为什么有的 Vision Transformer 中的 key 不需要 bias ？
在 Vision Transformer (ViT) 的一些实现中，你会发现 QKV（Query, Key, Value）矩阵中的 Key（K）矩阵通常是没有偏置项（bias）的。这背后有一些设计上的考量，虽然在其他模型中或者其他场景下，Key 矩阵加上偏置项也并不少见。要理解这一点，咱们得从 Transformer 的核心机制——自注意力（SelfAttention）说起。
回顾一下自注意力机制
Transformer 的核心是自注意力机制，它允许模型在处理序列数据时，为序列中的每个元素计算与其他所有元素的相关性得分。在 ViT 中，这些“元素”就是图像被切分成的小块，也就是 patches。
对于每一个 patch，它会生成三个向量：
Query (Q)：代表当前 patch “在寻找”什么信息。
Key (K)：代表当前 patch “拥有”什么信息。
Value (V)：代表当前 patch “实际包含”的信息内容。
这些 Q, K, V 向量是通过将输入的 patch 嵌入（patch embedding）分别乘以三个独立的权重矩阵（$W_Q, W_K, W_V$）得到的：
$Q = X W_Q$
$K = X W_K$
$V = X W_V$
其中，$X$ 是输入 patch 嵌入的矩阵。
然后，注意力分数是通过计算 Q 和 K 的点积来获得的：
$Scores = Q K^T$
这个分数衡量了 Query 和 Key 之间的匹配程度。分数越高，表示对应的 patch 之间关联性越强。
接下来，这些分数会被缩放（通常除以 $sqrt{d_k}$，其中 $d_k$ 是 Key 向量的维度），然后通过 Softmax 函数转换为注意力权重（weights）：
$Weights = Softmax(frac{Q K^T}{sqrt{d_k}})$
最后，加权求和 Value 向量，得到输出：
$Output = Weights V$
为什么 Key 可以没有偏置项？
现在回到问题本身：为什么 Key 矩阵（$W_K$）常常不加偏置项？
1. 线性变换的本质：
在自注意力机制中，Q, K, V 的计算 $X W$ 是一个纯粹的线性变换。这意味着它只负责将输入空间的向量映射到另一个空间，并且保持原点不变（即，如果输入是零向量，输出也是零向量）。
偏置项（$b$）的引入，即 $X W + b$，会使得这个线性变换成为一个“仿射变换”（affine transformation）。它不仅进行线性映射，还会将原点平移。
2. 与 Q 的交互：
注意力分数的核心是 $Q K^T$ 的点积。如果我们给 K 加上一个偏置项 $b_K$，那么计算就变成了 $(Q W_Q) (X W_K + b_K)^T$。
这里的关键在于，Q 是由 $X W_Q$ 得到的。如果 Q 和 K 都加上了各自的偏置项，那么 $Q cdot K^T$ 的计算会变得复杂，而且偏置项会如何影响最终的注意力权重，不如没有偏置项时那么直观。
反过来想，如果 Q 有偏置项 $b_Q$，K 有偏置项 $b_K$，那么 $Q cdot K^T = (X W_Q + b_Q) (X W_K + b_K)^T$。这个 $(X W_Q + b_Q) (X W_K)^T + (X W_Q + b_Q) b_K^T$ 形式，尤其是后面的 $b_Q b_K^T$ 项，可能会引入一些额外的、不是直接由输入数据 $X$ 派生出来的“自由度”。
3. 信息冗余与参数效率：
一个核心的论点是，偏置项引入的平移可能会被其他部分的参数吸收或模拟。
在 Transformer 的多头注意力（MultiHead Attention）中，有多个并行的注意力头。每个头都有自己独立的 $W_Q, W_K, W_V$ 矩阵。
如果一个注意力头中的 Key 矩阵没有偏置项，它就只能学习输入数据的线性组合。
考虑这种情况： 如果存在某个“理想”的偏置项 $b_K$，它对 Key 向量进行了一次平移，使得 Q 与 K 的点积在某个方向上得分更高。理论上，如果其他头的参数能够学习到一种方式，使得输入数据经过 $W_Q, W_K$ 变换后，即便没有偏置项，也能在 Q 与 K 的点积中产生相似的区分度，那么就没有必要引入这个额外的偏置项。
更进一步的解释： 即使没有 $b_K$，Q 和 K 仍然是通过乘以权重矩阵 $W_Q$ 和 $W_K$ 得到的。这些权重矩阵本身就拥有强大的表达能力，可以将输入投影到复杂的特征空间。如果某个特定位置（或者特定的 patch 组合）需要在计算注意力时“提升”或“抑制”其 Key 的表示，这个信息理论上可以通过调整 $W_K$ 本身来实现。例如，如果希望某个维度上的 Key 值普遍变大，可以直接调整 $W_K$ 对应的行（或者说，对应于那个维度上 Q 向量的某个分量），让它与输入相乘后产生一个更大的值。
参数效率：移除偏置项直接减少了参数量。虽然对于一个 Key 矩阵来说，偏置项的参数量不多（等于 Key 向量的维度），但在整个模型中，尤其是在大型 ViT 中，参数量的节约累积起来也是有意义的。而且，更少的参数也意味着更少的过拟合风险。
4. 研究和实践中的观察：
在许多 Transformer 的经典论文和实现中（包括一些早期的 ViT 工作），人们发现移除 Key 和 Value 矩阵的偏置项，对模型的性能影响不大，甚至在某些情况下能带来微小的提升。这使得“无偏置 Key”成为了一个常见的工程实践。
这是经验主义的体现。研究者们通过实验发现，在很多任务上，模型能够通过调整 $W_K$ 来补偿缺少 $b_K$ 的能力。
5. Value 矩阵的偏置：
你可能会问，为什么 Value (V) 矩阵有时也可能被设计成无偏置？
Value 矩阵的偏置与 Key 矩阵的偏置在逻辑上是相似的：它们都是对原始 Value 向量进行一次平移。如果移除 $b_V$，表示 Value 的“基线”信息不会因为偏置项而改变。
不过，在实践中，Value 矩阵是否带偏置，或者 QKV 三者是否有偏置，并非铁板一块。有些实现中，QKV 三个矩阵都可能带偏置，有些则只有 Q 带偏置，或者 QKV 都不带偏置。这取决于具体的模型架构设计、训练目标以及实验效果。
总结一下“为什么 Key 不需要 bias”的几个关键点：
参数学习能力：权重矩阵 $W_K$ 本身就足够强大，能够通过线性变换来调整 Key 的表示，模拟偏置项可能带来的效果。
信息冗余：在多头注意力结构中，不同头的参数可以互相协作，弥补单个头中缺少偏置项造成的“信息损失”。
参数效率：减少参数量，降低过拟合风险。
实践经验：大量的实验表明，在很多场景下，移除 Key 偏置项对模型性能影响甚微，甚至可能更好。
值得注意的是，这并非一个绝对的规则。如果你在某个特定的 Vision Transformer 实现或研究中看到了 Key 矩阵带有偏置项，那也是完全可能的。模型的设计往往是权衡（tradeoffs）的结果，而“偏置项的有无”只是其中的一个细节。但理解上面这些原因，可以帮助你把握为什么“无偏置 Key”是一种常见的、有其合理性的设计选择。
回顾一下自注意力机制
Transformer 的核心是自注意力机制，它允许模型在处理序列数据时，为序列中的每个元素计算与其他所有元素的相关性得分。在 ViT 中，这些“元素”就是图像被切分成的小块，也就是 patches。
对于每一个 patch，它会生成三个向量：
Query (Q)：代表当前 patch “在寻找”什么信息。
Key (K)：代表当前 patch “拥有”什么信息。
Value (V)：代表当前 patch “实际包含”的信息内容。
这些 Q, K, V 向量是通过将输入的 patch 嵌入（patch embedding）分别乘以三个独立的权重矩阵（$W_Q, W_K, W_V$）得到的：
$Q = X W_Q$
$K = X W_K$
$V = X W_V$
其中，$X$ 是输入 patch 嵌入的矩阵。
然后，注意力分数是通过计算 Q 和 K 的点积来获得的：
$Scores = Q K^T$
这个分数衡量了 Query 和 Key 之间的匹配程度。分数越高，表示对应的 patch 之间关联性越强。
接下来，这些分数会被缩放（通常除以 $sqrt{d_k}$，其中 $d_k$ 是 Key 向量的维度），然后通过 Softmax 函数转换为注意力权重（weights）：
$Weights = Softmax(frac{Q K^T}{sqrt{d_k}})$
最后，加权求和 Value 向量，得到输出：
$Output = Weights V$
为什么 Key 可以没有偏置项？
现在回到问题本身：为什么 Key 矩阵（$W_K$）常常不加偏置项？
1. 线性变换的本质：
在自注意力机制中，Q, K, V 的计算 $X W$ 是一个纯粹的线性变换。这意味着它只负责将输入空间的向量映射到另一个空间，并且保持原点不变（即，如果输入是零向量，输出也是零向量）。
偏置项（$b$）的引入，即 $X W + b$，会使得这个线性变换成为一个“仿射变换”（affine transformation）。它不仅进行线性映射，还会将原点平移。
2. 与 Q 的交互：
注意力分数的核心是 $Q K^T$ 的点积。如果我们给 K 加上一个偏置项 $b_K$，那么计算就变成了 $(Q W_Q) (X W_K + b_K)^T$。
这里的关键在于，Q 是由 $X W_Q$ 得到的。如果 Q 和 K 都加上了各自的偏置项，那么 $Q cdot K^T$ 的计算会变得复杂，而且偏置项会如何影响最终的注意力权重，不如没有偏置项时那么直观。
反过来想，如果 Q 有偏置项 $b_Q$，K 有偏置项 $b_K$，那么 $Q cdot K^T = (X W_Q + b_Q) (X W_K + b_K)^T$。这个 $(X W_Q + b_Q) (X W_K)^T + (X W_Q + b_Q) b_K^T$ 形式，尤其是后面的 $b_Q b_K^T$ 项，可能会引入一些额外的、不是直接由输入数据 $X$ 派生出来的“自由度”。
3. 信息冗余与参数效率：
一个核心的论点是，偏置项引入的平移可能会被其他部分的参数吸收或模拟。
在 Transformer 的多头注意力（MultiHead Attention）中，有多个并行的注意力头。每个头都有自己独立的 $W_Q, W_K, W_V$ 矩阵。
如果一个注意力头中的 Key 矩阵没有偏置项，它就只能学习输入数据的线性组合。
考虑这种情况： 如果存在某个“理想”的偏置项 $b_K$，它对 Key 向量进行了一次平移，使得 Q 与 K 的点积在某个方向上得分更高。理论上，如果其他头的参数能够学习到一种方式，使得输入数据经过 $W_Q, W_K$ 变换后，即便没有偏置项，也能在 Q 与 K 的点积中产生相似的区分度，那么就没有必要引入这个额外的偏置项。
更进一步的解释： 即使没有 $b_K$，Q 和 K 仍然是通过乘以权重矩阵 $W_Q$ 和 $W_K$ 得到的。这些权重矩阵本身就拥有强大的表达能力，可以将输入投影到复杂的特征空间。如果某个特定位置（或者特定的 patch 组合）需要在计算注意力时“提升”或“抑制”其 Key 的表示，这个信息理论上可以通过调整 $W_K$ 本身来实现。例如，如果希望某个维度上的 Key 值普遍变大，可以直接调整 $W_K$ 对应的行（或者说，对应于那个维度上 Q 向量的某个分量），让它与输入相乘后产生一个更大的值。
参数效率：移除偏置项直接减少了参数量。虽然对于一个 Key 矩阵来说，偏置项的参数量不多（等于 Key 向量的维度），但在整个模型中，尤其是在大型 ViT 中，参数量的节约累积起来也是有意义的。而且，更少的参数也意味着更少的过拟合风险。
4. 研究和实践中的观察：
在许多 Transformer 的经典论文和实现中（包括一些早期的 ViT 工作），人们发现移除 Key 和 Value 矩阵的偏置项，对模型的性能影响不大，甚至在某些情况下能带来微小的提升。这使得“无偏置 Key”成为了一个常见的工程实践。
这是经验主义的体现。研究者们通过实验发现，在很多任务上，模型能够通过调整 $W_K$ 来补偿缺少 $b_K$ 的能力。
5. Value 矩阵的偏置：
你可能会问，为什么 Value (V) 矩阵有时也可能被设计成无偏置？
Value 矩阵的偏置与 Key 矩阵的偏置在逻辑上是相似的：它们都是对原始 Value 向量进行一次平移。如果移除 $b_V$，表示 Value 的“基线”信息不会因为偏置项而改变。
不过，在实践中，Value 矩阵是否带偏置，或者 QKV 三者是否有偏置，并非铁板一块。有些实现中，QKV 三个矩阵都可能带偏置，有些则只有 Q 带偏置，或者 QKV 都不带偏置。这取决于具体的模型架构设计、训练目标以及实验效果。
总结一下“为什么 Key 不需要 bias”的几个关键点：
参数学习能力：权重矩阵 $W_K$ 本身就足够强大，能够通过线性变换来调整 Key 的表示，模拟偏置项可能带来的效果。
信息冗余：在多头注意力结构中，不同头的参数可以互相协作，弥补单个头中缺少偏置项造成的“信息损失”。
参数效率：减少参数量，降低过拟合风险。
实践经验：大量的实验表明，在很多场景下，移除 Key 偏置项对模型性能影响甚微，甚至可能更好。
值得注意的是，这并非一个绝对的规则。如果你在某个特定的 Vision Transformer 实现或研究中看到了 Key 矩阵带有偏置项，那也是完全可能的。模型的设计往往是权衡（tradeoffs）的结果，而“偏置项的有无”只是其中的一个细节。但理解上面这些原因，可以帮助你把握为什么“无偏置 Key”是一种常见的、有其合理性的设计选择。
网友意见
加和不加从结果上是等价的，BEiT在实现中去掉是为了fp16训练过程中数值稳定。
Both (i.e., with or without key.bias) are equivalent in terms of calculation results. They are canceled by the softmax function.
Softmax(q,k) = exp(q.weight * key.weight + q.bias * key.weight + q.weight * key.bias + q.bias * key.bias) / Z
Because the query is the same over all the keys, so the term (q.weight * key.bias + q.bias * key.bias) remains the same across all the keys, which in turn can be cancelled without affecting the softmax results.
exp(a)/(exp(a)+ exp(b)) == exp(a+C)/(exp(a+C)+ exp(b+C))
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