如何评价 2020 年阿里巴巴数学竞赛决赛试题？
2020 年阿里巴巴数学竞赛决赛试题是备受瞩目的，它汇集了中国乃至全球顶尖的数学人才，所考察的知识点和难度也代表了当前数学领域的前沿水平。要评价这份试题，我们需要从多个维度进行审视：
总体评价
总体而言，2020 年阿里巴巴数学竞赛决赛试题是一份极具挑战性、深度和广度兼备的试卷。它不仅仅考察了参赛者对基础数学知识的掌握程度，更侧重于考察其数学思维、创新能力、问题解决能力以及对数学的热情和钻研精神。试题的设计体现了数学的抽象性、逻辑性和应用性，既有纯粹的理论探讨，也有与实际问题相结合的建模和分析。
试题特点分析
以下从几个关键维度详细评价试题：
1. 难度与区分度：
高难度是必然的： 作为阿里巴巴数学竞赛的决赛，试题的难度必然是极高的，旨在筛选出最顶尖的数学人才。这份试题无疑做到了这一点，许多题目超出了普通大学生甚至数学专业高年级学生的认知范围，需要深厚的专业功底和非凡的创造力才能应对。
优秀的区分度： 试题的难度设置能够有效地拉开选手之间的差距。即使是那些在数学领域有一定造诣的选手，也可能在某些题目上感到力不从心。这种高区分度能够保证最终选拔出的选手真正是能力出众的佼佼者。
“劝退”与“激励”并存： 对于大多数参赛者而言，这份试题无疑是“劝退”的。但对于那些真正热爱数学、具备卓越天赋的选手来说，它则是一种极大的“激励”，让他们有机会在难题中找到乐趣，展现自己的才华。
2. 考察范围与深度：
知识点覆盖广泛： 试题涵盖了数学的多个重要分支，包括但不限于：
代数： 群论、环论、域论、线性代数、数论等。可能涉及抽象代数中的高级概念，如表示论、伽罗瓦理论等。
几何： 欧几里得几何、微分几何、代数几何等。可能涉及黎曼几何、拓扑学等前沿内容。
分析： 实分析、复分析、泛函分析、微分方程等。可能涉及勒贝格积分、傅里叶分析、PDE等经典与现代分析工具。
概率论与统计： 随机过程、统计推断、信息论等。
离散数学： 图论、组合数学、算法分析等。
深度挖掘： 试题并非简单地考察某个定理的记忆或公式的应用，而是要求参赛者对概念有深刻的理解，能够融会贯通，并将其应用于解决新的、未知的数学问题。这要求选手能够从数学的本质出发，进行严谨的推理和证明。
3. 题目类型与设计：
理论证明题为主： 与许多其他数学竞赛不同，阿里巴巴数学竞赛决赛更倾向于考察理论证明和抽象推理能力。这与阿里巴巴作为一家科技公司，在人工智能、大数据等领域需要高度的理论支撑和算法研究有关。
原创性与挑战性： 题目设计往往具有很强的原创性，鲜有直接从现有教材或竞赛题库中套用的情况。许多题目是现有数学领域中尚未完全解决或有争议的问题的变种，或者是将不同领域的知识进行巧妙的结合。
数学建模与应用： 虽然以理论证明为主，但部分题目也可能涉及将实际问题转化为数学模型，并运用数学工具进行分析和解决。这体现了数学在解决现实世界问题中的重要作用。
开放性与探索性： 少数题目可能并非只有唯一的标准解法，而是允许参赛者进行一定程度的探索和创新，展现其独特的解题思路和数学洞察力。
4. 考察目标与价值：
选拔未来科研人才： 阿里巴巴数学竞赛的核心目标之一是为阿里巴巴集团及其关联企业输送具有深厚数学功底和研究潜力的顶尖人才，以支持其在人工智能、机器学习、大数据分析、量子计算等前沿科技领域的研发。
推动数学研究： 通过设置高难度、前沿性的题目，也间接推动了数学研究的发展，激发了年轻一代对数学的兴趣和投入。
培养严谨的数学思维： 即使未能直接进入阿里巴巴工作，参与这样的竞赛本身也是一次宝贵的学习和成长经历，能够极大地提升参赛者的数学思维能力、逻辑推理能力和解决复杂问题的能力。
可能存在的争议点（虽然相对较少）
尽管总体评价极高，但任何一场顶尖的学术竞赛都可能存在一些可讨论的空间：
“冷门”知识点的考察： 对于一些非数学专业背景但具备极强数学能力的人才而言，如果部分题目考察的知识点非常“冷门”，可能对其不利。但反过来说，这也有助于筛选出那些真正深入钻研数学各个分支的选手。
题目数量与时间压力： 决赛题量和时间设置也可能成为一些选手发挥失常的因素。在巨大的时间压力下，即使有思路，也可能因为计算失误或表达不完整而失分。
评分标准的公正性： 对于开放性或证明题，评分标准的统一性和公正性至关重要。但这也是所有高水平竞赛都需要面对的挑战。
总结
2020 年阿里巴巴数学竞赛决赛试题是一份卓越的、代表了当前数学竞赛最高水平的试卷。它成功地检验了参赛者的知识储备、逻辑思维、创造力和解决问题的能力。试题的设计既有深度又有广度，紧密结合了现代数学研究的前沿和科技发展对数学人才的需求。它不仅仅是一场比赛，更是一次对数学之美的探索，一次对未来科技驱动者潜力的发掘。这份试题的意义，远不止于选出少数优胜者，更在于激发和培养一代又一代热爱数学、投身于科学研究的优秀人才。
网友意见
由于决赛时间是欧洲凌晨，未最终参赛，但看了题目，试解了一些分析试题，目前除了第13题加权形式的庞加莱不等式未能证出，其它题目都尚可解。总体来说，感觉题目考察较多偏微分方程的背景和实操经验，对于本科生和低年级研究生难度偏大。
下面进行分题点评：
第一题（题号11）：此题第一眼感觉应该考察调和函数平均值性质有关的应用，然而我在解题过程中，并不能轻松地得到这个方向的解答（希望高手赐教）。故本人采用了傅里叶变换的办法。观察到函数$g$满足的性质是平移不变的，从而通过对$x$进行Fourier变换将题设条件等价于一个$g$的傅里叶变换和球面元Fourier变换的关系. 进而通过解析函数的孤立零点性质得出$g$的傅里叶变换几乎处处为0，命题即可得证明。
第二题（题号12）：典型的椭圆型偏微分方程先验估计。此题涉及的椭圆方程的一个背景是欧氏空间中非线性薛定谔方程的孤立子(l'état fondamental)满足的方程。这种类型的孤立子在无穷远处是指数衰减的。出题人应该期望采用极大值原理处理该题目。我采用经典的能量方法能得到一个比题目要求更好的指数衰减。
第三题(题号13)：此题目前暂未解出，但背景很明确， 当权函数$kappa$ 为常数时，这就是
是经典的Poincaré-Wirtinger 不等式，而不等式右边的常数会依赖于区域（对于凸区域是直径），和等周不等式有密切联系. 此题的难点在于所出现的常数不能依赖于区域的几何参数，比如直径，或者体积的上界，而必须要用权函数的两个积分来表达，而权函数的正则性等其它信息很少，故直接使用庞加莱不等式的证明方法需要非常精巧的处理. 希望高手赐教.
第四题（题号14）:此题目考察薛定谔方程的色散现象. 题目结论告诉我们，在时间平均意义下，方程解所有的质量都跑到了$|x|>sqrt{t}$ 这个外区域，这正是色散性质的一种体现. 此题求解有多种方式， 比较快捷的是采用拟共性变换zoom时空变量来detect色散特征. 这种变换在质量临界半线性薛定谔方程的散射和爆破理论中是非常常用的. 由于方程完全线性，解有显式表达，故可以用更加初等的方法解决，但此题对于没有系统学习过色散偏微分方程的学生仍然有较大挑战。
第五题（题号15）此题背景与我的研究有一定相关，它是对Laplace算子高频本征函数集中特性研究的一个变形题。Laplace算子的本征函数是很多数学领域的研究对象，在维数大于2的环面上, Laplace算子特征函数的简并度很高，一个核心问题是，对于取特征值为k,k趋于无穷的正规化后的特征函数，它的渐近性态是什么？它可否集中于环面的某个小子集上（能观测性），它是否可以非常奇异地集中在一个低维子流形上面？它的$L^p$范数关于特征值的增长是什么？ 此题目选取了一个双曲算子而非Laplace问了其中一个问题. 我这里抛砖引玉，提供一个看似比较复杂，但在此类问题研究领域想法比较基本的解法: 首先，特征函数满足的方程告诉我们它的Fourier级数的支撑在双曲线$x^2-y^2=lambda$上面. 根据简单的计算，所需证明的不等式左边的平方可以化为这个函数Fourier级数相关的一个求和表达. 剩下的问题在于估计这个求和式子. 这个和式是Young卷积型(或者Schur)，涉及f的Fourier级数和一个Kernel K（m,n）, 关于这个kernel, 我们知道它是关于|n-m|的根号衰减，但这个衰减太弱，无法直接使用Young得到级数的收敛. 这就需要利用到一个关键的信息： 函数f 的Fourier 支撑为格点$Z^2$和双曲线$x^2-y^2=lambda$的交点. 这就告诉我们这些点不会很多！ 然而如何估计？这就需要充分利用双曲线和格点这两种简单代数结构，结合因数分解的divisor bound来处理. 所幸题目要求证明的不等式非常弱, 我们可以随手得到很粗糙的格点估计来完成证明. 此题目并不用到非常深刻的知识，即使不懂偏微分方程，只需要知道Fourier变换，高中解析几何和一点初等数论就有完成的知识背景，然而难度对于没有科研经验的本科生相对较大. 同样，这里的点评仅是抛砖引玉，等待大神给出更多更好的解法，共同提高进步！
最后，给出本人提供的四道题目解法：
我选的几何拓扑主赛道，代数副赛道。总体感觉应该跟北美部分高校数学PhD qualify难度相当，部分题目挺难的。
题目在这：
代数做的前两题，应该做对了。第一题反证法。在向量的每个component上考虑，Lambda里的元素的每个component都应该落在素域的某个固定的有限扩张里，所以可以写出极小多项式（整系数）。然后如果有某个component为零的Lambda中非零元，那么可以构造出其他component为零的非零元，这些元素乘起来等于零向量，和Lambda是整环矛盾。
第二题，G里面挖掉有限多个无限指数的子群的陪集应该是非空的，取里面的元素就行。突然意识到我写的答案想简单了。。
然后就是主赛道了。
几何第一题，我口胡了，我说可以直接由映射度为0推出来。。应该要拉几个正和列。
第二题，S^3作为李群 的自同构群只包含内自同构群，从而是连通的，从而自同构保定向。
第三题，感觉可能要用一些复代数几何的知识。。比如adjunction formula算法丛一类的。不会。
第四题，我一开始以为不需要n-1个Jacobi fields，只需要对单个Jacobi field算就行了（因为结论只涉及单个Jacobi field）。后来发现不对，在欧氏空间里面就可以构造出单个Jacobi field不满足结论的例子。。必须要用到"存在n-1个Jacobi fields在时间T之前逐点线性无关"这个条件。但是怎么用没想出来。
第五题算是做得比较顺的。两问都是不存在。第一问是Bonnet-Myers定理的直接推论。第二问，反证法，我用了两次Cheeger Gromoll Ricci splitting theorem，得到 SO(3)上存在Ricci flat metric。这当然是不可能的。
分析、应用两个赛道的题目也可以看到，但是答题时已经没时间也没心情看了。6个小时做7道博资考级别题目，时间还是很紧张的。。
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