哪些数学命题曾经长期被误认为是正确的，但之后被严格证明是错的？
有一些数学命题，它们曾被无数智者信奉，看似无懈可击，却在历史的长河中被无情地推翻。这些“错觉”的诞生和破灭，本身就是数学发展过程中一段段引人入胜的故事，充满了智慧的闪光和严谨的较量。
1. 欧几里得的平行公理（以及平行公理等价命题）
这是我脑海中最先浮现的，也是最著名的一例。欧几里得在《几何原本》中提出的五条公理，构成了欧氏几何的基础。其中，第五条平行公理（或其等价命题，比如“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”）一直让后来的数学家们感到“不安”。
“不安”的根源： 为什么不安？因为它不像其他公理那样“显而易见”，显得有些冗长，甚至像是从其他公理推导出来的。很多数学家觉得，这条公理也许可以从前面四条公理中被证明出来。于是，他们投入了无数的精力去试图证明它，结果呢？每次都是徒劳。
漫长的求证之路： 从古代希腊时期到19世纪，无数数学家，比如普罗克洛斯、沃尔法特、黎曼、高斯，都试图证明平行公理。他们尝试了各种各样的方法，从不同的角度去解读，但总是在某个地方绕不出来，或者无意中使用了与平行公理等价的另一个命题。这些失败的尝试，并没有白费，它们促进了逻辑思维的发展，也暴露了平行公理的独立性。
非欧几何的诞生： 19世纪，匈牙利数学家博约依（János Bolyai）和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）几乎同时独立地否定了平行公理，并构建了新的几何体系——双曲几何。在这个几何中，平行公理被替换为“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”。这彻底颠覆了人们对空间认识的根深蒂固的观念。后来，黎曼（Bernhard Riemann）提出了椭圆几何（在球面上，平行线是“不存在”的，任何两条直线都会相交），与欧氏几何和双曲几何并称为三大几何。
意义所在： 平行公理的“错误”证明，实际上是数学史上的一次伟大解放。它告诉我们，我们习以为常的“真理”并非宇宙的唯一法则，存在着其他逻辑上一致的、但性质迥异的数学系统。这开启了非欧几何的大门，也深刻影响了后来的物理学，比如爱因斯坦的广义相对论就是建立在黎曼几何基础上的。
2. 费马最后定理（曾经的“错误”误解，虽然最终被证明正确，但其证明过程的曲折堪比“错误”的演变）
这个例子可能有点微妙，因为它最终被证明是正确的，但长达三个半世纪的求证过程，以及无数人试图找到“简单”证明的努力，使其经历了一种“被误解为错误”或者“错误被误解为正确”的漫长过程。
定理本身： 费马在《算术》一书的页边空白处写下了：“xⁿ + yⁿ = zⁿ 在n>2时，没有正整数解。”他声称自己有一个“绝妙的证明”，但页边太窄写不下。
“绝妙证明”的诱惑与误导： 几个世纪以来，无数顶尖的数学家，包括欧拉、勒让德、狄利克雷等等，都尝试用各种方法来证明它，但都没能完全解决所有情况（n是素数的情况相对好一些，但n是合数的情况就更复杂了）。很多人怀疑费马是不是真的找到了一个简便的证明，还是他自己也搞错了？或者，他所谓的“证明”只是在某些特殊情况下成立？
“被误认为错误”的时刻： 尽管大家都在努力，但没有人能找到那个“绝妙证明”，甚至连一个完整的证明都找不到。这种长期无法解决的难题，在很多人看来，就好像一个“错误”的命题，或者至少是“有问题的”命题。尤其当一些人声称找到了证明，但很快被驳倒时，人们对费马最后定理本身的“正确性”产生了怀疑，更怀疑费马的“绝妙证明”。
安德鲁·怀尔斯的突破： 直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）历时七年，利用了非常深刻的数学工具，包括椭圆曲线、模形式和伽罗瓦表示理论，才最终证明了费马最后定理。他的证明极其复杂，远非费马可能拥有的“绝妙证明”。
为什么算“误解”？ 这里的“误解”体现在：人们一度怀疑费马定理本身的正确性，或者怀疑找到一个“简单”证明的可能性。而怀尔斯的证明，其深度和复杂度，也让人们重新审视了“绝妙证明”这个概念。很多时候，看似简单的数学猜想，其背后隐藏的是极其深奥的数学结构。
3. 康托尔的无穷集合理论（最初的争议与“错误”的指责）
格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）创建的集合论，尤其是在处理无穷集合时的革命性观点，在数学界引起了巨大的震动，甚至被很多人认为是“错的”。
无穷的“数量”： 康托尔大胆地提出，存在不同“大小”的无穷。例如，整数的无穷（可数无穷）和实数的无穷（不可数无穷）。他通过“对角线证明”证明了实数集合比整数集合“更大”。
哲学与宗教的反对： 康托尔的理论触及了哲学和宗教的核心问题，特别是关于无穷的概念。当时许多有影响力的数学家，比如克罗内克（Leopold Kronecker），认为数学应该建立在可数的、可构造的对象上，而康托尔的无穷集合论充斥着“不可构造”的实体，这在他们看来是“危险”和“非数学的”。克罗内克甚至称康托尔为“数学的骗子”，并认为他的理论是“错误的”。
逻辑悖论的出现： 随着集合论的发展，一些逻辑悖论也浮出水面，最著名的就是“罗素悖论”（Russell's paradox）：考虑所有不包含自身的集合组成的集合，这个集合是否包含自身？如果它包含自身，那么根据定义，它就不应该包含自身；如果它不包含自身，那么它就应该包含自身。这个悖论在很大程度上动摇了早期朴素集合论的基础，让人们更加怀疑康托尔理论的“正确性”。
“证明是错的”的论调： 许多数学家认为，这些悖论表明康托尔的集合论存在根本性的错误，因此他的关于无穷的结论也是站不住脚的。他们认为，康托尔的“创造”是一种“错误”的数学方向。
纠正与发展： 尽管面临巨大的阻力，康托尔本人和后来的数学家（如策梅洛、弗兰克尔、冯·诺依曼）通过公理化集合论（如ZFC公理系统）来解决这些悖论，并为集合论提供了坚实的基础。最终，集合论成为了现代数学的基石之一。
回顾： 康托尔的集合论并非“被证明是错的”，而是其早期形式存在逻辑问题，并且其核心思想挑战了当时的哲学和数学范式，因此被广泛质疑和反对。随着公理化的发展，集合论被证明是自洽的，并且是极其有用的。但这段历史，充分体现了创新思想是如何被误解和攻击的，以及数学的严谨性是如何在争议中不断完善的。
总结一下，这些例子告诉我们：
数学的进步往往伴随着对“既定真理”的挑战。
“显而易见”并非绝对，严谨的逻辑证明才是硬道理。
看似微不足道的“错误”或“疑问”，可能隐藏着革命性的思想。
数学的禁区并非一成不变，勇于探索的人会不断开辟新的疆域。
这些数学命题的“曲折”经历，不仅展现了数学的魅力，也折射出人类认识世界的曲折过程。它们提醒我们，在追求真理的道路上，既要有大胆的想象，也要有严谨的验证，更要有面对质疑和反对的勇气。
1. 欧几里得的平行公理（以及平行公理等价命题）
这是我脑海中最先浮现的，也是最著名的一例。欧几里得在《几何原本》中提出的五条公理，构成了欧氏几何的基础。其中，第五条平行公理（或其等价命题，比如“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”）一直让后来的数学家们感到“不安”。
“不安”的根源： 为什么不安？因为它不像其他公理那样“显而易见”，显得有些冗长，甚至像是从其他公理推导出来的。很多数学家觉得，这条公理也许可以从前面四条公理中被证明出来。于是，他们投入了无数的精力去试图证明它，结果呢？每次都是徒劳。
漫长的求证之路： 从古代希腊时期到19世纪，无数数学家，比如普罗克洛斯、沃尔法特、黎曼、高斯，都试图证明平行公理。他们尝试了各种各样的方法，从不同的角度去解读，但总是在某个地方绕不出来，或者无意中使用了与平行公理等价的另一个命题。这些失败的尝试，并没有白费，它们促进了逻辑思维的发展，也暴露了平行公理的独立性。
非欧几何的诞生： 19世纪，匈牙利数学家博约依（János Bolyai）和俄罗斯数学家罗巴切夫斯基（Nikolai Lobachevsky）几乎同时独立地否定了平行公理，并构建了新的几何体系——双曲几何。在这个几何中，平行公理被替换为“过直线外一点至少有两条直线与已知直线平行”。这彻底颠覆了人们对空间认识的根深蒂固的观念。后来，黎曼（Bernhard Riemann）提出了椭圆几何（在球面上，平行线是“不存在”的，任何两条直线都会相交），与欧氏几何和双曲几何并称为三大几何。
意义所在： 平行公理的“错误”证明，实际上是数学史上的一次伟大解放。它告诉我们，我们习以为常的“真理”并非宇宙的唯一法则，存在着其他逻辑上一致的、但性质迥异的数学系统。这开启了非欧几何的大门，也深刻影响了后来的物理学，比如爱因斯坦的广义相对论就是建立在黎曼几何基础上的。
2. 费马最后定理（曾经的“错误”误解，虽然最终被证明正确，但其证明过程的曲折堪比“错误”的演变）
这个例子可能有点微妙，因为它最终被证明是正确的，但长达三个半世纪的求证过程，以及无数人试图找到“简单”证明的努力，使其经历了一种“被误解为错误”或者“错误被误解为正确”的漫长过程。
定理本身： 费马在《算术》一书的页边空白处写下了：“xⁿ + yⁿ = zⁿ 在n>2时，没有正整数解。”他声称自己有一个“绝妙的证明”，但页边太窄写不下。
“绝妙证明”的诱惑与误导： 几个世纪以来，无数顶尖的数学家，包括欧拉、勒让德、狄利克雷等等，都尝试用各种方法来证明它，但都没能完全解决所有情况（n是素数的情况相对好一些，但n是合数的情况就更复杂了）。很多人怀疑费马是不是真的找到了一个简便的证明，还是他自己也搞错了？或者，他所谓的“证明”只是在某些特殊情况下成立？
“被误认为错误”的时刻： 尽管大家都在努力，但没有人能找到那个“绝妙证明”，甚至连一个完整的证明都找不到。这种长期无法解决的难题，在很多人看来，就好像一个“错误”的命题，或者至少是“有问题的”命题。尤其当一些人声称找到了证明，但很快被驳倒时，人们对费马最后定理本身的“正确性”产生了怀疑，更怀疑费马的“绝妙证明”。
安德鲁·怀尔斯的突破： 直到1994年，英国数学家安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）历时七年，利用了非常深刻的数学工具，包括椭圆曲线、模形式和伽罗瓦表示理论，才最终证明了费马最后定理。他的证明极其复杂，远非费马可能拥有的“绝妙证明”。
为什么算“误解”？ 这里的“误解”体现在：人们一度怀疑费马定理本身的正确性，或者怀疑找到一个“简单”证明的可能性。而怀尔斯的证明，其深度和复杂度，也让人们重新审视了“绝妙证明”这个概念。很多时候，看似简单的数学猜想，其背后隐藏的是极其深奥的数学结构。
3. 康托尔的无穷集合理论（最初的争议与“错误”的指责）
格奥尔格·康托尔（Georg Cantor）创建的集合论，尤其是在处理无穷集合时的革命性观点，在数学界引起了巨大的震动，甚至被很多人认为是“错的”。
无穷的“数量”： 康托尔大胆地提出，存在不同“大小”的无穷。例如，整数的无穷（可数无穷）和实数的无穷（不可数无穷）。他通过“对角线证明”证明了实数集合比整数集合“更大”。
哲学与宗教的反对： 康托尔的理论触及了哲学和宗教的核心问题，特别是关于无穷的概念。当时许多有影响力的数学家，比如克罗内克（Leopold Kronecker），认为数学应该建立在可数的、可构造的对象上，而康托尔的无穷集合论充斥着“不可构造”的实体，这在他们看来是“危险”和“非数学的”。克罗内克甚至称康托尔为“数学的骗子”，并认为他的理论是“错误的”。
逻辑悖论的出现： 随着集合论的发展，一些逻辑悖论也浮出水面，最著名的就是“罗素悖论”（Russell's paradox）：考虑所有不包含自身的集合组成的集合，这个集合是否包含自身？如果它包含自身，那么根据定义，它就不应该包含自身；如果它不包含自身，那么它就应该包含自身。这个悖论在很大程度上动摇了早期朴素集合论的基础，让人们更加怀疑康托尔理论的“正确性”。
“证明是错的”的论调： 许多数学家认为，这些悖论表明康托尔的集合论存在根本性的错误，因此他的关于无穷的结论也是站不住脚的。他们认为，康托尔的“创造”是一种“错误”的数学方向。
纠正与发展： 尽管面临巨大的阻力，康托尔本人和后来的数学家（如策梅洛、弗兰克尔、冯·诺依曼）通过公理化集合论（如ZFC公理系统）来解决这些悖论，并为集合论提供了坚实的基础。最终，集合论成为了现代数学的基石之一。
回顾： 康托尔的集合论并非“被证明是错的”，而是其早期形式存在逻辑问题，并且其核心思想挑战了当时的哲学和数学范式，因此被广泛质疑和反对。随着公理化的发展，集合论被证明是自洽的，并且是极其有用的。但这段历史，充分体现了创新思想是如何被误解和攻击的，以及数学的严谨性是如何在争议中不断完善的。
总结一下，这些例子告诉我们：
数学的进步往往伴随着对“既定真理”的挑战。
“显而易见”并非绝对，严谨的逻辑证明才是硬道理。
看似微不足道的“错误”或“疑问”，可能隐藏着革命性的思想。
数学的禁区并非一成不变，勇于探索的人会不断开辟新的疆域。
这些数学命题的“曲折”经历，不仅展现了数学的魅力，也折射出人类认识世界的曲折过程。它们提醒我们，在追求真理的道路上，既要有大胆的想象，也要有严谨的验证，更要有面对质疑和反对的勇气。
网友意见
自答一下，举例＋抛砖。
最近看到的例子
1832 年 Steiner 提问：是否每个三维凸多面体都有一个组合等价的实现，使得每个顶点都在一个球上（外接球）。Steiner, Jakob. "Systematische Entwicklung der Abhängigkeit geometrischer Gestalten von einander, Reimer, Berlin, 1832; Appeared in J." Steiner's Collected Works (1881).
1900 年 Brueckner 在其书中的脚注里写：显然，每个三维单纯多面体都存在一个有外接球的实现。Brückner, Max. Vielecke und Vielflache: Theorie und Geschichte. BG Treubner, 1900. p. 163, footnote 4
1928 年 Steinitz 找到反例，并证明：大多数三维凸多面体，包括单纯多面体，都不存在有外接球的实例。Steinitz, Ernst. "Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern."Journal für die reine und angewandte Mathematik 158 (1927): 129-153.
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