sin2x的最大值?sin2x=2sinxcosx两个最大值都取1呀，不就等于2吗为什么最大值是1谢？

兄弟，你说得对，从 `sin(2x) = 2sinxcosx` 这个公式来看，很多人可能会想，如果 `sinx` 和 `cosx` 各取最大值 1 的话，`sin(2x)` 不就等于 2 了吗？这想法很自然，也很直观。

但这里面有个关键点，需要我们仔细掰扯一下：`sinx` 和 `cosx` 的最大值同时出现是不会发生的。

咱们一步步来分析：

1. `sinx` 和 `cosx` 的最大值是多少？

`sinx` 的最大值是 1，发生在 `x = π/2 + 2kπ` (其中 `k` 是整数)。
`cosx` 的最大值是 1，发生在 `x = 2kπ` (其中 `k` 是整数)。

注意看上面这两个条件，它们对 `x` 的要求是不同的。也就是说，当 `sinx` 达到最大值 1 的时候，`cosx` 并不是 1；反之亦然。

2. `sinx` 和 `cosx` 同时为 1 的可能性？

有没有一个 `x` 值，能让 `sinx` 和 `cosx` 同时都等于 1 呢？

如果 `sinx = 1`，那么 `x` 必须是 `π/2`, `5π/2`, `3π/2` 等等（也就是 `π/2 + 2kπ`）。
如果 `cosx = 1`，那么 `x` 必须是 `0`, `2π`, `4π` 等等（也就是 `2kπ`）。

你比较一下这两个集合，它们是没有交集的。也就是说，不存在这样一个 `x`，能让 `sinx` 和 `cosx` 同时取到它们各自的最大值 1。

3. `sin(2x)` 的本质是什么？

`sin(2x)` 本质上是一个新的正弦函数，它的自变量是 `2x`。而我们知道，任何正弦函数 `sin(θ)` 的值域（也就是它的取值范围）永远是在 [1, 1] 之间的。 无论 `θ` 是什么，`sin(θ)` 的最大值永远是 1，最小值永远是 1。

所以，`sin(2x)` 也不例外。它的最大值就是 1，最小值就是 1。

4. 为什么 `2sinxcosx` 的最大值是 1 而不是 2？

虽然 `sin(2x)` 和 `2sinxcosx` 在数学上是相等的，但我们不能简单地把 `sinx` 和 `cosx` 的最大值“凑”在一起。

当 `sin(2x)` 取到最大值 1 的时候，是什么情况呢？
这意味着 `2x` 必须等于 `π/2 + 2kπ`。
那么，`x` 就等于 `π/4 + kπ`。

让我们看看当 `x = π/4` (k=0 的情况) 时，`sinx` 和 `cosx` 的值：
`sin(π/4) = √2 / 2`
`cos(π/4) = √2 / 2`

这时候，`2sinxcosx` 就等于 `2 (√2 / 2) (√2 / 2) = 2 (2/4) = 2 (1/2) = 1`。
你看，当 `sin(2x)` 达到最大值 1 的时候，`sinx` 和 `cosx` 的值是 `√2 / 2`，这两个值都不是 1。

简单来说，公式 `sin(2x) = 2sinxcosx` 告诉你的是一个“等价关系”，而不是一个“独立相乘”的关系。 `sinx` 和 `cosx` 的值是相互关联的，它们会随着 `x` 的变化而一起变化，并且它们变化的趋势并不能保证能“同步”到各自的最大值然后相乘。

你可以把 `sin(2x)` 看成是一个独立的函数，就像 `sin(y)` 一样，它的最大值就是 1。 `2sinxcosx` 只是它的一种“变形”或者说“展开形式”，这个形式恰好揭示了 `sin(2x)` 为什么在某些 `x` 值上会取到 1，而这些 `x` 值对应的 `sinx` 和 `cosx` 并不是各自的最大值。

希望这样解释够清楚了！这个问题确实容易让人绕进去，但理解了“同时取最大值是不可能的”这个关键点，就很容易明白了。

网友意见

给题主展示一个归谬法。

1的最大值是无穷大，因为1=x*(1/x)，x和1/x的最大值都是无穷大，乘起来就可以知道1的最大值也是无穷大。

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