帕塞瓦尔恒等式，具体的说明了什么？ 第1页

我给你直观地解释一下。

这主要关乎内积空间（有长度即范数，有角度即任意两元素有夹角，这都是内积蕴含的）的维数与标准正交基（直角坐标系的推广），（广义）勾股定理。

1. 二维平面 ，任何一个元（向量），直角坐标系就是由 轴和 轴的单位向量 ，它俩也是 的标准正交基。

其中， 恰好是向量 在 上的投影长度。

这些长度满足勾股定理：

2. 上面推广到 也是一样的，再增加一个 轴单位向量 即可

3. 再推广到任意有限维，比如n维，都是与 同构的，用 表示它的标准正交基，也就是每个轴的单位向量，则

——————————————————

以上都是有限维的内积空间，只要是有限维，那么一定可以每次找一个方向的单位向量，后找的与前面找的都正交，最终把所有互相正交的方向的单位向量都找遍，作为标准正交基。这也就是Schmidt正交化过程。

注意，只有当把所有互相正交方向的单位向量都找完（ 完全表示出来了），勾股定理才取等号，当找的不全的时候，勾股定理的式子取的是 " "。

接着继续推广到无限维，我把无限维分为两类：可列（自然数集那么多，可以用自然数下标写完）无限维、不可列无限维。

4. 可列无限维内积空间

可列无限维，也就是每次找一个互相正交的单位方向，可以这样一直找完：

同我前面说的注意，可列无限维是可以找完的，所以，可以得到标准正交基 ，任何一个元也都能完全表示：

勾股定理也对：

这不就是帕塞瓦尔恒等式吗。

但是，如果这可列个互相正交的方向还找不完呢？那就是

5. 不可列无限维内积空间

既然没找完，也就是用自然数下标写不完，剩下的部分一定

自然地，帕塞瓦尔恒等式就不能成立了，只能成立下式（没写完的勾股定理情形）：

这就是 Bessel 不等式。

所以，综上，帕塞瓦尔恒等式，其实就是可列无限维内积空间中的勾股定理。