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在一个圆里随机取5个点,则这5个点在同一个半圆的概率是多少? 第1页

  

user avatar   iamida 网友的相关建议: 
      

目前我的答案是5/16=0.3125=31.25%

有两种思路。

其一,实验,主要运用计算几何的方法。五个点在同一个半圆,也就是说,圆心不在五个点形成的凸包中。判断点是否在凸包中说非常容易的,有一个简单的公式。可以上手这个代码,计算取点1万次出现符合要求的情况个数得到频率。稍等啊,我空了写个代码试一试。

其二,转换的思想。这个问题,可以转换为这样的一个问题:

5个非负实数,它们的和为确定的数字,求其中有一个数不小于这五个实数之和的一半的概率有多大。假设选取每个实数的方法是一样的。

转换思路如下:

  1. 这个问题,点所在的半径最重要,而圆的半径是相等的,所以可以把一个点转换为一条半径
  2. 于是这个问题就变成了切蛋糕,切5刀,有一块蛋糕圆心角大于等于180°
  3. 于是我们关心起圆心角来,就是把360分成5份,有一份大于等于180,也就是:x1+x2+x3+x4+x5=360, 且x1到x5均非负实数,求这五个数中有一个不小于180的概率。
  4. 最后转换成刚刚说的那个等价问题

接下来,我们解决这个问题:

5个非负实数,它们的和为确定的数字,求其中有一个数不小于这五个实数之和的一半的概率有多大。假设选取每个实数的方法是一样的。

先看个简单的,如果题设只有两个数,x1+x2=a,这时候,有一个数大于等于a/2的概率是1;

假设是三个数的情况,那就是在面x+y+z=a上,连接这个等边三角形三边上的中点,这样就形成了4个全等三角形,题设的概率就是三个小三角形面积除以整个大三角形的面积,肯定是3/4。

接下来,是n个数的情况

概率应该是n×(1/2)^(n-1) // 待检验

那么n=4时,概率为1/2

本题目的n=5时,概率为5/16=0.3125




  

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