如何理解空洞卷积（dilated convolution）？
核心思想：在不增加计算量和参数数量的前提下，扩大卷积核的感受野（Receptive Field）。
1. 什么是感受野？
在理解空洞卷积之前，我们首先需要明白什么是感受野。
想象一个卷积神经网络（CNN）中的一个神经元（或者说一个输出特征图上的一个像素点）。这个神经元的值是通过与输入特征图上的一部分像素进行卷积运算得到的。输入特征图上与这个输出神经元有直接（或间接）关联的区域，就被称为这个神经元的感受野。
单层卷积的感受野： 如果一个卷积核的大小是 $k imes k$，那么它直接作用的输入区域就是 $k imes k$。
多层卷积的感受野： 当卷积层堆叠时，感受野会逐渐增大。一个浅层感受野较小的神经元，通过多层卷积后，其最终感受野会覆盖输入图像的更大区域。
为什么感受野很重要？
感受野的大小决定了一个神经元能够“看到”输入图像的多少信息。
感受野小： 只能关注到局部的、细节的信息。
感受野大： 能够关注到更全局的、上下文的信息。
在图像分割、目标检测、语义理解等任务中，能够同时考虑局部细节和全局上下文信息是至关重要的。例如，在图像分割中，一个像素属于“椅子”还是“桌子”，可能需要看它周围的物体才能判断。
2. 传统卷积的局限性
要扩大感受野，传统的做法有两种：
1. 增加卷积核大小： 使用更大的卷积核（例如从 $3 imes 3$ 换成 $5 imes 5$ 或 $7 imes 7$）。
问题： 参数量和计算量会急剧增加（参数量与核大小的平方成正比）。
2. 池化（Pooling）： 在卷积层之间插入池化层（如 Max Pooling 或 Average Pooling）。
问题： 池化会丢失空间信息，导致特征图的分辨率降低，这对于需要精细空间定位的任务（如语义分割）非常不利。
3. 空洞卷积的出现：一种优雅的解决方案
空洞卷积通过引入一个空洞率（dilation rate） 的概念，巧妙地解决了上述问题。
核心机制：
空洞卷积在执行卷积操作时，会跳过（skip） 一些输入像素点，而不是连续地选取像素。这个“跳过”的规则由空洞率决定。
假设我们有一个 $3 imes 3$ 的卷积核，和一个空洞率为 $d$ 的空洞卷积：
空洞率为 1 (d=1)： 这就是标准的卷积操作，卷积核的每个元素都直接对应输入特征图上相邻的像素。
空洞率为 2 (d=2)： 卷积核的元素之间会跳过 1 个输入像素。也就是说，卷积核的中心点与第一个元素之间隔了 1 个像素，与第二个元素之间也隔了 1 个像素，以此类推。
空洞率为 $d$： 卷积核的元素之间会跳过 $d1$ 个输入像素。
可视化理解：
想象一下一个 $3 imes 3$ 的卷积核。
d=1 (标准卷积):
```
X O X
O X O
X O X
```
（X 代表卷积核的权重参数，O 代表输入特征图的像素点，这里 O 是连续的）
d=2 (空洞率为 2):
```
X . X . X
. . . . .
X . X . X
. . . . .
X . X . X
```
（X 代表卷积核的权重参数，. 代表跳过的输入特征图的像素点。注意，虽然我们画了 5x5 的区域，但真正起作用的卷积核参数仍然是 3x3。但是这 3x3 的权重参数对应到了输入特征图上的一个 5x5 的区域。）
更直观地说，你可以想象一个 $3 imes 3$ 的卷积核，但它的“齿距”变大了。它的权重参数仍然是 9 个，但它们“接触”的输入像素的间隔是 $d1$。
数学定义（更精确）：
一个空洞卷积的输出 $y(i, j)$ 可以表示为：
$y(i, j) = sum_{k=0}^{K1} sum_{l=0}^{K1} W(k, l) cdot x(i + d cdot k, j + d cdot l)$
其中：
$y(i, j)$ 是输出特征图在位置 $(i, j)$ 的值。
$W(k, l)$ 是卷积核在位置 $(k, l)$ 的权重。
$x(cdot, cdot)$ 是输入特征图的值。
$K$ 是卷积核的大小（例如 $K=3$）。
$d$ 是空洞率。
可以看出，当 $d>1$ 时，输入特征图的采样点之间的距离是 $d$。
4. 空洞卷积的优势
1. 扩大感受野而不降低分辨率： 这是空洞卷积最大的优势。通过增加空洞率，我们可以让一个卷积核在不增加其大小的情况下，覆盖输入特征图的更大区域。例如，一个 $3 imes 3$ 的卷积核，当空洞率为 2 时，其有效感受野相当于一个标准的 $5 imes 5$ 卷积核（如果考虑的是感受野的“覆盖范围”）。更重要的是，它不需要插入池化层，因此保留了输入特征图的空间分辨率和细节信息。
2. 不增加参数量和计算量： 空洞卷积使用的仍然是原始大小的卷积核。例如，一个带有空洞率的 $3 imes 3$ 卷积核，其参数量和计算量与标准 $3 imes 3$ 卷积核是完全相同的。
3. 在不增加模型深度的情况下提高模型的上下文感知能力： 通过在相同的层数中应用空洞卷积，模型能够捕获到更大范围的上下文信息，从而提高对全局特征的理解能力。
5. 感受野的计算示例
让我们来计算一下在一个堆叠了多层卷积的神经网络中，一个输出像素的感受野大小。
假设我们有一个网络结构：
Conv1: $3 imes 3$ kernel, stride 1, padding 1, dilation 1 (standard)
Conv2: $3 imes 3$ kernel, stride 1, padding 1, dilation 1 (standard)
Conv3: $3 imes 3$ kernel, stride 1, padding 1, dilation 2
我们从最后一个卷积层（Conv3）往回看，计算感受野。
Conv3 输出层： 一个像素的感受野是 $1 imes 1$ （就是它自己）。
在 Conv3 中看到 Conv2 的感受野： Conv3 的卷积核是 $3 imes 3$，并且空洞率为 2。这意味着 Conv3 的一个输出像素覆盖了 Conv2 输出特征图上的一个 $3 imes 3$ 的区域，但这个区域的实际大小是 $(31) imes d + 1 = (31) imes 2 + 1 = 5$。所以，Conv3 的一个输出像素，其感受野是 $5 imes 5$（在 Conv2 的输出特征图上的感受野大小）。
在 Conv2 中看到 Conv1 的感受野： Conv2 的卷积核是 $3 imes 3$，空洞率为 1。它将 Conv1 输出特征图上的一个 $3 imes 3$ 的区域映射到 Conv2 的输出特征图上。所以，如果 Conv2 的一个输出像素的感受野是 $R_{out}$，那么 Conv1 的一个输出像素的感受野就是 $R_{in} = (R_{out} 1) imes ext{stride} + K$。在这里，由于 stride=1，K=3，Conv2 的输出感受野是 5，所以 Conv1 的感受野是 $(5 1) imes 1 + 3 = 7$。
在 Conv1 中看到输入图像的感受野： Conv1 的卷积核是 $3 imes 3$，空洞率为 1。它将输入图像的 $3 imes 3$ 的区域映射到 Conv1 的输出特征图上。所以，Conv1 的输出感受野是 7，那么输入图像的感受野就是 $(7 1) imes 1 + 3 = 9$。
总结： 即使只用三个 $3 imes 3$ 的卷积层，通过在最后一层使用空洞率为 2，我们就能获得相当于一个 $9 imes 9$ 卷积核的感受野，并且中间没有丢失分辨率。
感受野大小计算公式 (更通用)：
如果一个层使用大小为 $K$ 的卷积核，空洞率为 $d$，步长为 $S$，那么它对上一层的感受野大小的贡献是 $(K1) imes d$ (相当于将原始的 $K imes K$ 卷积核“拉伸”了 $d$ 倍，但权重只在原有的 $K imes K$ 位置)。
一个层输出特征图上的一个像素，其感受野（stride为1时）为 $R_{out}$，上一层输出特征图上的一个像素，其感受野为 $R_{in}$。
$R_{out} = (R_{in} 1) imes S + K_{eff}$
其中 $K_{eff}$ 是该层的有效卷积核大小，对于空洞卷积，其有效大小为 $(K1) imes d + 1$。
所以，当 stride=1 时：
$R_{out} = (R_{in} 1) imes 1 + (K1) imes d + 1$
$R_{out} = R_{in} + (K1) imes d$
如果我们从输入图像开始，感受野为 1：
Conv1 (K=3, d=1, S=1): $R_1 = 1 + (31) imes 1 = 3$
Conv2 (K=3, d=1, S=1): $R_2 = R_1 + (31) imes 1 = 3 + 2 = 5$
Conv3 (K=3, d=2, S=1): $R_3 = R_2 + (31) imes 2 = 5 + 4 = 9$
这就是为什么使用不同空洞率的卷积层（称为 "膨胀卷积层" 或 "多尺度膨胀卷积"）可以构建一个有效的感受野金字塔，同时保留高分辨率特征。
6. 实际应用中的空洞卷积
空洞卷积在很多任务中都取得了显著的成功，特别是：
语义分割： DeepLab 系列模型是空洞卷积的典型应用。通过使用不同空洞率的卷积核（Atrous Spatial Pyramid Pooling ASPP），模型可以捕捉不同尺度的上下文信息，从而提高分割精度。ASPP 模块会并行使用多个空洞率的卷积核（如 6, 12, 18），将它们的输出结果融合，以获得更丰富的感受野。
目标检测： 有些目标检测算法也利用空洞卷积来扩大特征图的感受野，从而更好地识别不同大小的目标。
图像生成： 在一些生成对抗网络（GANs）和变分自编码器（VAEs）中，空洞卷积也被用来生成具有丰富细节和全局一致性的图像。
7. 如何选择空洞率？
空洞率的选择通常是根据任务需求和感受野的考虑来确定的。
空洞率的设置会影响感受野的大小。 如果需要更大的感受野来捕获更全局的上下文信息，可以适当增加空洞率。
空洞率过大可能会导致“网格效应”（Gridding Effect）： 当空洞率很大时，卷积核的权重可能会分散到输入特征图上非常远的区域，导致中间的像素没有被有效地“采样”到，从而产生不连续的采样模式。这会导致模型性能下降。
组合使用不同空洞率的卷积层： 如 ASPP 模块所示，通过组合使用不同空洞率的卷积层，可以在同一层级捕获不同范围的上下文信息，避免了单一空洞率可能带来的问题。
8. 总结
空洞卷积是一种非常强大的卷积操作，它通过在卷积核的参数之间插入“孔”，以在不增加计算量和参数的情况下，显著扩大卷积核的感受野。这使得模型能够在不降低特征图分辨率的前提下，捕获到更丰富和更广阔的上下文信息。这对于需要理解全局结构和细节的计算机视觉任务，如图像分割，具有重要的意义。理解空洞卷积，特别是它如何通过调整参数来控制感受野，是掌握现代深度学习模型的重要一步。
希望这个详细的解释对您有帮助！如果您有任何更具体的问题，欢迎随时提出。
网友意见
最近做的工作正好也正好涉及到这个话题，我来尝试回答一下吧，这里针对 @谭旭 回答的一些补充。
Dilated/Atrous Convolution 或者是 Convolution with holes 从字面上就很好理解，是在标准的 convolution map 里注入空洞，以此来增加 reception field。相比原来的正常convolution，dilated convolution 多了一个 hyper-parameter 称之为 dilation rate 指的是kernel的间隔数量(e.g. 正常的 convolution 是 dilatation rate 1)。
一个简单的例子，[动态图来源：vdumoulin/conv_arithmetic]：
不过光理解他的工作原理还是远远不够的，要充分理解这个概念我们得重新审视卷积本身，并去了解他背后的设计直觉。以下主要讨论 dilated convolution 在语义分割 (semantic segmentation) 的应用。
重新思考卷积： Rethinking Convolution
在赢得其中一届ImageNet比赛里VGG网络的文章中，他最大的贡献并不是VGG网络本身，而是他对于卷积叠加的一个巧妙观察。
This (stack of three 3 × 3 conv layers) can be seen as imposing a regularisation on the 7 × 7 conv. filters, forcing them to have a decomposition through the 3 × 3 filters (with non-linearity injected in between).
这里意思是 7 x 7 的卷积层的正则等效于 3 个 3 x 3 的卷积层的叠加。而这样的设计不仅可以大幅度的减少参数，其本身带有正则性质的 convolution map 能够更容易学一个 generlisable, expressive feature space。这也是现在绝大部分基于卷积的深层网络都在用小卷积核的原因。
然而 Deep CNN 对于其他任务还有一些致命性的缺陷。较为著名的是 up-sampling 和 pooling layer 的设计。这个在 Hinton 的演讲里也一直提到过。
主要问题有：
- Up-sampling / pooling layer (e.g. bilinear interpolation) is deterministic. (a.k.a. not learnable)
- 内部数据结构丢失；空间层级化信息丢失。
- 小物体信息无法重建 (假设有四个pooling layer 则 任何小于 2^4 = 16 pixel 的物体信息将理论上无法重建。)
在这样问题的存在下，语义分割问题一直处在瓶颈期无法再明显提高精度， 而 dilated convolution 的设计就良好的避免了这些问题。
空洞卷积的拯救之路：Dilated Convolution to the Rescue
题主提到的这篇文章 MULTI-SCALE CONTEXT AGGREGATION BY DILATED CONVOLUTIONS 可能(?) 是第一篇尝试用 dilated convolution 做语义分割的文章。后续图森组和 Google Brain 都对于 dilated convolution 有着更细节的讨论，推荐阅读：Understanding Convolution for Semantic Segmentation Rethinking Atrous Convolution for Semantic Image Segmentation 。
对于 dilated convolution， 我们已经可以发现他的优点，即内部数据结构的保留和避免使用 down-sampling 这样的特性。但是完全基于 dilated convolution 的结构如何设计则是一个新的问题。
潜在问题 1：The Gridding Effect
假设我们仅仅多次叠加 dilation rate 2 的 3 x 3 kernel 的话，则会出现这个问题：
我们发现我们的 kernel 并不连续，也就是并不是所有的 pixel 都用来计算了，因此这里将信息看做 checker-board 的方式会损失信息的连续性。这对 pixel-level dense prediction 的任务来说是致命的。
潜在问题 2：Long-ranged information might be not relevant.
我们从 dilated convolution 的设计背景来看就能推测出这样的设计是用来获取 long-ranged information。然而光采用大 dilation rate 的信息或许只对一些大物体分割有效果，而对小物体来说可能则有弊无利了。如何同时处理不同大小的物体的关系，则是设计好 dilated convolution 网络的关键。
通向标准化设计：Hybrid Dilated Convolution (HDC)
对于上个 section 里提到的几个问题，图森组的文章对其提出了较好的解决的方法。他们设计了一个称之为 HDC 的设计结构。
第一个特性是，叠加卷积的 dilation rate 不能有大于1的公约数。比如 [2, 4, 6] 则不是一个好的三层卷积，依然会出现 gridding effect。
第二个特性是，我们将 dilation rate 设计成 锯齿状结构，例如 [1, 2, 5, 1, 2, 5] 循环结构。
第三个特性是，我们需要满足一下这个式子：
其中 是 i 层的 dilation rate 而 是指在 i 层的最大dilation rate，那么假设总共有n层的话，默认 。假设我们应用于 kernel 为 k x k 的话，我们的目标则是 ，这样我们至少可以用 dilation rate 1 即 standard convolution 的方式来覆盖掉所有洞。
一个简单的例子: dilation rate [1, 2, 5] with 3 x 3 kernel (可行的方案)
而这样的锯齿状本身的性质就比较好的来同时满足小物体大物体的分割要求(小 dilation rate 来关心近距离信息，大 dilation rate 来关心远距离信息)。
这样我们的卷积依然是连续的也就依然能满足VGG组观察的结论，大卷积是由小卷积的 regularisation 的 叠加。
以下的对比实验可以明显看出，一个良好设计的 dilated convolution 网络能够有效避免 gridding effect.
多尺度分割的另类解：Atrous Spatial Pyramid Pooling (ASPP)
在处理多尺度物体分割时，我们通常会有以下几种方式来操作：
然仅仅(在一个卷积分支网络下)使用 dilated convolution 去抓取多尺度物体是一个不正统的方法。比方说，我们用一个 HDC 的方法来获取一个大（近）车辆的信息，然而对于一个小（远）车辆的信息都不再受用。假设我们再去用小 dilated convolution 的方法重新获取小车辆的信息，则这么做非常的冗余。
基于港中文和商汤组的 PSPNet 里的 Pooling module （其网络同样获得当年的SOTA结果），ASPP 则在网络 decoder 上对于不同尺度上用不同大小的 dilation rate 来抓去多尺度信息，每个尺度则为一个独立的分支，在网络最后把他合并起来再接一个卷积层输出预测 label。这样的设计则有效避免了在 encoder 上冗余的信息的获取，直接关注与物体之间之内的相关性。
总结
Dilated Convolution 个人认为想法简单，直接且优雅，并取得了相当不错的效果提升。他起源于语义分割，大部分文章也用于语义分割，具体能否对其他应用有价值姑且还不知道，但确实是一个不错的探究方向。有另外的答主提到WaveNet, ByteNet 也用到了 dilated convolution 确实是一个很有趣的发现，因为本身 sequence-to-sequence learning 也是一个需要关注多尺度关系的问题。则在 sequence-to-sequence learning 如何实现，如何设计，跟分割或其他应用的关联是我们可以重新需要考虑的问题。
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