如何理解微分几何中的『联络』?
在微分几何的宏大图景中，如果说流形是描绘空间形状的基本画布，那么联络就是在这张画布上赋予我们“衡量变化”和“比较差异”能力的尺子和指南针。它不是流形本身固有的属性，而是我们在研究流形上向量场、曲线等几何对象时，为了能够“合法地”在不同点之间移动和比较而人为引入的一种工具。
要理解联络，我们不妨从一个直观的例子开始：想象一下我们生活在地球这个近似球面上。我们想要理解从一点出发的向量，在沿着一条曲线移动时是如何变化的。
经典欧氏空间的类比：向量的平行移动
在平直的欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，我们非常熟悉向量。如果有一个向量场 $X$（可以理解为在空间中的每一点都有一个向量与之对应），以及一条曲线 $gamma(t)$，我们很容易定义“沿着曲线 $gamma$ 移动向量 $X$”。
比如，我们想知道在点 $gamma(t_0)$ 的向量 $X(gamma(t_0))$，沿着曲线移动到点 $gamma(t_1)$ 时，它“变成”了什么。在欧氏空间里，我们可以简单地将向量 $X(gamma(t_0))$ “复制”到 $gamma(t_1)$ 的位置。由于空间是平坦的，这个“复制”过程非常直接，向量的各个分量都不会改变。更严谨地说，我们使用坐标微分来描述向量场的变化：
$$ frac{partial X^i}{partial x^j} $$
这里的 $X^i$ 是向量 $X$ 在某个坐标系下的分量，$x^j$ 是空间坐标。这个偏导数告诉我们，当我们在 $x^j$ 方向上移动一点点时，向量的第 $i$ 个分量会如何变化。
挑战：进入弯曲空间——流形
到了微分几何，我们研究的对象是流形。流形可以是弯曲的，比如球面。在弯曲的空间中，直接“复制”向量或者使用简单的坐标微分会遇到麻烦。为什么呢？
1. 坐标系的变化： 在一个弯曲的空间中，我们无法找到一个全局的、处处适用的坐标系。即使在局部使用坐标系，当我们在流形上移动时，不同点的坐标系之间并没有一个天然的、简单的对应关系。想象一下你在地球表面从一个城市走到另一个城市，你在两个城市看到的“向东”的方向，在地球曲率的影响下，可能并不是完全平行的。
2. “平行”的定义： 即使我们试图定义一个向量“沿着曲线平行移动”，我们也会遇到“什么叫做平行？”的问题。在弯曲的空间中，一个向量从点 A 移动到点 B，在没有外力干扰的情况下，它的“方向”会如何变化？这正是联络要解决的核心问题。
联络：在不同点之间“连接”和“比较”向量
联络，本质上是一种“协变微分”的概念。它提供了一个规则，让我们能够：
在不同点之间“连接”向量： 联络允许我们定义一个向量场在流形上“如何变化”。具体来说，它定义了向量场沿某个方向“移动”时，它的“变化率”是什么。
比较不同点的向量： 通过联络，我们可以将一个点上的向量“平行移动”到另一个点，从而比较它们。
从何而来：联络的数学定义
更正式地，一个切丛上的联络 (Connection on the Tangent Bundle) 是一个作用于切向量场和切向量的二重线性映射，我们通常记作 $ abla_X Y$。这里的 $X$ 是一个切向量场（代表移动的方向），$Y$ 是另一个切向量场（我们想要知道它如何变化）。$ abla_X Y$ 同样是一个切向量场，它描述了 $Y$ 沿着 $X$ 方向的变化。
这个 $ abla$ 满足以下性质：
1. 线性性：
$ abla_{fX+gY} Z = f abla_X Z + g abla_Y Z$ (对第一个参数的线性，其中 $f, g$ 是光滑函数，$X, Y$ 是切向量场)
$ abla_X (Y+Z) = abla_X Y + abla_X Z$ (对第二个参数的线性，其中 $Y, Z$ 是切向量场)
2. 莱布尼茨法则 (Leibniz Rule)：
$ abla_X (fY) = (Xf)Y + f abla_X Y$ (对第二个参数的函数乘法满足莱布尼茨法则，其中 $f$ 是光滑函数，$X$ 是切向量场，$Y$ 是切向量场)
解释这些性质：
线性性 意味着 $ abla$ 是一个“良好定义”的映射，它遵循我们对求导的直觉：两个方向的“总和”的变化，等于它们各自变化的“总和”。
莱布尼茨法则 是最关键的一点。它告诉我们，当一个向量场 $Y$ 乘以一个函数 $f$ 时，它沿着方向 $X$ 的变化，等于两个部分：
$(Xf)Y$：这是函数 $f$ 沿着方向 $X$ 的变化率（通过 $X$ 的作用），乘以向量场 $Y$ 本身。这部分捕捉了“尺度”的变化。
$f abla_X Y$：这是向量场 $Y$ 沿着方向 $X$ 的“固有”变化率，再乘以函数 $f$。这部分捕捉了向量本身方向和大小的变化。
联络的作用：平行移动和协变导数
有了联络 $ abla$，我们可以做两件非常重要的事情：
1. 定义平行移动 (Parallel Transport)：
想象一条曲线 $gamma(t)$，并且在 $gamma(t_0)$ 有一个切向量 $v_0$。我们想知道，沿着这条曲线移动，保持“平行”，到 $gamma(t)$ 时，这个向量变成了什么。
一个向量 $v(t)$ 沿着曲线 $gamma(t)$ 平行移动，意味着它沿着曲线的方向的“变化率为零”。用联络来表达就是：
$$ abla_{gamma'(t)} v(t) = 0 $$
其中 $gamma'(t)$ 是曲线 $gamma$ 的切向量场。
这个方程是描述平行移动的微分方程。它的解 $v(t)$ 就是从 $v_0$ 沿着曲线 $gamma$ 平行移动得到的向量。
类比： 在地球表面，我们从北极出发，沿着一条经线向南走。如果我们保持“向东”的方向不变，当我们走到赤道时，这个“向东”的方向与我们出发时在北极的“向东”方向相比，由于地球的曲率，它会发生变化。联络就是描述了这种“保持平行”的精确规则。
2. 定义协变导数 (Covariant Derivative)：
我们之前在欧氏空间中用 $frac{partial X^i}{partial x^j}$ 来描述向量场 $X$ 的变化。在流形上，由于坐标系的不固定，直接使用偏导数是不够的。
一个联络 $ abla$ 允许我们定义一个协变导数。对于一个切向量场 $Y$，沿另一个切向量场 $X$ 的方向，它的协变导数就是 $ abla_X Y$。
在局部坐标系 ${x^i}$ 下，切向量场 $Y$ 可以表示为 $Y = Y^k frac{partial}{partial x^k}$。切向量场 $X$ 可以表示为 $X = X^j frac{partial}{partial x^j}$。
那么，$ abla_X Y$ 的分量可以表示为：
$$ abla_X Y = X^j abla_{frac{partial}{partial x^j}} (Y^k frac{partial}{partial x^k}) $$
利用联络的线性性和莱布尼茨法则，我们可以展开这个式子：
$$ abla_{frac{partial}{partial x^j}} (Y^k frac{partial}{partial x^k}) = (frac{partial Y^k}{partial x^j}) frac{partial}{partial x^k} + Y^k abla_{frac{partial}{partial x^j}} frac{partial}{partial x^k} $$
其中，$ abla_{frac{partial}{partial x^j}} frac{partial}{partial x^k}$ 是基向量场 $frac{partial}{partial x^k}$ 沿着 $frac{partial}{partial x^j}$ 方向的变化。这些变化可以用克里斯托费尔符号 (Christoffel Symbols) 来表示：
$$ abla_{frac{partial}{partial x^j}} frac{partial}{partial x^k} = Gamma^i_{jk} frac{partial}{partial x^i} $$
所以，$ abla_X Y$ 的第 $i$ 个分量可以写成：
$$ ( abla_X Y)^i = X^j (frac{partial Y^i}{partial x^j} + Y^k Gamma^i_{jk}) $$
注意这里的 $Y^i$ 对应于 $frac{partial}{partial x^i}$ 基下的分量。
这个公式中的 $frac{partial Y^i}{partial x^j}$ 是普通的偏导数，它描述了在选定坐标系下向量分量的变化。而 $Y^k Gamma^i_{jk}$ 这一项，则是由联络本身（通过克里斯托费尔符号）所引入的，它补偿了坐标系变化带来的影响，以及空间弯曲本身对向量“方向”的影响。
两种主要的联络类型：
仿射联络 (Affine Connection)： 这是最普遍的联络概念，我们上面讨论的就是仿射联络。它允许我们进行平行移动，定义协变导数。
度量联络 (Metric Connection)： 如果流形上有一个黎曼度量（可以测量向量的长度和夹角），我们还可以定义一个特殊的联络，称为度量联络。度量联络的关键性质是它保持度量不变，即向量的长度和它们之间的夹角在平行移动过程中不会改变。最常见的度量联络是列维奇维塔联络 (LeviCivita Connection)，它是在给定的黎曼度量下，唯一一个无挠率 (Torsionfree) 且度量兼容 (Metriccompatible) 的联络。
无挠率： 意味着 $ abla_X Y abla_Y X = [X, Y]$，其中 $[X, Y]$ 是向量场的李括号。这确保了平行移动的一致性。
度量兼容： 意味着 $ abla_X (g(Y, Z)) = g( abla_X Y, Z) + g(Y, abla_X Z)$，其中 $g$ 是黎曼度量。
总结一下联络的重要性：
衡量变化： 联络是衡量向量场在流形上“如何变化”的标准工具。
定义“平行”： 它提供了在弯曲空间中定义“平行移动”的精确方法。
几何测量的基础： 它是黎曼几何、微分几何等分支中研究曲率、测地线、外微分等核心概念的基础。
连接几何与代数： 通过克里斯托费尔符号，联络将流形的几何性质（如曲率）与代数运算（如微分）联系起来。
所以，下次当你思考在弯曲空间中一个向量沿着一条路径移动时，记住是联络在背后默默工作，为我们提供了“比较”和“理解”这种变化的工具。它就像是为流形安装了一个精密的“陀螺仪系统”，让我们可以在这张不平坦的画布上，有条不紊地追踪向量的变化轨迹。
要理解联络，我们不妨从一个直观的例子开始：想象一下我们生活在地球这个近似球面上。我们想要理解从一点出发的向量，在沿着一条曲线移动时是如何变化的。
经典欧氏空间的类比：向量的平行移动
在平直的欧氏空间 $mathbb{R}^n$ 中，我们非常熟悉向量。如果有一个向量场 $X$（可以理解为在空间中的每一点都有一个向量与之对应），以及一条曲线 $gamma(t)$，我们很容易定义“沿着曲线 $gamma$ 移动向量 $X$”。
比如，我们想知道在点 $gamma(t_0)$ 的向量 $X(gamma(t_0))$，沿着曲线移动到点 $gamma(t_1)$ 时，它“变成”了什么。在欧氏空间里，我们可以简单地将向量 $X(gamma(t_0))$ “复制”到 $gamma(t_1)$ 的位置。由于空间是平坦的，这个“复制”过程非常直接，向量的各个分量都不会改变。更严谨地说，我们使用坐标微分来描述向量场的变化：
$$ frac{partial X^i}{partial x^j} $$
这里的 $X^i$ 是向量 $X$ 在某个坐标系下的分量，$x^j$ 是空间坐标。这个偏导数告诉我们，当我们在 $x^j$ 方向上移动一点点时，向量的第 $i$ 个分量会如何变化。
挑战：进入弯曲空间——流形
到了微分几何，我们研究的对象是流形。流形可以是弯曲的，比如球面。在弯曲的空间中，直接“复制”向量或者使用简单的坐标微分会遇到麻烦。为什么呢？
1. 坐标系的变化： 在一个弯曲的空间中，我们无法找到一个全局的、处处适用的坐标系。即使在局部使用坐标系，当我们在流形上移动时，不同点的坐标系之间并没有一个天然的、简单的对应关系。想象一下你在地球表面从一个城市走到另一个城市，你在两个城市看到的“向东”的方向，在地球曲率的影响下，可能并不是完全平行的。
2. “平行”的定义： 即使我们试图定义一个向量“沿着曲线平行移动”，我们也会遇到“什么叫做平行？”的问题。在弯曲的空间中，一个向量从点 A 移动到点 B，在没有外力干扰的情况下，它的“方向”会如何变化？这正是联络要解决的核心问题。
联络：在不同点之间“连接”和“比较”向量
联络，本质上是一种“协变微分”的概念。它提供了一个规则，让我们能够：
在不同点之间“连接”向量： 联络允许我们定义一个向量场在流形上“如何变化”。具体来说，它定义了向量场沿某个方向“移动”时，它的“变化率”是什么。
比较不同点的向量： 通过联络，我们可以将一个点上的向量“平行移动”到另一个点，从而比较它们。
从何而来：联络的数学定义
更正式地，一个切丛上的联络 (Connection on the Tangent Bundle) 是一个作用于切向量场和切向量的二重线性映射，我们通常记作 $ abla_X Y$。这里的 $X$ 是一个切向量场（代表移动的方向），$Y$ 是另一个切向量场（我们想要知道它如何变化）。$ abla_X Y$ 同样是一个切向量场，它描述了 $Y$ 沿着 $X$ 方向的变化。
这个 $ abla$ 满足以下性质：
1. 线性性：
$ abla_{fX+gY} Z = f abla_X Z + g abla_Y Z$ (对第一个参数的线性，其中 $f, g$ 是光滑函数，$X, Y$ 是切向量场)
$ abla_X (Y+Z) = abla_X Y + abla_X Z$ (对第二个参数的线性，其中 $Y, Z$ 是切向量场)
2. 莱布尼茨法则 (Leibniz Rule)：
$ abla_X (fY) = (Xf)Y + f abla_X Y$ (对第二个参数的函数乘法满足莱布尼茨法则，其中 $f$ 是光滑函数，$X$ 是切向量场，$Y$ 是切向量场)
解释这些性质：
线性性 意味着 $ abla$ 是一个“良好定义”的映射，它遵循我们对求导的直觉：两个方向的“总和”的变化，等于它们各自变化的“总和”。
莱布尼茨法则 是最关键的一点。它告诉我们，当一个向量场 $Y$ 乘以一个函数 $f$ 时，它沿着方向 $X$ 的变化，等于两个部分：
$(Xf)Y$：这是函数 $f$ 沿着方向 $X$ 的变化率（通过 $X$ 的作用），乘以向量场 $Y$ 本身。这部分捕捉了“尺度”的变化。
$f abla_X Y$：这是向量场 $Y$ 沿着方向 $X$ 的“固有”变化率，再乘以函数 $f$。这部分捕捉了向量本身方向和大小的变化。
联络的作用：平行移动和协变导数
有了联络 $ abla$，我们可以做两件非常重要的事情：
1. 定义平行移动 (Parallel Transport)：
想象一条曲线 $gamma(t)$，并且在 $gamma(t_0)$ 有一个切向量 $v_0$。我们想知道，沿着这条曲线移动，保持“平行”，到 $gamma(t)$ 时，这个向量变成了什么。
一个向量 $v(t)$ 沿着曲线 $gamma(t)$ 平行移动，意味着它沿着曲线的方向的“变化率为零”。用联络来表达就是：
$$ abla_{gamma'(t)} v(t) = 0 $$
其中 $gamma'(t)$ 是曲线 $gamma$ 的切向量场。
这个方程是描述平行移动的微分方程。它的解 $v(t)$ 就是从 $v_0$ 沿着曲线 $gamma$ 平行移动得到的向量。
类比： 在地球表面，我们从北极出发，沿着一条经线向南走。如果我们保持“向东”的方向不变，当我们走到赤道时，这个“向东”的方向与我们出发时在北极的“向东”方向相比，由于地球的曲率，它会发生变化。联络就是描述了这种“保持平行”的精确规则。
2. 定义协变导数 (Covariant Derivative)：
我们之前在欧氏空间中用 $frac{partial X^i}{partial x^j}$ 来描述向量场 $X$ 的变化。在流形上，由于坐标系的不固定，直接使用偏导数是不够的。
一个联络 $ abla$ 允许我们定义一个协变导数。对于一个切向量场 $Y$，沿另一个切向量场 $X$ 的方向，它的协变导数就是 $ abla_X Y$。
在局部坐标系 ${x^i}$ 下，切向量场 $Y$ 可以表示为 $Y = Y^k frac{partial}{partial x^k}$。切向量场 $X$ 可以表示为 $X = X^j frac{partial}{partial x^j}$。
那么，$ abla_X Y$ 的分量可以表示为：
$$ abla_X Y = X^j abla_{frac{partial}{partial x^j}} (Y^k frac{partial}{partial x^k}) $$
利用联络的线性性和莱布尼茨法则，我们可以展开这个式子：
$$ abla_{frac{partial}{partial x^j}} (Y^k frac{partial}{partial x^k}) = (frac{partial Y^k}{partial x^j}) frac{partial}{partial x^k} + Y^k abla_{frac{partial}{partial x^j}} frac{partial}{partial x^k} $$
其中，$ abla_{frac{partial}{partial x^j}} frac{partial}{partial x^k}$ 是基向量场 $frac{partial}{partial x^k}$ 沿着 $frac{partial}{partial x^j}$ 方向的变化。这些变化可以用克里斯托费尔符号 (Christoffel Symbols) 来表示：
$$ abla_{frac{partial}{partial x^j}} frac{partial}{partial x^k} = Gamma^i_{jk} frac{partial}{partial x^i} $$
所以，$ abla_X Y$ 的第 $i$ 个分量可以写成：
$$ ( abla_X Y)^i = X^j (frac{partial Y^i}{partial x^j} + Y^k Gamma^i_{jk}) $$
注意这里的 $Y^i$ 对应于 $frac{partial}{partial x^i}$ 基下的分量。
这个公式中的 $frac{partial Y^i}{partial x^j}$ 是普通的偏导数，它描述了在选定坐标系下向量分量的变化。而 $Y^k Gamma^i_{jk}$ 这一项，则是由联络本身（通过克里斯托费尔符号）所引入的，它补偿了坐标系变化带来的影响，以及空间弯曲本身对向量“方向”的影响。
两种主要的联络类型：
仿射联络 (Affine Connection)： 这是最普遍的联络概念，我们上面讨论的就是仿射联络。它允许我们进行平行移动，定义协变导数。
度量联络 (Metric Connection)： 如果流形上有一个黎曼度量（可以测量向量的长度和夹角），我们还可以定义一个特殊的联络，称为度量联络。度量联络的关键性质是它保持度量不变，即向量的长度和它们之间的夹角在平行移动过程中不会改变。最常见的度量联络是列维奇维塔联络 (LeviCivita Connection)，它是在给定的黎曼度量下，唯一一个无挠率 (Torsionfree) 且度量兼容 (Metriccompatible) 的联络。
无挠率： 意味着 $ abla_X Y abla_Y X = [X, Y]$，其中 $[X, Y]$ 是向量场的李括号。这确保了平行移动的一致性。
度量兼容： 意味着 $ abla_X (g(Y, Z)) = g( abla_X Y, Z) + g(Y, abla_X Z)$，其中 $g$ 是黎曼度量。
总结一下联络的重要性：
衡量变化： 联络是衡量向量场在流形上“如何变化”的标准工具。
定义“平行”： 它提供了在弯曲空间中定义“平行移动”的精确方法。
几何测量的基础： 它是黎曼几何、微分几何等分支中研究曲率、测地线、外微分等核心概念的基础。
连接几何与代数： 通过克里斯托费尔符号，联络将流形的几何性质（如曲率）与代数运算（如微分）联系起来。
所以，下次当你思考在弯曲空间中一个向量沿着一条路径移动时，记住是联络在背后默默工作，为我们提供了“比较”和“理解”这种变化的工具。它就像是为流形安装了一个精密的“陀螺仪系统”，让我们可以在这张不平坦的画布上，有条不紊地追踪向量的变化轨迹。
网友意见
今天刚看到微分几何里联络这一块的内容，有点困惑，它到底是用来描述什么的，为什么？
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