矢量的点乘为什么可以求导？ 第1页

笑了, 其实这类问题我当年也碰到过.

就大一的时候, 我发现怎么力学中好像放个屁都要用微积分, 然而高数却还你吗在讲极限··· 我直接无语, 然后就开始通过凭空臆测来自制微积分了. 什么无穷小量的比值、微元法之类的··· 只要是能让我自圆其说的东西我全都参考了一遍, 这是我使用野鸡数学的开端.

结果才刚强行搞出华强北式的微积分, 却又听说力学中使用的是什么矢量微积分··· 翻了一下发现整本高数书上都没讲过这类东西. 但其实不用担心, 因为矢量的微积分和标量的微积分在一组正交基矢下算起来没有任何本质区别.

这是因为三个正交基矢 都是常矢量, 所以有
然后其它任何矢量, 比如说速度 , 都可做分解
这么一来, 速度矢量的运算就全都归结到 上了, 就是三个标量的运算嘛.

但这还只是第一层, 后面会发现其实很多时候都可以不用坐标的.

那矢量的点乘为啥可以求导呢?

你要说将矢量的内积定义为一个标量函数, 那这个函数能求导数简直太正常了.

但为啥 呢? 我记得当年有人说这是因为

然后一堆人就··· 噢, 想通了! 可我寻思 也不显然啊···

这让我想起教量子力学的教授讲的一个笑话, 就是说解决物理问题的办法有两个:
(1). [我忘了, 因为我有更好的办法所以就没记住他说的啥. ]
(2). 别去想, 你不深究就没问题了^[1].

实际上就直接拆开运算:

有人说求和记号就很显然有

那其实 好像并不是很显然的一件事吧? 事实上这还真是直角坐标所特有的.

然而我最后还想进一步扩展到极坐标甚至不用坐标的情况:

有了上面这一套, 的问题就又有新解了.

你会发现其实矢量就是模长与方向单位矢的乘积, 于是这个问题就便乘了下面这样:

总之就是, 至少在你学量子力学之前, 物理学中都不会出现任何形迹可疑的东西.

如果你觉得一个东西不显然, 那就把它显然^[2]掉.

或者你就别去想它了.

别去想的道理就在于, 很多东西即使你现在搞得一清二楚, 最后也就是忘得一干二净.
那什么内容才算这类呢? 这就得看个人悟性了.
或者去看我的新系列:

这个系列的其中的一个目的就是告诉你哪些问题值得我们花时间去给它显然掉.

参考

1. ^ 并不完全是开玩笑, 其实这个还蛮有道理的.
2. ^ 这是一个比较数学的观点: 被证明了的都是显然的.