矢量的外积（叉乘）最早为什么这样定义？ 第1页

看了文中链接的内容，我发现叉乘的历史最早只能追溯到1840年。德国人Grassmann（路径积分里Grassmann代数那个）最早在流体力学相关研究中想到了叉乘。但他没有明确叉乘是把两个向量乘积得到第三个向量的运算，而是自行发明了一套代数系统，称之为“几何量”。而在1843年，英国数学家哈密顿发表了他十几年的工作总结，提出了四元数。两个四元数的乘积是现代矢量的点乘和叉乘之和。另外同时代还有五个人的工作与此相关：

Hamilton was not alone in creating a vectorial system during the period around 1843. In fact, in that period six other authors from four countries were developing systems that were more or less vectorial in character. The six men were August Ferdinand Möbius, Giusto Bellavitis, Comte de Saint-Venant, Augustin Cauchy, Matthew O’Brien, and above all Hermann Günther Grassmann.

不看不知道，原来矢量分析是十九世纪晚期才发明的。而且又是数学家走在前边，哈密顿发明四元数，麦克斯韦在他的工作里大力宣传四元数。后来工程师Heaviside和“美国第一个物理学家”吉布斯发明了简单版“矢量分析”，至今大行其道。

这里有一个比较严肃的相关历史的科普/科学史讲义：

四元数推广介绍可以看 @愛物理的无双麓叶 近期推广内容。