求烷烃同分异构体数目的通项公式？ 第1页

的同分异构体计数，确实挺难的。

知乎上有两篇专栏文章讨论了这个问题：

P.S. 如果有一个取代基，比如 ，那就简单多了。

刚刚尝试了一下。虽然简洁的描述会涉及波利亚计数定理，但如果不怕繁琐，也是完全可以找到更初等的叙述方式的。

第一步，求n烷基的数量An。

每个n烷基的自由端连接着一个碳原子，这一个碳原子又连接着三个更小的烷基。设这三个更小的烷基分别有a,b,c个碳原子，那么a+b+c=n-1.

我们把三个更小的烷基分别有a,b,c个碳原子的烷基称为abc型烷基。

显然，当a，b，c互不相等时，abc型烷基有AaAbAc种，即三个烷基的数量相乘。

但是，如果三个数有两个相等，aab型烷基，那么就有Aa(Aa+1)Ab/2种，因为两个a型烷基是可以互换位置的，相当于“在Aa个元素里取两次，不计顺序，可以重复”这个组合问题。

同样的道理，aaa型烷基有Aa(Aa+1)(Aa+2)/6种。

把所有符合a+b+c=n-1的型号abc（要求从小到大排列，可以相等）的烷基数量算出来，然后加起来，结果就是An.

例如，如果我们已知A0=1，A1=1，A2=1，A3=2，A4=4，A5=8，

求A6:

005型有A5=8种，

014型有A1A4=4种，

023型有A2A3=2种，

113型有A3=2种，

122型有1种，

加起来一共17种，即A6=17.

实际上，这是一个递推公式。

第二步，求“一个碳原子有标记的n烷烃（简称标碳烷烃）”的数量。

设结果为Bn.利用第一步的结果。和第一步类似，标记的碳原子连接着四个烷基，按照四个烷基的碳原子数abcd分型号求解即可。

例如，求B6.

0005型:A5=8种

0014型:A1A4=4种

0023型:A2A3=2种

0113型:A3=2种

0122型:1种

1112型:1种

合计18种，即B6=18.

第三步，求“一个碳键有标记的n烷烃（简称标键烷烃）”的数量。

设为Cn.这一步较为简单，只需考虑碳链两端连接的两个烷基即可。

例如，求C6.

（注意没有06型，因为我们标记的键是碳—碳键，不是碳—氢键）
15型:A1A5=8种

24型:A2A4=4种

33型:A3(A3+1)/2=3种

加起来是15种，即C6=15.

第四步，求n烷烃的数量。

设为Dn，则Dn=Bn-Cn+A(n/2). n为奇数时最后一项为0.

例如D6=18-15+2=5.即己烷有五种同分异构体。

这个结论基于一个图论事实：

对任何一个烷基碳链来说，

设“不同地位”的碳原子（也就是说，标记不同地位的碳原子，产生不同的标碳烷烃）数量为u，

“不同地位”的碳键（也就是说，标记不同地位的碳键，产生不同的标键烷烃）数量为v，

而s表示“该碳链是否含有一个碳键，使得碳键两边对称”，若存在则s=1，不存在则s=0.

那么u-v+s=1.

对所有的n烷基碳链累加就得到第四步开头的公式。