如何理解微分几何中的切空间？
解构切空间：微分几何中的“局部速度”
想象一下，你正漫步在一片起伏的山丘上。如果你想知道在某个特定的地点，你的前进方向和速度有多快，这便是“切空间”要解决的问题。它不是描述你在山丘上的精确位置，而是你在这个位置上瞬间可以沿着哪个方向移动，以及移动的“快慢”。
在微分几何中，我们研究的是光滑的流形，你可以把它想象成一种光滑、无缝隙的“表面”或“空间”，它可能比我们熟悉的二维平面复杂得多。山丘的表面就是一个三维空间中的一个二维流形。而切空间，就是这个流形在某一点上的“线性化逼近”。
为什么需要切空间？
我们为什么不能直接用流形本身来描述方向和速度呢？问题在于流形可能是弯曲的。在一个弯曲的表面上，直接定义“方向”会变得模糊不清。例如，在地球的北极点，所有方向都指向南方，你无法在这个点上明确定义一个“东西方向”。
切空间的作用就是在局部将这个弯曲的流形“拉直”成一个平坦的欧几里得空间。在这个平坦的空间里，我们熟悉的向量概念就变得清晰起来。
切空间的直观理解
1. 速度的集合： 在一个流形上的某一点，所有可能的“瞬间速度”的集合，就构成了该点的切空间。这些速度可以通过沿着流形上的各种“路径”（曲线）来获得。如果你沿着一条曲线在流形上移动，你在某一点的速度就是一个向量，而这个向量就属于该点的切空间。
2. 局部线性化： 切空间可以看作是流形在某一点的“线性化”版本。就像你把地球表面一个很小的区域看作是一个平面一样，切空间就是将流形在一个点附近“压平”了。
3. 方向的精确定义： 在切空间中，我们可以精确地定义方向。例如，在二维曲面上一点的切空间是一个二维向量空间，你可以像在平面上一样描述任何方向。
4. 方向导数的核心： 切空间是理解“方向导数”的关键。方向导数衡量的是函数（或流形上的某个量）沿着特定方向的变化率。而这个“特定方向”就必须在切空间中才能被精确定义。
切空间的严格定义（一种方式）
虽然我们用速度的集合来直观理解，但更严谨的定义则基于“导数”的概念。
假设我们有一个流形 $M$，并且我们关注流形上的一个点 $p in M$。
我们可以考虑所有以 $p$ 为终点的光滑曲线 $gamma: (epsilon, epsilon) o M$，其中 $gamma(0) = p$ 并且 $epsilon > 0$。这些曲线代表了在点 $p$ 附近的所有可能的运动轨迹。
现在，考虑一个定义在流形 $M$ 上的光滑函数 $f: M o mathbb{R}$。对于上面提到的每一条曲线 $gamma$，我们可以定义一个从 $(epsilon, epsilon)$ 到 $mathbb{R}$ 的函数 $f circ gamma$。
我们对这个复合函数在 $t=0$ 的导数感兴趣。这个导数表示函数 $f$ 沿着曲线 $gamma$ 在点 $p$ 的变化率：
$$ frac{d}{dt} (f circ gamma)(0) $$
一个方向导数算子：我们可以将这种“求导”操作视为一个作用在函数 $f$ 上的线性算子。对于每一条曲线 $gamma$，我们都可以定义一个算子，它接收一个光滑函数 $f$，并返回一个实数 $frac{d}{dt} (f circ gamma)(0)$。
这些算子就构成了点 $p$ 的切空间，记作 $T_p M$。
更严谨地说，切空间 $T_p M$ 是所有这些作用在光滑函数上的“方向导数算子”组成的集合。
我们可以将这个算子记作 $mathbf{v}_gamma$。那么，对于任意光滑函数 $f$：
$$ mathbf{v}_gamma(f) = frac{d}{dt} (f circ gamma)(0) $$
为什么说它是空间？
加法和标量乘法： 如果 $mathbf{v}$ 和 $mathbf{w}$ 是两个切向量（算子），我们可以定义它们的和 $(mathbf{v} + mathbf{w})(f) = mathbf{v}(f) + mathbf{w}(f)$。同样，对于一个实数 $a$ 和一个切向量 $mathbf{v}$，定义它们的标量乘积 $(amathbf{v})(f) = a cdot mathbf{v}(f)$。
满足向量空间公理： 通过这些定义，我们可以验证切空间 $T_p M$ 满足向量空间的所有公理，例如结合律、交换律、存在零向量和负向量等。
切空间是向量空间：因此，切空间 $T_p M$ 实际上是一个向量空间。它的维度等于流形 $M$ 的维度。
切空间与切向量
我们之前提到的“瞬间速度”就可以被看作是切空间中的一个元素，也就是一个切向量。
如果我们选择了一组基底来表示切空间，那么切向量就可以用坐标表示。例如，在一个二维光滑曲面上，在某一点的切空间是二维的，我们可以选取两条“方向”作为基底（例如，沿着两个不平行的切线方向），然后任何切向量都可以用这两个基底的线性组合来表示。
在局部坐标系下，切空间的基底通常由偏导数算子表示。如果 $(x^1, x^2, dots, x^n)$ 是流形 $M$ 在点 $p$ 附近的一个局部坐标系，那么在点 $p$ 的切空间 $T_p M$ 的一组基底就是：
$$ frac{partial}{partial x^1}igg|_p, frac{partial}{partial x^2}igg|_p, dots, frac{partial}{partial x^n}igg|_p $$
这里的 $frac{partial}{partial x^i}igg|_p$ 代表一个作用在光滑函数 $f$ 上的算子，它计算函数 $f$ 沿着 $x^i$ 坐标曲线在点 $p$ 的变化率：
$$ frac{partial}{partial x^i}igg|_p(f) = frac{partial f}{partial x^i}(p) $$
所以，一个切向量 $mathbf{v} in T_p M$ 可以表示为：
$$ mathbf{v} = v^1 frac{partial}{partial x^1}igg|_p + v^2 frac{partial}{partial x^2}igg|_p + dots + v^n frac{partial}{partial x^n}igg|_p $$
其中 $v^1, v^2, dots, v^n$ 是该切向量在以 $frac{partial}{partial x^i}igg|_p$ 为基底下的分量。
切丛：将所有切空间集合起来
我们对流形上的每一个点都定义了一个切空间。把流形上所有的点及其对应的切空间集合起来，就构成了一个新的对象，称为切丛，记作 $TM$。
切丛 $TM$ 是一个“纤维化空间”，它的“底空间”是流形 $M$，而“纤维”就是每个点 $p in M$ 上的切空间 $T_p M$。你可以想象成在流形 $M$ 的每个点上都“竖立”起一个向量空间。
切丛是微分几何中一个非常重要的概念，它允许我们全局地研究流形上的切向量场（即在流形上的每一点都分配一个切向量）以及与向量相关的各种概念，例如微分算子、微分形式等。
总结
切空间可以被理解为流形在某一点上的“局部线性化”，是所有可能的“瞬间速度”或“方向变化率算子”的集合。它是一个向量空间，其维度与流形本身的维度相同。切空间是定义方向导数、向量场以及进行微分运算的核心工具，而切丛则将所有这些局部信息组织起来，为我们研究流形的全局性质提供了框架。
理解切空间，就像理解一个运动物体在每个瞬间的“前进方向和速度”，即使物体在弯曲的轨迹上运动，在任何一个瞬间，它所处的那个“微小区域”都可以被一个平坦的空间（切空间）所近似，而切向量就是描述它在这个平坦空间中的“速度向量”。
想象一下，你正漫步在一片起伏的山丘上。如果你想知道在某个特定的地点，你的前进方向和速度有多快，这便是“切空间”要解决的问题。它不是描述你在山丘上的精确位置，而是你在这个位置上瞬间可以沿着哪个方向移动，以及移动的“快慢”。
在微分几何中，我们研究的是光滑的流形，你可以把它想象成一种光滑、无缝隙的“表面”或“空间”，它可能比我们熟悉的二维平面复杂得多。山丘的表面就是一个三维空间中的一个二维流形。而切空间，就是这个流形在某一点上的“线性化逼近”。
为什么需要切空间？
我们为什么不能直接用流形本身来描述方向和速度呢？问题在于流形可能是弯曲的。在一个弯曲的表面上，直接定义“方向”会变得模糊不清。例如，在地球的北极点，所有方向都指向南方，你无法在这个点上明确定义一个“东西方向”。
切空间的作用就是在局部将这个弯曲的流形“拉直”成一个平坦的欧几里得空间。在这个平坦的空间里，我们熟悉的向量概念就变得清晰起来。
切空间的直观理解
1. 速度的集合： 在一个流形上的某一点，所有可能的“瞬间速度”的集合，就构成了该点的切空间。这些速度可以通过沿着流形上的各种“路径”（曲线）来获得。如果你沿着一条曲线在流形上移动，你在某一点的速度就是一个向量，而这个向量就属于该点的切空间。
2. 局部线性化： 切空间可以看作是流形在某一点的“线性化”版本。就像你把地球表面一个很小的区域看作是一个平面一样，切空间就是将流形在一个点附近“压平”了。
3. 方向的精确定义： 在切空间中，我们可以精确地定义方向。例如，在二维曲面上一点的切空间是一个二维向量空间，你可以像在平面上一样描述任何方向。
4. 方向导数的核心： 切空间是理解“方向导数”的关键。方向导数衡量的是函数（或流形上的某个量）沿着特定方向的变化率。而这个“特定方向”就必须在切空间中才能被精确定义。
切空间的严格定义（一种方式）
虽然我们用速度的集合来直观理解，但更严谨的定义则基于“导数”的概念。
假设我们有一个流形 $M$，并且我们关注流形上的一个点 $p in M$。
我们可以考虑所有以 $p$ 为终点的光滑曲线 $gamma: (epsilon, epsilon) o M$，其中 $gamma(0) = p$ 并且 $epsilon > 0$。这些曲线代表了在点 $p$ 附近的所有可能的运动轨迹。
现在，考虑一个定义在流形 $M$ 上的光滑函数 $f: M o mathbb{R}$。对于上面提到的每一条曲线 $gamma$，我们可以定义一个从 $(epsilon, epsilon)$ 到 $mathbb{R}$ 的函数 $f circ gamma$。
我们对这个复合函数在 $t=0$ 的导数感兴趣。这个导数表示函数 $f$ 沿着曲线 $gamma$ 在点 $p$ 的变化率：
$$ frac{d}{dt} (f circ gamma)(0) $$
一个方向导数算子：我们可以将这种“求导”操作视为一个作用在函数 $f$ 上的线性算子。对于每一条曲线 $gamma$，我们都可以定义一个算子，它接收一个光滑函数 $f$，并返回一个实数 $frac{d}{dt} (f circ gamma)(0)$。
这些算子就构成了点 $p$ 的切空间，记作 $T_p M$。
更严谨地说，切空间 $T_p M$ 是所有这些作用在光滑函数上的“方向导数算子”组成的集合。
我们可以将这个算子记作 $mathbf{v}_gamma$。那么，对于任意光滑函数 $f$：
$$ mathbf{v}_gamma(f) = frac{d}{dt} (f circ gamma)(0) $$
为什么说它是空间？
加法和标量乘法： 如果 $mathbf{v}$ 和 $mathbf{w}$ 是两个切向量（算子），我们可以定义它们的和 $(mathbf{v} + mathbf{w})(f) = mathbf{v}(f) + mathbf{w}(f)$。同样，对于一个实数 $a$ 和一个切向量 $mathbf{v}$，定义它们的标量乘积 $(amathbf{v})(f) = a cdot mathbf{v}(f)$。
满足向量空间公理： 通过这些定义，我们可以验证切空间 $T_p M$ 满足向量空间的所有公理，例如结合律、交换律、存在零向量和负向量等。
切空间是向量空间：因此，切空间 $T_p M$ 实际上是一个向量空间。它的维度等于流形 $M$ 的维度。
切空间与切向量
我们之前提到的“瞬间速度”就可以被看作是切空间中的一个元素，也就是一个切向量。
如果我们选择了一组基底来表示切空间，那么切向量就可以用坐标表示。例如，在一个二维光滑曲面上，在某一点的切空间是二维的，我们可以选取两条“方向”作为基底（例如，沿着两个不平行的切线方向），然后任何切向量都可以用这两个基底的线性组合来表示。
在局部坐标系下，切空间的基底通常由偏导数算子表示。如果 $(x^1, x^2, dots, x^n)$ 是流形 $M$ 在点 $p$ 附近的一个局部坐标系，那么在点 $p$ 的切空间 $T_p M$ 的一组基底就是：
$$ frac{partial}{partial x^1}igg|_p, frac{partial}{partial x^2}igg|_p, dots, frac{partial}{partial x^n}igg|_p $$
这里的 $frac{partial}{partial x^i}igg|_p$ 代表一个作用在光滑函数 $f$ 上的算子，它计算函数 $f$ 沿着 $x^i$ 坐标曲线在点 $p$ 的变化率：
$$ frac{partial}{partial x^i}igg|_p(f) = frac{partial f}{partial x^i}(p) $$
所以，一个切向量 $mathbf{v} in T_p M$ 可以表示为：
$$ mathbf{v} = v^1 frac{partial}{partial x^1}igg|_p + v^2 frac{partial}{partial x^2}igg|_p + dots + v^n frac{partial}{partial x^n}igg|_p $$
其中 $v^1, v^2, dots, v^n$ 是该切向量在以 $frac{partial}{partial x^i}igg|_p$ 为基底下的分量。
切丛：将所有切空间集合起来
我们对流形上的每一个点都定义了一个切空间。把流形上所有的点及其对应的切空间集合起来，就构成了一个新的对象，称为切丛，记作 $TM$。
切丛 $TM$ 是一个“纤维化空间”，它的“底空间”是流形 $M$，而“纤维”就是每个点 $p in M$ 上的切空间 $T_p M$。你可以想象成在流形 $M$ 的每个点上都“竖立”起一个向量空间。
切丛是微分几何中一个非常重要的概念，它允许我们全局地研究流形上的切向量场（即在流形上的每一点都分配一个切向量）以及与向量相关的各种概念，例如微分算子、微分形式等。
总结
切空间可以被理解为流形在某一点上的“局部线性化”，是所有可能的“瞬间速度”或“方向变化率算子”的集合。它是一个向量空间，其维度与流形本身的维度相同。切空间是定义方向导数、向量场以及进行微分运算的核心工具，而切丛则将所有这些局部信息组织起来，为我们研究流形的全局性质提供了框架。
理解切空间，就像理解一个运动物体在每个瞬间的“前进方向和速度”，即使物体在弯曲的轨迹上运动，在任何一个瞬间，它所处的那个“微小区域”都可以被一个平坦的空间（切空间）所近似，而切向量就是描述它在这个平坦空间中的“速度向量”。
网友意见
说一点点我自己的理解，不一定对
曲线和曲面是最简单的流形，不妨先重视一下我们以前的理解.
回忆一下我们对参数曲线 上的一点 处的切线怎么定义的？凡是与 共线的向量.
再回顾一下对于一张2维参数曲面 在一点处 的切平面怎么定义的？由两个向量 和 生成的一个向量空间.
上面两个例子都定义了在一点的切空间，但是都有个共同的缺陷：它们的定义依赖于外蕴的结构：即它们的参数方程. 什么是外蕴的结构？意思就是它们是被放到一个更大的欧氏空间里观察的(嵌入)，也就是我们的参数方程，现在要想一个问题：
如何不用参数方程来定义切空间?
这就需要我们去寻找一些曲线和曲面上的内蕴的量，利用内蕴的方式重新给出切空间的定义，然后才有可能把切空间搬到流形上去，因为流形的定义就是内蕴的，它不依赖于往任何欧氏空间里的嵌入.
首先，最容易想到的是在曲线或者曲面上定义函数，以曲线为例，我们可以定义从曲线到 上的一个映射： ，而我们之前定义的切线无非就是对参数方程求导，为了显示出求导的特性，我们可以定义 点处切向量 对这个映射 的的作用： ，可以见得求导最明显的两个特征都满足：
- 线性： ；
2. Leibniz律： .
因此原始定义的求导部分可以体现在作用在 上的线性性和Leibniz性，而参数方程的部分，可以体现在 的任意性，即：
对任意的 , 算子 满足：
满足以上两点的一个算子 就可以作为曲线上一点 处的一个切向量，并且这时候我们看到，这个定义不再依赖任何外蕴的结构，因此可以搬到流形上面，于是就有了书上面对流形上的切向量的那种定义.
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