哪些数学定理在直觉上是对的，但证明起来很困难？
1. 欧拉多面体定理 (Euler's Polyhedron Formula)
直观感受：
想象一下你手中的任何一个简单多面体，比如立方体、棱锥、足球（由五边形和六边形组成）。数一数它的顶点（角）数 $V$、边数 $E$ 和面数 $F$。你会惊奇地发现，无论你拿出什么多面体，总会满足一个简单的关系：
$V E + F = 2$
这个公式非常直观，似乎是多面体固有的一个基本属性。你可以在不同多面体上随意试验，它似乎永远成立。
证明的困难：
尽管如此直观，但要严格证明这个公式对于所有凸多面体都成立，却不是一件简单的事情。它涉及到对“多面体”这个概念的精确定义，以及如何系统地计数顶点、边和面，并证明这个关系在任何变形下都不会改变。
证明的难点在于：
定义的严谨性： 需要精确定义什么是“多面体”，避免歧义。例如，什么是“面”？它们是平面多边形吗？边是如何连接顶点的？
计数方法的普适性： 如何设计一个计数方法，能够适用于任意形状的凸多面体，而不遗漏任何情况或重复计数？
拓扑不变性： 这个公式实际上是一个拓扑性质。拓扑学研究的是在连续变形（拉伸、压缩，但不撕裂或粘合）下保持不变的性质。欧拉公式之所以成立，是因为多面体在拓扑上等价于一个球面。证明需要借助拓扑学工具，比如欧拉示性数 (Euler characteristic)。
一个经典的证明思路（基于“网格化”）：
1. 映射到球面： 将多面体放入一个球体内部，让每个顶点都对应球面上的一个点，每条边对应球面上的一个弧段，每个面对应球面上的一个区域（面）。这样，多面体的结构就映射到了球面上。
2. 展开成“地图”： 从球面上移除一个面（比如我们看到的外面那个），然后将剩余的部分“展开”到一个平面上，就像把一个橘子皮剥下来铺平一样。这会在平面上形成一个由顶点、边和由边围成的区域（对应原多面体原来的面）组成的“地图”。
3. 通过“简化”证明： 在这个平面地图上，我们可以通过一系列的“简化”操作来证明 $V E + F = 1$ (因为我们少了一个面，所以公式变成 1)。这些操作包括：
移除“桥接”的边： 如果一条边连接两个完全相同的区域（在多面体中，两条相邻的面共享一条边，所以对于从球面展开的地图来说，一条边通常连接两个不同的区域。这里的“桥接”指的是一种特殊情况，可以简化计数）。
合并边： 如果两条边连接同一个顶点，并且它们之间的区域是唯一的，可以合并这两条边，并把它们所包含的区域合并起来。
合并顶点： 如果两个顶点之间只有一条边连接，可以将它们合并成一个顶点。
每一次简化操作，都会以一种可控的方式改变 $V, E, F$ 的值，但其差值 $VE+F$ 保持不变。最终，可以将复杂的地图简化成一个单独的顶点，此时 $V=1, E=0, F=0$，差值为 $10+0=1$。由于这个差值在整个简化过程中保持不变，所以原始的地图也满足 $VE+F=1$。
4. 恢复到球面： 再加上之前移除的那个面，回到球面上，公式就变成了 $V E + F = 2$。
这个证明思路虽然清晰，但在执行每一步的“简化操作”时，都需要非常严谨的数学论证来保证其正确性和普适性。
2. 哥德巴赫猜想 (Goldbach Conjecture)
直观感受：
这个猜想非常简单易懂，即使是对数学不太熟悉的人也能理解：
“任何一个大于2的偶数，都可以表示成两个素数（质数）的和。”
例如：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
8 = 3 + 5
10 = 3 + 7 = 5 + 5
12 = 5 + 7
100 = 3 + 97 = 11 + 89 = 17 + 83 = 29 + 71 = 41 + 59 = 47 + 53
你可以随意尝试任何一个大于2的偶数，几乎立刻就能找到两个素数来表示它。这种“似乎永远成立”的感觉非常强烈。
证明的困难：
尽管如此直观，哥德巴赫猜想至今（2023年）仍未被证明。它是数论中最著名、最古老而又最难以解决的猜想之一。
证明的困难在于：
素数的分布不规则： 素数是大于1的自然数，除了1和它本身以外不再有其他因数的数。素数在自然数中的分布非常不规则，虽然存在一些模式（例如质数定理给出了素数分布的渐进规律），但要精确描述素数相加如何构成所有偶数，却极其困难。我们不知道下一个素数是什么，也不知道两个素数相加会得到什么结果。
加法与乘法结构的隔阂： 素数是定义在乘法结构下的概念（素数的定义依赖于因子）。而哥德巴赫猜想是关于加法的命题。连接这两个看似独立的数学结构是极其困难的，就像试图在两个完全不同的语言之间建立桥梁。
缺乏有效的工具： 数学家们尝试了各种方法，包括：
筛法 (Sieve methods)： 这是一种从一个集合中“筛除”不满足条件的元素的数学技术，常用于研究素数。例如，埃拉托斯特尼筛法就是一种找到一定范围内素数的方法。然而，筛法在证明哥德巴赫猜想时，往往只能证明“大部分”偶数可以表示成两个素数（或一个素数和一个另一个数的乘积），但无法完全覆盖所有情况。
圆法 (Circle method)： 一种基于傅里叶分析的数论技术，用于估计和量化涉及算术函数的求和。它在处理大量素数的分布时有优势，但直接应用于哥德巴赫猜想仍然面临瓶颈。
结合两种方法的尝试： 数学家们不断尝试改进这些技术，例如，陈景润在1966年证明了“任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数与一个半素数（两个素数的乘积）的和”，这被称为“陈氏定理”，是距离哥德巴赫猜想最近的成果之一，但距离完全证明仍然遥远。
目前的进展和“接近”的证明：
虽然猜想未被证明，但数学家们已经证明了：
在“几乎所有”偶数上成立： 也就是说，我们可以证明绝大多数的偶数都可以表示成两个素数的和。
弱哥德巴赫猜想： “任何一个大于5的奇数，都可以表示成三个素数的和。” 这个猜想在2013年被哈洛德·赫尔夫戈特（Harald Helfgott）完全证明。虽然弱猜想的证明为强猜想提供了希望，但它本身也极其复杂。
3. 庞加莱猜想 (Poincaré Conjecture) 已被证明
直观感受：
想象一下你手中的橡皮泥。你可以将它拉伸、压缩，但不能撕裂或粘合。
一个圆形的橡皮泥球（比如一个气球），你可以将其变形为一个橄榄球，或者一个椭圆形。但无论你怎么变形，它始终保持一个“洞洞”也没有，并且可以收缩成一个点。
一个甜甜圈形状的橡皮泥（环面），你可以将其拉伸成各种形状，但你无法将其变形到一个没有洞的球体，也无法将其收缩成一个点，而不撕裂。
庞加莱猜想说的就是，在三维空间里（更确切地说，是在一个“三维流形”上），任何一个“单连通”的、封闭的、无边的三维流形，都可以通过连续变形收缩成一个点。
“单连通”的意思是，在这个空间里的任何一个封闭曲线，都可以通过连续变形收缩成一个点，而不会碰到边界或撕裂。就像上面说的，气球或橡皮泥球是单连通的。
证明的困难：
庞加莱猜想之所以困难，是因为：
高维空间的复杂性： 想象一下在二维平面上，一个没有洞的圆盘（拓扑上等价于球体）和一个有洞的甜甜圈，区分它们是容易的。但到了三维，我们看到的只是表面的“形状”，而要理解其内部的“连通性”和“洞”的数量，就变得极其困难。
无法直观想象： 我们生活在三维空间，但我们的大脑习惯于处理低维度的几何。理解和操作高维流形的拓扑性质，超出了我们日常的直觉。
缺乏现成的工具： 传统的几何和拓扑工具不足以直接区分复杂的、在高维度上的形状。
格里戈里·佩雷尔曼 (Grigori Perelman) 的证明：
这个猜想困扰了数学家近一个世纪，直到20022003年，俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼通过一系列论文，提供了庞加莱猜想的证明。他的证明极其深刻和复杂，利用了里奇流 (Ricci flow) 的概念。
里奇流： 可以想象成一种“几何的扩散过程”，它会随着时间“平滑化”空间的曲率。佩雷尔曼证明了，对于任何一个满足猜想条件的起始空间，里奇流都会使其“收缩”并变得越来越平滑，最终收缩成一个点。
处理奇点： 在这个“平滑化”过程中，可能会出现“奇点”——即空间的某些区域变得异常弯曲或出现尖锐的部分。佩雷尔曼的证明中最关键的部分在于，他发展了处理这些奇点的方法，并证明了即使存在奇点，也可以通过一种“Surgery”（手术）过程来“修剪”掉它们，然后继续应用里奇流，最终实现整个空间的收缩。
佩雷尔曼的证明被誉为21世纪最重要的数学突破之一，它不仅解决了庞加莱猜想，还进一步证明了更一般的瑟斯顿几何化猜想 (Thurston's Geometrization Conjecture)。这个证明的复杂性在于它结合了微分几何、几何分析和拓扑学，并且需要对高维流形的内部结构进行深刻的理解。
总结
这些例子说明了数学的奇妙之处：一些看似简单的观察，背后却隐藏着深刻的数学原理，需要精密的逻辑和强大的工具才能证明。它们激励着数学家们不断探索，挑战已知，也让我们对数学的深度和广度有了更深的敬畏。
网友意见
接下来我要讲一个激燃的故事。
这是一场横跨整整四百年的超级数学接力。
鉴于楼上的大神已经提过这个猜想，我就单纯的从这个猜想被证明的过程写一写。
学渣如我就不涉及理论部分了。
这就是开普勒猜想：怎样才能最紧密堆积圆球。
1590年代末，一个叫Raleigh的英国航海家提出了一个看上去很简单的问题。
他想设计一种炮弹的堆叠方式，以便自己能够轻易的数出每一堆有几颗炮弹。
他把这个问题交给了他的助手Harriot，这个聪明的年轻人想的更远一些，他想设计一种最有效率的堆积方式。
以便在航行中有限的空间内存放更多炮弹。
Harriot在其他的自然科学领域也颇有建树，但这个问题虽然看上去很简单，但是他却久久没有进展。
于是这个年轻人给远在布拉格的数学，物理和天文学家写了一封信。
当然收信者并不是三个人，他就是开普勒。一个数学，物理和天文学家。
于是，这场接力的第一棒交给了这个出生在斯图加特的大师。
1611年，开普勒写了一本小册子，名叫《六角形的雪花》。这是一本写给朋友的非正式出版物，他在书中问到，为什么雪花是六角形，为什么蜂房也是六角形。
再问完这个问题后，开普勒转而研究了另一种植物，石榴。
这是从二维平面的有效率堆积方式拓展到了三维空间的研究。
他认为在石榴有限的空间内，石榴籽的堆积方式一定是最有效率的。
他和100多年后的植物学家黑尔斯的得出了一样的结论，黑尔斯给一大堆豌豆加压。
观察到除了豆子挤成了豌豆泥之外（什么鬼）有些豌豆被挤压成了和石榴一样的十二面体。可是后来被证明是实验结论错误的。（孟德尔：你不要豌豆拿给我啊干嘛挤它
好了，到这里我们歇一歇。开普勒认为大自然的安排一定是最完美的，所以，他认为一个圆球围绕着十二个圆球是最紧密的堆积。
但他没有证明，也有没有说该如何围绕。
对于我们每个人来说，怎么样最有效率的装球，仿佛是一个简单的问题。
你先摆好一层球，然后第二层的球放在第一层的空隙中就好。
这就是著名的面心立方对堆积。但是还有一种堆积方式虽然名字很酷炫但后来被证明和面心立方堆积等效。也就是六方最密。
让我们从二维平面开始，怎么样最有效率的排列圆形。
这看上去简直就像1+1=2。
1528年，一位德国的文艺复兴时期的艺术家写了一本数学教科书。
书中写，在天花板上放置圆形花纹，只有方形和六边形排列才能放整齐。而且指出六边形最紧密。（开普勒：卧槽有人抢跑
好了，接下来接力棒交给了一个刚刚输光了全部家当的意大利人。
他叫拉格朗日。十八世纪最伟大的数学家。
到目前为止，研究的设定都基于所有圆形的圆心都排成整齐的格子状。
拉格朗日轻易的证明了在这种情况下六边形堆积最紧密。
挪威数学家杜氏接过了这一棒，开始研究一般情况，即圆型随意排列的情况下怎么堆积最紧密。
可惜并没有太多实质性的进展。接力棒传到了俄国，一位叫闵可夫斯基的小男孩随着父母移民到了德国。
他后来再苏黎世的联邦理工当了助理教授，班上有很多学生经常翘他的课。其中一位是二十世纪最伟大的专利审查员。
阿尔伯特爱因斯坦。
他指出圆的规律装填密度起码有0.8224。
但他并没有指出这种排列的样子。为了怕闵科夫斯基抢他的风头。杜氏抢先发表证明演说。可是数学界认为他的证明不完善。
三十年后匈牙利数学大师托斯完善了关于平面的装填问题证明。
之后，威斯康星大学的数学课科歇诺又证明了平面的覆盖问题。（覆盖允许重叠，装填不允许。）
证明指出，六边形排列是最佳的装填，也是最有效率的覆盖。
到此
二维平面的数学接力已经完成了，那么现在等待解决的就是三维世界的证明了。
为了叙述三维的问题，我们要从另一个跑道的选手说起。
牛顿和他的基友（误）大卫格里高利。他们之间争论着平面内一个球能最多与几个其他的球接触。我们现在知道这个数字是6。
他们把这个问题拓展到了空中。在空中的一个球能最多与几个球接触。
并进行了激烈的争论，可惜他们的争论只是开普勒的局部问题，对于猜想的证明并无多大用处。
（开普勒猜想中最紧密的堆积，一颗球周围有十二个球围绕，而大卫说空间中一个球最多能与十三个球相接触。他们的争论在1953才被终结。）
之后瑞士数学家Bender向德国的数学期刊投稿，企图证明阐述上面的争论。他的论文被期刊的编辑霍普完善并且霍普把Bender的论文和他自己的论文一同发表。
看起来这一棒跑的很顺利，但是我们的霍普选手丢了棒，他的论文被证明有致命的错误。
这个问题后来被荷兰人和德国人解决。
这条岔道的选手已经完赛，让我们回头看看我们原本的赛道。
现在执棒的选手对我们来说有些陌生，他叫奥古斯都希波，他费尽了心血证明了“立方体体积的平方”除以“扭曲盒子体积的平方”恒小于三。
为了这个看上去不怎么重要的小数字，他写了一本248页的厚厚著作。
然后交棒给了本次马拉松接力的队长，数学王子高斯。
然而高斯就是高斯。
他在希波248页的证明后面花了一页半，把这个比值的极限推到了二。
简直就是神迹！我仿佛听到高斯拔刀在喊“我方已经击穿敌方装甲！准备冲锋！”
通过这一页半，高斯间接说明了在规律排列下圆的最紧密堆积方式的密度最高极限是74.05%。（当球在三维格子里面时）
那么问题就是，哪一种堆积才能达到这样的密度。开普勒的么？只有这一种么？
接下来的近一个世纪，接力棒默默地停止在高斯的那一页半证明上。
直到1900年8月8日，第二届国际数学家大会在巴黎召开。
德国数学家希尔伯特提出了那无比著名的23个数学问题。
开普勒猜想，编号第十八。
这个时候接力赛进入了白热化，数学家们想找出比开普勒猜想更紧密的排列方式。（比如一种混乱的无序排列）
因此他们把74.05%这个密度作为一个下界，把100%作为一个最初的上界。
现在要做的就是缩小他们的距离。
丹麦人布利奇菲尔德接棒把上界缩小到83.5%，然后传棒给苏格兰数学家兰金，在剑桥数学实验室的帮助下，他把上界的值降到了82.7%。
这个时候他们之前说采用的研究方法走到了尽头，上界没办法再继续下降了。
之前跑过接力棒的托斯，又想出了一种另外的方法。
这个方法是另一个俄国数学家沃洛诺伊提出的，但他英年早逝并没有完善证明。
他提出，我们只要去找一种叫做V单元的立方体就行了。
这种V单元需要具有两个特点，第一它可以没有缝隙的填满三维空间，就像正方体，第二他的内部有一个球。
这样，球的体积不变，只要我们找到一种体积更小的v单元，装球密度就会提高。
凭借这个方法，伯明翰大学的罗杰斯把上界降到了78%，跑出了精彩的一棒。
又过了三十年，加州理工大学的林赛选手接棒，跑出77.84%的好成绩，然后数学家穆德榨干了V单元方法的潜力，把他发挥到了极致。
上界又降低了，虽然只是万分之一，但实属不易。
突然之间。
加州大学伯克利分校的台湾人项武义接棒直接一骑绝尘冲过终点线!
很可惜的是他的证明被数学界认为不完备，并且有诸多漏洞。（我们的攻击未能突破核心！观测到敌方生命迹象！
接力棒被交回新秀黑尔斯手中。
只要上界降到了74.05那么开普勒猜想就立刻会被证明。
黑尔斯采用了迪劳内的一种方法，假设空间里面装满了圆球，我们用直线连接相邻的圆心得到很多个四面体，再进行分析计算。
可是黑尔斯并没有取得太多实质性的进展。这个方法并不能降低上界，而是直接对开普勒猜想进行证明，要是不成功就一无所获。
根据普林斯顿同行的建议，黑尔斯开始使用电脑来对抗这个几百年悬而未决的问题。
他对很多种可能排列方式进行穷举分析。
可是程式运行的结果却出乎意料。
结果表明没有任何一种排列可以超过给出了74.08%这个数字。
嗯？74.08%？这和说好的75.05不一样我摔！导演你是不是给错剧本了！
经过检查，黑尔斯发现了一种古怪的排列方式，它似乎比开普勒堆积要更紧密一点。我们就把它叫做“BUG”好了。
接下来他的工作分成了五个部分，简单的概述就是，他提出了一种给每种排列打分的方式，他只要证明除了开普勒排列外的四大类的排列都低于8分，接下来证明BUG的排列也低于8。而开普勒排列的得分是8。
前面四大类都轻易的完成了。
只剩下了BUG，这种一个强有力的外援出现了，黑尔斯的医生父亲的一个病人恰好是数学教授，他的儿子成为了黑尔斯的学生。
无巧不成书。
黑尔斯原本预计再过几个月就能完成对这个BUG排列的分析。
而实际上他们用了整整三年。
终于，1998年8月9日的上午。一个普通的星期天。
黑尔斯坐下来写了一封电子邮件，告诉全世界的同行离散几何中一个古老复杂的猜想已经得到了证明。
并附上了研究过程和电脑程序代码。
但仍然有不少人人对这种这种穷举证明方法存疑。
到此开普勒猜想证明告一段落。
这个看起来无比符合直觉的猜想前前后后用了四百年的时间才得以基本证明。
人类历史上这批最杰出的天才前赴后地继交棒接力。
他们大多数人都看不到这个猜想被证明的那一天。
如果说这个世界的真理和规律都被隐藏在黑暗中的话，
那么谢谢他们为我们点起光明的火炬。
愿火光永不熄灭。
参考：GeSzpiro.Szpiro一Kepler's Conjecture 维基百科
定长绳子所围成的最大面积是圆。
话说就在一个月前，导师突然把我叫过去，说自己有个很好的想法。
你能不能通过pfc建模，找出三维空间下，圆球的最密实堆积状态，圆球要不等大的，按照工程级配来做。（工程中各个粒径的颗粒含量都是规定好的）
然后老师还在纸上给我画了，小球相切时最密实和最疏松状态应该是什么样，我问老师有没有相关文献，老师说，显而易见啊，还需要什么文献。
然后我就开始学习pfc了，感觉这个想法还有一定的可行性，直到昨天，看了小球堆积问题，均一级配下，最密堆积，大家都搞了400多年，我才意识到，自己揽了个大活……
Plateau's problem（
普拉托问题）
这个问题看上去非常简单，就是问在边界固定的情况下，什么样子的曲面面积最小。这在物理上是一个很显然的问题。根据
普拉托定律，你拿个铁丝弯成边界，然后吹肥皂泡就好了。但是这个在数学上来说，是一门学科，几何测度论（
Geometric measure theory）的核心问题。
为什么说这个问题难呢？我们考虑一个简单的情形，即在三维空间中边界为圆弧的曲面。这个问题答案很显然，就是圆盘。但是从数学角度而言，这个不简单。
通常的想法就是，我们可以把曲面视为一个从二维圆盘到三维空间的映射，然后利用变分法去考虑这个问题。但是这个方法有着很多毛病，其中最大的问题就是缺乏紧性。我们不妨试着跟着这个思路走一下，看看会出怎样的问题。
1. 遍历所有可能的曲面，然后取一个面积趋近于最小（infimum）的序列；
2. 找出一个收敛子序列；
3. 证明极限就是我们想要的曲面，即最小曲面。
在这三步计划中，第二步就会出现很大的问题。比如：
【我是一个有理想的曲面，我的目标是要成为极小曲面】
【嗯，我的面积缩小了。感觉好棒！】
【我的面积又缩小了。可是为什么我感觉怪怪的呢……】
【啊……肯定有……有什么不对……啊……怎么回事……我的面积明明缩小了啊……为什么……我感觉好奇怪啊……不行啊……为什么会变得这么奇怪呢……啊……】
【图片来源：Geometric Measure Theory: A Beginner's Guide 作者：Frank Morgan】
【请绅士们严肃看待这些图片，不要想歪了！也不要“我好兴奋啊” ！ 】
换句话说，即使是曲面的面积在趋近于，你所取得序列也可能长得非常奇怪，有很多很多的触手（马猴烧酒的好朋友），甚至于这些触手可以触及空间中所有的有理点。换句话说，你最后得到的东西的闭包是整个.
看看，物理中多么显然的东西，在数学中就是这么的让人纠结。存在性就已经够难了，更别说正则性（即最小曲面是否光滑等等）……这个问题直到20世纪中期才有解决方法。具体方法涉及专业知识较多，我自己也不是很熟悉，就不细说了。
其实这种问题很多。比如在给定条件（比如边值）下的拉普拉斯方程
的解的问题。这个问题在物理上也是几乎显然的，因为电势就是解。但是在数学上这个问题并不简单，一般而言需要Sobolev空间等知识进行解决。
【其实我真的不是来黑物理的2333333333 表打我(╯^╰)】
==============2015年5月6日10:31:54（马德里时间）============
那些说我黑数学的人你们够了。请你们仔细思考一下：普拉托定律仅仅是经验性定律，根本无法保证在所有的情况下结论都成立。而数学就是将特殊到一般的过程。
另外，下面的回答中已经有人补充了，数学上关于曲面面积的定义。在上面第二步中，我说找到一族收敛子序列，其实是很不严谨的。因为我没有说是什么收敛，也没有说收敛极限在哪儿。事实上我们需要的极限必须是可求面积的曲面（请跟可求长度的曲线比较起来理解）。所以如何保证极限不会很奇怪，就是存在性的主要工作。
一个苹果让牛顿开了窍
一堆橘子却坑了科学家们400年↓
https://www.zhihu.com/video/877905405924212736特别鸣谢：
维基百科以及相关词条的各位作者
《The Best Writing on Mathematics 2012》
《固体物理学》作者：黄昆
《费恩曼物理学讲义》译者：郑永令 等
《烦人的橘子（The Annoying Orange）》
视频片段出自：《十诫》、《大腕》、《生活大爆炸》
P.S.我们不是第一个回答开普勒猜想的，但是我们是第一个把它做成视频的(ˉ▽￣～)
————【扩展猫粮】————
橘子的两种摆放
数学家们通过400年的接力，终于成功证明了“开普勒猜想”——水果商的摆放能够让橘子最紧密的排列起来，从而最大程度的利用空间。
不过话说回来，其实还有另一种摆放方式，同样能够达到最大的空间利用率（大约是74%）。
左边就是水果商摆橘子的方式，其中最上层（蓝色）是最下层（红色）的180°翻转，我们可以称之为“ABC排列”。
右边则是另一种摆放方式，区别在于，最上层（红色）和最下层（红色）是一样的，我们可以称之为“AB排列”。
既然二者的空间利用率一样大，那区分它们有什么意义呢？
在化学和物理中，这种区别可以帮助我们研究微观世界中原子的排列结构。
下图左边是铜和银的排列方式（ABC），右边是铍和镁的排列方式（AB）：
不同的排列方式会影响到金属的硬度、可塑性、脆度等物理属性，从而影响到对工业材料的选择和对制作工艺的把控。
在圆圈里放圆圈
很早以前，摆放问题（Packing Problem）就已经发展壮大，衍生出了各种密切相关的数学问题，其中许多问题拥有出人意料的答案。
比如：在一个大圆中放 N 个等大的小圆，如何摆放才能让这些小圆的半径最大？
从2个小球、3个小球……到7个小球，这些结果基本都在意料之中。
然而当 N=8 时，事情就开始有点反直觉了。
仔细观察 N=8（左图）的情况，中间的小球和周边的小球之间有着不小的空隙。在 N=9（右图）时，这些空隙甚至变的更大了。
考虑到我们的目的是让小球的半径尽可能大，难道这些空隙不能想办法填满吗？
数学家 Braaksma 和 Pirl 证明，虽然看起来还有改善的空间，但这的确是最优解。
再看一下 N=10 和 11 的情况，是不是更奇怪……
不过，和“圆圈中放圆圈”比起来，“方块中放圆圈”的答案更反直觉。
在方块里放圆圈
在一个大正方形中放 N 个等大的小圆，如何摆放才能让这些小圆的半径最大？
在 N 比较小时，答案的“长相”很普通：
然而 N=7 时画风突变：
右上角这个圆为什么这么尊贵，为什么有这么多的活动空间……
N=10 和 11 的答案就更奇怪了……之前好歹都是对称的，这次连对称性都放弃了：
研究这些奇怪的图形排列有什么用呢？
和“橘子问题”一样，这些问题也是有实际用途的。
首先，工业上经常需要将方形钢板裁切成各种圆形，这项研究能够帮助我们节省许多材料。
其次，运输业中经常会面临“货车不够用”的情况，现在我们能让每辆货车装载更多的货物了。
对了，由于无聊，我把 N=10000 以内的答案都下载下来了。
N=1167 时的解法，有一条斜着的空隙
如果你也同样无聊，可以查看原文，感受一下各种千奇百怪的排列方式。
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藤本烈在回答中提出的“中产阶级数量决定社会的信仰”这一观点，确实是一个值得深入探讨的视角。我们可以从多个角度来分析其是否有道理以及其背后的原因。总的来说，这个观点具有一定的合理性，但不能将其视为一个绝对的、唯一的决定性因素。它是一种社会学上的观察和推测，反映了中产阶级在现代社会中的特殊地位及其对社会.............
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在数学的漫长演进中，曾有无数充满智慧的火花闪耀，它们汇聚成一个个引人入胜的猜想，激励着一代代数学家前赴后继。然而，并非所有闪耀的猜想最终都能披上“定理”的神圣外衣，有些因为发现反例而被永远地搁置，但它们本身的故事，依然是数学史上一笔宝贵的财富，映射出数学探索的严谨与曲折。让我为您细数几位曾被寄予厚望.............
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任正非将欧拉操作系统定位为“国家数字基础设施的生态底座”，这一表述极具战略高度，也折射出华为在当前复杂国际环境下，以及中国数字化转型浪潮中的深刻思考和布局。要评价这一说法，需要从多个维度进行深入分析。一、 评价任正非的表述：战略意图与深远影响1. 国家数字基础设施的“生态底座”： 何为.............
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魔方，这个看似简单的玩具，背后却蕴藏着深厚的数学智慧。它的每一个转动，每一个组合，都遵循着一套严谨的数学规则，尤其是群论，更是解开魔方奥秘的关键。群论：魔方的语言你可以把魔方看作是一个由无数个基本操作（即转动魔方的一层）组合而成的系统。群论就是研究这些基本操作及其组合规律的数学分支。 集合与运算.............
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在人工智能的浩瀚星空中，数学并非只是冰冷的公式堆砌，而是驱动智慧涌现的精妙脉络。那些看似晦涩难懂的数学原理，一旦与人工智能的逻辑交织，便能迸发出令人惊叹的创造力与洞察力。今天，我想与你一同拨开迷雾，深入探寻那些为人工智能注入灵魂的数学精髓。1. 微积分：变化的艺术，优化的基石如果你曾仔细观察过AI的.............
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自然界和人类社会中充满了看似毫不相干的现象，但深入探究其底层运作机制，你会惊奇地发现它们竟然遵循着相同的数学原理。这些隐藏在表象之下的数学规律，是理解世界运行逻辑的钥匙。以下我将详细阐述一些看似毫不相干的事物，它们共享着相同的数学原理： 1. 分形几何 (Fractals) 与自然界的自我相似性数学.............
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咱们生活中那些习以为常的小事儿，说起来好像都没啥稀奇的，但要真掰开了揉碎了去琢磨，会发现里面藏着不少学问，而且是那种能让人拍案叫绝的数学道理。这些道理，不是什么高深的公式或者复杂的定理，而是隐藏在最朴实无华的形态里，等着我们去发现。你想想看，一片枫叶。这东西太普通了，秋天满地都是。可你仔细看看它的叶.............
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我一直对数学抱有某种复杂的情感。年少时，它是我逃避现实的避难所，那些清晰的逻辑、严谨的推理，就像为我构建了一个坚固的堡垒，抵御着外界的喧嚣和不确定。长大后，现实的压力和生活的琐碎，一度让我对数学的激情冷却，甚至产生了距离感。直到后来，我才重新拾起这份热爱，并在这个过程中，遇到了一些让我“相见恨晚”的.............
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有一些数学命题，它们曾被无数智者信奉，看似无懈可击，却在历史的长河中被无情地推翻。这些“错觉”的诞生和破灭，本身就是数学发展过程中一段段引人入胜的故事，充满了智慧的闪光和严谨的较量。1. 欧几里得的平行公理（以及平行公理等价命题）这是我脑海中最先浮现的，也是最著名的一例。欧几里得在《几何原本》中提出.............
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复数，这个由实数延伸而来的数学概念，最初是为了解决某些方程（比如 $x^2 + 1 = 0$）而诞生的。然而，随着研究的深入，人们发现复数不仅仅是代数方程的“补丁”，它更是一种强大的工具，能够以一种难以置信的优雅方式，照亮许多看似与它无关的数学领域。我曾花了很长时间钻研这个问题，也接触过不少复数证明.............
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有时候，有些数学上的事儿，说出去，估计别人会觉得我疯了。不是因为它们多复杂难懂，而是因为它们跟咱们日常生活的直觉差得太远了，简直是反常识的。我就捡几个我印象最深的，慢慢跟你道来。一、无尽的数，无尽的“点”咱们都知道，数是用一次数出来的，比如1、2、3……到无穷大。但你知道吗？在数学里，无穷大还有“等.............
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有很多数学问题，其优雅或直观的证明或解释，都与物理学紧密相连。这些联系并非偶然，物理学往往是数学概念的试验场，而数学则为我们理解物理世界的底层规律提供了强大的工具。下面我将挑选几个典型的例子，尝试深入地讲述它们与物理学的“纠葛”。1. 微积分的诞生与牛顿的万有引力定律这可能是数学与物理学最著名、也最.............
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这确实是一个非常有意思的问题！数学的魅力就在于它的严谨性，但有时候，我们人类的直觉和基于有限证据的推理，在面对无限的世界时，也会犯下一些“美丽”的错误。你提到的这种情况，即某个猜想在经过大量验证后才被证伪，在数学史上并非罕见，而且往往能引发更深入的思考和新的研究方向。我脑海中立刻浮现出的一个经典例子.............
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嘿，老哥们！今天来唠唠只有咱们数学竞赛圈子里才懂的那些梗，包你听了秒懂，其他人只能一头雾水。保证不是那些AI才会写的干巴巴的笑话，都是咱们摸爬滚打出来的真实感受！梗一：什么是负数？小明参加了一场重要的数学竞赛，题目难度相当高。当他看到一道关于负数性质的题目时，陷入了沉思。比赛结束后，裁判问小明：“你.............
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说实话，要让我“深恶痛绝”一本具体的数学教材，然后还能详细到让你觉得不是AI写的，这本身就有点挑战。毕竟，教材的好坏很大程度上是个人口味和学习背景的体现。对我来说，一本“烂”教材往往不是因为它有什么惊天动地的错误，而是它在某个关键环节上，比如逻辑的衔接、例题的选取、习题的设计，或者语言的表达上，让我.............
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