orbifold和groupoid有没有人了解？ 第1页

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orbifold是manifold的推广。可以在拓扑范畴和黎曼几何范畴内讨论orbifold的概念。

topological orbifold是说每点都存在一个邻域同胚于 ,其中 是一个有限子群，且允许它随着取点的变化而变化。例子的话自己就是一个orbifold；或者 ，当有限群 在 上的线性作用是自由的时候，我们得到一个spherical space form，但是如果作用不自由的话，就得到一个orbifold。

Riemannian orbifold是说空间本身不一定带奇点，但是度量可能带orbifold singularity，也就是说有些点处的度量实际定义在邻域的一个有限覆盖上，在这个有限覆盖下度量才是光滑的。简单的例子，比如 , 作用为绕直径旋转 , 这样商掉得到的空间仍然是同胚于 的，但是度量在南北极有奇性，在两极附近的坐标表示实际是 ，这在极坐标下并不是原点处光滑的度量。

关于topological orbifold，实际上如果一个拓扑群G在一个流形M上的连续作用满足每点处的stabilizer都是有限群，那么商空间M/G就是一个orbifold——这也是orbifold例子的主要来源，这也是为什么orbifold往往跟群作用有关系。我自己的研究也直接牵扯到群作用和商空间，可惜我用到的orbit space基本全都不是orbifold，因为基本都存在无限阶的stabilizer（实际上是正维数的子李群）。

至于groopoid，那是另外一码事。groupoid是group的推广，它是指一个范畴，其中的每个morphism都可逆。一个典型的例子是，固定一个自然数n，考虑这样一个范畴，其对象为全体n维线性空间，morphism为这些线性空间之间的可逆映射。这就是一个groupoid，你可以看成GL(n)的推广。groupoid和group一个最显著的区别，在于groupoid允许存在多个单位元。比如上述例子中，每个线性空间V对应的 都是不同的单位元。当然需要为此付出的“代价”是，不是任意两个“元素”都可以“相乘”的——不是任意两个morphism都可以复合的，显然只有值域和定义域相接合的morphism才可以复合。

其实groupoid也不是代数学家纯粹为了抽象而发明出来的东西。群是用来刻画对称性的，群胚其实也能用来刻画更广义的对称性。描述晶体的对称性，用群就够了；描述 准晶 的对称性，则需要用到性质更差一些的groupoid。