物理类《线性代数》课程，你会如何设计？
好的，如果我来设计一门面向物理学专业的线性代数课程，我不会仅仅把数学概念堆砌起来，而是会时刻想着“这玩意儿在物理里到底有什么用？怎么帮物理学家解决问题？” 这门课的宗旨是培养那些能用线性代数这个强大的工具来分析和理解物理现象的学生。
以下是我的课程设计思路，我会力求详尽：
课程名称：物理学中的线性代数
核心理念： 将数学概念与物理应用紧密结合，强调理解线性代数在描述物理系统、解决物理问题中的核心作用。我们不只是学习“是什么”，更要理解“为什么”以及“怎么用”。
目标受众： 本科低年级或高年级物理学专业学生，希望为后续深入的量子力学、统计力学、电动力学、固体物理等课程打下坚实基础。
课程结构与侧重点：
这门课程会有一个明确的“由简入繁，由物理出发”的思路。我会从最直观的物理问题入手，引出所需的线性代数概念，而不是先讲一大堆抽象定义。
第一部分：基础篇 – 让抽象概念落地
这部分的目标是建立对向量、矩阵以及它们基本运算的直观理解，并 immediately 将它们与物理世界联系起来。
第一章：物理世界的语言——向量与坐标系
引入：
从经典力学中的位移、速度、力等物理量引入向量的概念。为什么我们需要向量？因为很多物理量既有大小又有方向。
展示多维空间中的物理现象（例如，描述一个粒子在三维空间中的位置、速度、加速度）。
介绍物理学中常用的向量表示法（箭头、分量表示）。
核心概念：
向量的定义： 实向量空间（主要关注 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$）。
向量的运算： 加法（物理上的合成）、数乘（物理上的缩放）。
线性组合与张成： 解释如何用基本向量（如笛卡尔坐标基底）“张成”出整个空间，以及物理量如何表示为其他物理量的线性组合。例如，一个力可以分解为沿着不同方向的分量的叠加。
基与坐标表示： 强调基的重要性。不同基底（例如，笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系）对描述同一物理量的影响。
内积（点积）：
几何意义：两个向量的“相似度”，投影。
物理应用：功（力与位移的点积），投影（将一个向量分解到另一个方向上），向量的模长（向量与自身的内积）。
正交性与标准正交基： 物理上的正交轴（如三维空间中的x, y, z轴）的意义，及其带来的计算便利。
第二章：物理系统的“机器”——矩阵与线性变换
引入：
从物理系统的演化入手。例如，一个简单谐振子在不同时间的状态如何变化？一个线性电路中，输入电压与输出电流的关系？
将向量（物理状态）经过某个“过程”转化为另一个向量，这个“过程”就可以用矩阵来描述。
核心概念：
矩阵的定义与表示： 实矩阵、复矩阵。
矩阵与向量的乘法： 解释其几何意义——线性变换。
几何变换：旋转、缩放、剪切等，如何在坐标系中表现。
物理变换：例如，量子力学中的幺正变换、信号处理中的傅里叶变换（初步介绍）。
矩阵的运算： 加法、数乘、乘法（理解乘法的物理意义——复合变换，例如先旋转再缩放）。
线性变换的矩阵表示： 如何通过基底来找到描述特定线性变换的矩阵。
特殊矩阵： 对角矩阵（解耦变量）、对称矩阵（物理上很多重要的量）、单位矩阵（恒等变换）、零矩阵（无影响）。
矩阵的转置与共轭转置： 物理意义（例如，共轭转置在厄米矩阵和酉矩阵中的关键作用）。
第二部分：核心工具——深入理解与应用
这部分将深入探讨线性代数的核心理论，并与更复杂的物理概念相结合。
第三章：解耦与理解——特征值与特征向量
引入：
物理系统中“不变方向”和“缩放因子”的意义。例如，简谐振动的各个模式的频率（特征值）和振动形式（特征向量）；量子力学中的可观测量及其本征值和本征态。
从动力学方程 $ dot{x} = Ax $ 引入指数衰减或增长的行为。
核心概念：
特征值方程： $Av = lambda v$ 的几何与物理意义。
求解特征值和特征向量： 特征多项式 $ det(A lambda I) = 0 $。
对角化：
可对角化矩阵的条件。
利用特征向量作为新基底来对角化矩阵，从而“解耦”原方程组，简化问题。
物理应用：解线性常微分方程组（如耦合振子系统、电路分析），简化动力学系统。
谱定理（对于实对称矩阵和复厄米矩阵）： 保证它们总是可以被正交相似对角化，这在物理学中极其重要，例如量子力学中可观测量对应的算符是厄米算符，其本征值是实数，本征态是相互正交的。
非负矩阵与马尔可夫链： 在统计物理、凝聚态物理的某些应用中会遇到（例如，粒子在晶格上的扩散）。
第四章：空间与维数——子空间、基变换与秩
引入：
物理系统中不同自由度的含义。例如，一个三维空间中的粒子，其状态向量就属于一个三维向量空间。
线性方程组的解空间，描述了系统的所有可能状态。
核心概念：
向量子空间： 线性组合封闭的子集。
线性无关与线性相关： 一个物理系统的独立变量个数。
基与维数： 张成一个向量空间所需的最小向量个数。
子空间的维数： 例如，在一个平面上运动的粒子，其状态可以张成一个二维子空间。
矩阵的秩： 矩阵的列空间（或行空间）的维数，反映了线性变换“压缩”空间的程度，以及线性方程组的有效“自由度”。
核（零空间）与像（列空间）：
核：将向量映射到零向量的向量集合。在物理上，可能对应于系统的守恒量或者“无输出”的状态。
像：矩阵变换能够达到的所有向量的集合。
维度定理： $ dim(ker(A)) + dim( ext{im}(A)) = n $。
基变换的矩阵： 如何在不同基底之间转换向量和矩阵的表示。这在处理不同坐标系或不同表象时非常有用。
第五章：线性方程组的求解与物理约束
引入：
许多物理问题归结为求解线性方程组。例如，电路分析中的基尔霍夫定律，应力应变分析，量子力学中的求解薛定谔方程（离散化后）。
方程组是否有解？有多少解？如何找到这些解？
核心概念：
高斯消元法（行变换）： 核心的求解算法，理解其每一步的几何意义。
行阶梯形矩阵和简化行阶梯形矩阵： 标准化表示，便于判断解的存在性和唯一性。
自由变量与基本变量： 理解方程组自由度。
齐次线性方程组和非齐次线性方程组： 解空间的性质。
可解性条件： $ ext{rank}(A) = ext{rank}([A|b]) $。
最小二乘法： 在实验数据拟合中，当方程组“超定”或“欠定”时，如何找到“最优”解。这在数据分析和实验物理中至关重要。
第三部分：进阶与专题——面向物理的深化
这部分将进一步拓展线性代数的应用，涉及更广泛的物理领域。
第六章：希尔伯特空间与量子力学初步
引入：
将数学的向量空间推广到复向量空间（$mathbb{C}^n$）乃至无穷维的复向量空间（希尔伯特空间）。
量子力学中的态矢量（波函数）就是向量空间中的元素。
核心概念：
复向量空间： 复数标量乘法的重要性。
内积在复向量空间中的定义： $ langle phi | psi angle $ (狄拉克符号引入)。
厄米算符（Hermitian Operators）： 对应于可观测量，其本征值为实数，本征态构成完备正交基。
酉算符（Unitary Operators）： 保持内积不变的变换，对应于量子力学中的时间演化（在不含哈密顿量的场景下）和坐标变换。
完备性与基的展开： 任何量子态都可以表示为某个算符本征态的线性组合。
对概率幅和概率密度的理解： $ |langle psi_i | psi angle|^2 $。
第七章：矩阵的更多“几何”与分析性质
引入：
线性变换对体积、面积等几何量的影响。
分析矩阵的性质与系统稳定性的关系。
核心概念：
行列式（Determinant）：
几何意义：线性变换在n维空间中对体积的缩放因子。
物理应用：作为线性方程组系数矩阵可逆性的判据；在雅可比行列式中表示坐标变换的体积元素变化。
迹（Trace）：
定义：对角线元素之和。
性质：与特征值之和相等。
物理应用：算符的平均值（在特定情况下），统计力学中的配分函数等。
矩阵的范数： 衡量矩阵“大小”的指标，与信号处理、控制理论中的稳定性分析有关。
奇异值分解（SVD）：
概念：将任意矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积。
物理应用：降维处理（主成分分析PCA），图像压缩，推荐系统，解欠定或超定方程组的稳定性方法。
第八章：特种应用专题（可选，根据学生基础和兴趣选择）
张量简介： 从向量推广到更高阶的对象，例如电磁学中的电磁张量，广义相对论中的度规张量。介绍张量的分量表示与变换性质。
傅里叶分析与线性算符： 将傅里叶变换看作一种特殊的线性变换，它在信号处理、波动方程等领域极其重要。
数值线性代数基础： 在实际物理计算中，很多问题需要数值方法求解。简单介绍迭代法（如共轭梯度法）求解大型稀疏线性方程组。
教学方法与评估：
1. 启发式教学： 从直观的物理现象开始，引导学生自己思考需要什么样的数学工具。
2. 大量物理实例： 每一章节的概念都必须配有至少23个来自不同物理领域的具体例子（经典力学、电磁学、量子力学、统计力学）。例如：
耦合振子系统（特征值问题）
电路分析（线性方程组）
自由粒子和势阱中的态（矩阵表示，厄米算符）
数据拟合（最小二乘法）
3. 互动式课堂： 鼓励提问，分组讨论，甚至现场编程演示（例如用Python的NumPy库）。
4. 强调概念理解： 不仅仅是计算技巧，更要理解每个概念背后的物理意义和数学逻辑。
5. 作业设计：
理论题： 证明一些性质，解释概念。
计算题： 熟练掌握各种算法。
编程题（可选）： 使用Python/MATLAB等工具实现算法，解决简化的物理问题。例如，用SVD对一组实验数据进行降维。
6. 评估方式：
平时作业（3040%）
期中考试（2030%）：侧重基础概念和核心工具的掌握。
期末考试/项目（3040%）：综合运用所学知识解决一个稍复杂的物理问题，可以是理论分析，也可以是结合计算。
课程资源：
教材： 我会选择一本数学上严谨，但物理应用丰富且讲解清晰的教材，或者自己整理一份包含详细物理示例的讲义。
辅助材料： 推荐一些经典物理学教材中关于数学方法的章节，以及一些在线的教学资源。
我希望这门课程能让学生感觉到，线性代数不是一门枯燥的数学课程，而是物理学家解决复杂问题、理解抽象概念的强大助手。学完这门课，学生应该能自信地在物理学中使用向量、矩阵等工具，并理解它们在各种物理理论中的深层含义。
这就像是给物理学家配了一副“万能眼镜”，让他们能够清晰地看到物理世界背后隐藏的数学结构。我的目标就是教会他们如何戴好这副眼镜，并且看到更广阔的世界。
以下是我的课程设计思路，我会力求详尽：
课程名称：物理学中的线性代数
核心理念： 将数学概念与物理应用紧密结合，强调理解线性代数在描述物理系统、解决物理问题中的核心作用。我们不只是学习“是什么”，更要理解“为什么”以及“怎么用”。
目标受众： 本科低年级或高年级物理学专业学生，希望为后续深入的量子力学、统计力学、电动力学、固体物理等课程打下坚实基础。
课程结构与侧重点：
这门课程会有一个明确的“由简入繁，由物理出发”的思路。我会从最直观的物理问题入手，引出所需的线性代数概念，而不是先讲一大堆抽象定义。
第一部分：基础篇 – 让抽象概念落地
这部分的目标是建立对向量、矩阵以及它们基本运算的直观理解，并 immediately 将它们与物理世界联系起来。
第一章：物理世界的语言——向量与坐标系
引入：
从经典力学中的位移、速度、力等物理量引入向量的概念。为什么我们需要向量？因为很多物理量既有大小又有方向。
展示多维空间中的物理现象（例如，描述一个粒子在三维空间中的位置、速度、加速度）。
介绍物理学中常用的向量表示法（箭头、分量表示）。
核心概念：
向量的定义： 实向量空间（主要关注 $mathbb{R}^n$ 和 $mathbb{C}^n$）。
向量的运算： 加法（物理上的合成）、数乘（物理上的缩放）。
线性组合与张成： 解释如何用基本向量（如笛卡尔坐标基底）“张成”出整个空间，以及物理量如何表示为其他物理量的线性组合。例如，一个力可以分解为沿着不同方向的分量的叠加。
基与坐标表示： 强调基的重要性。不同基底（例如，笛卡尔坐标系、柱坐标系、球坐标系）对描述同一物理量的影响。
内积（点积）：
几何意义：两个向量的“相似度”，投影。
物理应用：功（力与位移的点积），投影（将一个向量分解到另一个方向上），向量的模长（向量与自身的内积）。
正交性与标准正交基： 物理上的正交轴（如三维空间中的x, y, z轴）的意义，及其带来的计算便利。
第二章：物理系统的“机器”——矩阵与线性变换
引入：
从物理系统的演化入手。例如，一个简单谐振子在不同时间的状态如何变化？一个线性电路中，输入电压与输出电流的关系？
将向量（物理状态）经过某个“过程”转化为另一个向量，这个“过程”就可以用矩阵来描述。
核心概念：
矩阵的定义与表示： 实矩阵、复矩阵。
矩阵与向量的乘法： 解释其几何意义——线性变换。
几何变换：旋转、缩放、剪切等，如何在坐标系中表现。
物理变换：例如，量子力学中的幺正变换、信号处理中的傅里叶变换（初步介绍）。
矩阵的运算： 加法、数乘、乘法（理解乘法的物理意义——复合变换，例如先旋转再缩放）。
线性变换的矩阵表示： 如何通过基底来找到描述特定线性变换的矩阵。
特殊矩阵： 对角矩阵（解耦变量）、对称矩阵（物理上很多重要的量）、单位矩阵（恒等变换）、零矩阵（无影响）。
矩阵的转置与共轭转置： 物理意义（例如，共轭转置在厄米矩阵和酉矩阵中的关键作用）。
第二部分：核心工具——深入理解与应用
这部分将深入探讨线性代数的核心理论，并与更复杂的物理概念相结合。
第三章：解耦与理解——特征值与特征向量
引入：
物理系统中“不变方向”和“缩放因子”的意义。例如，简谐振动的各个模式的频率（特征值）和振动形式（特征向量）；量子力学中的可观测量及其本征值和本征态。
从动力学方程 $ dot{x} = Ax $ 引入指数衰减或增长的行为。
核心概念：
特征值方程： $Av = lambda v$ 的几何与物理意义。
求解特征值和特征向量： 特征多项式 $ det(A lambda I) = 0 $。
对角化：
可对角化矩阵的条件。
利用特征向量作为新基底来对角化矩阵，从而“解耦”原方程组，简化问题。
物理应用：解线性常微分方程组（如耦合振子系统、电路分析），简化动力学系统。
谱定理（对于实对称矩阵和复厄米矩阵）： 保证它们总是可以被正交相似对角化，这在物理学中极其重要，例如量子力学中可观测量对应的算符是厄米算符，其本征值是实数，本征态是相互正交的。
非负矩阵与马尔可夫链： 在统计物理、凝聚态物理的某些应用中会遇到（例如，粒子在晶格上的扩散）。
第四章：空间与维数——子空间、基变换与秩
引入：
物理系统中不同自由度的含义。例如，一个三维空间中的粒子，其状态向量就属于一个三维向量空间。
线性方程组的解空间，描述了系统的所有可能状态。
核心概念：
向量子空间： 线性组合封闭的子集。
线性无关与线性相关： 一个物理系统的独立变量个数。
基与维数： 张成一个向量空间所需的最小向量个数。
子空间的维数： 例如，在一个平面上运动的粒子，其状态可以张成一个二维子空间。
矩阵的秩： 矩阵的列空间（或行空间）的维数，反映了线性变换“压缩”空间的程度，以及线性方程组的有效“自由度”。
核（零空间）与像（列空间）：
核：将向量映射到零向量的向量集合。在物理上，可能对应于系统的守恒量或者“无输出”的状态。
像：矩阵变换能够达到的所有向量的集合。
维度定理： $ dim(ker(A)) + dim( ext{im}(A)) = n $。
基变换的矩阵： 如何在不同基底之间转换向量和矩阵的表示。这在处理不同坐标系或不同表象时非常有用。
第五章：线性方程组的求解与物理约束
引入：
许多物理问题归结为求解线性方程组。例如，电路分析中的基尔霍夫定律，应力应变分析，量子力学中的求解薛定谔方程（离散化后）。
方程组是否有解？有多少解？如何找到这些解？
核心概念：
高斯消元法（行变换）： 核心的求解算法，理解其每一步的几何意义。
行阶梯形矩阵和简化行阶梯形矩阵： 标准化表示，便于判断解的存在性和唯一性。
自由变量与基本变量： 理解方程组自由度。
齐次线性方程组和非齐次线性方程组： 解空间的性质。
可解性条件： $ ext{rank}(A) = ext{rank}([A|b]) $。
最小二乘法： 在实验数据拟合中，当方程组“超定”或“欠定”时，如何找到“最优”解。这在数据分析和实验物理中至关重要。
第三部分：进阶与专题——面向物理的深化
这部分将进一步拓展线性代数的应用，涉及更广泛的物理领域。
第六章：希尔伯特空间与量子力学初步
引入：
将数学的向量空间推广到复向量空间（$mathbb{C}^n$）乃至无穷维的复向量空间（希尔伯特空间）。
量子力学中的态矢量（波函数）就是向量空间中的元素。
核心概念：
复向量空间： 复数标量乘法的重要性。
内积在复向量空间中的定义： $ langle phi | psi angle $ (狄拉克符号引入)。
厄米算符（Hermitian Operators）： 对应于可观测量，其本征值为实数，本征态构成完备正交基。
酉算符（Unitary Operators）： 保持内积不变的变换，对应于量子力学中的时间演化（在不含哈密顿量的场景下）和坐标变换。
完备性与基的展开： 任何量子态都可以表示为某个算符本征态的线性组合。
对概率幅和概率密度的理解： $ |langle psi_i | psi angle|^2 $。
第七章：矩阵的更多“几何”与分析性质
引入：
线性变换对体积、面积等几何量的影响。
分析矩阵的性质与系统稳定性的关系。
核心概念：
行列式（Determinant）：
几何意义：线性变换在n维空间中对体积的缩放因子。
物理应用：作为线性方程组系数矩阵可逆性的判据；在雅可比行列式中表示坐标变换的体积元素变化。
迹（Trace）：
定义：对角线元素之和。
性质：与特征值之和相等。
物理应用：算符的平均值（在特定情况下），统计力学中的配分函数等。
矩阵的范数： 衡量矩阵“大小”的指标，与信号处理、控制理论中的稳定性分析有关。
奇异值分解（SVD）：
概念：将任意矩阵分解为三个特殊矩阵的乘积。
物理应用：降维处理（主成分分析PCA），图像压缩，推荐系统，解欠定或超定方程组的稳定性方法。
第八章：特种应用专题（可选，根据学生基础和兴趣选择）
张量简介： 从向量推广到更高阶的对象，例如电磁学中的电磁张量，广义相对论中的度规张量。介绍张量的分量表示与变换性质。
傅里叶分析与线性算符： 将傅里叶变换看作一种特殊的线性变换，它在信号处理、波动方程等领域极其重要。
数值线性代数基础： 在实际物理计算中，很多问题需要数值方法求解。简单介绍迭代法（如共轭梯度法）求解大型稀疏线性方程组。
教学方法与评估：
1. 启发式教学： 从直观的物理现象开始，引导学生自己思考需要什么样的数学工具。
2. 大量物理实例： 每一章节的概念都必须配有至少23个来自不同物理领域的具体例子（经典力学、电磁学、量子力学、统计力学）。例如：
耦合振子系统（特征值问题）
电路分析（线性方程组）
自由粒子和势阱中的态（矩阵表示，厄米算符）
数据拟合（最小二乘法）
3. 互动式课堂： 鼓励提问，分组讨论，甚至现场编程演示（例如用Python的NumPy库）。
4. 强调概念理解： 不仅仅是计算技巧，更要理解每个概念背后的物理意义和数学逻辑。
5. 作业设计：
理论题： 证明一些性质，解释概念。
计算题： 熟练掌握各种算法。
编程题（可选）： 使用Python/MATLAB等工具实现算法，解决简化的物理问题。例如，用SVD对一组实验数据进行降维。
6. 评估方式：
平时作业（3040%）
期中考试（2030%）：侧重基础概念和核心工具的掌握。
期末考试/项目（3040%）：综合运用所学知识解决一个稍复杂的物理问题，可以是理论分析，也可以是结合计算。
课程资源：
教材： 我会选择一本数学上严谨，但物理应用丰富且讲解清晰的教材，或者自己整理一份包含详细物理示例的讲义。
辅助材料： 推荐一些经典物理学教材中关于数学方法的章节，以及一些在线的教学资源。
我希望这门课程能让学生感觉到，线性代数不是一门枯燥的数学课程，而是物理学家解决复杂问题、理解抽象概念的强大助手。学完这门课，学生应该能自信地在物理学中使用向量、矩阵等工具，并理解它们在各种物理理论中的深层含义。
这就像是给物理学家配了一副“万能眼镜”，让他们能够清晰地看到物理世界背后隐藏的数学结构。我的目标就是教会他们如何戴好这副眼镜，并且看到更广阔的世界。
网友意见
写个实用的, 你要是学量子力学之前就看到了我这个回答的话, 真的就可以按我说的来.
就是对着我提到的概念自己去查资料搞懂就行了.
真的感兴趣的话可以将 東雲正樹：[前置内容] 从映射到线性空间上的张量 作为参考资料之一.
线性代数可以说是理工科所处的空间本身, 是理工模型世界的原子, 是理工人呼吸的空气.
你可以意识不到空气的存在, 但没了空气, 你也就没了.
作为一门基础课中的基础基础课, 作为唯一一门不依赖于高数的课程, 面向的应是大一新生.
所以必须考虑学生的适应能力, 自嗨开大是没有意义的.
最后就是, 考虑实用性, 过于数学的细节全部舍去, 理清了框架领悟了思维方法后自己若还想更深入严谨地学习的话是谁都拦不住的. 而这种严谨不是所有人都需要的, 自然不应该放到课堂上来.
课程分七层, 共计需要 64+ 个课时, 考虑到同学们还有其它课程, 概念都只浅析, 重点在整体结构.
整个学完的话, 将来像量子力学之类的课程直接就送了.
后续其它课程的老师应该都会很感谢这门课的开设,
因为他们可以从线性空间与映射的角度清晰地定义他们要讲的物理对象了.
很遗憾, 国内大多高校的课程内的所有内容加起来大约也只能凑够支离破碎的两层的感觉.
第零层
2 个课时:
- 介绍直积等最初级的记号:
(1). 符号 用于连接两个在特定数学概念上完全相同的内容.
(2). 符号 用于连接两个在特定数学概念上有差异的内容.
(3). 符号 用于代替词语定义为或为, 即其中一边是另一边的一个记号.
(4). 符号 用于代替词语存在, 符号 用于代替词语任意.
(5). 符号 的左边是集合中的元素, 右边是元素所处的集合.
(6). 符号 的左边是右边的子集; 符号 的左边是右边的真子集.
(7). 符号 用于代替词语可推得, 符号 用来代替词语对应于.
(8). 直积 的作用是生成有序元素组的集合[1]: .
(9). 格式 表示的是 被 作用的结果.
(10). 若内部有小括号则外部的小括号会自动升级为中括号, 如 .
(10). Kronecker delta 就是 和 两个数的简单记法.
- 引入映射的概念, 介绍映射记号 的含义.
仅介绍定义, 不过度研究核之类的概念. 内容参考 [前置内容] 第一节.
第一个课时搞清楚集合是啥, 介绍上述记号, 引入单射满射双射的概念.
第二个课时通过举例子唠嗑, 让同学们好好感受一下上面三个概念.
下课回家好好反思.
把电子版的讲义发给学生, 哪里不懂自己回去看.
第一层
14 个课时:
- 从八条运算规则引入线性空间的概念, 并强调线性空间不存在额外的操作了.
认识到数域就是一个关于加减乘除运算封闭的数的集合.
选择实数域就是实线性空间, 选择复数域就是复线性空间, 暂不对复数做深入探讨.
- 让学生认识到矢量就是线性空间的元素.
只要加法和数乘规定好了, 你可以是矢量, 我也可以是矢量, 我家的猫猫狗狗都可以是矢量.
- 引入线性相关的概念, 并定义基矢.
在这个基础上加深对线性运算的理解.
让学生认识到对矢量的线性操作都可以用对基矢的线性操作来表达.
- 引入线性变换的概念.
- 引入内积的概念.
- 引入标准正交基的概念.
无论线性变换、内积还是加法数乘都用映射的格式写出来.
让学生意识到内积的选择完全是人为任意规定的, 且只需要指定基矢的映射就足矣.
让学生意识到内积选择的任意性可以使得任何一组基矢都成为标准正交基.
第二层
5 个课时:
- 从映射的角度引入对偶线性空间的概念.
强调对偶基矢必须由条件 来生成.
- 引入线性空间的同构映射的概念, 并点明维度是线性空间唯一的特征量或者说不变量.
- 介绍同构映射, 并强调线性空间 与其对偶空间 不存在自然同构映射.
- 让学生认识到线性空间 的对偶空间 的那个对偶空间 与 存在自然同构.
- 让学生认识到『自然』的意思.
『自然』就是可以通过人为约定让任何人都可以通过此约定独立地找到相同的数学对象.
第三层
7 个课时:
- 引入矩阵的概念, 并强调矩阵真的只是一个数字构成的表格罢了.
- 定义矩阵的加减法, 并强调这真的只是一个表格上的加减法.
- 定义矩阵的乘法, 并强调这真的只是一个表格上的乘法.
- 介绍一下一些特殊的矩阵与分块儿矩阵的相关性质.
- 定义矩阵的行列式, 并只介绍二阶与三阶行列式的计算方法.
第四层
12 个课时:
- 让学生认识到列矩阵构成的表格空间也是一种线性空间.
- 让学生认识到在矩阵的乘法约定下, 行矩阵将构成上述空间的对偶空间.
- 让学生认识到在这个线性空间里, 方阵配上矩阵乘法可以充当线性变换.
- 建立任意线性空间到列表格空间的同构映射.
- 认识到对偶基矢的选择与内积的选择存在一个一一对应的关系.
认识到选择了对偶基底等同于选择了一个内积使得当前基底成为标准正交基.
具体而言在有基底 与对偶基底 的情况下,
可以通过定义内积括号 来生成一个自然内积.
认识到可以使内积的选择独立于对偶基底的选择, 但这是自讨苦吃.
- 认识到内积选择的任意性源于 与 不存在自然同构.
- 引入粗略的张量积概念.
暂仅介绍对偶矢量与矢量之间的张量积.
- 将任意线性空间上的线性变换用基底的张量积展开.
即将线性变换 展开为 .
- 按照左行右列的规矩将展开系数排成矩阵.
- 认识到能这么做的前提是选好了标准正交基.
理解我们虽然没明说, 但对偶基底的选择本质等同于确定了标准正交基.
- 从线性变换的角度解释线性方程组 与 .
重点在于介绍解空间的概念.
如果感到课时不算太紧张的话可以谈谈从线性变换的角度解释微分方程
与 .
- 借解方程组顺便引入线性变换的核与秩的概念.
第五层
15 个课时:
- 引入人见人爱的狄拉克符号.
- 介绍矢量与波函数(不引入波函数这个词)的关系.
- 介绍线性变换或者说矩阵的本征值与本征矢.
- 引入本征子空间与简并的概念.
- 定义对易子同时介绍共同本征矢的概念.
- 介绍狄拉克符号下的基底选择.
- 介绍相似变换与本征值谱的概念.
- 介绍对称矩阵的相似对角化与本征矢及相似变换的关系.
- *介绍线性空间与函数空间的一些联系(选讲).
第六层
7 个课时:
- 从多重线性映射的角度引入张量.
- 举几个张量的例子, 认识到矢量对偶矢量以及空间上的线性变换都是张量的特例.
- 介绍张量与矢量或对偶矢量作用后的缩并与张量的退化.
- 引入矩阵的迹的概念, 并用张量的缩并来表述.
- 推广张量积, 介绍张量所处的线性空间, 并认识到张量也只是矢量的一个特例.
第七层(明确指出考试不考)
2+ 个课时:
- 引入重复指标求和规则.
- 引入矩阵的函数.
学期末了, 大家应该都在高数课上学完了幂级数展开的概念.
- 若有剩余的课时则介绍一下复数域上的这一切.
- 若有剩余课时再引入度规的概念.
- 若有剩余课时综合讲讲行列式的意义.
- 若有剩余课时就提一下代数与线性空间的关系.
- 把这部分的电子讲义发下去, 对幺正矩阵与厄米矩阵感兴趣的自己假期看.
期末考察范围
不明说, 但只考察到第四层, 第五层最多最多只设一题.
这是因为大家肯定不可能一学期把这些学的多清楚, 反正讲义都发下去了, 可以日后慢慢来.
能课后回去能有精力跟着讲义推完一半的内容就很可以了, 相信他们假期回去还会接着自学.
让这种认真学习的学生拿个不好看的成绩我还是干不出来的.
至于那种临时抱佛脚不求甚解的学生就等着我施舍个迫近及格线的分数吧.
定义级别的证明题:
例如证明空间 与 存在自然同构.
例如证明对偶矢量可以用条件 生成的对偶基矢展开.
概念考察题:
例如写出某概念的定义.
例如写出矢量与线性变换的基底展开式.
例如阐述对称矩阵的相似对角化与相应矩阵的本征矢之间的关系.
计算题: 无, 坚决不出算表格的玩意儿.
刷题? 没这条路.
参考
- ^ 这个也叫 Cartesian product, 说白了就是打包处理, 并没有给予任何额外的操作.
类似的话题
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